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(整理)微分方程建模

简介

第三章 微分方程模型

3.1微分方程与微分方程建模法

一、 微分方程知识简介

我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。

微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）→(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法）→(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。

0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它

是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。

1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解

法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。

分离变量法：（1）可分离变量方程： ;

0)()()()();()(=+=dy y Q x P dx y N x M y g x f dx dy

(2) 齐次方程：);();(w

vy ux c by ax f dx dy x y f dx dy ++++==

常数变易法：(1) 线性方程，),()(x f y x p y =+'

(2) 伯努里方程，,)()(n y x f y x p y =+'

积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。

对于一阶隐式微分方程,0),,(='y y x F 有

参数法：(1) 不含x 或y 的方程:;0),(,0),(='='y y F y x F

(2) 可解出x 或y 的方程：);,(),,(y y f x y x f y '='=

对于高阶方程，有

降阶法：;

0),,(;0),,,,()()1()(='''=+y y y F y y y x F n k k Λ 恰当导数方程

一阶方程的应用问题（即建模问题）。

2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。

3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次

微分方程的通解结构，刘维尔公式等）；

n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程的幂级数解法。

4．常微分方程的基本定理：常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。

5．常微分方程的稳定性理论：掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。

6．常微分方程的定性理论：掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。

7．差分方程。

8．偏微分方程。

二、数学建模的微分方程方法

微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手

段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学（特别是几何）模型，物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。下面，我们给出如何利用方程知识建立数学模型的几种方法。

1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型。这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。

例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的[5]。又如在天文学、气象学中常用到的等角轨线，已知曲线或曲线族(c)，求曲线l（等角轨线或正交轨线），使l与(c)中每条曲线相交成给定的角度（这是题目中明确给出的条件，即曲线的切线相交成给定的角度，这样，就在它们的导数之间建立了联系），又题目中隐含的条件是：在l与(c)中曲线相交点处，它们的函数值相等；这

样，我们只要求出已知曲线或曲线族的微分方程，根据它们之间的联系，就可以建立等角轨线的微分方程模型，从而求出等角轨线的方程[5]。

2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型。我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线y=y(x)上某点的切线斜率即函数y=y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运动定律：f=ma,其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数；电学中的基尔霍夫定律等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m ，空气阻力系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：0)0(=v 。由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：

2kv mg dt

dv m

-= 求解模型可得： )1]2(exp[)1]2(exp[+-=m

kg t k m kg t

mg v 由上式可知，当+∞→t 时，物体具有极限速度：

k

mg v v t ==∞→lim 1， 其中，阻力系数s k αρ=，α为与物体形状有关的常数，ρ为介质密度，s 为物体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在ρα,,m 一定时，要求落地