高等代数第四章及其习题答案.ppt
第四章《高等数学(上册)》课件
性质4 f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx ．
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
四、基本积分公式
（1） kdx kx C
（3）
1 x
高等数学
第四章
不定积分
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
第四章
不定积分
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
一、原函数和不定积分的概念
定义1 设f(x)是定义在区间(a,b)上的已知函数，如果存在一个 函数F(x)，使得在(a,b)上的任意一点x有
02 换元积分法 03 分部积分法
三、不定积分的性质
性质1
f
( x)dx
f
(x)
或
d
f (x)dx
f (x)dx ．
性质2 F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C ．
性质3 af (x)dx a f (x)dx (a 0) ．
积分常数．
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
高等数学
01 不定积分的概 念与性质
02 换元积分法 03 分部积分法
例1 求 3x2dx ．
解 由于 (x3) 3x2 ，所以，x3是3x2的一个原函数，因此
(完整word)高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=，因此A 可逆，且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭，有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11(*)||A A A -=.8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()TB B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.(A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB(A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵.(A) TA A (B) TA A - (C) 2A (D) TA A -3．以下结论不正确的是（ C ）.(A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）(A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+-(C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+-6．下列命题正确的是（B ）.(A) 若AB AC =，则B C =(B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则（ B ）. (A) 当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B) 当m n >时，必有行列式0AB = (C) 当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D) 当n m >时，必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵，当m n >时，(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<，所以0AB =.8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =；(C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ C ）.（A ）123,,ααα. （B ）122331,,αααααα+++.（C ）234,,ααα. （D ）12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此（A ），（B ）中向量组均为线性相关的，而（D ）显然为线性相关的，因此答案为（C ）.由12341234**(,,,)(*,*,*,*)A A A A A A A O αααααααα===可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵，A 适合下列条件（ C ）时，n I A -必是可逆矩阵(A) nA A = (B) A 是可逆矩阵 (C) 0nA = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）(A) 1A = (B) 0A = (C) TA A = (D) 0A ≠ 12．,,ABC 均是n 阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）(A) 若A 是可逆矩阵，则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵，则必有AB BA = (C) 若0A ≠，则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠，则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有（C ） (A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = (D) CBA E = 14．A 是n 阶方阵，*A 是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）(A) 若A 是可逆矩阵，则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵，则*A 也是不可逆矩阵；(C) 若*0A ≠，则A 是可逆矩阵； （Ｄ）*.AA A =*.nAA A E A ==15．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =（ Ｄ ）(A) A (B) 2A (C) 3A (D) 4A 16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵，则*A A 中位于(,)i j 的元素为（Ｂ ）(A)1njkki k aA =∑ (B)1nkjki k aA =∑ (C) 1n jk ik k a A =∑ (D) 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式，则（C ） (A) A 是B 的伴随 (B)B 是A 的伴随 (C)B 是A '的伴随 (D)以上结论都不对18．设,A B 为方阵，分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = ( Ｃ ) (A) **00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)**00A A CB B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C) **00B A C A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D) **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，下列运算可行的是（ C ） (A) A B + (B)A B - (C)AB (D)AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵，C 是n 阶矩阵，那么（ D ）(A) ()C A B CA CB +=+ (B) ()TTTTA B C A C B C +=+ (C) ()TTTC A B C A C B +=+ (D) ()A B C AC BC +=+21．对任意一个n 阶矩阵A ，若n 阶矩阵B 能满足AB BA =，那么B 是一个（ Ｃ ）(A) 对称阵 (B)对角阵 (C)数量矩阵 (D)A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵，且0A =，那么A 的主对角线上的元素（ Ｃ ）(A) 全为零 （B ）只有一个为零（C ）至少有一个为零 （D ）可能有零，也可能没有零23．设1320A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1A -=（ D ） (A) 1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ （B ）1031136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）1031126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（D ）1021136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24． 设111222333a b c A a b c a b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若111222333222a c b AP a c b a c b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则P =（ B ） (A) 100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （B ）100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （C ）001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （D ）200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n ≥阶矩阵1111a aa a a a A aa a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的秩为1，则a 必为（A ）(A) 1 （B ）-1 （C ）11n - （D ）11n -矩阵A 的任意两行成比例.26. 设,A B 为两个n 阶矩阵,现有四个命题: ①若,A B 为等价矩阵,则,A B 的行向量组等价;②若,A B 的行列式相等,即||||,A B =则,A B 为等价矩阵; ③若0Ax =与0Bx =均只有零解,则,A B 为等价矩阵; ④若,A B 为相似矩阵,则0Ax =与0Bx =解空间的维数相同. 以上命题中正确的是( D )(A) ①, ③. (B) ②, ④. (C) ②,③. (D)③,④.当AP P B 1-=时，,A B 为相似矩阵。
《高等数学》 课件 高等数学第四章
例6 已知曲线y f (x)上任意一点M (x，y)处的切线斜率为k 2x，且曲线
通过原点(0，0，) 求该曲线的方程．
解 由导数的几何意义知：k f (x) 2x，则切线斜率为2x的全部曲线为，
y 2xd x x2 C，
又知曲线通过坐标原点(0，0，) 将条件y x0 0代入上式，得C 0．于是所求曲
这种方法称为直接积分法．
例7 求不定积分 x (x2 5)d． x
5
1
5
1
解 x (x2 5)d x (x2 5x2 )d x x2 d x 5 x2 d x
2
7
x2
5
2
3
x2
C
2
x3
7
3
7
x 10 x x C.
