2008年高考安徽理科数学试卷及答案

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘

贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．

2． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 4． 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么

球的表面积公式 2

4πS R = ()()()P A B P A P B +=+

其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么

()()()P A B P A P B =

球的体积公式 34π3

V R =

如果随机变量(,),B n p ξ

那么 其中R 表示球的半径

(1)D np p ξ=-

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）．复数 3

2

(1)i i +=（ ）

A ．2

B ．－2

C ．

2i D ． 2i -

（2）．集合{}|lg ,1A y R y x x =∈=>，}{

2,1,1,2B =--则下列结论正确的是（ ）

A ．}{2,1A

B =--

B ． ()(,0)R

C A B =-∞

C ．(0,)A

B =+∞

D ． }{()

2,1R C A B =--

（3）．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则AB =（ ）

A ． （－2，－4）

B ．（－3，－5）

C ．（3，5）

D ．（2，4）

（4）．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A ．,,m n m n αα若则‖‖‖

B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖

C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖

D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖

（5）．将函数sin(2)3

y x π

=+

的图象按向量α平移后所得的图象关于点(,0)12

π

-

中心对称，则向量

α的坐标可能为（ ）

A ．(,0)12

π-

B ．(,0)6

π

-

C ．(

,0)12

π

D ．(

,0)6

π

（6）．设8

8018(1),x a a x a x +=++

+则0,18,

,a a a 中奇数的个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

（7）．0a <是方程2

210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

（8）．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2

2

(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）

A ．[

B ．(

C ．[

D ．( （9）．在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x

y e =的图象关于直线y x =对称。而函数

()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，则m 的值是（ ）

A ．e -

B ．1

e

-

C ．e

D ．

1e

（10）．设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2

222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。则有

（ ）

A ． 1212,μμσσ<<

B ．1212,μμσσ<>

C ．1212,μμσσ><

D ．1212,μμσσ>>

（11）．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()x

f x

g x e -=，则有（ ）

A ．(2)(3)(0)f f g <<

B ．(0)(3)(2)g f f <<

C ．(2)(0)(3)f g f <<

D ．(0)(2)(3)g f f <<

（12）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )

A ．2

2

83C A

B ．26

86C A

C ．22

86C A

D ．22

85C A

2008年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置． （13）

．函数2()f x =

的定义域为 ．

（14）在数列{}n a 在中，5

42

n a n =-

，212n a a a an bn ++=+，*n N ∈,其中,a b 为常数，则

lim n n n n

n a b a b →∞-+的值是 （15）若A 为不等式组002x y y x ≤??

≥??-≤?

表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=

扫过A 中的那部分区域的面积为

（16）已知,,,A B C D 在同一个球面上,,AB BCD ⊥平面,BC CD ⊥若6,AB

=AC =

8AD =,则,B C 两点间的球面距离是

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）．（本小题满分12分） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x π

ππ

=-

+-+

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122

ππ

-上的值域

（18）．（本小题满分12分

如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4

ABC π

∠=

, OA ABCD ⊥底面,

2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

（Ⅰ）证明：直线MN OCD

平面‖；

（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

(19)．（本小题满分12分）

为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n 株沙柳，各

株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望3E ξ=，标准差σξ

为

2

（Ⅰ）求n,p 的值并写出ξ的分布列；

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率

（20）．（本小题满分12分） 设函数1

()(01)ln f x x x x x

=

>≠且 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

N

B

（Ⅱ）已知12a

x

x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

（21）．（本小题满分13分）

设数列{}n a 满足3*

010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设103c <<

，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222

*1221,13n a a a n n N c

++>+-∈-

（22）．（本小题满分13分）

设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>过点M ，且着焦点为1(F

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足

AP QB AQ PB =，证明：点Q 总在某定直线上

2008年高考安徽理科数学试题参考答案

一. 选择题

1A 2D 3B 4D 5C 6A 7B 8C 9B 10A 11D 12C 二. 13: [3,)+∞ 14: 1 15: 74 16: 43

π

三. 解答题

17解：（1）

()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x πππ

=-+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =

++-+

221cos 22sin cos 22x x x x =

++-

1cos 22cos 22x x x =

+- s i n (2)

