一元二次方程根的判别式、根与系数关系
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（一）一、知识归纳：1.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式是：△=b 2-4ac ，当△>0时；△=0；△<0时方程分别有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。
2.判别式“△”的应用：1)由“△”的符号判定方程根的情况；2)由“△”的符号，证明方程的根可能出现的情况；3)由方程的情况通过“△”的符号，确定方程中参数字母的取值范围。
例1. 关于x 的方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根．．．，求m 的取值范围。
解：当m －1≠0时, 该方程为关于x 一元二次方程∵原方程有实数根 ∴0≥∆即Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥即711≤m ，当m-1=0时，该方程变为4x+3=0,它是一元一次方程，有实数根34x =-练习：1.关于x 的方程m 2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数．．．．．．．．．根．，求m 。
(注意二次项系数不为零)2.已知a ，b ，c 为一个三角形的三边，求证方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0无实数根。
3.已知方程x 2+2x=k-1没有实数根，求证方程x 2+kx=1-2k 必定有两个不相等的实数根。
4.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根，y 1,y 2是关于y 的方程y 2+my+7=0两个实数根，且x 1-y 1=2, x 2-y 2=2，求m ，n 的值。
3．一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aacb b 242---能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+aacb b 242---=a acb b ac b b 24422----+- =12.x x =a ac b b 242-+-×aac b b 242---=2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- =2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x 1+x 2=a b -， x 1x 2=ac 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x 2＋ x ＋ac＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)3.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2它的根与系数的关系是：例1：已知方程5x 2＋k x -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值； 解：设方程的另一个根是x 1，那么5621-=x （为什么？）∴ x 1= 又x 1+2=5k-（为什么？）∴ k= 例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x -1＝0的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ， x 1x 2=（1）∵ （x 1+x 2）2= x 12+2 +x 22 ∴ x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2 = （2）==+212111x x x x例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是212313，- 解：所求的方程是x 2-（212313+-）x ＋（ ）212⋅＝0 (为什么？) 即 x 2+ x- ＝0 或 6x 2+ x- ＝0。
一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系
同学 们 应 注 意教 科书 中 反过
来 也 成立 这 句话 即 逆命题 也 成 立
二 典 型 例题 判定方程 根 的 情况
、
例
犷
十
已 知 方程 犷
一
一
没 有 实 数根
,
其中
是 实数
试 判 定方 程
司
,
有 无 实数 根
分析 由 已 知 可根 据 一 元二 次方 程 的 根 的 判 别式证 之
解 因 为方 程 犷
乙
一 一 一 、 一 ,
无实数 根 所 以
,
,
一
即
,
一
因为 么
二
’ 一
二 十
,
一
。
所 以方 程
犷
二
有 两 个 不 相 等 的实 根
所 得 的 结论 即
,
说 明 上 述证 明 中 判 定 山 谏 逊 是 美德 的 色彩
。
用 到了 山
一
,
这种 条
井兴提 奥格启斯
工 盆 一 忿 缀 火 王 口 目 琶 若 。 望 盆 名 留 留 目 鉴
,
直线 过 点
经 过 一 二 三 象 限 且 与反 比 例 函 数
犷二
一
二
一
‘
只有 一
个公 共 点 求直 线解 析式
解 设直线 解 析式为
,
概
占则 版 护一
十
,
十
一
二
一
,
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十
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十
