幂数列求和公式的推导及证明
幂数列求和公式的推导及证明
我们把诸如“k 1，k 2，……，k n （k 为自然数）”之类的数列叫做幂数列。如1，2，……，n ；21，22，……，2n ；31，32，……，3n ；41，42，……，4n 等。
下面几个公式经数学归纳法证明是正确的：
++21 (2)
n n 21)n(n n 2+=+=+， ++2221 (6)
n 3n 2n 61)1)(2n n(n n 232++=++=+， ++3321……4n 2n n ]21)n(n [n 23423
++=+=+， ++4421……30n 10n 15n 6n n 3454
-++=+， ++5521……12n 5n 6n 2n n 24565
-++=+， ++6621……42n 7n 21n 21n 6n n 35676
+-++=+，++7721 (24)
2n 7n 14n 12n 3n n 246787+-++=+， ++8821……903n 20n 42n 60n 45n 10n n 357898
-+-++=+， ++9921 (20)
3n 10n 14n 15n 10n 2n n 24689109-+-++=+， ++101021……665n 33n 66n 6n 655n 33n 6n n 3579101110
+-+-++=+。 我们把这几个公式叫做幂数列前n 项和公式，其中前三
个已出现在高中课本上。出人意料的是，这些公式并不随着幂次数的增高而变得像我们想象的那样复杂，等号右端次数虽高，但项数并不是特别的多，因为某些项被消掉了。并且各项的系数的绝对值也都还没超过1。这些公式是怎样推导出来的呢？
下面以4次幂数列为例介绍一个推导方法。
我们先看一个展开式:
6n,11n 6n n 3)2)(n 1)(n n(n 234+++=+++ 由这个展开式可得6n 11n 6n 3)2)(n 1)(n n(n n 234---+++=。
取1n =，则6116432114---???=，取2n =，则
262112654322234?-?-?-????=，……
这些等式两端分别相加得
++4421……+???+???=+5432432[1n 4……
3)]2)(n 1)(n n(n ++++++-3321(6……++-+223211(1)n ……
++-+26(1)n 2……n)+
为了计算中括号里边的值，我们先举一个例子：计算
式子+???+???+???654354324321……103102101100???+的值。
按常规算法，这300次乘法计算和99次加法计算即使使用计算器恐怕1小时之内很难完成任务。若各项都乘5，得+????+????+????565435543254321……5103102101100????+，这样前两项相加得65432????,再加第三项得76543????，依
此类推，加到最后一项，得数应是104103102101100????，故
123423453456???+???+???+ (103)
102101100???+）（1041031021011005
1????=，由此猜想+???+???+???654354324321……
3)（n 2)(n 1)(n n +?+?+?+4)3)(n 2)(n 1)(n n(n 5
1++++=， 所以
++4421……+???+???=+54324321[4n ……
3)]2)(n 1)(n n(n ++++++-3321(6……++-+22321(11)n ……
++-+26(1)n 2……)n +， 其中中括号里边的值为4)3)(n 2)(n 1)(n n(n 5
1++++,再把1，2，3次幂数列求和公式分别代入上式并化简，得
++4421……30n 10n 15n 6n n 3454
-++=+。 这个公式的正确性可用数学归纳法来证明，证明过程如 下:
取1n =，则130
110156=-++，公式显然成立；假设k n =公式也成立，即++4421……30k 10k 15k 6k k 3454-++=+，则1k n +=时
有++4421……=++4
1)(k =++-++43451)(k 30k 10k 15k 6k
3030
119k 15k 120k 45k 6k 2345+++++，而
=+-+++++30
1)(k 1)10(k 1)15(k 1)6(k 3453030
119k 15k 120k 45k 6k 2345+++++，所以
43451)(k 30k 10k 15k 6k ++-++30
1)(k 1)10(k 1)15(k 1)6(k 345+-+++++=，这就证明了当1k n +=时公式也成立。通过以上证明可知，
n 取任何自然数公式都成立。
用类似的方法可以分别推导出5至10次幂数列求和公式，并可仿照上面的方法证明.至于11次及11次以上的幂数列求和公式,相信你在读完本文后也一定能推导和证明的。
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分
二级等差数列求和公式及推导
二级等差数列求和公式就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和? 二级等差数列求和公式 就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和? a2-a1=k a3-a2=k+d a4-a3=k+2d …… an-a(n-1)=k+(n-2)d 相加
an-a1=(n-1)k+[1+2+……+(n-2)]d=(n-1)k+(n-2)(n-1)d/2 所以an=a1+(n-1)k+(n-2)(n-1) d/2 二阶等差数列怎样求和 a1=1 an-a(n-1)=2n-1 Sn=? a1 = 1 a2 - a1 = 2*2 -1
a3 - a2 = 2*3 -1 a4 - a3 = 2*4 -1 …… an - a(n-1) = 2*n - 1 以上等式相加后,得到通项公式 an = 1 + 2(2+3+4+……+n) - 1-1-1- …… -1 =2(1+2+3+……+n) - n =n(n+1) - n =n^2
检验: a2 - a1 = 4 - 1 = 2*2 - 1 a3 - a2 = 9 - 4 = 2*3 - 1 a4 - a3 = 16 -9 = 2*4 - 1 成立 下面求 Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 (n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1 利用上面这个式子有：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1 3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1 4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1 5^3 - 4^3 = 3*4^2 + 3*4 + 1 …… (n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1
(完整版)数列求和常见的7种方法
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)
§6.2 等差数列 一．课程目标 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二．知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式：2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和.
