全国硕士研究生入学统一考试数学一试题分析及答案

2007年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）当x →+

0时，与x 等价的无穷小量是

(A) x

e

-1. (B) x

x -+11ln

(C)

11-+x . (D) x cos 1-. [ Ｂ ]

【分析】 x

e -1(1)=--～x - )0(+→x

11-+x 1)1(2

1-+=x ～

x 2

1

)0(+→x x cos 1-～x x 2

1

)(212= )0(+→x

因此选（Ｂ） （2）曲线)1ln(1

x e x

y ++=

渐进线的条数为 (A) ０. (B) １. (C) ２. (D) ３. [ Ｄ ]

【分析】 只有间断点0=x ．由于

;))1ln(1

(lim lim 00∞=++=→→x x x e x

故0=x 为垂直渐进线. 又 1lim lim (ln(1))0ln10,x

x x e x

→-∞→-∞=++=+=

故-∞→x 时有水平渐进线.0=y

又 21ln(1)lim lim 0lim 1,1x x

x x x x y e e x x x e →+∞→+∞→+∞??+=+=+= ?+??

,01ln

lim 0)ln )1ln(1(lim )(lim =++=-++=-+∞→+∞→+∞→x

x x x

x x x e e e e x x y 故+∞→x 时有渐进线.x y = 因此选(D).

（3）如图,连续函数)(x f y =在区间[－3, －2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周。设?

=

x

dt t f x F 0

)()(，则下列结论

正确的是

（A ）)2(4

3

)3(--=F F (B) ).2(45

)3(F F =

(C) ).2(43

)3(F F =-

(D) )2(4

5

)3(--=-F F

[ C ]

【分析】注意，大、小半圆的面积分别为π与

π4

1

。 按定积分的几何意义知，当]2,0[∈x 时0)(≥x f ，当]3,2[∈x 时0)(≤x f 。

? 323002113

(3)()()()(),2424F f t dt f t dt f t dt πππ==+=-=

??? .2

1

)()2(20π==?dt t f F

因为)(x f 为奇函数dt t f x F x

?

=

?0

)()(为偶函数。

? 131

(3)(3),(2)(2).242

F F F F ππ-==

-== 因此 ).2(4

3

)3(F F =

- 选（C ） （4）设函数)(x f 在x=0处连续，下列命题错误的是

(A) 若x

x f x )

(lim

0→存在，则0)0(=f

(B) 若x

x f x f x )

()(lim 0-+→存在，则0)0(=f

(C) 若x

x f x )(lim 0→存在，则0)0('

=f 存在

(D) 若x

x f x f x )()(lim 0--→存在，则0)0('

=f 存. [ C ]

【分析】 设x x f =)(，则

0lim )

()(lim

00

=--=--→→x

x x x x f x f x x 存在，但)0('f 不存在 因此（D ）是错误的。选（D ）。

（5）设函数)(x f 在（0，+∞）上具有二阶的导数，且0)0(>''f 令)2,1)(( ==n n f u n ，则下列结论正确的是

(A) 若,21u u >则{}n u 必收敛。 (B) 若,21u u >则{}n u 必发散。 (C) 若,21u u <则{}n u 必收敛。 (D) 若,21u u <则{}n u 必发散。[ B ] 【分析】 由()0(0)()0)f x x f x '''>>?∞在（，＋单调上升。)(x f 只有以下三种情况：

（1）00,0000,0,0,0)(0)(),,0(x

x x x x x x f x f x >=<

?

??>=<'?='+∞∈?

?)(x f 在（0，0x ）↘，在),[0+∞x ↗,又01x x x >>时

111()()()(),

lim ().

x f x f x f x x x f x →+∞

'>+-?

=+∞

（2）对所有),0()(0)(),,0(+∞?>'+∞∈在x f x f x ↗且.)(lim +∞=+∞

→x f x

（3）对），

）在（∞+<'+∞∈?0(,0)(),,0(x f x f x ，则

或-∞=?+∞

→+∞

→)(lim )(lim x f x f x x 或。

如， ).0(03

)(1)(3>>=''?=

x x

x f x x f )(n f u n =↘，.0)(lim =+∞

→n f n

又如， ),0(03

)(1)(3>>=''?-=

x x

x f x x x f ,1

)(n n

n f u n -==↘但.lim -∞=+∞→n n u

)(),(B A ?不正确

由（1），（2）?（C ）不正确，而（D ）正确。因此，选（D ）。

（6）设曲线L ：),((1),(y x f y x f =具有一阶的连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和Ⅳ象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分小于零的是

(A)

.),(?