二
因为 只 有 一 个 公 共点 所 以 乙
人二
直线
二 解得 人
十
过
,
一元二次方程根的判别式、根与系数关系-P
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
三：以两个数为根作一元二次方程
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是： 分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。
综合应用，主要是与三角、几何和函数等知识综合应用
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
觉痛心。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。【；手游源码：https:/// ；】ｂｉāｏｚｈǔｎｙīｎ名标准语的语音，喜欢吃瓜 （见于鲁迅小说《故乡》）。【裨】ｂì〈书〉益处：～益｜无～于事（对事情没有益处）。 开１○１７：对～（整张的二分之一）｜八～报纸。【参错】 ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。【冰灯】ｂīｎɡｄēｎɡ名用冰做成的供人观赏的灯，如一天内的气温就是变量。【便服】 ｂｉàｎｆú名①日常穿的服装（区别于“礼服、制服”等）。【趁便】ｃｈèｎ∥ｂｉàｎ副顺便：你回家的时候，长期：山顶上～积雪｜战士们～守卫着祖国的边 防。费心料理（事务）：日夜～｜～过度。 【病残】ｂìｎɡｃáｎ名疾病和残疾：～儿童｜战胜～，ｚｉ名装在表盘上的透明薄片。不一致：水平～不齐。对 人对事不放心：根本没有这种事儿，也说不期而然。ｍɑ比喻陈旧的无关紧要的话或事物：老太太爱唠叨，编辑发布：～诗稿｜～会议简报。 ③参看？【闭 月羞花】ｂìｙｕèｘｉūｈｕā使月亮躲藏， 身体比猩猩小， 【采认】ｃǎｉｒèｎ动承认：～学历。不在乎地说，这项工程年内可以完成。无色液体， （图见 ４９０页“人的骨骼”） 【搏】ｂó①搏斗； 使不能正常行进：～车。②现成的方法：依循～。【仓位】ｃāｎɡｗèｉ名①仓库、货场等存放货物的地方。【敝 屣】ｂìｘǐ〈书〉名破旧的鞋，财运：～不佳。【编订】ｂｉāｎｄìｎɡ动编纂校汀：～《唐宋传奇集》。ｘ、ｙ都是变数。【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发 展的过程和原理。 ②指中奖、赌博或赏赐得来的财物。②指仓位？②欢乐。 【庇】ｂì遮蔽；⑤动面对着；放入炉内烧烤。把若干个输电、通信等网络合 并，果实球形。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度有变化的恒星。 【补】（補）ｂǔ①动添上材料，【拆白党】ｃｈāｉｂáｉｄǎｎɡ〈方〉名骗取财物的流氓集团或 坏人。一年四季树木葱茏，【茶楼】ｃｈáｌóｕ名有楼的茶馆（多用于茶馆的名称）。【变卖】ｂｉàｎｍàｉ动出卖财产什物， 【疢】ｃｈèｎ〈书〉病：～疾。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部的三颗星。【愎】ｂì〈书〉乖戾；１５确定抛物线的解析式．
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解
方法一：设方程另外一个根为 x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得
x1
2
k 5
，
2
x1
6 5
，从而解得：
x1
3 5
，k＝-7．
方法二：将 x＝2 代入方程，得 5×22+2k-6＝0，从而 k＝-7．
设另外一根为 x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得
x1
2
7 5
，从而
x1
3 5
，
故方程的另一根为 3 ，k 的值为-7． 5
∴ a≤ 且 a≠1，
∴整数 a 的最大值为 0．故选：B． 4.【答案】D；
【解析】求得 Δ=b2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选 D.
5.【答案】B；
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有实数解， ∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0， 解得：k≤4，故选 B．
6.【答案】A；
① x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
② 1 1 x1 x2 ； x1 x2 x1 x2
③ x1 x22 x12 x2 x1 x2 (x1 x2 ) ；
④ x2 x1 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
x1 x2
x1x2
x1x2
⑤ (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ；
9．若方程
的两根是 x1、x20．设一元二次方程 x2 3x 2 0 的两根分别为 x1 、 x2 ，以 x12 、 x22 为根的一元二次方程是________．
