高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
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第四章 不定积分
一、学习要求
1、理解原函数与不定积分的概念及性质。
2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。
二、练习
1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A.'()()f x dx f x =⎰ B.()()df x f x =⎰ C.
()()d f x dx f x dx =⎰
D.[()]()d f x dx f x =⎰ 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2
x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）；
A. 2x e -
B. 22x e --
C. 24x e --
D. 24x e -
4．''()xf x dx =⎰（ C ）.
A.'()xf x C +
B. '()()f x f x C -+
C. '()()xf x f x C -+
D. '()()xf x f x C ++.
5
．将化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3
t B. 4t C. 7t D. 12t 6.dx = 1/7 ()73d x -，
2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，219dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1
33x e c ++.
8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ⎰为()f x C +.
9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+
10.已知()cos xf x dx x C =+⎰，则()f x =sin x x
- 11.求下列不定积分
解: (1) 2232tan 1tan tan tan 1sin 3
x dx xd x x c x ==+-⎰⎰ (2) 22arctan 11
x x
x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++⎰⎰⎰ 5342(3)tan sec tan sec sec x xdx x xd x ⋅=⋅⎰⎰
222(sec 1)sec sec x xd x =-⋅⎰ ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+⎰753121sec sec sec 753
x x x c =-++
(4)(1(1
1(1)
x
dx dx
x
==-
-+
⎰⎰
3
2
2
(1)
3
x x c
=-+++
2
,1,
t x t
==-
()
2
32
1
212
2(1)
13
t t
dt t t dt t t c
t
-⎛⎫
==-=-+
⎪
+⎝⎭
⎰⎰
()
3
1
2
1
3
x c
=-++
3
2
2
(1)
3
x x c
=-+++
(5)22
22
111
(1)ln(1)
1212
x
dx d x x c
x x
=+=++
++
⎰⎰
(6)
333
2ln ln ln ln
333
x x x
x xdx xd x d x
==⋅-
⎰⎰⎰
2
333
111
ln ln
3339
x
x x dx x x x c
=⋅-=-+
⎰
(7)()
2211
1ln(1) 111
x x
dx dx dx x dx x c x x x
-
=+=-+++ +++
⎰⎰⎰⎰
2
1
ln(1)
2
x x x c
=-+++
(8)
2
arctan arctan
2
x
x xdx xd
=
⎰⎰22
arctan arctan
22
x x
x d x
=-⎰
22
2
1
arctan
221
x x
x dx
x
=-⋅
+
⎰22
11
arctan1
221
x
x dx
x
⎛⎫
=--
⎪
+
⎝⎭
⎰
21
arctan arctan
222
x x
x x c
=-++
(9) ⎰
2
12
,,
33
t
t x dx tdt
-
===-
则
原式
2
22
122
()(1)
339
t
t t dt t t dt
-
=⋅-=--
⎰⎰
33
2455
22122
()()
99352745
t t
t t dt t c t c
=--=--+=-++
⎰
（10）
222
23221
222222
x x
dx dx dx
x x x x x x
++
=+
++++++
⎰⎰⎰