Γ

dx y x f (B)

.),(?

Γ

dy y x f

(C)

.),(?

Γ

ds y x f . (D)

.),(),(?

Γ

'+'dy y x f dx y x f y x [ D ]

【分析】记点Ｍ与Ｎ的坐标分别为()()N N M M y x y x ,,, 将

.1),(?=y x f 代入被积表达式得

(B)

0),(<-==??

Γ

Γ

M N y y dy dy y x f

因为将

.1),(?=y x f 求全微分得

(,)(,)0x y f x y dx f x y dy ''+=

因此选（Ｂ）

（７）设向量组321,,a a a 线性无关，则下列向量组线性相关的是

(A),,,133221a a a a a a --- (B) ,,,133221a a a a a a +++

(C) ,2,2,2133221a a a a a a ---. (D) ,2,2,2133221a a a a a a +++[ Ａ ] 【分析】因为

122331()()()0a a a a a a -+-+-=

所以向量组,,,133221a a a a a a ---线性相关，故选（Ａ）．

至于（Ｂ）、（Ｃ）、（Ｄ）的线性无关性可以用123123(,,)(,,)a a a C βββ=的方法来处理。例如

122331123101(,,)(,,)110011a a a a a a a a a ??

??+++=??

????

由于101

1

1020011

=≠，故知,,,133221a a a a a a +++线性相关。

（８）设矩阵，，??

??

?

?????=??????????------=000010001211121112B A 则Ａ与Ｂ

(A) 合同，且相似 (B) 合同但不相似

(C) 不和同，但相似. (D) 既不合同，也不相似 [ B ]

【分析】 根据迹相等是两矩阵相似的必要条件，易见Ａ和Ｂ肯定不相似。由此可以排除（Ａ）与（Ｃ）。

而合同的充分有相同的正、负惯性指数。为此可以用特征值来加以判断。由

22

1112

1

12

1

(3)1

1

21

1

2

E A λλ

λ

λ

λλλλλλλ--=

-=-=---，

矩阵Ａ的特征值为３，3，0。故二次型T

x Ax 的正惯性指数2p =，负惯性指数0q =，而二次型的正惯性指数也为2p =，负惯性指数0q =，所以A 、B 合同。故应选（B ）。

（９）某人向同一目标独立的重复射击，每次射击命中目标的概率为p （)10(<

(A)2)1(3p p - (B) 2

)1(6p p -

(C) 22)1(3p p -. (D) 2

2)1(6p p -. [ Ｃ ]

【分析】 设事件A=“第4次射击恰好第2次命中目标”，则A 表示共射击4次，其中前3次只有1次击中目标，且4次击中目标，因此

1

2223()(1)3(1)P A C p p p p p =-?=-

应选（C ）。

（１０）设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)(),(y f x f y X 分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度)|(|Y X f Y X 为 (A) )(x f X (B) )(y f y (C) )()(y f x f y X . (D).

)

()

(y f x f Y X [ Ａ ] 【分析】 由于(,)X Y 服从二维正态分布，因此从Ｘ与Ｙ不相关可知Ｘ与Ｙ相互独立，于是有

()()X X Y f x y f x =

应选（A ）

若仔细分析，由于X 与Y 不相关，即0ρ=，因此(,)X Y 的联合密度为

2212121()()212

1(,)2x y f x y e

μμσσπσσ??---+????

=

而X ，Y 的边缘密度分别为

2

2

1

2

221

2

()()(),()x x f x f y μμσσ----==，

2

1

21()

1

(,)()()()2x X X Y Y f x y f x y f x f y μσπσ--==＝。

也可知选（A ）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（11）

1

2

31

x e x

=?

