五年级数学思维能力拓展专题突破系列(三)常用的解题技巧

五年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）常用的解题技巧——常用解题技巧（1）

温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。

掌握常用的解题技巧

1、掌握常用的解题技巧

2、会用技巧解决实际问题

1、下图中有几条线段

2、从1、2、

3、

4、

5、6中选取若干个数，使得它们的和是3的倍数，但不是5的倍数，那么共有多少种不同的选取方法？

3、计算：111…111222…222÷333…333=

4、10条直线最多可把一个长方形分成多少块？

（即该课程的课后测试）

1、用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？

2、两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？

3、用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？

4、10个三角形最多将平面分成几个部分？

5、小明的暑假作业有语文、数学、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？

1、答案：将至少有连续三位数是1的五位数分成三类：连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。

连续五位是1，只有11111一种；

恰有连续四位是1，有1111A与A1111两种情况，其中A可以是2、3、4中任意一个，所以有3+3=6（种）；

恰有连续三位是1，有111AB，BA111，A111C两种情况，其中A，C可以是2、3、4之一，B可以是1、2、3、4之一。所以对于111AB有3×4=12（种），对于BA111 有4×3=12（种），对于A111C有3×3=9（种），合起来3×4＋4×3＋3×3＝33（种）。

由加法原理，这样的五位数共有1＋6＋33＝40（种）。

2、答案：两次的数字之和是偶数可以分为两类，即两数都是奇数，或者两数都是偶数。因为骰子上有三个奇数，所以两数都是奇数的有3×3=9（种）情况；同理，两数都是偶数的也有9种情况。根据加法原理，两次出现的数字之和为偶数的情况有9＋9＝18（种）。

3、答案：当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C 有3种颜色可选；D也有3种颜色可选。

根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×3＝180（种）。

当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种颜色可选；D有2种颜色可选。

根据乘法原理，此时不同的染色方法有5×4×3×2×2＝240（种）。

再根据加法原理，不同的染色方法共有180＋240=420（种）。

4、答案：设n个三角形最多将平面分成an个部分。

n=1时，a1=2；

n=2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有2×3=6（个）交点。这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a2=2+2×3。

n=3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3=12（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：a3=2+2×3+4×3。

……

一般地，第n个三角形与前面(n-1)个三角形最多有2(n-1)×3个交点，从而平面也增加2(n-1)×3个部分，故

an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3

=2+[2+4+…+2(n-1)]×3

=2+3n(n-1)=3n2-3n+2。

特别地，当n=10时，a10=3×102-3×10+2=272，即10个三角形最多把平面分成272个部分。

5、答案：

由上图可知，共有6种不同的安排。

五年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）常用的解题技巧

——常用解题技巧（2）

掌握常用的解题技巧

1、掌握常用的解题技巧

2、会用技巧解决实际问题

1、在减法中，被减数、减数、差相加的和，除以被减数，所得的商是多少？

2、小明骑车从甲地到乙地，去的时候速度是每小时15千米，回来的时候是每小时10千米，求小明来回的平均速度？

3、用两台水泵抽水，小水泵抽6小时，大水泵抽8小时，一共抽水312立方米。小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，两种水泵每小时各抽水多少立方米？

4、百货商店运来300双球鞋，分别装在2个木箱、6个纸箱里。如果2个纸箱同1个木箱装的球鞋一样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋？

（即该课程的课后测试）

1、六年级同学中，男生人数比女生人数多三分之一，女生人数比男生人数少几分之几？

2、某人骑自行车从A地往B地。去的时候用时

1

1

5

小时，沿原路回家时，速度比原路加

快1

3

，那么需要多少小时？

3、已知甲校学生数是乙校学生数的40％，甲校女生数是甲校学生数的30％，乙校男生

数是乙校学生数的42％，那么，两校女生总数占两校学生总数的百分比是____。

4、如下图，淡黄色部分是正方形，求出最大的长方形的周长。

5、如果鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼尾加上鱼身一半的重量，而鱼身重量等于鱼头加鱼尾的重量。问这条鱼有多少千克？

