高一数学集合

第一章集合与简易逻辑

本章概述

1.教学要求

[1] 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

[2]掌握简单的含绝对值不等式、简单的高次不等式、分式不等式的解法；熟练掌握一元二次不等式的解法.

[3]理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件.

2.重点难点

重点：有关集合的基本概念；一元二次不等式的解法及简单应用；逻辑联结词“或”、“且”、“非” 与充要条件.

难点：有关集合的各个概念的涵义以及这些概念相互之间的区别与联系；“四个二次”之间的关系；对一些代数命题真假的判断.

3.教学设想

利用实例帮助学生正确掌握集合的基本概念；突出一种数学方法——元素分析法；渗透两种数学思想——数形结合思想与分类讨论思想；掌握三种数学语言——文字语言、符号语言、图形语言的转译.

1.1 集合

目的：要求学生初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；初步了解集合的分类及性质。教学重点：集合的基本概念及表示方法

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合教学过程：

集合与元素：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

指出：“集合”如点、直线、平面一样是不定义概念。

二、集合的表示：

用大括号表示集合{ … }

如：{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}

用拉丁字母表示集合

如：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5}

常用数集及其记法：

1.非负整数集（即自然数集）记作：N

2.正整数集N*或 N+

3.整数集 Z

4.有理数集Q

5.实数集R

集合的三要素： 1。元素的确定性； 2。元素的互异性； 3。元素的无序性

三、关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A 记作a∈A ，相反，a不属于集A 记作 a?A （或a∈A）例：见P4—5中例

五、集合的表示方法：列举法与描述法

1．列举法：把集合中的元素一一列举出来。

例：由方程x2-1=0的解集；例；所有大于0且小于10的奇数组成的集合。

2．描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①文字语言描述法：例{斜三角形}再见P6 ○2符号语言描述法：例不等式x-3>2

的解集图形语言描述法（不等式的解集、用图形体现“属于”，“不属

于” ）。

3. 用图形表示集合（韦恩图法）

六、集合的分类

1．有限集 2．无限集

七、小结：概念、符号、分类、表示法

一、复习：（结合提问）

1．集合的概念含集合三要素

2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集

4．关于“属于”的概念

二、例题

例一用适当的方法表示下列集合：（符号语言的互译，用适当的方法表示集合）1．平方后仍等于原数的数集

解：{x|x2=x}={0,1}

2．不等式x2-x-6<0的整数解集

解：{x∈Z| x2-x-6<0}={x∈Z| -2

3．方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集

解：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)|

(1/2,-2/3)}

4． 使函数6

1

2-+=

x x y 有意义的实数x 的集合

解：{x|x 2

+x-6≠0}={x|x ≠2且x ≠3,x ∈R}

例二、下列表达是否正确，说明理由.

1.Z={全体实数}

2.R={实数集}={R}

3.{（1，2）}={1，2}

4.{1，2}={2，1}

例三、设集合2{|1,},A a a n n N ==+∈2{|45,}.,

B b b k k k N a A ==-+∈∈集合若试判断a 与集合B 的关系.

例四、已知

.,,},,2,2{},,,2{2

的值求且b a N M b a N b a M === 例五、已知集合},032|{2R m x mx R x A ∈=+-∈=，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围.

三、 作业 《教材精析精练》 P5智能达标训练

1.2子集、全集、补集

教学目的： 通过本小节的学习，使学生达到以下要求：

(1)了解集合的包含、相等关系的意义； (2)理解子集、真子集的概念； (3)理解补集的概念； (4)了解全集的意义．

教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含

之间的区别。 教学过程:

第一课时

一 提出问题:集合与集合之间的关系.

存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系.

二 “包含”关系—子集

1. 实例: A={1,2,3} B={1,2,3,4,5} 引导观察.

结论: 对于两个集合A 和B,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则说:

集合A 包含于集合B,或集合B 包含集合A,记作A ?B (或B ?A);也说: 集合A 是集合B 的子集.

2. 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ?B (或B ?A) 注意: ?也可写成?；?也可写成?； 也可写成?；也可写成?。

3. 规定: 空集是任何集合的子集 . φ?A 三 “相等”关系

1. 实例：设 A={x|x 2

-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同

时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ， 即： A=B

2. ① 任何一个集合是它本身的子集。 A ?A

② 真子集：如果A ?B ,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B ?≠ ③ 空集是任何非空集合的真子集。 ④ 如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C 同样；如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ⑤ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 四 例题：

例一 写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集. 例二 解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来. 练习 课本P9

例三 已知22{|1,},{|610,}M x x a a N P y y b b b N ==+∈==-+∈，问集合M 与

集合P 之间的关系是怎样的？

例四 已知集合M 满足{1,2}{1,2,3,4,5},M M ??则这样的集合有多少个？ 五 小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号

几个性质： A ?A

A ?B,

B ?