1 3 不定积分的概念与性质
高等数学 第四章. 第一节
第 17 页
例4
求
1
2
x x
2
d ． x
解 2x d x 1 d(x2 ) 1 d(1 x2 ) ln |1 x2 | C ln(1 x2 ) C.
1 x2
1 x2
1 x2
2 换元积分法
高等数学 第四章. 第二节
第 26 页
常用凑微分公式：
（1）d x 1 d (a x) 1 d(ax b)
3
3
x2 d x 1 x3 C．
3
例2 求不定积分 sin xd． x
解 因为( cos x) sin x，所以
sin xd x cos x C．
1 不定积分的概念与性质
高等数学 第四章. 第一节
第8 页
例3 求不定积分 ex d． x
解 因为(ex ) e， x 所以 ex d x ex C．
高等代数
目录第1 章行列式 (1)§1.1 二阶与三阶行列式 (1)§1.2 排列及其逆序数 (3)§1.3 n 阶行列式的定义 (4)§1.4 对换 (6)§1.5 行列式的性质 (8)§1.6 行列式按行(列)展开 (14)§1.7 Matlab 在行列式计算中的应用 (22)习题1 (22)第2 章矩阵 (26)§2.1 矩阵的概念 (26)§2.2 矩阵的关系和运算 (31)§2.3 伴随矩阵和逆矩阵 (39)§2.4 矩阵的分块法 (45)§2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵 (52)§2.6 矩阵的秩 (59)§2.7 Matlab 在矩阵运算与初等变换中的应用 (63)习题2 (66)第3 章线性方程组 (72)§3.1 Cramer 法则 (72)§3.2 一般线性方程组的解 (74)§3.3 Matlab 在解线性方程组中的应用 (85)习题3 (86)·1·高等代数第4 章向量组的线性相关性 (89)§4.1 向量组及其线性组合 (89)§4.2 向量组的线性相关性 (92)§4.3 向量组的秩 (97)§4.4 线性方程组解的结构 (100)§4.5 Matlab 在向量组线性相关性中的应用 (106)习题4 (107)第5 章线性空间与线性变换 (111)§5.1 数环、数域与映射 (111)§5.2 线性空间及其性质 (115)§5.3 基、维数与坐标 (118)§5.4 基变换与坐标变换 (120)§5.5 线性变换 (123)§5.6 线性变换的矩阵表示 (127)§5.7 欧氏空间 (132)§5.8 Matlab 在线性空间和线性变换中的应用 (141)习题5 (144)第6 章相似矩阵及二次型 (150)§6.1 方阵的特征值与特征向量 (150)§6.2 相似矩阵 (155)§6.3 实对称矩阵的相似矩阵 (158)§6.4 二次型及其标准形 (161)§6.5 化二次型为标准形 (163)§6.6 正定二次型 (169)§6.7 Matlab 在相似矩阵和二次型中的应用 (172)习题6 (175)第7 章多项式 (179)§7.1 一元多项式的定义和运算 (179)§7.2 多项式的整除性 (182)§7.3 多项式的最大公因式和互素 (186)§7.4 多项式的分解 (191)·2·高等代数§7.5 多项式的重因式 (194)§7.6 多项式函数多项式的根 (197)§7.7 复数域和实数域上的多项式 (200)§7.8 有理数域上的多项式 (202)§7.9 Matlab 在多项式中的应用 (208)习题7 (211)习题答案与选解 (215)参考文献 (243)·3·第 1 章行列式行列式是基于解线性方程组的需要建立起来的. 作为一个重要工具，行列式在数学和其他学科中都有广泛的应用. 本章主要介绍n 阶行列式的定义、性质及其计算.§1.1二阶与三阶行列式1.1.1 二阶行列式定义1.1 把4 个数排成两横排两竖列构成数表a 11 a 21 a12a22(1.1)表达式a11a22-a12a21称为由数表(1.1)确定的二阶行列式(two order determinant)，记为a11a21 即a12a22(1.2)a 11 a12 =a a -a aa 21 a2211 22 12 21其中横排称为行(row)，竖排称为列(column). 数aij( i = 1, 2 ；j = 1, 2 ) 称为行列式(1.2)的元素或元(entry)，元素aij 的第一个下标i 称为行标，表明元素aij位于第i行，第二个下标j 称为列标，表明元素aij位于第j 列.