一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

中考专题复习《一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》

【课标要求】

1、根的判别式及应用(△=ac b 42

-)：(1)判定一元二次方程根的情况。(2)确定字母的值或取值范围。

2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理:如果一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=—

b a ，x 1·x 2=

c a

。 (1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值；

(3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数；

(5)确定根的符号:( 1x 、2x 是方程两根)。

3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1，即以1x 、2x 为根的一元二次方程为0)(21212

=++-x x x x x x ；求字母系数的值时，需使二次项系数a≠0，同时满足△≥0；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和21x x +，•两根之积21x x 的代数式的形式，整体代入。 【知识要点】

1. 一元二次方程根的判别式：

关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .

（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 有两个 实数根.

（2）ac b 42

-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .

（3）ac b 42

-<0⇔一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系

若关于x 的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，

=⋅21x x . 变形：=+2

2

21x x ，=-21x x 。2112

x x x x +＝ 。 3．易错知识辨析：

1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件. 2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042

≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 一 、【典型示例】

【例1】当k 为何值时，方程2

610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.

【例2】已知关于x 的方程047)1(22

2

=--+-+a a x a x ， （1）若方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围；

（2）若方程的有两个实数根为1x 、2x ，且322

22

1=+x x ，求a 的值。

【例3】若1x =23-是二次方程012

=++ax x 的一个根,求a 的值和该方程的另一个根.

二、【针对练习】 （一）填空题

1、设1x 、2x 是方程2

330x x +-=的两个实数根，则2112

x x x x +的值为 。

2、已知关于x 的一元二次方程032

=--x x 的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)= 。 3、若关于x 的一元二次方程为052

=++bx ax （0≠a ）的解是1=x ，则b a --2017

的值是 。

4、如果关于x 的一元二次方程01122

=++-x k kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是

5、已知关于x 的方程01)(2

=-++-ab x b a x ，1x 、2x 是此方程的两个实数根，现给出三个结论：

①21x x ≠；②ab x x <21；③2

22221b a x x +<+．则正确结论的序号是 ． （二）解答题

1．设关于x 的方程0)12(2

=++-k x k kx 的两实数根为1x 、2x ，，若,4

171

22

1

=+x x x x 求k 的值.

2、已知，关于x 的方程x m mx x 222

2+-=-的两个实数根1x 、2x 满足12x x =，求实数m 的值.

3、已知：关于x 的方程0)1(2)13(2

=-+--k x k kx 。（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根； （2）若此方程有两个实数根1x 、2x ,且221=-x x ，求k 的值.

【课后作业】

1．设1x 、2x 是方程03422

=-+x x 的两个根，则=++)1)(1(21x x ，=+2

22

1x x ， 12

11x x +＝ ，=-2

21)(x x .

2．当c =__________时，关于x 的方程2

280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）

3. 已知关于x 的方程2

(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且1

2

x =

是方程的根，则a b += ． 4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22

a b +的最小值是 。

5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22

(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足

1

1

1α

β

+

=-，则m 的值是（ ）

Ａ．3或1- Ｂ．3 Ｃ．1 Ｄ．3-或1

6．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）

Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．13 Ｄ．1

3-

7．若关于x 的一元二次方程02.

2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m－1 C ．m>l D ．m<－1 8．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．

（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；

（2）若方程的两实数根之积等于2

92m m -+，求6m +的值．

9、已知α、β是方程0722

=-+x x 的两个实数根。求ββα432

2

++的值。