第七章 习题答案讲解学习

第七章习题答案

第七章 习题解答

7-1已知下列时间函数()c t ，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换。 （a ）2()1()c t t t = （b ）()()1()c t t T t =- （c ）()()1()c t t T t T =--

（d ）()1()at c t t te -=

（e ）()1()sin at c t t e t ω-= （f ）()1()cos at c t t te t ω-= 解：

（a ）根据z 域微分定理有

[][]22222

2431()1

11()1(1)(1)(1)2(1)(1)

1()(1)(1)(1)z

Z t z d z z z Tz

Z t t Tz Tz dz z z z d Tz T z Tz z T z z Z t t Tz Tz dz z z z =

---??=-=-=

??---??

??---+??=-=-=????---??

（b ）因为

()1()1()1()t T t t t T t -=-

所以

[][][]22

(2)

()1()1()1()(1)1(1)Tz Tz Tz z Z t T t Z t t Z T t z z z --=-=-=---

（c ）根据时域位移定理有

[][]1122

()1()()1()(1)(1)

Tz T

Z t T t T z Z t t z z z ----===-- （d ）根据复域位移定理有

221()(1)()aT aT at

aT aT Tze Tze Z t te ze z e ---??==??--

（e ）根据复域位移定理有

22sin 1()sin 2cos aT at

aT aT ze T

Z t e

t z z Te e ωωω----??=??-+ （f ）根据复域位移定理有

22(cos )1()cos 2cos aT at

aT aT z z e T Z t e

t z z Te e ωωω-----??=??-+

7-2已知()c t 的拉氏变换为下列函数，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换。

（a ）21

()C s s =

（b ）()()

a

C s s s a =+

（c ）2()()

a

C s s s a =

+

（d ）1

()()()()

C s s a s b s c =+++

（e ）222

1

()()C s s s a =+ （f ）()1

()1sT C s e s

-=-

解：

（a ）[]22

1(1)Tz Z z t s z ??

==??-??

（b ）

11(1)1()1()()1(1)()T at

T T a z z z e Z Z Z t e t s s a s s a z z e z z e ααα----??-????=-=-=-=??????++----????

（c ）

2222111111()1()()()(1)(1)(1)()(1)(1)()

at T

T T a Z Z Z t t e t s s a s as a s a a a Tz z z Tz z e z a z a z e z a z z e ααα----??????=-+=-+??????++??????-=-+=-

------

（d ）1()()()111

()()()()()()()()()()()()()()()()()()

aT bT cT Z s a s b s c Z b a c a s a c b a b s b a c b c s c z z z

b a

c a z e c b a b z e a c b c z e ---????+++??

??=++??--+--+--+??

=++

--------- （e ）222222222232

11111sin ()()(1)2cos 1Tz z aT

Z Z s s a a s a s a a z a z z aT ????=-=-????++--+???? （f ）111

111sT sT e e z Z Z s s s z z --????-=-=-=????--????

7-3求下列函数的z 反变换。

（a ）0.5(1)(0.4)

z

z z --

（b ）2()()

T T z

z e z e ----

（c ）2

2

(1)(2)z z z ++

解：

(a)

1

100.555521()(1)(0.4)6160.465n

n z z z Z Z t nt z z z z δ∞--=????????=-=-- ? ????? ?----????????∑ （b ） ()11222222011()()1()T T T T T T T T nT nT

T T

n z z z Z Z z e z e e e z e e e z e e e t nT e

e δ----------∞

----=????

=-????------??

??=---∑

(c)

21

122102(1)(2)(2)21(1)(2)(12)()n n

n z z z z Z Z z z z z z n t nT δ--∞

+=????-=++??

??+++++????