例1.1 计算二阶行列式D =1 2 3 4解 D = 1⨯ 4 - 2 ⨯3 =-2·1·高等代数例1.2 解方程解方程左端的行列式为x - 24-1= 0x + 3方程化为解得 x = 1 或 x =-2 .1.1.2 三阶行列式D = (x - 2 )(x + 3) - (-1) ⨯ 4 =x2+x - 2x2 +x - 2 = 0定义1.2 把9 个数排成三行三列构成数表a11a21a31a12a22a32a13a23a33(1.3)表达式a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31称为由数表(1.3) 确定的三阶行列式(three order determinant)，记为a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31(1.4)三阶行列式中的6 项可以借助图1.1 来记忆，如图1.1 所示，实线上三元素的乘积前加正号，虚线上三元素的乘积前加负号.a11a12a13a21a22a23a31a32a33图 1.1·2·第 1 章行列式例1.3 计算三阶行列式2 -3 3D = 1 2 -74 0 -5解 D = 2 ⨯ 2 ⨯ (-5) + (-3) ⨯ (-7) ⨯ 4 + 3⨯1⨯ 0 -2 ⨯ (-7) ⨯ 0 - (-3) ⨯1⨯ (-5) -3 ⨯ 2 ⨯4 = 25 例1.4 证明1 1 1 a bcb cac ab= (b -a)(c -a)(c -b) = (a -b)(b -c)(c -a)证明左端=ab2 +a2 c +bc2 -ac2 -a2b -b2c=c2 (b -a) +ab(b -a) -c(b +a)(b -a)= (b -a)(c2 +ab -ac -bc) = (b -a)[c(c -a) -b(c -a)]= (b -a)(c -a)(c -b) = (a -b)(b -c)(c -a) =右端§1.2排列及其逆序数为了给出n 阶行列式的定义并讨论它的性质，这里先讨论排列及其逆序.定义 1.3 由n 个数1, 2, , n 组成的有序数组称为一个n 元排列，简称排列(permutation).由中学排列组合知识可知所有不同的n 元排列共有n! 个. 如3 元排列共有3! = 6 个，它们是123, 132 , 213, 231, 312, 321通过观察发现3 元排列中除排列123 按照自然顺序排列外，其余的排列中，都有较大的数排在了较小的数的前面.定义 1.4 在一个排列中，如果一个较大的数排在了一个较小的数的前面，那么称这两个数构成一个逆序(inverted sequence). 一个排列中所有逆序的总数，称为该排列的逆序数(number of inverted sequence).例如排列3214 中，3 与2，3 与1，2 与1 分别构成逆序，其余都不构成逆序，所以排列3214 的逆序数是3 .排列12n 称为标准排列或自然排列，显然它的逆序数是0 . 一般地，排列p 1 p2pn的逆序数记为( p1p2pn) . 于是(3214 )= 3 ，(12n)=0 .设pi后面比pi小的数有ti( i = 1, 2, , n ) 个，则·3·高 等 代 数21 22 23 1 p 12 p 2( p 1 p 2p n ) = t 1 + t 2 ++ t n = ∑t ii =1例 1.5 求排列5761423 的逆序数.解 按照上面的记号，5 后面比5 小的数有1, 4 , 2 , 3 ，所以t 1 = 4 ，同理t 2 = 5 ， t 3 = 4 ， t 4 = 0 ， t 5 = 2 ， t 6 = 0 ， t 7 = 0 . 故排列5761423 的逆序数为(5761423) = 4 + 5 + 4 + 0 + 2 + 0 + 0 = 15逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.§1.3n 阶行列式的定义为了给出 n 阶行列式的定义，需要对三阶行列式的结构作进一步的分析，找出它们的结构规律。
高等代数04线性方程组
最后一个矩阵所对应的线性方程组为 x1+ 7x3 = 1 , x26x3 = 1 . 它与原方程组同解，取 x3 = C, 得 x1 = 17C, x2 = 1+6C, x 1= 1 7C , 即原方程组解为 x2 = 1+ 6C, 其中 C 为任意实数. x3 = C , 将解写成向量形式 ( x1, x2, x3 )T = (17C , 1+6C, C )T.