1、答：先把女生人数看作单位“1”，假定女生人数为60人。男生人数则为

女生人数比男生人数少几分之几，则为

2、答：这道题似乎条件不够，不妨根据路程、时间、速度的关系，给从A 地去B 地的

速度设一个具体数值试一试。

假设去时每小时走20千米，那么A 、B 两地的路程就是：

沿原路回家的速度则为：

180201+(33

?=（）千米/小时）

回家时所需的时间则为：

3、答案：题中没有给出具体数量，且数量关系错综复杂，不易理清头绪。我们不妨把

乙校人数看作单位“1”，给乙校学生人数假定一个具体数值，这样就化难为易了。

若假定乙校学生为500人，则甲校学生为：500×40％= 200（人）

由甲校女生数是甲校学生数的30％，则甲校女生数为：200×30％=60（人）

由乙校男生数是乙校学生数的42％，则乙校女生数为：500×（1-42％）=290（人）两校学生总数为：500＋200=700（人）

两校女生总数为：60＋290=350（人）

则两校女生总数占两校学生总数的百分比为：350÷700=50％

4、答案：因为图的中间是正方形，正方形的4边相等，所以DF=FE=BE=BD (1)

长方形ABDC的周长为7×2=14（厘米），长方形EHGF的周长为5×2=10（厘米），又因为最大的长方形AHGC的周长等于：AB＋AC＋CD＋DF＋FG＋GH＋EH＋BE (2)

根据（1）对（2）式进行等量代换，就得到所求最大长方形的周长正好等于长方形ABDC 的周长加上长方形EHGF的周长。

最大长方形的周长=7×2＋5×2=24（厘米）

答：图中最大长方形的周长是24厘米。

5、依题意列出下列等式：

尾=4 (1)

头=尾＋身÷2 (2)

身=头＋尾 (3)

由于等式左右两边同乘以一个数，结果仍相等，所以把（2）式两边同乘以2得：

2头=2尾＋身 (4)

把（3）式代入（4）式得：

2头=2尾+头+尾

头=3尾=3×4=12（千克）

身=头＋尾=12＋4=16（千克）

全鱼=头＋身＋尾=12＋16＋4=32（千克）

答：这条鱼有32千克。

五年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）常用的解题技巧

——常用解题技巧（3）

掌握常用的解题技巧

1、掌握常用的解题技巧

2、会用技巧解决实际问题

1、两堆煤，第一堆16吨，第二堆10吨，5天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆

剩下的煤正好是第二堆所剩煤的4倍。问5天中两堆煤被烧掉了多少吨？

2、A、B、C、D与小青五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A 已经赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。问小青已经赛了几盘？

3、用淘汰制比赛从200名乒乓球选手中产生一名冠军，问应进行多少场比赛？

4、1至100的自然数中，不能被9整除的自然数的和是多少？

（即该课程的课后测试）

1、甲校买8个排球，5个篮球，共用415元，乙校买同样的4个排球、5个篮球，共用295元。求买一个排球需要多少钱？

2、甲、乙两辆车分别从东、西两城同时相对开出，4小时后相遇，相遇后甲车再经过2小时到达西城。求乙车再经过几小时可以到达东城？

3、正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？

4、我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长，团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？

5、骑自行车从甲地到乙地，以每小时10千米的速度行驶，下午1时到；以每小时15千米的速度行进，上午11时到；如果希望中午12时到，应以怎样的速度行进？

1、答案：

从表可以看出，甲、乙二校所买篮球的个数一样多，甲校比乙校多用钱：415-295=120（元）

甲校比乙校多买排球数是：8-4=4（个）

所以，每个排球的卖价是：120÷4=30（元）

2、答案：相遇后甲走的路程和相遇前乙走的路程一样长。但走这段路，甲用了2小时，乙却用了4小时。就是说，走同样的路程时，乙用的时间是甲的4÷2=2倍。相遇后乙走的路程和相遇前甲走的路程一样长，甲走这段路程用了4小时，因为走同样长的路程乙用的时间是甲的2倍，所以，乙由相遇点到达东城的时间是4小时的2倍，即为8小时。