??=-+---??∑

7-4已知0k <时，()0c k =，()C z 为如下所示的有理分式

120121212()1n

n n

n b b z b z b z C z a z a z a z ------++++=

++++L L 则有

0(0)c b =

以及

[]1()()n

k i i c kT b a c k i T ==--∑

式中k n >时，0k b =。 （a ）试证明上面的结果。 （b ）设

23220.5

()0.5 1.5

z z C z z z z +-=-+-

应用（a ）的结论求(0)c 、()c T 、(2)c T 、(3)c T 、(4)c T 、(5)c T 。 解： （a ）设

121234012012341212()1n

n n

n b b z b z b z C z c c z c z c z c z a z a z a z

----------++++==+++++++++L L L 显然有

00c b =

以及

10110

202112000

1

1

k

k

k

k k i i k k i i k k i i

i i i b c a c a b c a c a c a b c a c a c a c c a ---====+=++==+=+∑∑∑M

式中k n >时，0k b =。上式即

[]1

()()n

k i i c kT b a c k i T ==--∑

k n >时，0k b =。证毕。 （b ）设

23220.5

()0.5 1.5

z z C z z z z +-=-+-

应用关系式

1k

k k k i i i c b c a -==-∑

有

(0)0

()2(1)02

(2)1(1)()0.503

(3)0.5(1)30.52(1.5)0 1.5

(4)0(1) 1.5(0.5)3( 1.5)2003

(5)0(1)30.5 1.5( 1.5)30200 6.75

c c T c T c T c T c T c T ==--?==--?-?==---?-?-?==--?-?--?-?==--?-?--?-?-?=

7-5试用部分分式法、幂级数法和留数法，求下列函数的z 反变换。

（a ）10()(1)(2)

z

E z z z =--

（b ）1

12

3()12z E z z z ----+=-+

（c ）2

()(1)(31)

z

E z z z =++ （d ）2

()(1)(0.5)z

E z z z =-+

解： （a ）

部分分式法

1110101010102(1)(2)12n

z z z Z Z z z z z --??-??=+=-+?????----????

幂级数法

11234

12

1010103070150(1)(2)132z z z z z z z z z z -------==++++---+L 留数法

121010()Res Res 10102(1)(2)(1)(2)n n n

z z z z e nT z z z z ==????=+=-+?????----???? （b ）

1221222

333()1221(1)z z z z z

E z z z z z z ----+-+-+===-+-+-

部分分式法

21

12232332(1)(1)1z z z z Z Z n z z z --????-+--=+=--????---???? 幂级数法 21

0123212

333579(1)12z z z z z z z z z -------+-+==----+--+L 留数法

212

12

211211

3()Res (1)3(1)3(1)32(1)n z n n n z z z z e nT z z d z z z z n z nz n dz z -=--==??

-+=??-????-+??=

-=-++=--????-??

（c ）

部分分式法

(

)(

)221

112

22213113(1)(31)4143141431431111cos sin 4422111sin 30422n n

n n

n z z z z z z Z Z Z z z z z z z z n n n πππ---??????-=-=-+??????+++++++??????

????=-- ? ?????????=-+- ? ?????o

幂级数法

223456

2123

0.3330.3330.2220.2220.259(1)(31)33z z z z z z z z z z z z ---------==-+-++++++L 留数法

()

()2

22

121()Res Res Res (1)(31)(1)(31)(1)(31)(31)11413144n n

n

z z z n n

n z z z n

n

k k z z z e nT z z z z z z z z =-==-=-=-=??????=++??????++++++????????????=++??

+??-=-+=

--()()()(

)(

)()6111cos sin 44242111sin 30422n n n n n

n

n

n n n j j j j n n n πππ??????+---??????????=--+ ? ?????????=-+- ? ?????o （d ）

部分分式法

11221

442(1)(0.5)9190.53(0.5)4412199232n

n z z z z Z Z z z z z z n ---????=--????-+-++????

????=

---- ? ?????

幂级数法

2245

223

0.750.25(1)(0.5)10.750.25z z z z z z z z z ------==+++-+--L 留数法 2210.5

1212210.51

20.5

()Res Res (1)(0.5)(1)(0.5)(1)(0.5)(1)(0.5)(1)(0.5)491(1)4412199232z z n n z z n n

z n

n z z

e nT z z z z z d z z z z z z z dz z z nz z z z n ==---==--=-????=+??

??-+-+????????=-++????-+-+??????=

+-

??--??????=---- ? ?????1

-

7-6用z 变换法求下面的差分方程

(2)3(1)2()0,(0)0,(1)1x k x k x k x x ++++===

并与用迭代法得到的结果(0)x 、(1)x 、(2)x 、(3)x 、(4)x 相比较。 解：差分方程两边z 变换得到

22()(0)(1)3()3(0)2()0z X z x z x z zX z x z X z --+-+=

即

2

()32

z

X z z z =++ 112(1)(2)3212n n

z z z Z Z z z z z --????=-=---????++++????