定义1 定义1 由st个数cij 排成的一个 行t列的表 个数 排成的一个s行 列的表
c11 c12 L c21 c22 L L L cs1 cs 2 L c1t c2t L cst
叫作一个s行 列矩阵 c 列矩阵。 叫作一个 行t列矩阵。 ij 叫作这个矩阵的元素
注意： 注意：矩阵和行列式虽然形式上有些类似，但有完全不同的意义。 一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表。
例2
解
x1 – x2 + 5x3 – x4 = 0 , x + x2 – 2x3 + 3x4 = 0 , 求下列线性方程组的解： 1 3x1 – x2 + 8x3 + x4 = 0 , x1 + 3x2 – 9x3 + 7x4 = 0 .
1 1 1 1 1 5 0 2 7 4 3 → 0 → 0 0 2 7 4 1 7 0 4 14 8 0
并且用B表示 B 的前n列作成的矩阵。那么由定理4.2.1得： 秩A=秩B= r，秩A =秩B 现在设线性方程组（1）有解。那么或者r = m，或者r < m，而
dr+1 =L= dm = 0，这两种情形都有秩B=0，于是由（4）得，
B 反过来，设秩 A =秩B 。那么由（4）得， 的秩也是 r。由此得，或 者r = m，或者r < m 而 dr+1 =L= dm = 0 ，因而方程组（1）有解。
高等代数 第4章多项式 4.7 特殊域上的多项式
假设对结论次数<n的多项式结论成立， 现考虑 ( f ( x)) n ，由代数基本定理，f ( x) 有一复根 。 若 为实数 则 f ( x) ( x ) f1 ( x) ，其中 若 不为实数，则 也是 f ( x)的复根，于是
高等代数
f ( x) ( x )( x ) f2 ( x) ( x ( ) x ) f2 ( x)
2018/10/5 高等代数
f x 假设结论对n-1次多项式成立，则当 是n次多项式时，由于 f x 在C上至少有一个根， f1 x ，
多项式。由归纳假设知 f1 x 在C上有n-1个根， 它们也是 f x 在C上的根，所以 f x 在C上有 n个根。
2018/10/5 高等代数
f x a0 xn a1xn1
n a1 n1 a0 x x a0
an1x an
an1 an x a0 a0
a0 x 1
a1 a0 1
x n
n
x n
n2
x n 1
n x n 1
1i j n
i j x
1 1 2
n
n
—（2） 比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
2018/10/5 高等代数
得根与系数的关系为：
a1 1 n
n1n a2 12 13
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。 一、整系数多项式的可约性 定义1（本原多项式）： 若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。 例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。 本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多 项式，但相乘之后必是本原多项式。
高等代数第四章矩阵练习题参考答案
第四章 矩阵习题参考答案一、 判断题1. 对于任意n 阶矩阵A ,B ,有A B A B +=+. 错.2. 如果20,A =则0A =. 错.如211,0,011A A A ⎛⎫==≠⎪--⎝⎭但.3. 如果2A A E +=,则A 为可逆矩阵.正确.2()A A E A E A E +=⇒+=,因此A 可逆,且1A A E -=+.4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵,且0AB =,则,A B 的秩一个等于n ,一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ,则该矩阵可逆,另一个秩为零,与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵,若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭,有,AC AB =但B C ≠.6．A 为n m ⨯矩阵,若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ,使.000⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sI PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形,矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆,则*A 也可逆.正确.由A 可逆可得||0A ≠,又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆,且11(*)||A A A -=. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵,则.**)*(A B AB =正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====.因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆,两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB =二、 选择题1．设A 是n 阶对称矩阵,B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是B .A AB BA - B AB BA +C 2()ABD BABAD 为对称矩阵,B 为反对称矩阵,C 当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵,那么 A 是对称矩阵. A T A A B T A A - C 2A D T A A - 3．以下结论不正确的是 C .(A) 如果A 是上三角矩阵,则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵,则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵,则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵,则2A 也是对角阵.4．A 是m k ⨯矩阵, B 是k t ⨯矩阵, 若B 的第j 列元素全为零,则下列结论正确的是BA AB 的第j 行元素全等于零； B AB 的第j 列元素全等于零；C BA 的第j 行元素全等于零；D BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵,E 为n 阶单位阵,则以下命题中正确的是D A 222()2A B A AB B +=++ B 22()()A B A B A B -=+-C 222()AB A B =D 22()()AE A E A E -=+- 6．