答：乙车再过8小时可以到达东城。

3、从7个点中取3个点的取法有35种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有32个。

4、此题若是直接去考虑的话，就要将问题分成好几种情况，这样解题的话，容易造成各种情况遗漏或者重复的情况。而如果从此问题相反的方面去考虑的话，不但容易理解，而且在计算中也是非常的简便。这样就可以简化计算过程。

55 4340304590

C C

-=

5、考虑若以10千米/时的速度骑行，在上午11时，距离乙地应该还有10×2=20（千米），也就是说从出发到11时这段时间内，以15千米/时骑行比以10千米/时骑行快20千米，由此可知这段骑行用时为：20÷（15－10）=4（小时），总路程为15×4=60（千米），若中午12时到达需总用时为5小时，因此骑行速度为60÷5=12（千米/时）。即若想12时到达，应以12千米/时速度骑行。

五年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）常用的解题技巧

——常用解题技巧（4）

掌握常用的解题技巧

1、掌握常用的解题技巧

2、会用技巧解决实际问题

1、小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得56分。小华答对了几题？

2、某校有100名学生参加数学竞赛，平均得63分，其中男生平均得60分，女生平均得70分，那么，男生比女生多多少名？

3、今年小明8岁，小强14岁。几年后小明和小强岁数的和是40岁？

4、王进和张明计算甲、乙两个自然数的积（这两个自然数都比1大）。王进把甲数的个

位数字看错了，计算结果为91，张明却把甲数的十位数字看错了，计算的结果为175。两个数的积究竟是多少？

（即该课程的课后测试）

1、中山百货商店，委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元，如果损坏一只，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元。结果运输队获得运费382.5元。问：损坏了花瓶多少只？

2、小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值5.1元。1角和5角的硬币各有多少枚？

3、松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨？

4、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只？

5、小新养了小鸡和小鸭共36只，小鸭占

4

3

，又买来一些小鸡，这个时候小鸭占全部的5

3，问买来多少只小鸡？

1、答案：

假设在运输过程中没有损坏一个花瓶，那么所得的运费应该是：0.4×1000=400（元）。 而实际只有383.5元，这当中的差额，说明损坏了花瓶，而损坏一只花瓶，不但不给运费，而且还要赔偿损失5.1元，这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是：