迭代法得到

(2)3(1)2(0)31203

(3)3(2)2(1)(3)(3)217(4)3(3)2(2)(3)72(3)15x x x x x x x x x =--=-?-?=-=--=-?--?==--=-?-?-=-M

结果是相同的。

7-7求传递函数为

（a ）1()Ts e a

G s s s a --=+

（b ）1()()

Ts e a

G s s s s a --=+

的部件的脉冲传递函数。 解： （a ）

111()()Ts e a z a z a Z Z Z s s a z s s a z s s a -??????

---==??????+++??????

查表得 (1)()(1)()aT aT

a e z

Z s s a z z e --??-=??+--?? 于是得到

111()Ts aT

aT

e a z a e Z Z s s a z s s a z e ---????---==????++-????

（b ）

2

11()()Ts e a z a

Z Z s s s a z s s a -????--=????++????

查表得 22(1)()(1)(1)()aT aT

a Tz e z

Z s s a z a z z e --??-=-??+---?? 于是得到

11(1)(1)

()1()

(1)()Ts aT aT aT aT aT aT

e a T e aT e z e aTe Z s s s a z a z e a z z e -------??---++--=-=??+----??

7-8试应用终值定理确定下列函数的终值。

（a ）1

12

()(1)

Tz E z z --=- （b ）2

()(0.8)(0.1)

z E z z z =--

解：

（a ）()E z 在单位圆外和单位圆上除(1,0)点外没有极点，故可以应用终值定理，有

112111()lim(1)()lim(1)lim (1)1

z z z Tz Tz

e z E z z z z -*

-→→→∞=-=-==∞--

（b ）()E z 在单位圆外和单位圆上没有极点，故可以应用终值定理，有

2

11()lim(1)()lim(1)0(0.8)(0.1)

z z z e z E z z z z *

→→∞=-=-=--

7-9图7.48中()h G s 为零阶保持器的传递函数，即

1()Ts

h e G s s

--=

试证明

()

1()

C z E z =

图7.48 习题7-9图

解：证明

[]111

()111sT sT h e e z Z G s Z Z s s s z z --????-==-=-=????--????

证毕。

7-10一阶保持器的输入输出波形如图7.49所示。在一阶保持器中，当

(1)kT t k T ≤<+时，输出是前两个采样时刻采样值((1))x k T -和()x kT 外推得到的直线，即

[]()()((1))(),(1)t kT y t x kT x k T x kT kT t k T T

-=--+≤<+

图7.49 习题7-10图

假设输入()x t 是0t =时的单位脉冲函数，绘制一阶保持器的输出波形，求一阶保持器的传递函数。

解：假设输入()x t 是0t =时的单位脉冲函数，一阶保持器的输出波形如下

根据上面给出的单位脉冲输入下一阶保持器的输出波形，得到脉冲响应()()k t y t =的表达式为

121

()1()1()21()()1()1(2)(2)1(2)k t t t t t T t T t T t T t T t T T T T

=+?-?---?-+-+-?-

传递函数等于脉冲响应的拉氏变换，即

222222

121()1()1()21()()1()1(2)(2)1(2)11122111Ts Ts Ts Ts Ts G s L t t t t T t T t T t T t T t T T T T e e e e s T s s T s s T s Ts e T s -----??

=+?-?---?-+-+-?-??

??

=+--++??+-= ?

??

7-11设开环离散系统如图7.50所示，试求开环脉冲传递函数()G z 。

（a ）

（b ）

图7.50 习题7-11图

解：对图（a ）所示系统，环节间有采样开关，有

22525252510()25()()T T T T z z z G z Z Z s s z e z e

z e z e ----????

===????++----???? 对图（b ）所示系统，环节间没有采样开关，有

25252525103103()252510 3.33()3()()

T T

T T T T

G z Z Z s s s s z z e e z z e z e z e z e -------????

==+????++++????

-??=-=??----??

7-12试求图7.51闭环离散系统的脉冲传递函数()z Φ或()C z 。

（a ）

（b ）

（c ）

图7.51 习题7-12图

解：对图（a ）所示系统有

1312()()()()()()()()

()()()()()

C s G s E s B s E s R s G s C s B s E s B s G s G s **

***??=-??

=-??=-??

即有

[]

1312()()()()()()()()()()()()()C s G s E s B s E s R s G s C s B s E s B s G s G s *********

***??=-??=-??=-??

两边z 变换有

[][]1312()()()()()()()()()()()()

C z G z E z B z E z R z G z C z B z E z B z G G z =-=-=-

即

[]131212()()()()()()()()()

()()

1()

C z G z E z B z E z R z G z C z G G z B z E z G G z =-=-=

+ 化简得到

[]12133

12()

()()()()()()()()1()G G z C z G z R z G z C z R z G z C z G G z ??=---??+??