C ?A ?C A ?B B ?A ? A=B

1.2 第二教时

一复习：子集的概念及有关符号与性质。

提问：用列举法表示集合：A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系。

二补集与全集

1.补集、实例：S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合

B是班上所有没有参加校运动会同学的集合。

集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合。

A?），由S中所有不属于A的元定义：设S是一个集合，A是S的一个子集（即S

素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作：C s A 即C s A ={x | x∈S且x?A} Array 2．全集

定义：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

如：把实数R看作全集U, 则有理数集Q的补集C U Q是全体无理数的集合。

例1（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A

（2）若A={0}，求证：C N A=N*。

（3）求证：C R Q是无理数集。

A。

例2已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求C

U

例3已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，

B的关系。

B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与C

S

三练习：P10（略）

1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若A≠φ，则a的取值范围是

（）

（A）a＜9（B）a≤9（C）a≥9（D）1＜a≤9

2、已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝。如果C U A＝

｛－1｝，那么a的值为。

3、已知全集U，A是U的子集，φ是空集，B＝C U A，求C U B，C Uφ，C U U。

（C U B= C U A ，C U φ＝U ，C U U ＝φ）

4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求C U A.

5、已知U=R ，A=｛x|x 2+3x+2<0｝, 求C U A.

6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A.

7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ）

（A ） M=C U P ，（B ）M=P ，（C ）M ?P ，（D ）M ?P. 四 小结：全集、补集

1,设集合2{2,3,23},{|21|,2},U a a A a =+-=-C U A={5}，求实数a 的值. 2. 设集合

222{|40},{|2(1)10,,},,.

A x x x

B x x a x a a R x R B A a =+==+++-=∈∈?若求实数的值3. 已知集合{123}A ?≠，，且A 中至多只有一个奇数，写出所有满足条件的集合. 4. 设全集U={2,3,322

-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.

(a=2、-4,b=3)

1.3 交集与并集）

教学目的： 通过实例及图形让学生理解交集与并集的概念及有关性质。

（1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念； （2）掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集； 教学重点：交集和并集的概念

教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系 教学过程：

一、复习引入：

1．说出S A C 的意义。

2．填空：若全集U={x|0≤x ＜6，X ∈Z}，A={1，3，5}，B={1，4}，那么C U A= ,C U B= .

3．已知6的正约数的集合为A={1，2，3，6}，10的正约数为B={1，2，5，10}，那么6与10的正公约数的集合为C= .

4. 如果集合 A={a,b,c,d} B={a,b,e,f}用韦恩图表示（1）由集合A,B 的公共元素组成

的集合；（2）把集合A,B 合并在一起所成的集合.

公共部分 A∩B 合并在一起 A ∪B

二、新授

定义： 交集： A∩B ={x|x ∈A 且x ∈B} 符号、读法

并集： A ∪B ={x|x ∈A 或x ∈B}

例题：例一 设 A={x|x>-2},B={x| x<3},求A B .

例二 设 A={x|是等腰三角形},B={x| 是直角三角形},求A B . 例三 设 A={4，5，6，7，8}，B={3，5，7，8}，求A ∪B. 例四 设 A={x|是锐角三角形},B={x| 是钝角三角形},求A ∪B. 例五 设 A={x|-1

例六 设A={2,-1,x 2-x+1}, B={2y,-4,x+4}, C={-1,7} 且A∩B=C 求x,y. 例七 已知A={x|2x 2=sx-r}, B={x|6x 2+(s+2)x+r=0} 且 A∩B={2

1

}求A ∪B. 三、小结： 交集、并集的定义

补充：设集合A = {x | -4≤x≤2}, B = {x | -1≤x≤3}, C = {x |x≤0或x≥

2

5

}, 求A∩B∩C, A ∪B ∪C 。

1.3 第二教时 复习：交集、并集的定义、符号 授课： 一、集合运算的几个性质：

研究题 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5} B = {4，7，8}

求：（C U A ）∩(C U B), (C U A)∪(C U B), C U (A ∪B), C U (A∩B)

若全集U, A,B 是U 的子集，探讨 （C U A ）∩(C U B), (C U A)∪(C U B), C U (A ∪B), C U (A∩B) 之间的关系.

结合韦恩图 得出公式：（反演律）

(C U A)∩( C U B) = C U(A∪B)

(C U A)∪( C U B) = C U(A∩B)

另外几个性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,

A∪A = A, A∪φ= A , A∪B = B∪A.

（注意与实数性质类比）

例8.设A = {x | x2-x-6 = 0} B = {x | x2+x-12 = 0}，求A B

；A∪B 二、关于奇数集、偶数集的概念及一些性质

例9.已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，

求A∩B，A∩Z，B∩Z，A∪B，A∪Z，B∪Z.

练习P13

三、关于集合中元素的个数

规定：有限集合A 的元素个数记作：card (A) 作图

分析得：

card (A∪B) ≠ card (A) + card (B)

card (A∪B) = card (A) +card (B) -card (A∩B)

1.3 第三教时

例1．如图（1）U是全集，A，B是U的两个子集，图中有四个用数字标出的区域，试填下表：

图（1） 图（2）

例2．如图（2） U 是全集，A ，B ，C 是U 的三个子集，图中有8个用数字标 出的区域，试填下表： （见右半版）

例3．已知：A={(x,y)|y=x 2+1,x ∈R} B={(x,y)| y=x+1,x ∈R }求A∩B 。

4. 设集合21{|||2},{|1},,2

x A x x a B x A B a x -=-<=

若求实数的取值范围.

例5. 已知集合

2222{(,)|4},{(,)|20}{(,)20},{(,)|0}

A x y x y y

B x y x xy y

C x y x y

D x y x y =--==--==-==+=（1）判断B,C,D 间的关系； （2）求A∩B.

例6. 已知集合2

{|4260},{|0}.A x R x ax a B x R x =∈-++==∈<

若,A B a φ≠ 求实数的取值范围.