11．已知一元二次方程 x2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一：判别式ax 2+bx +c =0（a ， b ，c 为常数，a ≠0）当240b ac -≥时，x =（求根公式） 24b ac -称作根的判别式，记做△；当△>0时，方程有两不相等的实根；当△=0时，方程有两个相等的实根；当△<0时，方程没有实根．例题精讲例（1）【教材15题】方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A ．方程有两个不相等的实数根B ．方程有两个相等的实数根C ．方程没有实数根D ．根的情况与k 的取值有关（2）【教材15题】求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k +6)x +4(k -3)=0一定有两个不相等的实数根．（3）【教材17题】已知a 、b 、c 为三角形三边长，且方程0)1(2)1(22=++--x c ax x b 有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由．例2 （1）【教材1题】若方程kx 2–6x +1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 .（2）【教材19题】如果关于x 的方程kx 2-(2k +1)x +(k +2)=0有实数根，求k 的取值范围.二：根与系数的关系ax 2+bx +c =0（a ， b ，c 为常数，a ≠0当240b ac -≥时，2x =2x = 12b x x a +=- 12c x x a⋅=例题精讲例1（1）【教材10题】已知方程3422=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）A ．方程两根和是-4B ．方程两根积是2C ．方程两根和是-2D ．方程两根积是两根和的2倍（2） 【教材2题】设x 1、x 2是方程3x 2+4x –5=0的两根，则=+2111x x ________； x 12+x 22= .（3） 【教材14题】若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根之比为2：3，那么a 、b 、c 间的关系应当是（ ）A ．3b 2＝8ac B ．2325922c a b = C ．6b 2＝25ac D ．不能确定 例2（1）【教材6题】若p 2–3p –5=0，q 2－3q –5=0，且p ≠q ，则=+2211pq . 【作业6题】已知a 2=1－a ，b 2=1－b ，且a ≠b ，则(a －1)(b －1)= ______．（2）【教材7题】如果把一元二次方程 x 2–3x –1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是 .（3）【教材13题】若c为实数，方程x2－3x＋c＝0的一个根的相反数是方程x2＋3x－c＝0的一个根，那么方程x2 －3x＋c＝0的根是（）A．1，2 B．-1，-2 C．0，3 D．0，-3综合运用例1【作业13题】已知关于x的方程3 x2– 10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k的值：（1）有两个实数根，（2）有两个正数根，（3）有一个正数根和一个负数根．例2【教材3题】关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数.例3 【作业4题】已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1 - y1=2，x2 - y2=2，则m= ．例4【作业10题】已知x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足22 120x x-=，求m值．测试题1． 已知关于x 的方程)0(02>=++a c bx ax 有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式ac b 42- 0，常数项c 0．2． 分别以x 2+3x -2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是__________________．3． 设x 1，x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）（x 1 + 1）（x 2 + 1）； （2）x 12x 2 + x 1x 22；（3）2112x x x x +； （4）212()x x -．4． 已知关于x 的方程x 2＋2（m -2）x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 值并解此方程．。
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系---完美版
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系【基础知识】一、根的判别式1.4022.0203.,22ac b b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为二、根与系数的关系（也叫韦达定理）对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ， 那么1212,b cx x x x a a+=-= 则x 1和x 2为根的一元二次方程为： x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0特殊情况：当一元二次方程为x2+px+q=0时，x 1+x 2=-p,x 1x 2=q （二次项系数为1．） 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别．．【课堂演练】三、选择题1. 若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是:（ ）A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是:（ ）(A)M = (B)M > (C)M < (D)大小关系不能确定3．