即

11213()()

()()1()()()

G z C z z R z G G z G z G z Φ=

=++ 对图（b ）所示系统有

34241()()()()()()()()()()()()

h C s E s G s G s G s R s G s G s E s R s G s C s *=+=-

即有

[]{

}

13424()()()()()()()()()()h C s R s G s C s G s G s G s R s G s G s *

*=-+

两边采样有

[]{

}

[][]13424()()()()()()()()()()h C s R s G s C s G s G s G s R s G s G s *

**

**=-+

两边z 变换有

[]13424()()()()()h C z RG z C z G G G z RG G z =-+

化简得到

1342434()()()

()1()

h h RG z G G G z RG G z C z G G G z +=

+

对图（c ）所示系统有

1122122()()()()()()()()

()()()

h h C z E z D z G G G z R z D z G G G z NG z E z R z C z =++=-

即有

[]1122122()()()()()()()()()h h C z R z C z D z G G G z R z D z G G G z NG z =-++

化简得到

1122122112112()()()()()

()()1()()1()()h h h h D z G G G z D z G G G z NG z C z R z D z G G G z D z G G G z +=+++

7-13设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分的传递函数为

21

()(5)

G s s s =+

输入()1()r t t =，采样周期1T =秒。试求： （a ）输出z 变换()C z 。

（b ）采样瞬时的输出响应()c t *。 （c ）输出响应的终值()c ∞。 解：

（a ）查表求得开环脉冲传递函数为

5225

525225

21(1)()(5)5(1)25(1)()(4)(16) 4.006740.959625(1)()25(1)(0.00674)

z e z

G z Z s s z z z e e z e z z z z z e z z -----??-==-??+---??++-+==---- 系统的闭环脉冲传递函数为

232()0.16030.0384()1() 1.8464 1.05190.0067

G z z z

z G z z z z +Φ==+-+-

系统输入()1()r t t =，输出z 变换为

23

232

4

320.16030.0384()()() 1.8464 1.05190.00671

0.16030.03842.8464 2.8983 1.05860.0067

z z z

C z z R z z z z z z z

z z z z +=Φ=-+--+=-+-+ （b ）用综合除法得到

32

4

3212345560.16030.0384() 2.8464 2.8983 1.05860.0067

0.160.654 1.596 3.015 4.846 6.949.087z z C z z z z z z z z z z z z -------+=-+-+=++++++L （c ）从系统响应看出系统不稳定，故无法得到终值。

7-14试判断下列系统的稳定性。

（a ）已知闭环离散系统的特征方程为

()(1)(0.5)(2)0D z z z z =+++=

（b ）已知闭环离散系统的特征方程为

432()0.20.360.80D z z z z z =++++=

（c ）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期1T s =，开环传递函数

222.57

()(1)

G s s s =+

解：

（a ）特征方程有单位圆外的根2-，所以系统不稳定。 （b ）构造5行5列的朱利表有

01234

10.80.3610.21210.210.360.8

30.360.0880.20.24

0.2

0.2

0.088

0.36

50.08960.0720.0896

z z z z z -------

(1)0D =>，(1)0D -=>，400.81a a =<=，300.360.2b b =>=-，但

200.08960.0896q q ===，故系统临界稳定。 （c ）系统的开环脉冲函数为

122

12

222.5722.5722.57(1)()(1)(1)(1)()8.303 5.963(1)(0.3679)

z e z

G z Z s s z z z e z z z z --??-==-??+---??+=

--

系统的特征方程为

32() 5.93517.69880.3680D z z z z =++-=

做w 变换有

()()()()()()3

2

3

2

2

3

32111() 5.93517.69880.368

1111 5.9351117.6988110.368114.2659 2.340311.7379 3.13170

w w w D w w w w w w w w w w w w w +++??????

=++- ? ? ?---??????

=+++-++---=+-+= 出现负的系数，系统不稳定。

7-15采样系统如图7.52所示，采样周期0.5T =秒。

图7.52 习题7-15图

（a ）绘制0K >时系统的闭环根轨迹图，求分离点坐标。 （b ）根据闭环根轨迹图，求系统稳定时K 的取值范围。