用卡诺图表示逻辑函数
03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻 均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的 取值按格雷码的顺序排列。 二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表 的二进制数对应的十进制数即为 格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是 逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的 图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小 项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示 逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位 置上填入1，在其余位置填入0或不填。 这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′
卡诺图的认识
卡诺图的认识一、卡诺图的含义：把N个逻辑变量的全部最小项按一定规则排列出来的小方格矩形图。
1．最小项：由每一个变量构成的乘积项（与项），每个变量在乘积项中，只能以原变量或反变量的形式，仅出现一次；N个逻辑变量的逻辑函数构成的最小项个数m=2N。
2．一定规则：（1）卡诺图的画法。
将逻辑变量的个数N分为纵、横两组，若N为奇数：则纵、横两组任一组多一个变量都可以；若N为偶数；则纵、横两组平分。
以格雷码对变量进行二进制编码，分别作为纵、横坐标，纵、横坐标编码的一一对应点，即为小方格。
（2）几何相邻：相邻——紧挨；相对——行或列的两头；相重——对称点。
特点；最小项中只有一个变量取值不同。
二、用卡诺图表示逻辑函数①从真值表画卡诺图。
根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（0 或 1）即可。
需注意二者顺序不同。
②从最小项表达式画卡诺图。
把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入 1，其余的小方块中填入 0（0 一般不用写出）。
三、逻辑函数的卡诺图化简法1．最关键的步骤是：组圈。
正确组圈的原则是：①必须按 2、4、8、…2N的规律来圈取值为 1 的相邻最小项②每个取值为 1 的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次。
③圈的个数要最少（“与”项就少），即不要出现多余的圈（如果一个圈中所包含的最小项都是其他圈所包含了的，则这个圈就是多余的），另外，圈要尽可能大（消去的变量就越多）。
2．卡诺图中最小项合并的规律是：合并相邻最小项，可消去变量。
合并两个相邻最小项，可消去一个变量；合并四个相邻最小项，可消去两个变量；合并八个相邻最小项，可消去三个变量；合并 2N个最小项，可消去N个变量。
消去的是合并的相邻最小项中不同取值的变量，留下的是相同取值的变量——去“变”留“同”。
逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
用卡诺图化简逻辑函数
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m 0, m １,m ２,……来编号。
1010001111001A BCAB CD B A 0001111000011110m m m m m mmmm m m m 012300112233m m m m m m m m m m m m m m m m 456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
逻辑函数的五种描述方法
逻辑函数的五种描述方法
逻辑函数的五种描述方法包括：
1.真值表：逻辑函数的真值表是一种描述逻辑函数的方法，它列出逻辑函数的输入和
输出变量的所有可能组合，以及对应的函数值。
2.表达式：逻辑函数可以用布尔代数表达式来描述，例如和、差、积、商、最大项、
最小项等。
这些表达式可以用来表示逻辑函数，并且可以方便地用于逻辑函数的计算和化简。
3.逻辑图：逻辑图是一种描述逻辑函数的方法，它用电路元件和连线来表示逻辑函数。
在逻辑图中，每个电路元件代表一个逻辑运算，每个连线代表一个逻辑变量。
4.卡诺图：卡诺图是一种描述逻辑函数的方法，它用方格来表示逻辑函数。
在卡诺图
中，每个方格代表一个逻辑函数，每个方格中的涂色表示逻辑函数的取值。
5.表格：逻辑函数也可以用表格来描述，表格列出逻辑函数的输入和输出变量的所有
可能组合，以及对应的函数值。
这些描述方法可以互相转换，并且在实际应用中根据需要选择合适的方法。
用卡诺图化简逻辑函数
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。
01 0100011110 01ABCABCDBA0001111000011110m m m mm m m mm mm m01230112233mmmmmmmmmmmmmmmm456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
逻辑函数卡诺图表示方法
逻辑函数卡诺图表示方法从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。
一、最小项的定义 1.最小项如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。
对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。
2.最小项的编号最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。
确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。
例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。
下表为3变量最小项对应表。
3变量全部最小项的真值表3.最小项表达式如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。
例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。
对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。
例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。
解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m4.最小项的性质：①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。
用卡诺图化简逻辑函数合并最小项的规则
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24
2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
[例2.5.17]：用卡诺图将下式化简为最简与-或逻辑
函数式。
Y ABC ABD CD ABC ACD ACD
解： Y CD
AB 00 01 11 10
D
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 1 1 1
第五节 逻辑函数的化简
A A 1
可在逻辑函数式中的某一项乘 ( A A)，
然后拆成两项分别与其他项合并。
[例2.5.13]：Y BC AC AB
( A A)BC AC AB
ABC ABC AC AB
AB AC
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则可合并为一项并消去一对因子。 2. 若四个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去两对因子。 3. 若八个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去三对因子。
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第五节 逻辑函数的化简
合并两个相邻最小项的情况：
BC A 00 01 11 10
01 1 0 1
B
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
卡诺图化简的步骤：
1. 将函数化为最小项之和的形式。
2. 画出表示该逻辑函数的卡诺图。
3. 找出可以合并的最小项。
4. 选取化简后的乘积项。
选取乘积项的原则： 1. 这些乘积项应包含函数式中所有的最小项。 2. 所用的乘积项数目最少。 3. 每个乘积项包含的因子最少。
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2020/3/4
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=(45)10
第1章 数字电路基础 任意二进制数可表示为
( N )2
i
i K 2 i
其中, i同样为-∞～+∞之间的任意整数；Ki为第i位的数码，可是0 或1；2i为第i位的“权” 数。如一个带小数的二进制数 101.101 可按式(1-2) 展开表示为 (101.101)2=1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3
(2347.35)10=2×103+3×102+4×101+7×100+3×10-1+5×10-2
第1章 数字电路基础
2.