下列命题正确的是B . A 若AB AC =,则B C = B 若AB AC =,且0A ≠,则B C = (C) 若AB AC =,且0A ≠,则B C = D 若AB AC =,且0,0B C ≠≠,则B C = 7. A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则 B. (A)当m n >时,必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时,必有行列式0AB = (C)当n m >时,必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时,必有行列式0AB =.AB 为m 阶方阵,当m n >时,(),(),r A n r B n ≤≤因此()r AB n m ≤<,所以0AB =.8．以下结论正确的是 C(A)如果矩阵A 的行列式0A =,则0A =； (B)如果矩阵A 满足20A =,则0A =；(C)n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D)对任意方阵,A B ,有22()()A B A B A B -+=-9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量,1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵,已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ,则方程组*0A x =的基础解系为 C .A 123,,ααα.B 122331,,αααααα+++.C 234,,ααα.D 12233441,,,αααααααα++++.由0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T 可得12341310(,,,)0,2020αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭.因此A,B 中向量组均为线性相关的,而D 显然为线性相关的,因此答案为C.由可得12,,αα34,αα均为*0A x =的解.10.设A 是n 阶矩阵,A 适合下列条件 C 时,n I A -必是可逆矩阵(A) n A A = B A 是可逆矩阵 C 0n A = (B) A 主对角线上的元素全为零11．n 阶矩阵A 是可逆矩阵的充分必要条件是 D(A)1A = B 0A = C T A A = D 0A ≠12．,,A B C 均是n 阶矩阵,下列命题正确的是 A(A) 若A 是可逆矩阵,则从AB AC =可推出BA CA = (B) 若A 是可逆矩阵,则必有AB BA = (C) 若0A ≠,则从AB AC =可推出B C = (D) 若B C ≠,则必有AB AC ≠13．,,A B C 均是n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,若ABC E =,则有C (A) ACB E = B BAC E = C BCA E = D CBA E =14．A 是n 阶方阵,*A 是其伴随矩阵,则下列结论错误的是 D (A) 若A 是可逆矩阵,则*A 也是可逆矩阵； (B) 若A 是不可逆矩阵,则*A 也是不可逆矩阵； (C) 若*0A ≠,则A 是可逆矩阵； Ｄ*.AA A = 15．设A 是5阶方阵,且0A ≠,则*A = Ｄ(A)A B 2A C 3A D 4A16．设*A 是()ij n n A a ⨯=的伴随阵,则*A A 中位于(,)i j 的元素为ＢA 1n jk ki k a A =∑ B 1n kj ki k a A =∑ C 1n jk ik k a A =∑ D 1nki kj k a A =∑应为A 的第i 列元素的代数余子式与A 的第j 列元素对应乘积和.17.设1111n n nn a a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 1111n n nn A A B A A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中ij A 是ij a 的代数余子式,则C(A)A 是B 的伴随 B B 是A 的伴随 C B 是A '的伴随 D 以上结论都不对18．设,A B 为方阵,分块对角阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则*C = Ｃ (A)**00A CB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ B **00A A C B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ C **00B AC A B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D **0A B A C A B B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 利用*||CC C E =验证.19．已知46135,12246A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,下列运算可行的是 C (A) A B + B A B - C AB D AB BA -20．设,A B 是两个m n ⨯矩阵,C 是n 阶矩阵,那么 D21．对任意一个n 阶矩阵A ,若n 阶矩阵B 能满足AB BA =,那么B 是一个 Ｃ(A)对称阵 B 对角阵 C 数量矩阵 D A 的逆矩阵 与任意一个n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A 是一个上三角阵,且0A =,那么A 的主对角线上的元素 Ｃ(A) 全为零 B 只有一个为零（C ） 至少有一个为零 D 可能有零,也可能没有零23．设1320A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则1A-= D(A)121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦B131136⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C131126⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦D121136⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦24．