10定积分-答案版
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定积分
【知识点】
1．基本的积分公式：
C dx =⎰0
()1,1
11
-≠∈++=
+⎰m Q m C x m dx x m m
C x dx x +=⎰ln 1
C e dx e x x +=⎰
C a a dx a x
x
+=⎰ln
C x xdx +=⎰sin cos
C x xdx +-=⎰cos sin （表中C 均为常数）．
2．定积分的性质
⎰
⎰=b
a
b
a
dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；
⎰
⎰⎰±=±b
a b a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f )()()()(；
⎰
⎰⎰+=b
a
c a
b
c
dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)．
3．定积分求曲边梯形面积
由三条直线a x =，b x =（a b <），x 轴及一条曲线()()()0≥=x f x f y 围成的曲边梯的面积⎰
=
b
a
dx x f S )(．
如果图形由曲线()x f y 11=，()x f y 22=（不妨设()()021≥≥x f x f ），及直线a x =，b x =（
a b
<）所围成，
那
么所求图形的面积
=
-=DMNC AMNB S S S 曲边梯形曲边梯形⎰⎰-b a
b a
dx x f dx x f )()(21．
课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程
【课堂演练】 题型一 定积分的计算 例1 下列式子正确的是（B ） A ．
)()()(a f b f dx x f b
a
-=⎰
B ．
)()()(a f b f dx x f b
a
-='⎰
C ．)()(x f dx x f b
a
=⎰
D ．)()(x f dx x f b
a ='⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰
练1 下列值等于1的积分是（C ） A ．⎰
1
xdx
B ．
⎰
+1
)1(dx x C ．⎰
1
01dx
D ．
⎰1
021
dx
练2
=⎰
1
2dx x (B )
A ．0
B ．
3
1 C ．
23
1x D ．x 2
例2 求出下列定积分的值 （1）
⎰
-2
1
xdx
（2）
⎰
+3
2)2(dx x
（3）
⎰
--0
2
3)(dx x
（4）
dx e x ⎰
2
1
【解】（1）2
3 （2）15 （3）
4 （4）e e -2
练3 求出下列定积分的值： （1）⎰
4
1
dx
（2）
⎰
+1
)3(dx x
（3）
⎰
-+2
1
)1(dx e x
（4）
⎰
+-4
2)4(dx x x
（5）
⎰
-3
2|4|dx x
（6）
()
⎰-+-31
2
123dx x x
【解】（1）3；（2）27；（3）31
2+--e e ；（4）332；（5）3
23；（6）22
例3 求出下列定积分的值：
（1）⎰
2
sin π
xdx
（2）
()()dx x x 2
2
424--⎰
（3）
()
dx x x
⎰--21
2
32
（4）xdx x x 612
3
1
⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+
（5）dx x
⎰+3
011
（6）
dx x ⎰
2
2
【解】（1）1；（2）340（3）311-；（4）76；（5）4ln ；（6）2
ln 3
练4 求出下列定积分的值：
（1）dx x x
⎰-3
22
1 （2）
xdx ⎰-22
2
cos π
π
（3）
()⎰+2
sin π
dx x x
（4）
dx x x ⎰
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2
1
1
（5）
dx x x ⎰
⎪⎭
⎫
⎝⎛+2
1
1 （6）
()
d x
e x x
⎰+20
3
【解】（1）613ln 2ln +-；（2）2π；（3）812π+；（4）2ln 23+；（5）1；（6）3
ln 812
+-e
例4 已知4,12
32
2
=-=⎰⎰
dx x e dx e x ，求下列定积分：
（1）
⎰
+2
)1(dx e x
（2）
⎰
+2
3)(dx x e x
【解】（1）12
+e ；（2）32
+e