二进制数只有两计数码0和1， 每位的基数为2， 即相邻两
位数值相差 2 倍基数，计数规律是“逢二进一”。如一个二进
制数101101可表示为 (101101)2=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20 =32+8+4+1
第1章 数字电路基础
第1章 数字电路基础
1.1 数字系统中的计数体制与编码
1.2 逻辑函数
1.3 逻辑函数的卡诺图化简法
本章小结
第1章 数字电路基础
1.1 数字系统中的计数体制与编码
1.1.1 用数码表示数量的多少称为计数， 而用何种方法来计数则 是计数体制问题。 我们在日常生活及生产中广泛使用的计数体 制是十进制。 而在数字系统中讨论的是用电路实现逻辑关系的
(132.4)8=1×82+3×81+2×80+4×8-1
=(90.5)10
第1章 数字电路基础 4. 十六进制数使用0～9、A、B、C、D、E、F等16个数码， 其中A代表10、 B代表11、C代表12、D代表13、E代表14、F 代表15，每位的基数为16。其表达式为
( N )16
i
第1章 数字电路基础 例1-4 将十进制数(0.843 75)10转换成二进制数。 解 用乘2取整法过程如下:
得(0.84375)10=(0.11011)2。
对于同时具有整数和小数部分的数，可将其分解为整数部
分和小数部分，再分别转换。
第1章 数字电路基础
例1-5 将十进制数(23.3125)10转换成二进制数。 解
一”，每位的基数为10(相邻2位数值相差十倍基数)。
任意一个十进制数可表示为
( N )10
i
i K 10 i
第1章 数字电路基础 式中，Ki为第i位的数码；i为数码的位数。其中Ki可以是（0～9）
十个数码之一，i可为-∞～+∞之间的任意整数，10i则为第i位的
“权” 数。例如：
数的组合便是所求的二进制数。注意最先得出的余数对应二进
制的最低位。
第1章 数字电路基础 例1-3 将十进制数(47)10转换成二进制数。 解 用除2取余法过程如下:
得 (47)10=(101111)2
第1章 数字电路基础
十进制的小数部分可用“乘2取整”法转换成相应的二进制 数， 即将这个十进制数小数部分连续乘2，直至为0或满足所要 求的误差为止。每次乘2所得整数的组合便是所求的二进制数。 注意最先得出的整数对应二进制的最高位。
=4+1+0.5+0.125=(5.625)10
此表达式也称为按权展开式。
第1章 数字电路基础
3.
八进制有0～7八个数码， 每位的基数为8，计数规律是
“逢八进一”。 其表达式为
( N )8
i
i K 8 i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中，Ki可取0～7八个数码之一，8i为第i位的“权” 数。例如 一个八进制数132.4可按式(1-3) 展开表示为
第1章 数字电路基础 1.1.2
1.
将二进制转换成十进制的方法为按式(1-2)按权展开， 二进
制的权为2i。为便于熟练转换，
表1-1 9位二进制的权值
第1章 数字电路基础 例1-1 将二进制数(101101011)2转换成十进制数。 解
(101101011)2=1×28+0×27+1×26+1×25+0×24+1×23+0×22+1×21 +1×20
二进制转换成十六进制，可将二进制数以小数点为基点，
分别向左和向右“每4位为一组，不够添0”，直接将二进制转换 成十六进制。
第1章 数字电路基础 例1-6 将二进制数(11101.01)2转换成八进制数。 解
011 101 . 010
3 5 .2
得(11101.01)2=(35.2)8。
第1章 数字电路基础 例1-7 将二进制数(1011010101.01)2转换成十六进制数。 解 0010 1101 0101 . 0100 2 D 5 . 4
i K 16 i
其中， Ki 可取 0 ～ F 这 16 个数中的任意一个数码， 16i 则为第 i 位的
“权” 数。例如一个十六进制数A3F.C可按式(1-4) 展开表示为
(A3F.C)16=A×162+3×161+F×160+C×16-1
=2560+48+15+0.75=(2623.75)10
=256+64+32+8+2+1 =(363)10
第1章 数字电路基础 例1-2 将二进制数(1110.011)2 转换成十进制数。 解 (1110.011)2=1×23+1×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3
=8+4+2+0.25+0.125
=(14.375)10
第1章 数字电路基础 2. 十进制转换成二进制 十进制数转换成二进制数可将整数部分和小数部分分开进行。 十进制的整数部分可用“除2取余”法转换成相应的二进制 数， 即将这个十进制数连续除 2，直至商为0，每次除2所得余
问题，采用的是二进制计数体制。二进制数太长时会使计数不
方便，故经常采用八进制和十六进制进行辅助计数。
第1章 数字电路基础 1. 十进制 我们都知道，一个数的大小由两个因素决定，一个是这个 数位数的多少， 另一个是每位数码的大小。 我们熟悉的十进制 数每位的数码是0～9，超过9的数就要用多位表示，即“逢十进
得 (23.3125)10=(10111.0101)2。
第1章 数字电路基础 3. 二进制与八进制、 由于八进制的基数为 8 ，而 8=23 ，因此，1 位八进制数刚好 换成 3位二进制数。同样，十六进制的基数为 16 ，而16=24，因 此， 1位十六进制数刚好换成4位二进制数。 二进制转换成八进制，可将二进制数以小数点为基点，分 别向左和向右“每3位为一组，不够添0”，直接将二进制转换成 八进制。