设111222333a b cA a b ca b c⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,若111222333222a c bAP a c ba c b⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则P= B(A)100001020⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B100002010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C001020100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D200001010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦25．设(3)n n≥阶矩阵1111a a aa a aA a a aa a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,若矩阵A的秩为1,则a必为A(A)1 B-1 C11n-D11n-矩阵A的任意两行成比例.26. 设,A B为两个n阶矩阵,现有四个命题:①若,A B为等价矩阵,则,A B的行向量组等价;②若,A B的行列式相等,即||||,A B=则,A B为等价矩阵;③若0Ax=与0Bx=均只有零解,则,A B为等价矩阵;④若,A B为相似矩阵,则0Ax=与0Bx=解空间的维数相同.以上命题中正确的是 DA ①, ③.B ②, ④.C ②,③. D③,④.当APPB1-=时,,A B为相似矩阵;相似矩阵的秩相等;齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数;三、填空题1．设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,有2A =,则11()2*3A A --=11*||2A A A A --==,111()33A A --=,因此11111311()2*34(1)32A A A A A A ------=-=-=-=-. 2．设,AB 为4阶方阵,且3A =,则1(3)A --= 1/27 , 21BA B -= 9 ; 3．设A 是一个m n ⨯矩阵,B 是一个n s ⨯矩阵,那么是()'AB 一个s m ⨯阶矩阵,它的第i 行第j 列元素为1njk ki k a b =∑.4.n 阶矩阵A 可逆A 非退化 ||0A ≠⇔ A 与单位矩阵等价 ⇔ A 可以表示为一系列初等矩阵的乘积 .4.三阶对角矩阵000000a A b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 的伴随矩阵*A = 000000bc ac ab ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设123023003A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则*1()A -=16A . 6．设0,1,2,i a i n ≠=,矩阵12100000000000n na a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为 111121100000000000n n a a a a -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 7．设,A B 都是可逆矩阵,矩阵00A C B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为1100B A --⎡⎤⎢⎥⎣⎦.8．设121331,,342424A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,则(2)B A C -= ． 9．A 既是对称矩阵,又是反对称矩阵,则A 为 零 矩阵.10．设方阵111222333b x c A b x c b x c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111222333b y c B b y c b y c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,且2,3A B =-=则行列式A B += 4 .11．设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,已知,A a B b ==,则行列式00A B=ab mn )1(-.将A 的各列依次与B 的各列交换,共需要交换mn 次,化为00A B12．设A 为n 阶方阵,且0A ≠,则 在A 等价关系下的标准形为 n 阶 单位矩阵 .13. 设12221311A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭a为某常数,B 为43⨯的非零矩阵,且0BA =,则矩阵B 的秩为 1 .由0BA =可得A 的各列为齐次线性方程组0Bx =的解,A 的前两列线性无关,因此0Bx =的基础解系至少有两个解,因此()1r B ≤.又B 为非零矩阵,因此()1r B ≥.即() 1.r B =四、解答下列各题 1．求解矩阵方程1 25461321X -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;2 211113210432111X -⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭; 3 142031121101X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭;4 010100143100001201001010120X -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：11254635462231321122108X -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 212111132212104328/352/3111X --⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭2．设033110123A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,2AB A B =+ ,求B 解：(2)A E B A -=.0332002332110020110123002121A E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.22A E -=,因此2A E -可逆.3．.设1P AP -=Λ,其中1411P --⎛⎫= ⎪⎝⎭,1002-⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭,求11A . 