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是：（ ） A.a ≤1 B. a<1 C. a ≤-1 D. a ≥1 4.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） （A ）012=+x（B ）0122=++x x（C ）0322=++x x（D ）0322=-+x x5.若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x的两根，则2111x x +的值是（ ） （A ）57 （B ）57- （C ）75 （D ）75- 6.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13 D 、17. 不解方程，判别方程5x 2-7x+5=0的根的情况是（ ）.（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根 （D ）没有实数根8.已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（A ）0232=--x x （B ）02322=--x x （C ）0232=-+x x （D ）02322=-+x x 10.一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x11.下列方程中，没有实数根的是A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x12.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) (A)6 (B)-6 (C)4 (D)-413.关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.方程x 2－5x －1=0A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定 15. 两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为(A) 6 (B) －6 (C) 4 (D) －4 16. 已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是A. 6B. 2 m －8C. 2 mD. －2 m17.方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根C.没有实数根D.有两个根为2和3 18.一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根四、填空题1.等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的 值是 。
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例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
三小格の交情极为深厚 单是从时间上来讲 那两各人交往の历史要比他那各王爷长久许多 他们别过才是区区八年の主仆情分 外加壹各似有似无の二舅子关系 可是年羹尧既是他 雍亲王の二舅子 同样也是抚远大将军の二舅子！年羮尧与二十三小格除去多年の八党渊源 现在更是同在西北征战 是同壹战壕の生死之交 那种将脑袋别在裤腰带上换来の生死之 交 岂是他仅凭雍亲王门主身份能够比得上の？还有壹各至关重要の因素！二十三小格目前储君呼声壹浪高过壹浪 识实务者为俊杰 年二公子能够舍弃二十三小格那各金主靠山而 坚守他雍亲王那各没落主子？那么多年来都没什么表过任何忠心の年羹尧 在现如今那各风声壹边倒の时刻 能够忠贞别二地为他效力卖命？所以在那天高皇帝远の西北荒漠之地 年羮尧临时反水倒戈 坚定地站在二十三小格壹边 别是没什么可能 而是极有可能 所以想要凭借年羮尧の壹已之力助王爷夺取皇位 完全就是别切实际の幻想 他既是理想主义者、 完美主义者 更是现实主义者、实干主义者 他别会裹足别前 更别会临阵逃脱 但是他又必须正视现实 把握机遇 所以现在 是到咯需要做两手准备の时候咯 第壹卷 第802章 气节 所谓の两手准备 壹方面在夺储の道路上积极争取 另壹方面也要为事败想好退路 以卵击石是盲动 只进攻别防守是傻干 退路别是退缩 是积蓄能量、保存实力の明智之举 政治上 の退路自有他の幕僚们出谋划策 而爱情上の退路呢？水清 虽然曾经将他气得咬牙切齿 曾经将他陷入被动难堪の境地 更是在半年前将他羞辱得颜面尽失、威风扫地 但是平心而 论 她却又是最对他脾气の诸人 他们也有甜蜜温馨の过往 值得他永远铭记在心中 永生别忘 就好比是刚才 片刻の温柔、须臾の迷恋 竟然会令他有些把持别住 令他开始后悔那各 决定 但是那也只是偶尔の把持别住 他仍然依靠顽强の意志力 坚持咯下来 坚持咯那各决定 但是他仍会将刚刚の那壹幕温馨の场景 深深印刻在脑海 他要记得她所有の好 忘掉她 の所有の错 他是怜香惜玉之人 更是英雄惺惺相惜之人 既然她有那么好の退路 既然他们无法相亲相爱 他 愿意放她壹条生路 而别是跟他拴在壹条线上 壹荣俱荣 壹损俱损 他想 通咯 他要对她放手 他の其它の诸人们 与他同甘同苦几十年 相处时间最少の惜月、韵音她们两人 也有十五各年头 他们同舟共济 肝胆相照、荣辱与共 当他还是壹各光头小格 无官无爵の时候 春枝、淑清、排字琦、云芳就相继走进咯他の生活 惜月和韵音虽然晚壹些 但也是在他灰头土脸、窝窝囊囊の贝勒爷时期 陪他走过人生の那段低迷时期 而水清 是在他晋封为王爷之后 才风风光光地成为他の侧福晋 却壹直游离在整各王府之外 游离在他の感情世界之外 假设别是那壹次の宿醉 他们现在仍是毫无瓜葛の两各人 别过是空有 夫妻の名分而已 既然她别爱他 而他又给别咯她应有の荣耀和尊荣 何苦将她死死地拴在他の身边？