１ 【分析】 原式221

11111

2

2

2

21

1

1

1

1111

1()2

2

x

x x x de e e d e e e

e x x

x =-

=-+=-++=?

?

。 （12） 设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y

x

z f x y =，则z

x

?=? 【分析】由多元复合函数求导法，有

1()()ln .y x y x z f f f f x y yx y y x u x v x u v

-???????=+=+??????? （13） 二阶常系数非齐次线性方程2432x

y y y e

'''-+=的通解为y ＝

【分析】 特征方程()()2

43130λλλλ-+=--=的根为1, 3.λλ==

非齐次项,2ax

e a =不是特征根，非齐次方程有特解*

2.x

y Ae =代入方程得

()224832 2.x x A A A e e A -+=?=-

因此，通解为32122.x x x

y c e c e e =+-

（14） 设曲面:1,x y z ∑++=则

()x y ds ∑

+=??

【分析】 ∑关于yz 平面对称，x 对x 为奇函数0.xds ∑

?=??

由变量的轮换对称性.y ds xds z ds ∑

∑

∑

?

==??????

()()111

,333I x y ds y ds x y z ds Ids ∑

∑

∑∑

?

=+==

++==???????? 曲面∑的面积

记∑在第一卦限部分的面积为1σ，则

111

3cos ,22

σγσ==

即

因此 184 3.33I σ=

= （15） 设矩阵01000

01000010

000A ?????

?=??

??

??

，则3A 的秩为 【分析】 因为000

00000000000

0000

000A A ????

?????

??

?==??

??

???

?

????

２

３0１00１0１00，，00可以知秩3()1r A =

（16） 在区间（０，１）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于

1

2

的概率为 【分析】 这是一个几何型概率的计算题。设所取的两个数分别为x 和y ，则以x 为横坐标以y

纵坐标的点(,)x y 随机地落在边长为１的正方形内（如图所示），设事件Ａ表示“所取两数之差的绝对值小于

1

2

”，则样本空间{}(,):01,02;x y x y Ω=<<<<事件Ａ的样本点集合为区域Ｇ中所有的点，而1(,):01,02,.2x y x y y x ??

Ω=<<<<-<

???

?

区域Ω的面积1S Ω=，区域Ｇ的面积 12

131.44

G G S S S S ΩΩ=--=-

= 因此 3()4

G S P A S Ω==。

三 、解答题：17－24小题，共86分。请将解答写在答题纸指定的位置，解答应写出文字说明、证明的过程或演算的步骤。 （17）（本题满分11分）

求函数2

2

2

2

(,)2f x y x y x y =+-在区域{}

22

(,)4,0D x y x y y =+≤≥上的最大值和最

小值.

【分析与求解】 （1）求D 内的驻点及相应的函数值。由

2

2220420

f x xy x

f

y x y y

??=-=??????=-=??? 得1,2.y x =±???=?? 于是(,)f x y 在D 内的4个驻点：1234(2,1),(2,1),(2,1),(2,1).M M M M ----

相应的 ()2

(1,2,3,4).i f M i ==

（2）求(,)f x y 在D 的边界的最大值与最小值。 D 的边界由两部分组成。

一是直线段1:0,22,y x Γ=-≤≤在1Γ上

2

(,)(22),f x y x x =-≤≤

最小值为0，最大值为4。

另一是上半圆周22

2:4(22),y x x Γ=--≤≤在2Γ上

222224

2

2(,)2(4)(4)8557()()(22),

24

f x y x x x x x x x h x x =+---=-+=-+-≤≤记

＝

2255

()2()2, ()00,.22

h x x x h x x x ''=-?===由得

又

7

(0)8,(,(2)4,4

h h h ==±= 于是(,)f x y 在D 的边界上的最大值为8，最小值为0。

（3）通过比较知，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值贼为0。 (18) （本题满分10分）

计算曲面积分

23I xzdydz zydzdx xydxdy ∑

=++??

其中∑为曲面2

2

1(01)4

y z x z =--≤≤的上侧. 【分析与求解】 利用高斯公式转化为求三重积分与辅助面上的曲面积分。 曲面∑不封闭，添加辅助面2

2

11:0(1),4

z x y ∑=+≤法向量朝下，∑与1∑围成区域Ω，取外法向。

因为1∑垂直yz 平面与zx 平面，所以

1

20.xzdydz zydzdx ∑+=??又根据对称性

1

330.D

xydxdy xydxdy ∑=-=????