(1)通项公式的推广：*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有q p n m a a a a +=+。特别的，当p n m 2=+时，p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列，则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 （1）若}{n a 是等差数列，则}{n S n 也是等差数列， 其首项与}{n a 的首项相同，公差为}{n a 的公差的 2 1。 （2）数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. （3）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2，则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ，则n a n n S )(1-=偶，n na S =奇，1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 （4）若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,，则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系： （1）n d a n d S )(2 212-+= ，数列{a n }是等差数列? S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). （2）在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.
等比数列求和教案
课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标
●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程
数列求和公式证明
1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边 数学归纳法可以证 也可以如下做比较有技巧性 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n) 由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项] =[n(n+1)(n+2)]/3 所以1^2+2^2+3^2+......+n^2 =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2 =n(n+1)[(n+2)/3-1/2] =n(n+1)[(2n+1)/6] =n(n+1)(2n+1)/6 2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？ 设n为奇数, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1) =2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1) =8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1) =8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设n为偶数, 请你自己证明一下！ 所以， 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 设an=n×（n+1）=n^2+n Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1） =(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 =n(n+1)(n+2)/3
数列求和常见的7种方法
数列求与得基本方法与技巧 一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式 错位相减法求与 反序相加法求与 分组相加法求与 裂项消去法求与 分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与 二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。 数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需 要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、 一、利用常用求与公式求与 利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、４、 5、 ［例1］已知,求得前n项与。 解:由 由等比数列求与公式得(利用常用公式) ＝==1- ［例2］设S n＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、 解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴＝ =＝ ∴当,即n＝８时, 二、错位相减法求与 这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn·ｂn｝ 得前n项与,其中｛a n｝、｛bｎ}分别就是等差数列与等比数列。 ［例3］求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积 设………………………。②(设制错位)
①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4］ 求数列前n 项得与、 解:由题可知,{｝得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列｛｝得通项之积 设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与 这就是推导等差数列得前ｎ项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5］ 求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6］ 求得值 解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① ＋②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S=44、５ 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。 解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (２)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、 练习、求值:
等比数列的求和公式
等比数列的求和公式 一、 基本概念和公式 等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） q q a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S = 1na （q = 1） 即如果q 是否等于1不确定则需 要对q=1或1≠q 推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中 ；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇= d n 2 。 二、 例题精选： 例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。 例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。 - 例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ； （2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。
例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。 例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？ 例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。 例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。 例8：在 n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。 例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。
高中数学必修5《等差数列求和公式》教学设计
《等差数列求和公式》教学设计 知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n 项和公式是重点。获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学策略：用游戏的方法调动学生的积极性教学用具：flash ，ppt课堂系统部分：整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段 问题呈现1：有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。 问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一袋金币是假的？ S = 10 + 9 + + 2 + 1 2S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11?10=110110S ==552动画演示： 由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出 的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么 电子秤显示的数据应该是： (两) 55?2= 110 而实际显示的的数字是：102（两） 可见比全是真币时少了8两 又因为，每个假币比真币轻1两 所以，可知在电子秤上有8个假币 那么，第8袋全是假币。 设计说明：
这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。 动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式 承上启下，探讨高斯算法. 问题呈现2： 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝 石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度， 可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形, , 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让 , 将两个三角形拼成平行四边形. (1+21) ?21s = 212 设计说明： ?源于历史，富有人文气息. ?图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础. 探究发现： 问题3：如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?
