高等代数第四章及其习题答案.ppt

0
0
Eij
j
i行,
j
0,
, 0,1, 0,
, 0，
0 0
j列
0
0
Eij 0,
,
0,
T i
,
0,
,0
,
T i
1
i行.
j列
0
0
Eij A 0,
,
0,
T i
,
0,
A1
, 0
T i
Aj
An
0
0
1
a j1,
0
0
0
0
, a jn
a
j1
0
0
0
ai1,i
0 a j, j1
0
0
ani
0
0
0
a
jn
0,
0
0
于是 aki 0, k 1, , i 1, i 1, , n,
a jk 0, k 1, , j 1, j 1, , n, aii a jj .
即证明 2），1）为 2）的特例.
3）因
n
n
n
B
kij Eij
bij
(ai a j )bij 0, i, j 1, 2, , n.
当 i j 时，因 ai a j ，故
bij 0, i j, i, j 1, 2, , n.
从而 B为对角阵．
６、本题为第5题的推广
已知
a1E1 0
A
0
a2 E2
0
0
0
0
,
ar Er
其中 ai a j , 当 i j, i, j 1, 2, , r.
第四章部分习题提示与解答
5、已知
a1
0
A
a2
,
0
an
其中 ，当 ai a j , i j, i, j 1, 2, , n.
考虑与 A能交换的任意 n 阶矩阵 B bij , nn
一方面 AB
ai bij
,
nn
另一方面 BA
bija j
.
nn
由 BA AB 有 aibij bija j , 即
r
Ei 为 ni 级单位阵， ni n. i 1
b 考虑能与 A进行交换的任意矩阵 B ij . 对 B nn
按 A的形式进行分块有
B11 B12
B
Br1 Br2
B1r
,
Brr
其中 Bij 为 ni n j 矩阵. 一方面，
a1B11
AB
ar Br1
a1B12 ar Br2
n
yi2 0,
yn i1
从而 yi 0,i 1, , n , 即 y Ax 0 ，由
x 的任意性知 A j 0, j 1, , n ，其中
0
0
j
1
j行,
0
0
从而 A(1, 2 , ,n ) 0, 即 AEn 0 ，即 A 0.
13、已知
n
sk xik , k 0,1, 2, , aij si j2,i, j 1, 2, , n. i 1
要证 aij
(xi x j )2 (
(xi x j ))2.
1i jn
1i jn
而
11
x1 x2
x x n1 n1
1
2
1
xn (xi xj ). i j
xn1 n
范德蒙行列式
1 x1 1 xn
x n 1 1
(xi x j ). 记
x n 1 n
i j
11 B x1 x2
1
A(B1, B2, , Bn ) 0 有 ABj 0，即方程组 Ax 0
有非零解，从而 A 0．
反之， A 0 意味着 Ax 0 有非零解，
不妨设为 x0，令 B (0,0, , x0)，显然 AB 0．
15、已知 n 阶矩阵 A 满足 Ax 0（对任一 n 维向量
x1
x
j 时，Bij
0,
从而
B
A1
0 0
记 Bii
Ai , 则
B
.
0
Ar
0
,
Brr
7、已知 0
0
0
0
Eij
0
0
1
0
Hale Waihona Puke Baidu
0
0
为第 i 行 j 列元素为1，其余元素为0的矩阵.
A1
A
aij
nn
An
B1
Bn ,
其中 Ai , Bj 分别为 A 的第 i 行行向量，第 j 列列向量
），故可取
x为单位列向量
i
,
i
1,
xn
, n，
于是 Ai 0,i 1, , n，从而 AEn 0，即 A 0．
a1B1r
(ai
Bij
),
ar Brr
另一方面，
a1B11
BA
a1Br1
a2 B12 a2 Br 2
ar B1r
(a
j
Bij
),
ar Brr
由AB BA有 ai Bij a j Bij ,
即 (ai a j )bij 0, i, j 1, 2, , r.
B11
于是当
i
即
a11 0
A
0
a22
0
0
0 1
0
1
ann
0
0
a11
,
1
为数量矩阵.
注：因 A 与所有 n 级矩阵可交换，故 A 一定与
Eij (i, j 1, , n) 可交换，于是 AEij Eij A.
10、已知A为实对称矩阵, 且 A2 0 , 不妨设 A aij nn
为 n 阶矩阵，x x1, , xn T为任意 n 维列向
1
xn , 则 BT
x1
x n 1 1 ,而
x x n1 n1
1
2
xn1 n
1 xn
x n 1 n
n
BBT aij si j2 , si j2 xli j2 , 于是 l 1
aij B BT B 2
(xi x j )2.
i j
14、 只须注意到 B 0，则至少存在 B (B1, B2, , Bn ) 的一列向量（例如 B j）非零 (Bj 0)．而由
, AB
nn
kij AEij , BA
bij Eij A,
i, j1
i, j1
i, j 1
又 AB BA, 故由 bij 的任意性有
AEij Eij A, i, j 1, , n.
再由 2）知
aii a jj , i, j 1, , n.
aki 0, k 1, , i 1, i 1, , n, a jk 0, k 1, , j 1, j 1, , n,
量，则 ( Ax)T Ax xT AT Ax xT A2 x 0.
记 y Ax, 则 y 为 n 维的列向量，设 y 的分量为
n
y1, , yn , 即 yi aij x j , 且 y y1, , yn T . j 1
于是
( Ax)T Ax yT y y1,
y1
,
yn
0
a
jn
i行.
0
0
0
AEij B1,
0
,
Bn
j
Bi j
a1i
0,
, 0,1, 0,
,0
0
ani
0
0
0 a1i 0
0
0
0 a2i
0
.
0
0 ani 0
0
由 Eij A AEij 有
0
0
AEij
Eij
A
a j1
0
0
0
a1i
0
0 a j, j1
0
ai1,i aii a jj