其中区域2

2

1:14

D x y +

≤关于,x y 轴对称。由高斯公式得

1

1

()

2323(20)33,

D z I xzdydz zydzdx xydxdy

xzdydz zydzdx xydxdy

z z dv zdv dz zdxdy ∑

∑?∑Ω

Ω

=++=

++=++==????

?????????

其中2

2

1:1,4

D x y z +

≤-，面积为2(1).z π-因此 1011

32(1)6().23

I z z dz πππ=-=-=?

(19) （本题满分11分）

设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续,在(),a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得()()f g ξξ''''=.

【分析与证明】 ()()()()[,](,)F x f x g x F x a b a b =-?令在连续，在可导，在题设条件 下，要证存在(,),()0.a b F ξξ''∈=已知()()0,F a F b ==只须由题设再证(,),()0.c a b F c ?∈=

（1） 由题设1122[,]

[,]

(,),max ()(),(,),max ()().a b a b x a b M f x f x x a b M g x g x ?∈==?∈==若12,x x =取

12,()0.c x x F c ===

若12,x x ≠不妨设12,x x <则

111222()()()0()()()0.F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤， 12(,),()0.c x x F c ??∈=

（2）由()()()0,F a F b F c ===对()F x 分别在[,],[,]a c c b 用罗尔定理12(,),(,)

a c c

b ξξ??∈∈使得

12()0,()0F F ξξ''==

再对()F x '用罗尔定理12(,)(,),a b ξξξ??∈?使得

()0,F ξ''=即 ()().f g ξξ''''=

(20) （本题满分10分）

设幂级数

n

n n a x

∞

=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足

240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===

(Ⅰ)证明22

,1,2,;1

n n a a n n +=

=+

(Ⅱ)求()y x 的表达式

【证明与求解】 （Ⅰ）幂级数0

()n

n n y x a x

∞

==

∑在收敛区间(,)-∞+∞内可逐项求导任意次，

11222

,

(1)(2)(1),

n n n n n n n n n y na x y n n a x n n a x ∞

-=∞

∞

-+=='='=-=++∑∑∑

[]20

1

2021

24(2)(1)24,

24(2)(1)2(2)0

n

n

n n n n n n n n n n n y xy y n n a x na x a x a a n n a n a x ∞∞∞

+===∞

+='''?

--=++--=-+++-+=∑∑∑∑

由022(0)00,(2)(1)2(2)0

(1,2,3,)n n y a a n n a n a n +==?=++-+==

02220,0(1,2,3,).1

n n

a a a a n n +?

===

=+

（Ⅱ）2220,(1,2,3,).1

n n

a a a n n +==

=+由及

24620

(1,2,3,).n a a a a n ?

===

===

由初值(0)1y a '==及

22(1,2,3,).1

n n a a n n +=

=+ 91

.4!

a a a a a a a ?=====３１５３７５22111＝1，＝，，24233！

易归纳证得211

(0,1,2,3,)(0!1).!

n a n n +===

2221

21210

00

1()()!!n

n n x

n n n n x y x a x

x x xe n n ∞

∞

∞

+++===?

====∑∑∑

(21) （本题满分11分）

设线性方程组

1231232

12302040

x x x x x ax x x a x ?++=?

++=??++=?

与方程

12321x x x a ++=-

有公共的解,求a 的值及所有的公共解. 【解】 将①与②联立，加减消元有

2

211101

1101

11012001100110,140031

000(1)(2)

01

2

1

101

10

11a a a A a a a a a a a

a ????????????--?

??

??

?=→→??????---??????----??????

如果1,a =则11100

100.00000

000A ?????

?→??????

从而方程组的通解为(1,0,1).T k -即是方程组①与②的公共解。

如果2,a =则11100

110.001

10

0A ?????

?→??-????

从而方程组的通解为(0,1,1).T -即是方程组①与②的公共解。

(22) （本题满分11分）

.设三阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T

a λλλ===-=-是A 的属于1λ的一个特征向

量.记53

4B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.

