2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版

2019届中考数学圆的切线证明综合试题新人教版我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连

半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD 延长线于 F.

求证：EF与⊙O相切.

证明：连结OE，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

又∵AB=BC，

∴∠3=∠4.

⌒⌒

∴BD=DE，∠1=∠2.

又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

∴∠OEF=900.

∴EF与⊙O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB=∠DAC.

∵PA=PD，

∴∠2=∠1+∠DAC.

∵∠2=∠B+∠DAB，

∴∠1=∠B.

又∵∠B=∠E，

∴∠1=∠E

∵AE是⊙O的直径，

∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.

∴∠1+∠EAC=900.

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切.

证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.

∵AD是∠BAC的平分线，

⌒⌒

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

∴∠E+∠BDE=900.

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

∴∠1+∠PAD=900

即OA⊥PA.

∴PA与⊙O相切

说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M

求证：DM与⊙O相切.

证明一：连结OD.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∴∠1=∠B.

∴∠1=∠C.

∴OD ∥AC.

∵DM ⊥AC ，∴DM ⊥OD.

∴DM 与⊙O 相切

证明二：连结OD ，AD.

∵AB 是⊙O 的直径，

∴AD ⊥BC.

又∵AB=AC,

∴∠1=∠2.

∵DM ⊥AC ，

∴∠2+∠4=900

∵OA=OD ，∴∠1=∠3.

∴∠3+∠4=900.

即OD ⊥DM.

∴DM 是⊙O 的切线

说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分

利用已知及图上已知.

例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.

求证：DC 是⊙O 的切线

证明：连结OC 、BC.

∵OA=OC ，

∴∠A=∠1=∠300.

∴∠BOC=∠A+∠1=600.

又∵OC=OB ，

∴△OBC 是等边三角形.

∴OB=BC. D

C

D

∴OB=BC=BD.

∴OC ⊥CD.

∴DC 是⊙O 的切线.

说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.

例5 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP.

求证：PC 是⊙O 的切线.

证明：连结OC

∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ，

∴OC 2=OD ·OP ，

OC OP

OD OC .

又∵∠1=∠1，

∴△OCP ∽△ODC.

∴∠OCP=∠ODC.

∵CD ⊥AB ，

∴∠OCP=900.

∴PC 是⊙O 的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

例6 如图，ABCD 是正方形，G 是BC 延长线上一点，AG 交BD 于E ，交CD 于F.

求证：CE 与△CFG 的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG 的外接圆，但△CFG 是直角三角形，圆心在斜边FG 的中点，

为此我

们取FG 的中点O ，连结OC ，证明CE ⊥OC 即可得解.

证明：取FG 中点O ，连结OC.

∵ABCD 是正方形，

∴BC ⊥CD ，△CFG 是Rt △

∵O 是FG 的中点，

∴O 是Rt △CFG 的外心.

∵OC=OG ，

∴∠3=∠G ，

∵AD ∥BC ，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

∠ADE=∠CDE=450，

∴△ADE≌△CDE（SAS）

∴∠4=∠1，∠1=∠3.

∵∠2+∠3=900,

∴∠1+∠2=900.

即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB是⊙D的切线，

∴DE⊥AB.

∵DF⊥AC，

∴∠DEB=∠DFC=900.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

又∵BD=CD，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DF=DE.

∴F在⊙D上.

∴AC是⊙D的切线

证明二：连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足.

∵AB与⊙D相切，

∴DE⊥AB.

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠1=∠2.