一元二次方程根的判别式和根与系数的关系

一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（一）一元二次方程根的判别式和根系关系是中考的重点内容之一，即可以单独出现，又可

能在代数综合题、几何综合题、应用题中出现，我们准备用两节课的时间，帮助同学们复习这一内容。

例1不解方程判断下列关于x的一元二次方程根的情况

⑴3x2 2 2®

⑵

3

x2

1

恵X 2 2

⑶ax2bx 0

⑷x22mx 4m 4 解：运用判别式先要将方程化为一般形式

⑴ 3x226x 2 0

(2 .6)2 4 3 2 0

方程有两个相等实数根

、3x2

(,2)2 4 3 2 2 8、3 0

方程没有实数根

⑶ 方程是一元二次方程

a 0 c 0

2 2

b 4 a 0 b 0

方程有两个实数根

⑷ x2 2mx 4(m 1) 0

2 2 2

(2m) 4 1 4(m 1) 4m 16m 16 4(m 2) 0 方程有两个实数根

2

解：错误解法(2m) 4(m 1)(m 2)

2 2

=4m 4( m m 2)

=4(m 2) 0

m 2

注意：应用一元二次方程判别式，首先方程应为一元二次方程，当二次项系数含有

字母时，要加上二次项系数可为0这个限制条件。

m 1 0 m3

正确解法

0 m 2

m 2 且m 1

2 2

解：(3 m 1) 4m(2m 1) = m 2m 1

m2 2m 1 1

m2 2m 0

m10 m2 2

注意m 0 舍去m 0

m 2

例4已知关于x的方程(m 1)x2 2mx m 0有实数根，求m的取值范围。

解：注意本题并没有说方程是一元二次方程，也没有说方程有两个实数根。

一1

⑴m 1 0 m 1方程为一兀一次方程2x 1 0有一个实根x 一

2

⑵ m 1 0 m 1方程为一元二次方程(2m)2 4m(m 1) 4m 0

m 0且m 1时方程有两个实数根

综上，当m 0时方程有实根。

小结：⑴ 应用判别式的条件是方程为一元二次方程，当二次项系数为字母时，注意系数不为o ；

⑵应用判别式应将方程化为一般形式；

⑶ 注意有实根和有两个实根的区别。

问题：

1 1

解：•/ 1 即--------- 1

又(2 m 3)

2

m

(2 m 3) m2

例6已知方程x2 3x 1 0的两个根为

1111

2= =

例7已知方程x 4x 1 0的两个实数根为,求作一个以1为根的1

解之得mh 3 m2 1 当m 3时0

当m 1时

2

(2 1 3) 4 1 0 舍去

••• m 3

2

解：••• 3 4 115 0

兀二次方程。

解：首先42 4 0方程有两个不等实根

法1 4 , 1

2 1 2 1 (21)2( 2 2 4 4 2 2

1)2 4 42( 2 2) 2

2

1 2

1 (

21)( 2 2 2 2 2

1) 1

2 2 ( )2 2 16 2 14

4 4 2

2 2 _ 2 2 “ 2 - —

( ) 2 14 2 194 2 1 2 1 194 2 14 2

+ 14

2 1 2 1 1 14 1

1 -=1

1

所求方程为寸14y 1 0

法2 注意到,均为原方程的根

2 4 1 0 2 1 4

2 4 1 0 2 1 4

2 1 21 4 4 2 2

2 1 21 4 4

这样计算较为简单。

2 2

例8⑴已知实数a b且a a 1 0, b b 1 0，求a b的值。

2

解：由已知a,b是方程x x 1 0的两个不等实根

a b 1

2 2

解：由p p 1 0及1 q q 0

可知p 0, q 0

1

又pq 1 p - q

1 2 1

由1 q q20 (—)2(—) 1 0

q q

2

又p2 p 1 0

p与丄可看作方程x2 x 1 0的两个不等实根

q

2

解：依题意a,b都是方程x 2x 2 0的实数根

①当当a b时a,b是x22x 2 0的两个不等实根

a b 2

ab 2

1 1 a b d

d

a b ab

②当当a b时a, b是x22x 2 0的同一个实数根

x 1 -3

当当a b = 1 3 时丄1 2 2 门

------ 、3 1

a b a 1 、3

当当a b = 1- 3时丄1 2—— 1 、•3

a b a 1.3

例9 已知X1,X2是一元二次方程x2 2x m 1 0 的两个实数根，且

满足

解：X i X 2

2

不对称，利用根系关系

X-I (x 1 X 2) 1

1 X

代入方程,

2

「 7亠 当m —时，

4 7

m -

解：已知

X-I X2 4 1 ,X 1

X 2 - 1 , 8

2 X

1

X 22

(

4)2

2(? 1)，

4x 12 mx 1

小 2 1 2

6x 1 mx 1 m 2

2X 2 8

=4x 2 1 mx 1 1 m 4 2(X 12

X 22)

4

2

不对称，利用方程和根系关系

1 m 4 0,

2

2

X i X 1X 2 1，求 m 的值。

1 X 1

2 可求出 m —

4

4 4( - 1) 1 0

4

2

1 2 根，且满足 6% mx 1-m 2X 28 0,求m 的值。

m 2 m =2( 4)4(8 1) 4 0

,m 、2 〜m

(丁)

2(： 1) 2 0 4

8

2

m 4m 0 m 1

0, m 2 4

m 2

8m 64

当m 0,4时