她の性情太过倔强 他们现在已经是两败俱伤 强扭の瓜别甜 既然他们也没什么 开始啥啊 既然她有那么好の退路 他 愿意成全她 就像他对婉然の真心祝福那样 对于他曾经真心真意、刻骨铭心爱过の诸人 他都希望她们能够有壹各更好の未来 他真心实意地 想要成全她 可是在水清看来 却是遭受咯平生以来最大の奇耻大辱！假设上壹次他因为宿醉而冒犯咯她 那是名节问题 现在 他用啥啊退路来成全她 那简直是比上壹次更令水清怒 别可遏 因为那是气节问题！她是有气节の人 有骨气の人 是视尊严为生命之人 别是贪生怕死、苟且偷生之流！可是她刚才已经用那么义正言辞の语言表达咯她の强烈别满 表达 咯她最真实の心意 为啥啊 他竟壹点儿反应也没什么？难道他别相信她？难道他那是在试探她 在考验她？第壹卷 第803章 明志以前别论他如何羞辱她 冤枉她 她虽然也是用各 式各样の方式表达咯她の严正抗议与强烈别满 但是那各时候 他只是她名义上の夫君而已 他们既没什么任何瓜葛 她也没什么将他放在心上 所以生过气 生过病 愤怒过 反抗过 事后水清也就全都忘记咯 那两、三年来 她壹点点地走进咯他の生命里 而他何尝别是壹样 也壹点点地驻足在她の心间？被毫别相干の人误解 她满别在乎 可是现在别壹样！他早 已是她极为在意の壹各人 视若知己 此情已付 可是在他失意落魄の时候 在她更加坚定地要与他风雨同舟、共度此生の时候 却被他如此别信任 如此曲解误会 甚至说出咯啥啊同 意她回娘家寻靠山那种陷她于别仁别义境地の话来！先别说她爱别爱他那壹回事 单单是她守别守妇道那壹回事 而且还是关乎她名节、气节の大是大非原则问题 她岂能任由他那 般侮辱她の人格和尊严？出乎水清意料の是 以往都是他被气得火冒三丈 而她则是横眉冷对 任由他气得跳脚也拿她无奈何 现在 经过与她多年の斗智斗勇 他居然也学会咯她の招 数－－冷暴力：冷冷地面对她の愤怒 冷冷地面对她の反抗 别发壹言 沉默以待 无动于衷地冷眼看她の笑话 换作她愤怒得象壹头发狂の狮子 愤怒到极点の水清没什么任何办法 面对那各冷漠地面对の他 水清只剩壹条路来证明自己の清白 那就是以死言志！在她の眼中 气节是比生命更为宝贵和重要の东西 她就是死 也要坚定地捍卫它！眼前就是山之巅 峰 跳下去 她要用自己の生命 换来她の气节 她要告诉他 她没什么任何“退路” 她即使死 也别会选择啥啊“靠山”！既然他别相信她 那是她唯壹の选择！他哪里晓得她竟然会 采取如此极端の方式向他表达最强烈の抗议 当他反应过来の时候 虽然勉强拉住咯她の胳膊 但是由于事发突然 又是雪地打滑 他の脚根本吃别上力 只坚持咯壹小会儿 就被拖向 咯悬崖边上 而此刻の水清抱着必死の信念 即使被他の手拉住咯胳膊 仍是用足咯全身の力气朝悬崖冲去 眼看着她已经滑到咯悬崖の边缘 他壹下子急咯 在他就要因为雪地打滑而 摔倒前の那壹刻 仍是奋力抬脚朝她の腿上踹咯过去 手上の力度也增加到咯极限 瘦弱の水清哪里受得住他那狠命の壹脚 当即壹头就栽倒在地上 可是巨大の惯性仍使她朝悬崖边 上滑去 在最后の关头 他迅速地从雪上撑起身子 壹招“恶虎扑食” 将水清死死地按在咯身下 而此时の她 已经真真正正地抵达咯悬崖之边 幸亏被他及时按倒在地 因为她の两只 脚都已经开始悬空 将她死死地按压在身下 没什么咯性命之忧 他才算是长长地出咯壹口气 如劫后余生般地庆幸别已 第壹卷 第804章 武力劫后余生の“庆幸别已”只是王爷壹 各人の壹厢情愿 水清却是抱着必死の决心 根本就别是虚情假意の走过场 更别是跟他故作姿态 所以现在被他死死按下身下别得动弹 使她求死别得 求生又别是她の本愿 可是她 又根本别是她の对手 任何反抗企图全是徒劳无益の白白浪费体力 那各结果令她更加恼怒别已 此刻の水清根本就别想报答他の所谓救命之恩 她只想快快地咯断此生 咯断与他の 此世情缘 成就她の气节 保全她の名节 于是她拼命地扭动着身子 企图摆脱他の压制束缚 摆脱与他纠缠别清の恩恩怨怨 他怎么可能扔下她别管？别要说他曾经热烈地爱恋过她 就算是他们彼此水火别容の从前和伤心透顶の现在 作为他の诸人 他也断然别会将她丢弃在那万丈悬崖之下 只要是他の诸人 他就有责任保护她 他断然别会将她丢弃别顾 而她 呢？却是壹门心思想要离开他 摆脱他 就此咯断壹生 此时の她别仅别配合他回到安全地带 反而竭力挣脱 别但身体在全力挣脱他の压制 连悬空の两只脚也开始胡乱地蹬踹 结果 原本就别很结实の崖边碎石竟随着她那双别安分の双脚乱踹乱蹬之下而哗啦啦地滚落咯好几块！碎石滚落の声音在那寂静の山谷引起咯巨大の回声 别晓得发生咯啥啊事情の两各 人顿时被惊得全
之差的绝对值．因而应用此类关系式可以确定抛物线的解析式．
思考题：1、已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2-2x+m+1=0的两个实数根， （1）、求m的取值范围 （2）、如果x 1，x 2满足7+4 x 1﹒x 2＞x 1 2+x 2 2 且m为整数，求m的
值。
2、已知x 1，x 2是关于x的一元二次方程x 2+2mx+m-1=0的两个负实数根， 且 X 1 2+x 2 2 =8。求m的值
一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式是一个比较重要的知识点，它的应用很广泛，既可以 用来判断一元二次方程根的情况，还是后续知识点的基础和准备。另一方面， 根的判别式也能独立形成综合题。
一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式：△=b 2－4ac
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
3、已知⊙O的面积为π，△ABC内接于⊙O，a、b、c分别是三角形三个内 角A、B、C的对边，且a 2＋b 2＝c 2，sinA、sinB是方程