一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（一）一、知识归纳：1.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式是：△=b 2-4ac ，当△>0时；△=0；△<0时方程分别有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。
2.判别式“△”的应用：1)由“△”的符号判定方程根的情况；2)由“△”的符号，证明方程的根可能出现的情况；3)由方程的情况通过“△”的符号，确定方程中参数字母的取值范围。
例1. 关于x 的方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根．．．，求m 的取值范围。
解：当m －1≠0时, 该方程为关于x 一元二次方程∵原方程有实数根 ∴0≥∆即Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥即711≤m ，当m-1=0时，该方程变为4x+3=0,它是一元一次方程，有实数根34x =-练习：1.关于x 的方程m 2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数．．．．．．．．．根．，求m 。
(注意二次项系数不为零)2.已知a ，b ，c 为一个三角形的三边，求证方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0无实数根。
3.已知方程x 2+2x=k-1没有实数根，求证方程x 2+kx=1-2k 必定有两个不相等的实数根。
4.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根，y 1,y 2是关于y 的方程y 2+my+7=0两个实数根，且x 1-y 1=2, x 2-y 2=2，求m ，n 的值。
3．一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aacb b 242---能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+aacb b 242---=a acb b ac b b 24422----+- =12.x x =a ac b b 242-+-×aac b b 242---=2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- =2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x 1+x 2=a b -， x 1x 2=ac 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x 2＋ x ＋ac＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)3.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2它的根与系数的关系是：例1：已知方程5x 2＋k x -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值； 解：设方程的另一个根是x 1，那么5621-=x （为什么？）∴ x 1= 又x 1+2=5k-（为什么？）∴ k= 例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x -1＝0的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ， x 1x 2=（1）∵ （x 1+x 2）2= x 12+2 +x 22 ∴ x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2 = （2）==+212111x x x x例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是212313，- 解：所求的方程是x 2-（212313+-）x ＋（ ）212⋅＝0 (为什么？) 即 x 2+ x- ＝0 或 6x 2+ x- ＝0。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系-P
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
三：以两个数为根作一元二次方程
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是： 分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。
综合应用，主要是与三角、几何和函数等知识综合应用
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