6

x π

=- 2T 2

π

π∴=

=周期 由2(),()6

2

23

k x k k Z x k Z π

π

ππ

π-

=+

∈=

+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3

x k k Z π

π=+

∈

（2）

5[,],2[,]122636

x x ππ

πππ

∈-

∴-∈- 因为()sin(2)6

f x x π

=-在区间[,]123ππ-

上单调递增，在区间[,]32

ππ

上单调递减，

所以 当3

x π

=

时，()f x 去最大值 1

又

1()()12

222f f π

π-

=-

<=，当12

x π

=-时，()f x 取最小值-

所以 函数 ()f x 在区间[,]122

ππ

-上的值域为[

18 方法一（综合法）

（1）取OB 中点E ，连接ME ，NE

ME CD ME CD ∴，‖AB,AB ‖‖

又

,NE OC MNE OCD ∴平面平面‖‖

MN OCD ∴平面‖

（2）

CD ‖AB,

M D C ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角） 作,AP CD P

⊥于连接MP

⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP

,4

2

ADP π

∠=

∵∴DP =

MD ==1cos ,23

DP MDP MDC MDP MD π

∠=

=∠=∠=∴ 所以 AB 与MD 所成角的大小为

3

π

（3）AB 平面∵∴‖OCD,

点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP,过点A 作 AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴

又

,AQ OP AQ OCD

⊥⊥平面∵∴,

线段AQ 的长就是点A 到平面

OCD 的距离

2OP ====∵

，2

AP DP ==

2

2

232

OA AP AQ OP ===∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 方法二(

向量法)

作AP CD ⊥

于点P,如图,分别以AB,AP,AO

所在直线为,,x y z

轴建立坐标系

(0,0,0),(1,0,0),(0,

(,0),(0,0,2),(0,0,1),(1,0)22244

A B P D O M N --,

(1)2222(1,,1),(0,,2),(2)44222

MN OP OD =-

-=-=-

- 设平面OCD 的法向量为(

,,)n x y

z =,则0,n OP n =即

2022022

y

z x y z -=????-+-=??

取z =

解得n =

22(1,,1)(0,4,2)044

MN n =-

-

=∵ MN OCD ∴平面‖

(2)设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22

AB MD ==-

-∵ 1c o s ,23

AB MD AB MD

π

θθ=

=

=

?∴∴ , AB 与MD 所成角的大小为3π

(3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB 在向量(0,n =上的投影的绝对值, 由 (1,0,2)OB =-, 得23OB n d n

?==

.所以点B 到平面OCD 的距离为23

19 (1)由2

33,()(1),2E np np p ξσξ===-=

得112p -=,从而16,2

n p == ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 4 5 6

P

1

64 664 1564 2064 1564 664 164

(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则()(3),P A P ξ=≤ 得 1615

2021(),64

32P A +++==

或 156121

()1(3)16432

P A P ξ++=->=-=

20 解 (1) '

22ln 1(),ln x f x x x +=-若 '

()0,f x = 则 1x e

=

列表如下

x

1

(0,)e

1e

1(,1)e

(1,)+∞

'()f x

+

0 -

-

()f x

单调增

极大值1()f e

单调减

单调减

(2) 在 12a

x

x > 两边取对数, 得

1

ln 2ln a x x

>,由于01,x <<所以 1

ln 2ln a x x

>

(1) 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1

()()f x f e e ≤=-,

为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2

a

e >-,即ln 2a e >-

21解 (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，

又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈

充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*

n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥

则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3

1110k k a ca c c +=+-≥-=≥

1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立

(2) 设 1

03

c <<

，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时，

32

11111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴

103

C <<

∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ 113(1)n n a c a --≤-∴

2

1112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴

1*

1(3)()n n a c n N -≥-∈∴

(3) 设 103c <<

，当1n =时，2

120213a c

=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知1

1(3)0n n a c -≥->

21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴ 2222

2

2112212[3(3)(3)]

n n n a a a a a n c c c -++

+=+

+>--++

+∴

2(1(3))2

111313n c n n c c

-=+->+---

22解 (1)由题意：

2222222

211c a b c a b

?=?

?+=??

?=-? ，解得22

4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y += (2)方法一

设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。 由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记AP AQ PB

QB

λ=

=

,则0λ>且1λ≠

又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=

于是 12

41x x λλ-=-， 12

11y y λλ-=-

12

1x x x λλ

+=+， 12

1y y y λλ

+=

+

从而

222

12

2

41x x x λλ-=-，（1）

222

122

1y y y λλ-=-，（2）

又点A 、B 在椭圆C 上，即

22

1124,

(3)x y += 22

2224,

(4)x y +=

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y += 即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上 方法二

设点1122(,),(,),(,)Q x y A x y B x y ，由题设，,,,PA PB AQ QB 均不为零。

且

PA PB AQ

QB

=

又 ,,,P A Q B 四点共线，可设,(0,1)PA AQ PB BQ λλλ=-=≠±,于是

1141,11x y

x y λλλλ--=

=

-- （1） 2241,11x y

x y λλλλ

++==

++ （2） 由于1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2

2

24,x y +=整理得

222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+= （3） 222(24)4(22)140x y x y λλ+-++-+= (4)

(4)－(3) 得 8(22)0

x y λ+-= 0,220x y λ≠+-=∵∴

即点(,)Q x y 总在定直线220x y +-=上