0.4＋5.1=5.5（元）

总差额中含有一个5.5元，就损坏了一只花瓶。

所以损坏的花瓶数=（400?383.5）÷( 0.4+5.1)=3（只）

答：损坏了3只花瓶。

2、答案：以“角”作为钱的单位。1角硬币为“鸡”，5角硬币为“兔”。一种“鸡”有1条腿，一种“兔子”有5条腿，它们共有27个头，51条腿。

现在已经把储蓄罐问题，转化成“鸡兔同笼”问题了。

利用上面算鸡数公式，就有1角硬币数=（5×27?51）÷（5?1）=84÷4=21（枚）5角硬币数=27-21=6（枚）

答：1角硬币有21枚，5角硬币有6枚。

3、答案：一共采了112÷14=8（天）

假设8天全是睛天，一共应采松子20×8=160（个）

比实际采的松子多了：160?112=48（个）

晴天和雨天每天采的松子相差个数：20?12=8（个）

用晴天换雨天的天数：48÷8=6（天）

答：这几天中有6天有雨。

4、答案：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种。

利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=（118?6×18）÷（8?6）=5（只）

因此就知道6条腿的小虫共18?5=13（只）

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式

蝉数=（13×2?20）÷（2?1）=6（只），蜻蜓数是13?6=7（只）

答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

5、答案：小鸡的数量变化导致总量变化，但是小鸭的数量始终没有变化，所以要抓“不变量”。

小鸭的只数：36×

43=27（只），买入小鸡后的总量：27÷5

3=45（只） 买入小鸡的只数：45-36=9（只） 答：买入9只小鸡。

五年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）常用的解题技巧

——常用解题技巧（5）

掌握常用的解题技巧

1、掌握常用的解题技巧

2、会用技巧解决实际问题

1、有甲、乙、丙三种货物。如果买甲3件，乙7件，丙1件，共花去 3.15元；如果买甲4件，乙10件，丙1件，共花去 4.20元。现在买甲、乙、丙各1件，需要花多少钱？

2、一条马路长2000米，老张在马路的一端，老李在马路的另一端。他们分别从这条马路的两端同时出发，相对而行。老张每分钟走60米，老李每分钟走40米。老张带着一条狗，狗每分钟跑120米。这条狗与老张一同出发，碰到老李时就向老张跑，碰到老张又向老李跑，……直到老张与老李相遇。问这条狗从出发到老张与老李相遇时共跑了多少米？

3、我国民间流传着这样一个故事，一位老人决定把家里的17头牛全部分给三个儿子。其中大儿子分得二分之一，二儿子分得三分之一，小儿子分得九分之一，但不能把牛杀掉或卖掉。三个儿子应该怎么分？

4、某汽水厂规定：用3个空汽水瓶可换一瓶汽水，某人买了10瓶汽水，问他总共可喝到几瓶汽水？

（即该课程的课后测试）

1、小明买2本练习本、2支铅笔、2块橡皮，共用0.36元，小军买4本练习本、3支铅笔、2块橡皮，共用去0.60元，小庆买5本练习本、4支铅笔、2块橡皮，共用去0.75元，问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱？

2、有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？

3、王师傅加工1500个零件后，改进技术，使工作效率提高到原来的2.5倍，后来再加工1500个零件时，比改进技术前少用了18小时。改进技术前后每小时各加工多少个零件？

4、现有2分硬币、5分硬币各若干枚，其中2分的比5分的多24枚，如果把2分硬币等价换成5分硬币，所得的5分硬币要比原有的5分硬币少6枚。原来两种硬币各有多少枚？

5、某工厂11月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作。直到月底，总厂还剩工人240人。如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（1人1天为1个工作日），且无1人缺勤。那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共____人。

1、答案：

小明：2本+2支+2块= 0.36元

小军：4本+3支+2块=0.60元

小庆：5本+4支+2块=0.75元

现在把小明的各数分别除以2，可得到1本练习本、1支铅笔、1块橡皮共0.18元。

接着用小庆的各数减去小军的个数，得1本练习本、1支铅笔共0.15元。

由此可得，1块橡皮0.03元。代入小军中，则4本练习本、3支铅笔共0.54元。因为1本练习本、1支铅笔共0.15元，则3本练习本、3支铅笔共0.45元。所以，1本练习本0.09元，一支铅笔0.06元。

答：1本练习本0.09元，一支铅笔0.06元，1块橡皮0.03元。

2、答案：先看作实心方阵，则总人数有：10×10=100（人）

再算空心部分的方阵人数。从外往里，每进一层，每边人数少2，则进到第四层，每边人数是：10-2×3=4（人）

所以，空心部分方阵人数有：4×4=16（人）

故这个空心方阵的人数是：100-16=84（人）

答：全阵有84人。

3、答案：改进技术后的工效提高到原来的2.5倍，后来加工1500个零件时，比改进技术前少用18小时，则改进技术后加工1500个零件的时间是18÷（2.5-1）=12（小时）。