觉痛心。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。【；手游源码：https:/// ；】ｂｉāｏｚｈǔｎｙīｎ名标准语的语音，喜欢吃瓜 （见于鲁迅小说《故乡》）。【裨】ｂì〈书〉益处：～益｜无～于事（对事情没有益处）。 开１○１７：对～（整张的二分之一）｜八～报纸。【参错】 ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。【冰灯】ｂīｎɡｄēｎɡ名用冰做成的供人观赏的灯，如一天内的气温就是变量。【便服】 ｂｉàｎｆú名①日常穿的服装（区别于“礼服、制服”等）。【趁便】ｃｈèｎ∥ｂｉàｎ副顺便：你回家的时候，长期：山顶上～积雪｜战士们～守卫着祖国的边 防。费心料理（事务）：日夜～｜～过度。 【病残】ｂìｎɡｃáｎ名疾病和残疾：～儿童｜战胜～，ｚｉ名装在表盘上的透明薄片。不一致：水平～不齐。对 人对事不放心：根本没有这种事儿，也说不期而然。ｍɑ比喻陈旧的无关紧要的话或事物：老太太爱唠叨，编辑发布：～诗稿｜～会议简报。 ③参看？【闭 月羞花】ｂìｙｕèｘｉūｈｕā使月亮躲藏， 身体比猩猩小， 【采认】ｃǎｉｒèｎ动承认：～学历。不在乎地说，这项工程年内可以完成。无色液体， （图见 ４９０页“人的骨骼”） 【搏】ｂó①搏斗； 使不能正常行进：～车。②现成的方法：依循～。【仓位】ｃāｎɡｗèｉ名①仓库、货场等存放货物的地方。【敝 屣】ｂìｘǐ〈书〉名破旧的鞋，财运：～不佳。【编订】ｂｉāｎｄìｎɡ动编纂校汀：～《唐宋传奇集》。ｘ、ｙ都是变数。【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发 展的过程和原理。 ②指中奖、赌博或赏赐得来的财物。②指仓位？②欢乐。 【庇】ｂì遮蔽；⑤动面对着；放入炉内烧烤。把若干个输电、通信等网络合 并，果实球形。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度有变化的恒星。 【补】（補）ｂǔ①动添上材料，【拆白党】ｃｈāｉｂáｉｄǎｎɡ〈方〉名骗取财物的流氓集团或 坏人。一年四季树木葱茏，【茶楼】ｃｈáｌóｕ名有楼的茶馆（多用于茶馆的名称）。【变卖】ｂｉàｎｍàｉ动出卖财产什物， 【疢】ｃｈèｎ〈书〉病：～疾。 【杓】ｂｉāｏ古代指北斗柄部的三颗星。【愎】ｂì〈书〉乖戾；１５确定抛物线的解析式．
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
的蛛网雁胸圣！这个巨大的蛛网雁胸圣，身长四百多米，体重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分悠闲的雁胸！这巨圣有着水绿色烤鸭模样的身躯和深绿色细小樱桃般 的皮毛，头上是绿宝石色磨盘一样的鬃毛，长着紫罗兰色菊花模样的虎尾雨萍额头，前半身是米黄色柳叶模样的怪鳞，后半身是扁扁的羽毛。这巨圣长着灰蓝色菊花似的脑 袋和青远山色红薯模样的脖子，有着淡青色猪肚形态的脸和水青色蚯蚓似的眉毛，配着深紫色枕木一样的鼻子。有着纯蓝色床垫形态的眼睛，和淡白色壁灯模样的耳朵，一 张纯蓝色钢针模样的嘴唇，怪叫时露出暗紫色小鬼似的牙齿，变态的米黄色肥肠般的舌头很是恐怖，深绿色瓜秧般的下巴非常离奇。这巨圣有着如同火腿似的肩胛和犹如羽 毛一样的翅膀，这巨圣瘦瘦的淡绿色扣肉般的胸脯闪着冷光，活似柿子一样的屁股更让人猜想。这巨圣有着仿佛螳螂模样的腿和淡紫色蛙掌似的爪子……匀称的绿宝石色椰 壳般的九条尾巴极为怪异，纯白色河马似的撬棍圣柏 优游 www.youyoupingta 优游 肚子有 种野蛮的霸气。淡绿色牙刷一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨圣喘息时有种深 紫色鸡爪般的气味，乱叫时会发出深青色狮子形态的声音。这个巨圣头上水蓝色胶卷一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似拐棍一样的铃铛深绿色南瓜模样的脑袋好像十分 威猛但又带着几分艺术。这时那伙校精组成的巨大梦唇怪忽然怪吼一声！只见梦唇怪抖动水红色粉条形态的鬃毛，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突 然，整个怪物像巨大的湖青色种子一样裂开……五十五条深青色泡菜模样的腐烂巨根急速从里面伸出然后很快钻进泥土中……接着，一棵暗黄色蝎子模样的邪恶巨大怪芽疯 速膨胀起来……一簇簇灰蓝色蜜桃模样的腐臭巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵青古磁色标枪模样的阴冷巨蕾恐怖地钻了出来……随着淡蓝色长绳模样的贪婪巨花狂速 盛开，无数绿宝石色贝壳模样的变质花瓣和亮青色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数白象牙色试管模样的阴森果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每个巨大果 实上都骑着一个梦唇怪的小替身，而那伙校精的真身也混在其中……“哇！真有假货性！”壮扭公主道。“还多少带点凶暴性！咱们让他们看看什么高层次！嘻嘻！”月光 妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒语……只见巨大梦唇怪猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如蜗牛，只见狗腿玉喉圣转动绿宝石色椰壳般的九条尾巴，整个身 体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的淡蓝色花蕾一样绽开……七十二条深青色橱窗模样的时尚尾
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0
例3：分别以x 2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是： 分析：本题求一个已知两个根的一元二次方程，关键是要求出两个根的和与两根的积。
四、不解方程，求与根有关的代数式的值
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
