高考数学讲义抛物线之切线与定点问题

2014年二轮复习抛物线之切线与定点问题
内容
明细内容
要求层次
了解
理解 掌握 圆锥曲线
椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程
√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系
√
北京三年高考两年模拟统计
中点弦 垂直角度
弦长面积范围
定点定值 共线比例
其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计
7
8
15
14
5
5
抛物线之切线与定点
2014年高考怎么考
自检自查必考点
抛物线22y px =分为上下两支，可以分别看成函数求导 对于22y px =求导得2'2yy p =，则'p y y
=
抛物线22y px =在11(,)A x y 的切线的斜率为1
AT p k y = 故切线AT 为111
()p
y y x x y -=- 化简得到11
()p
y x x y =
+ 同理切线BT 为22
()p
y x x y =+
抛物线切线性质总结（老师带领学生证明）
性质1：过抛物线一弦AB 的中点平行于对称轴的直线与抛物 线交于点P ，若过P 的切线为PT ，则PT //AB
性质2：过抛物线上一点P 的切线交其对称轴于点T ，则PF TF =
性质3：过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上
T
P
Q
B
A
O
y
x
F
O
y
x
A
自检自查必考点
T
F B
A
O
y
x
性质4：过抛物线的准线上任一点所作的两条切线必须相互垂直
性质5：过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 性质6：切线交点与弦中点连线平行于对称轴
性质7：过抛物线准线上的一点引抛物线的两条切线，则准线上这点与焦点连线与准线的夹角被切线平分 性质8：过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径
性质9：从抛物线的焦点向它的任意切线作垂线，则其垂足必在抛物线顶点的切线上
性质10：过抛物线的焦点作直线与抛物线的任意切线垂直，则此直线与准线的交点和切线的连线必
平行于此抛物线的对称轴
性质11：抛物线的三切线围成的三角形的垂心必在准线上
【例1】 证明：过抛物线上一点00M x y （，）的切线方程是：00y y p x x =+（）
【例2】 设抛物线2y =2px 的焦点弦AB 在其准线上的射影是11A B ，证明：以11A B 为直径的圆必过一定点
2
2y px =例题精讲
【例3】 在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的,A B 两点．
⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅u u u r u u u r
的值；
⑵如果4OA OB ⋅=-u u u r u u u r
证明直线l 必过一定点，并求出该定点．
【例4】 如图,过抛物线()220y px p =>上一定点()()000,0,P x y y >作两条直线分别交抛物线于
()()1122.,,.A x y B x y
(I)求该抛物线上纵坐标为
2
p
的点到其焦点F 的距离; (II)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12
y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数.
y
P
O x
A
B
【例5】 如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点()()()11221,2,,,,P A x y B x y 均在抛物线上. （I ）写出该抛物线的方程及其准线方程;
（II ）当PA PB 与的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y +的值及直线AB 的斜率.
x
【例6】 如图，在平面直角坐标系xoy 中，过y 轴正方向上一点(0,c)C 任作一直线，与抛物线2y x =相
交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q
（Ⅰ）若2OA OB ⋅=u u u r u u u r
，求c 的值；
（Ⅱ）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （Ⅲ）试问（Ⅱ）的逆命题是否成立？说明理由。

【例7】 已知抛物线2:2C y x =，直线2y kx =+交C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的
垂线交C 于点N ．
（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB ⋅=u u u r u u u r
，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．
【例8】 已知点Q 到定点(,0)p （0p >）与它到定直线x p =-的距离相等
（Ⅰ）求动点Q 的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点(30)A p -，
的直线与Q 的轨迹交于E 、F 两点，设(30)A p '，，当直线A E '与A F '的斜率都存在时，求证直线A E '、A F '的斜率之和为0．
【例9】 已知平面上两个定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一个动点，且满足MP MN ⋅=u u u r u u u u r
||||PN MN ⋅u u u r u u u u r ．
⑴ 求动点P 的轨迹C 的方程；
⑵ 若A 、B 是轨迹C 上的两个不同动点AN NB λ=u u u r u u u r
．分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设其
交点为Q ，证明NQ AB ⋅u u u r u u u r
为定值．
【例10】已知抛物线22y x =及定点(11)(10)A B -，
，，，M 是抛物线上的点，设直线AM BM ，与抛物线的另一交点分别为12M M ，
． 求证：当点M 在抛物线上变动时（只要12M M ，存在且1M 与2M 是不同两点），直线12M M 恒过 一定点，并求出定点的坐标。

（1）
【例11】在平面直角坐标系xoy中，设点(10)
F，，直线:1
l x=-，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ FP
⊥，PQ l
⊥．
⑴求动点Q的轨迹的方程；
⑵记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦,
AB CD的中点分别为
AB CD，设,
M N．求证：直线MN必过定点(3,0)
,
R．
【例12】过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P Q
、，通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?
【例13】如图，曲线G 的方程为220.y x y =≥（）以原点为圆心，以0t t >（）
为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B 直线AB 与x 轴相交于点C .
（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；
（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a ＋，求证：
直线CD 的斜率为定值.
x
y B A O a Ｃ D
【例14】如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2
y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ， （1）若2OA OB ⋅=u u u r u u u r ，求c 的值；
（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。

【例15】如图，设抛物线方程为22(0)x py p =>，M 为 直线2y p =-上任意一点，过M 引抛物线的切线，
切点分别为A ，B ．
⑴ 求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；
⑵ 已知当M 点的坐标为(22)p -，
时，AB = ⑶ 是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r （O 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【例16】已知点P 与定点F )0,1( 的距离和它到定直线l: 4x 的距离之比是1 : 2.
(1)求点P 的轨迹C 方程;
(2)过点F 的直线交曲线C 于A, B 两点, A, B 在l 上的射影分别为M, N.
求证AN 与BM 的公共点在x 轴上.。