原来加工1500个零件的时间是12+18=30（小时）

所以，改进前每小时加工的是1500÷30=50（个）

改进后每小时加工的是1500÷12=125（个）。

答：改进技术前每小时加工50个零件，改进技术后每小时各加工125个零件。

4、答案：我们用方程来解。

设原来有x枚5分的硬币；则2分硬币共有（x+24）枚。

由题意得：2（x+24）÷5=x-6。

解得：x=26，即原来5分币有26枚，2分币有：26+24=50（枚）

答：原来有5分硬币26枚，2分硬币50枚。

5、答案：

到月底总厂剩下240名工人，这240名工人一个月的工作日为240×30=7200（个）。

而8070-7200=870（个）。可知这870个工作日是由总厂派到分厂工作的人在总厂工作的工作日。

设总厂每天派a人到分厂工作，则这些人中留在总厂的工作日分别是：a人做1天，a

人做2天，a人做3天，……a人做29天。

所以，（1+29）×a×29÷2=870，可解得a=2。

故共派到分厂的工人为2×30= 60（人）。

答：这月由总厂派到分厂工作的工人共60人。

五年级数学思维能力拓展专题突破系列（三）常用的解题技巧

——常用解题技巧（6）

掌握常用的解题技巧

1、掌握常用的解题技巧

2、会用技巧解决实际问题

1、鸡兔同笼共20只，总脚数一共为70只，问，有小兔、小鸡各多少只？

2、某次数学竞赛原定一等奖人数为10人，二等奖人数为20人。现在将一等奖中最后4人调到二等奖，这样得到二等奖的学生平均分提高1分，一等奖得分提高3分。问原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？

3、一个两位小数，去掉小数点后比原来的数大53.46。这个两位小数是多少？

4、从1889 到2012这些四位数中，有多少十位和个位数字是相同的？

（即该课程的课后测试）

1、某果园用硫磺、石灰、水制成一种杀虫药水，其中硫磺2份，石灰1份，水10份，要制成这种药水520千克，需要硫磺多少千克？

2、甲、乙、丙三个粮仓共存粮80吨，已知甲、乙两仓存粮数之比是1：2，乙、丙两仓存粮数之比是1：2.5，求甲、乙、丙三个粮仓各存粮多少吨？

3、从每千克0.8元的苹果中取出一部分，又从每千克0.5元的苹果中取出一部分混合后共15千克，每千克要卖0.6元，问需从两种苹果中各取出多少千克？

4、甲、乙两班共90人，期中考试后，由甲班转入乙班4人，这时甲班人数是乙班人数的80%，问期中考试前两班各有多少人？

5. 若银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，利息税是20%，小明的父亲取出一年到期的税后本利和共1527元，问小明的父亲存了多少元？

1、解：设硫磺是2x千克、石灰是x千克、水是10x千克。

根据题意，得 2x+x+10x=520

解方程，得 13x=520

x=40

2x=80

答：需要硫磺是80千克。

2、解：设甲、乙、丙三个粮仓各存粮x吨、2x吨、5x吨。

根据题意，得 x+2x+5x=80

解方程,得 x=10

2x=20

5x=50

答：甲、乙、丙三个粮仓各存粮10吨、20吨、50吨。

3、解：设从每千克0.8元的苹果中取出x千克，则设从每千克0.5元的苹果中取出（15-x）千克。

根据题意，得0.8x+0.5(15-x)=0.6×15

解方程,得 x=5

15-x=10

答：从每千克0.8元的苹果中取出5千克，从每千克0.5元的苹果中取出10千克。

4、解：设期中考试前甲班有x人，则乙班有（90-x）人。

根据题意，得x-4=(90-x+4)×80%

解方程,得 x=44

90-x=46

答：期中考试前甲班有44人，乙班有46人。

5. 解：设小明的父亲存了x元。

根据题意，得x+2.25%(1-20%)x=1527

解方程,得 x=1500

答：小明的父亲存了1500元。