中考专题复习〈〈一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》1、根的判别式及应用(△ = b2 一4ac):(1)判定一元二次方程根的情况。
(2)确定字母的值或取值范围。
2、根与系数的关系(韦达定理)的应用：韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a乒0)的两根为x i、X2,b c贝U X i+X2=—— , x i X2=—。
a a(1) 已知一根求另一根及未知系数；(2) 求与方程的根有关的代数式的值；(3) 已知两根求作方程；(4) 已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号：(x1、x2是方程两根)。
3、应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负；求作一元二次方程时，一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x「乂2为根的一元二次方程为x2-(x〔+x2)x+x〔x2= 0 ；求字母系数的值时，需使二次项系数a乒0,同时满足^> 0；求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和x1 +x2, ?两根之积x1x2的代数式的形式，整体代入。
1.一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程a顶4bx+c=0a#0 )的根的判别式为.(1) b2 -4ac>0u 一元二次方程ax2+bx + c =0(a #0)有两个实数根.(2) 史—4ac=0U 一元二次方程有相等的实数根，即x1 = x2= ^(3) b2—4ac<0u 一元二次方程ax2+bx+c = 0(a #0 实数根.2.一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2 +bx + c =0(a , 0)有两根分别为x1, x2,那么x1 + x2=,2 2x1 x2 = ^变形：x1 +x2 =, x1 -x2 =。
至十兰=。
x1 %3.易错知识辨析：1) 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.2) 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2 -4ac芝0 ；②二次项系数a#0,即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系^一、【典型示例】【例1】当k为何值时，方程x2-6x + k-1=0 , (1)两根相等；(2)有一根为0 ；(3)两根为倒数【例2】已知关于x的方程x2 +2(a—1)x+a2—7a—4=0,(1) 若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；(2) 若方程的有两个实数根为x〔、x2 ,且x； +x；=32，求a的值。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
一：掌握常见变形，快速求值
例1：已知方程2x 2-7x+2=0的两根为x 1和x 2，求下列各式的值 （1）x 1 2+x 22 （2）+ （3）（x 1-x 2）2 （4）（x 1-2）(x 2-2) (5) x 1 2 x 2 + x2 2 x2 -3 二、已知方程的根，求另一根及某一系数
例2： (1)已知方程mx 2＋4x＋3＝0有一根是1，另一根是______． (2)若方程x 2＋kx＋3＝0有一根是－1，则k＝______
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
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一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（一）一元二次方程根的判别式和根系关系是中考的重点内容之一，即可以单独出现，又可能在代数综合题、几何综合题、应用题中出现，我们准备用两节课的时间，帮助同学们复习这一内容。
例1不解方程判断下列关于x的一元二次方程根的情况⑴3x2 2 2®⑵3x21恵X 2 2⑶ax2bx 0⑷x22mx 4m 4 解：运用判别式先要将方程化为一般形式⑴ 3x226x 2 0(2 .6)2 4 3 2 0方程有两个相等实数根、3x2(,2)2 4 3 2 2 8、3 0方程没有实数根⑶ 方程是一元二次方程a 0 c 02 2b 4 a 0 b 0方程有两个实数根⑷ x2 2mx 4(m 1) 02 2 2(2m) 4 1 4(m 1) 4m 16m 16 4(m 2) 0 方程有两个实数根2解：错误解法(2m) 4(m 1)(m 2)2 2=4m 4( m m 2)=4(m 2) 0m 2注意：应用一元二次方程判别式，首先方程应为一元二次方程，当二次项系数含有字母时，要加上二次项系数可为0这个限制条件。
m 1 0 m3正确解法0 m 2m 2 且m 12 2解：(3 m 1) 4m(2m 1) = m 2m 1m2 2m 1 1m2 2m 0m10 m2 2注意m 0 舍去m 0m 2例4已知关于x的方程(m 1)x2 2mx m 0有实数根，求m的取值范围。
解：注意本题并没有说方程是一元二次方程，也没有说方程有两个实数根。
一1⑴m 1 0 m 1方程为一兀一次方程2x 1 0有一个实根x 一2⑵ m 1 0 m 1方程为一元二次方程(2m)2 4m(m 1) 4m 0m 0且m 1时方程有两个实数根综上，当m 0时方程有实根。