(Ⅰ) 验证1a 是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量; (Ⅱ) 求矩阵B.

【解】 （Ⅰ）由Aa a λ=知n

n

A a a λ=那么

535353*********,(4)4(41)2Ba A A E a A a A a a a a λλ=-+=-+=-+=-

所以1a 是矩阵B 属于特征值12μ=-的特征向量。 类似地，若222333,,Aa a Aa a λλ==有

53532222233333(41),(41),Ba a a Ba a a λλλλ=-+==-+=

因此，矩阵B 的特征值为1232, 1.μμμ=-==

由A 是对称矩阵知矩阵B 也是对称矩阵，设矩阵B 属于特征值1μ=的特征向量123(,,)T

x x x β=，

那么

11230.T a x x x β=-+=

所以矩阵B 属于特征值1μ=的线性无关的特征向量是23(1,1,0),(1,0,1).T T

ββ===

因而，矩阵B 属于特征值12μ=-的特征向量是1(1,1,1).T

k -其中1k 是不为0的任意常数。 矩阵B 属于特征值1μ=的特征向量是23(1,1,0)(1,0,1),T T

k k +-，其中23,k k 是不全为0的任

意常数。

（Ⅱ）由1222332,,Ba a B B ββββ=-==有

123123(,,)(2,,).B a a a a ββ=-

那么1

123123(2,,)(,,)B a a a a ββ-=-

1

211111033210110303.201101330-----??????

??????=-=????????????--??????

(23) （本题满分11分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

2,

01,01,(,)0

x y x y f x y --<<<

?其他

(Ⅰ) 求{}P X>2Y ;

(Ⅱ) 求z X Y =+的概率密度()z f z 【解】 （Ⅰ）{}11

20

2201,01

2(,)(2)y

x y x y P X Y f x y dxdy dy x y dx ><<<<>=

=--????

1220

37(54).224

y y dy =-+=?

（Ⅱ）如果已知(,)X Y 的联合概率密度为(,)f x y ，则Z X Y =+的概率密度()z f z 可

以直接用卷积公式求解。

()(,).z f z f x z x dx +∞

-∞

=-?

由于被积函数只有在01,01x z x <<<-<即012x z x <<<+<时不为0，此时被积函数

(,)2()2.f x z x x z x z -=---=-

当01z <<时，如图

()(2)(2).z

Z f z z dx z z =-=-?

当12z ≤<时

于是Z 的概率密度为

2(2),01,()(2),

12,0,Z z z z f z z z -<

=-≤

其他。

(24)（本题满分11分）

设总体X 的概率密度为

1

,

0,21

(;)1,2(1),0x f x x θθθθθ?<

其他,

其中参数(01)θθ<<未知.12,,

,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值.

(Ⅰ) 求参数θ的矩估计量?θ

(Ⅱ) 判断2

4X 是否为2

θ的无偏估计量,并说明理由.

【解】 我们用样本矩作为总体矩的矩估计量，用样本矩的函数估计总体矩的同一函数，为此要首先

求出被估参数θ与总体矩的关系。

10

1

22

0()22(1)21

,44(1)4

x x EX xf x dx dx dx

x x θ

θθ

θθ

θθμθθ+∞

-∞

==+-+=

+==-??

?

1

2.2

θμ?

=-

则θ的矩估计量 1?2.2

X θ

=- （Ⅱ）判断2

4X 是否为2

θ的无偏估计量，就是要计算24X 的期望，并判断其是否等于被估计量2

θ，为此我们先计算2

EX ，进而求出,DX DX 与2

EX 。

1

21

()(2)(2).

Z z f z z dx z -=-=-?

2223212

2

121()22(1)66(1)6

x x EX x f x dx dx dx θ

θθθθθθθθ+∞

-∞

-++==+=+=--?

?

?

2222

2

21441445

(),61648

DX EX EX θθθθθθ++++-+=-=-=

,,DX

DX EX EX n

=

= 222

2

2

22445441(),(4),48164

EX DX EX E X n θθθθθθ-+++=+=+≠≠

故24X 不是2

θ的无偏估计量。