解：1,A P P -=Λ4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-,证明：2A E -可逆,并求其逆. 证明：124A B B E -=-两边同左乘以A 得到24B AB A =-.因此有(2)4A E B A -=.由A 可逆可得2A E -,且111(2).4A E BA ---=5．设A 是一个n 级方阵,且()R A r =,证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.证明：()R A r =,因此矩阵A 可以经过一系列行初等变换化为后n r -行全为零.也即存在初等矩阵11,,,m P P P ,使得21m P P P A 后n r -行全为零. 21mP P P P =,则PA 的后n r -行全为零.由矩阵乘法运算可得1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯,且,m n AB E <=,证明：A 的行向量组线性无关. 证明：由,m n AB E <=可得()()m r AB r A m =≤≤,因此()r A m =.因此A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵,证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是0.AB BA +=证明：当B A +时幂等阵时, 因此0.AB BA +=反之,当0.AB BA +=时有 B A +是幂等矩阵.。
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
高等代数第四章矩阵练习题目参考问题详解
适用标准文案第四章矩阵习题参照答案一、判断题1.关于随意 n 阶矩阵A，B，有 A B A B .错 .2.假如 A20,则A 0.错.如A 110,但A 0. 1, A213.假如 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确. A A2E A( E A)E，所以A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是n阶非零矩阵，且AB 0 ，则 A, B 的秩一个等于n，一个小于n.错.由AB0可得 r ( A)r (B)n .若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错.如A 112132AC,但B C. 11, B,C3，有 AB2126．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在m阶可逆矩阵 P 及n阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 .右侧为矩阵 A 的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确.由A可逆可得|A| 0，又AA*A* A | A| E.所以 A* 也可逆，且(A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B* A * .正确 .(AB)(AB)*| AB |E | A||B| E.又(AB)(B* A*) A(BB*) A* A|B|EA* | B| AA* | A||B| E .所以 ( AB)( AB )* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为n阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得 (AB)* B* A* .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵， B 是n阶反对称矩阵(B T B) ,则以下矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A)AB BA(B)AB BA(C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可互换时为对称矩阵.2.设 A 是随意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的选项是（C） .(A)假如 A 是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵；(B)假如 A 是对称矩阵，则A2也是对称矩阵；(C) 假如A是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵；(D)假如 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则以下结论正确的是（B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的选项是（ D ）(A)( A B)2 A 2 2AB B 2 (B)A 2B 2 (A B)( A B)(C)( AB)2 A 2B 2(D)A 2 E 2 (A E)(A E)6．以下命题正确的选项是（ B ） . (A) 若AB AC ，则B C(B)若ABAC ，且 A 0，则BC(C) 若ABAC ，且A 0，则B C(D)若AB AC ，且B0,C0，则 BC7. A 是 m n 矩阵， B 是 n m 矩阵，则（ B ） . (A) 当 mn 时，必有队列式 AB0 ；(B) 当 m n 时，必有队列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有队列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有队列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 所以 r ( AB ) n m ，所以AB 0.8．以下结论正确的选项是（ C ）(A) 假如矩阵 A 的队列式A 0,则A 0 ；(B) 假如矩阵 A 知足 A 2 0，则A 0 ；(C) n 阶数目阵与任何一个 n 阶矩阵都是可互换的；(D) 对随意方阵 A,B ，有 (A B)(A B) A 2 B 29．设 1,2,3,4是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3, 4 ), A* 为 A 的陪伴矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0,2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（A ） 1, 2,3 .（B ） 12 ,23,31.（C ） 2, 3, 4.（D ） 12 ,23 ,34 ,41 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0,2,0) T可得 ( 1 ,2, 3,4 )0 0,1 230 .2所以（ A ），（B ）中向量组均为线性有关的，而（ D ）明显为线性有关的，所以答案为（C ）.