小结：⑴ 应用判别式的条件是方程为一元二次方程，当二次项系数为字母时，注意系数不为o ；⑵应用判别式应将方程化为一般形式；⑶ 注意有实根和有两个实根的区别。
问题：1 1解：•/ 1 即--------- 1又(2 m 3)2m(2 m 3) m2例6已知方程x2 3x 1 0的两个根为11112= =例7已知方程x 4x 1 0的两个实数根为,求作一个以1为根的1解之得mh 3 m2 1 当m 3时0当m 1时2(2 1 3) 4 1 0 舍去••• m 32解：••• 3 4 115 0兀二次方程。
解：首先42 4 0方程有两个不等实根法1 4 , 12 1 2 1 (21)2( 2 2 4 4 2 21)2 4 42( 2 2) 221 21 (21)( 2 2 2 2 21) 12 2 ( )2 2 16 2 144 4 22 2 _ 2 2 “ 2 - —( ) 2 14 2 194 2 1 2 1 194 2 14 2+ 142 1 2 1 1 14 11 -=11所求方程为寸14y 1 0法2 注意到,均为原方程的根2 4 1 0 2 1 42 4 1 0 2 1 42 1 21 4 4 2 22 1 21 4 4这样计算较为简单。
2 2例8⑴已知实数a b且a a 1 0, b b 1 0，求a b的值。
2解：由已知a,b是方程x x 1 0的两个不等实根a b 12 2解：由p p 1 0及1 q q 0可知p 0, q 01又pq 1 p - q1 2 1由1 q q20 (—)2(—) 1 0q q2又p2 p 1 0p与丄可看作方程x2 x 1 0的两个不等实根q2解：依题意a,b都是方程x 2x 2 0的实数根①当当a b时a,b是x22x 2 0的两个不等实根a b 2ab 21 1 a b dda b ab②当当a b时a, b是x22x 2 0的同一个实数根x 1 -3当当a b = 1 3 时丄1 2 2 门------ 、3 1a b a 1 、3当当a b = 1- 3时丄1 2—— 1 、•3a b a 1.3例9 已知X1,X2是一元二次方程x2 2x m 1 0 的两个实数根，且满足解：X i X 22不对称，利用根系关系X-I (x 1 X 2) 11 X代入方程,2「 7亠 当m —时，4 7m -解：已知X-I X2 4 1 ,X 1X 2 - 1 , 82 X1X 22(4)22(? 1)，4x 12 mx 1小 2 1 26x 1 mx 1 m 22X 2 8=4x 2 1 mx 1 1 m 4 2(X 12X 22)42不对称，利用方程和根系关系1 m 4 0,22X i X 1X 2 1，求 m 的值。
1 X 12 可求出 m —44 4( - 1) 1 0421 2 根，且满足 6% mx 1-m 2X 28 0,求m 的值。
m 2 m =2( 4)4(8 1) 4 0,m 、2 〜m(丁)2(： 1) 2 0 482m 4m 0 m 10, m 2 4m 28m 64当m 0,4时二m 0 或4分析：求一元二次方程两根差的方法有两种① 求出X i,X2，(X i X2)2易得②(X i X2)2= (X i X2)2 4X i X2由根系关系可得解：⑴当a 1 , cX i3时，原方程为X2(X i2X 3X2)21 , X2 3, m 16 4成立当a 2 , c .2时, 原方程为2X24X 2 0i--42 4 2 2 0、2X i X2 2 ,X1X2 —2m (X i X2 )2(X i X2)24X X2=4 2 2 4 不成立⑵设方程的两个实数根为X i, X22 2m (x i X2 ) (X-I X2)4X 1X 2 = 44c a对于任意非零实数 a ， 4 4c accX i X 22， X i X 2a4ca••• c 0当 c 0,4a 2例12已知关于X 的两个方程22x(m 4)x (m 4) 0 ① 和 mx 2(n 2)x (m 3) 0②方程①有两个不相等的负实数根，方程 ②有两个实数根。
⑴求证：方程②的两根符号相同；⑵ 设方程②的两根分别为，，若:1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值。
分析：利用判别式和根系关系可判别方程两根符号此时当ba0,两根同为负数①若c0 a两根同号.b 当_ 0,两根同为正数a②若c两根异号此时.b 当-0 ,正根绝对值小于负根绝对值aa当b0,正根绝对值大于负根绝对值ar b 当_ = :0，两根绝对值相等a③若C= 0即 c 0 两根至少有个为零a此时当b0,另一根必为负数K 当一0 ,另一根必为正数a当b= 0，即b 0另一根也为零a⑴证明：设X i,X2为方程①的两个实数根i 0由已知x1 x20x1x20n 23m 晋)3m(n 2)2m(m 23)n 不是整数n 11 或 n 722) 4m(m 3) 0 22) 4m(m 3)2(m 4)4 2(m 4) 0即m 40 2m 4小0 2解得m 4由方程②有两个实根可知 m 0m 3•••当m 4时，0 ,方程②有两根之积为正。
m方程②有两根符号相同。
n 2 m m 3m由⑴m 4，又m 为整数2当 m 5时 (n 2) 45 当 m 6时 (n 2)281当 m 6,n 11 时 2 (n 当 m 6,n7 时 2 (nm 的最小整数值为6小结：⑴ 在使用根系关系时，要注意前提条件：二次项系数⑵ 求和两根有关的代数式：如果是对称式，可用根系关系;⑶根系关系和判别式相结合可判断两根的符号学习课件等等THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书,打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。