由A* A A*( 1, 2, 3, 4)(A*1, A* 2, A* 3, A* 4)O可得 1 , 2 , 3 , 4 均为 A* x0 的解 .10. 设 A 是 n 阶矩阵， A 合适以下条件（C）时， I nA 必是可逆矩阵(A)A nA(B)A 是可逆矩阵(C)A n(B)A 主对角线上的元素全为零11 ． n 阶矩阵 A 是可逆矩阵的充足必需条件是（D）(A)A 1(B)A 0(C)AA T (D)A12 ． A, B, C 均是 n 阶矩阵，以下命题正确的选项是（A）(A) 若 A 是可逆矩阵，则从 ABAC 可推出 BACA(B) 若 A 是可逆矩阵，则必有 ABBA(C) 若A0，则从 AB AC 可推出 BC(D) 若 B C ，则必有 ABAC13． A, B, C 均是 n 阶矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（ C ）(A) ACBE （ B ） BAC E （C ） BCA E(D) CBAE14． A 是 n 阶方阵， A * 是其陪伴矩阵，则以下结论错误的选项是（ D）(A) 若 A 是可逆矩阵，则A * 也是可逆矩阵；(B) 若 A 是不行逆矩阵，则A * 也是不行逆矩阵；适用标准文案(C)若 A * 0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A EnA .15．设 A 是 5 阶方阵，且 A0，则 A *（ Ｄ）(A)A(B)23(D)A 4A(C) A16．设 A * 是 A(a )n n 的陪伴阵，则 A * A 中位于 (i , j ) 的元素为（Ｂ）ijnnnn(A)a jkAki(B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11a1nA11A1n17.设 A, B, 此中 A 是 a 的代数余子式， 则（ C ）ijijan1annAn1Ann(A) A 是 B 的陪伴 (B)B 是 A 的陪伴(C)B 是 A 的陪伴(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0(Ｃ )0 ,则C*B(A)A *(B) CA A *C0 B *B B *(C) CB A *0 (D) ABA *A B *CA BB *利用 CC*|C |E 考证.4 6 1 35 19．已知 A2, B4 ，以下运算可行的是（C）12 6(A) A B(B)A B(C) AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A)C(A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T CT()T TC C B(C)(D)(A B)C AC BC21．对随意一个n 阶矩阵A，若 n 阶矩阵B能知足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B)对角阵(C)数目矩阵(D) A 的逆矩阵与随意一个 n 阶矩阵均可互换的矩阵为数目矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）起码有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 1 3，则A1（ D）2001111 2332(A)（ B）（ C）（ D）11111111 36362636a1b1c1a1c12b124．设Aa2b2c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）a3b3c3a3c32b3100100001200(A)001（ B ）002（C）020（D）001020*********1 a a a a 1a a25．设 n(n 3) 阶矩阵 Aa a1a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）aa a1(A) 1（B ）-1（C ）111 n （D ）n 1矩阵 A 的随意两行成比率 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A,B 的队列式相等 , 即 | A | |B |,则 A, B 为等价矩阵 ;③若 Ax0与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ;④若 A, B 为相像矩阵 , 则 Ax0 与 Bx 0 解空间的维数同样 .以上命题中正确的选项是( D ) (A) ①, ③. (B)②, ④.(C)②, ③.(D)③, ④.当 BP 1 AP 时， A, B 为相像矩阵。
高等代数第三章,第四章
3.证明：如果向量组12,,,r ααα 线性无关，而12,,,,r αααβ 线性相关，则向量可由12,,,r ααα 线性表出.证 由题设，可以找到不全为零的数121,,,r k k k + 使112210r r r k k k k αααβ+++++= ，显然10r k +≠.事实上，若10r k +=，而12,,,r k k k 不全为零，使11220r r k k k ααα+++= 成立，这与12,,,r ααα 线性无关的假设矛盾，即证10r k +≠.故11ri i i r k k βα=+=-∑，即向量β可由12,,,r ααα 线性表出。
4.12(,,,)(1,2,,)i i i in i n αααα== ，证明：如果0ij α≠，那么12,,,n ααα 线性无关。
证 设有线性关系11220n n k k k ααα+++= ，代入分量，可得方程组1112121121222211220n n n n n n nn n k k k k k k k k k ααααααααα+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 由于0ij α≠，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n ααα 线性无关。
5.设12,,,r t t t 是互不相同的数，r n ≤.证明：1(1,,,)(1,2,,)n i i it t i r α-== 是线性无关的。
证设有线性关系11220r r k k k ααα+++= ，则121122111112200r r r n n n r rk k k t k t k t k t k t k t k ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ ，1）当r n =时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即122221211112111()0n n ji i jn n n nt t t t t t tt t t t <---=-≠∏，所以方程组有惟一的零解，这就是说12,,,r ααα 线性无关。