等差、等比数列与数列求和
高考专题突破三 高考中的数列问题 第1课时 等差、等比数列与数列求和 题型一 等差数列、等比数列的交汇 例1 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.已知S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q . 由题设可得????? a 1(1＋q )＝2， a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n . (2)由(1)可得 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋ 13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋ 3－2n ＋ 23 ＝2????－23＋(－1)n 2n ＋ 13＝2S n ， 故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 思维升华 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程. 跟踪训练1 (2019·鞍山模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＋1，S 3，S 4成等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S 4，S 6，S n 成等比数列，求n 及此等比数列的公比. 解 (1)设数列{a n }的公差为d 由题意可知???? ? 2S 3＝S 1＋1＋S 4，a 22＝a 1a 5， d ≠0， 整理得????? a 1＝1，d ＝2a 1 ，即???? ? a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝2n －1.
等比数列和等差数列公式
等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。称为公比，符号为q。 公比公式 根据等比数列的定义可得： 通项公式 我们可以任意定义一个等比数列 这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有： a2 = a1q， a3 = a2q = a1q2， a4 = a3q = a1q3， ， 以此类推可得，等比数列的通项公式为： a n = a n ? 1q = a1q n ? 1， 求和公式 对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。 于是把称为等比数列的和。记为： 如果该等比数列的公比为q，则有： （利用等比数列通项公式）(1) 先将两边同乘以公比q，有： (1)式减去该式，有： (q ? 1)S n = a1? a1q n (2) 然后进行一定的讨论 当时，
而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。 但我们可以发现，此时： = na1 ?综上所述，等比数列的求和公式为： ?经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时 （更正：分母为1-q） 当时, 等比数列无限项之和 由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: （更正：分母为1-q）性质 如果数列是等比数列，那么有以下几个性质： ? 证明：当时， ?对于，若，则 证明： ∵ ∴
?等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有 ?在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。 ?也成等比数列。 等差数列 等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列 就是一个等差数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。 通项公式 如果一个等差数列的首项标为，公差标为，那么该等差数列第项的表达式为： . 等差数列的任意两项之间存在关系： 等差中项 给定任一公差为的等差数列。从第二项开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。例： 证明： 设， 则 ∵(矛盾) ∴ 证毕
等差数列求和公式教学设计
等差数列求和公式教学 设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
等差数列前n项的和教学设计 一、教材分析 本节教学内容选自高中必修5，教材安排1课时。 数列是中职数学教学的重要内容之一，与实际生活有着紧密的联系，而“等差数列前n项的和”一节，更是体现了数列在生产实际中的广泛应用, 如堆放物品总数的计算，分期付款、储蓄等有关计算都用到本节课的一些知识，因此，本节课对于学生能否树立“有用的数学”的思想，有着重要作用。本节课的教学不仅关系到学生对数列知识的学习,也关系到学生对数学这一学科的兴趣, 因此设计好这节课的教学是至关重要的，通过这节课要让学生体会到：（1）数学来源于生活，生活需要数学；（2）数学学习是为专业课学习服务的；并以此激发学生学习数学的兴趣和热情。因此，本节课可谓本章教学的关键点之一，有着举足轻重的地位。 二、教学目标 知识目标： 掌握等差数列前n项的和的公式。 能力目标： 1、能够运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题，增强学生应用知识的能力； 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力； 3、练习题采取由学生讲解的方式完成，锻炼学生的语言表达能力。 情感态度价值观： 1、通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法； 2、通过与生活实际相联系的例题及习题，使学生了解数学在生活中的实用性，渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求，培养学生严谨的工作作风。 三、重点、难点 教学重点：等差数列的前n项和的公式及其应用。 教学难点：等差数列的前n项和的公式的推导。
高二数学 等比数列求和公式的推导过程及方法
等比数列求和公式的推导过程及方法 Sn=a1+a2+……+an q*Sn=a1*q+a2*q+……+an*q=a2+a3+……+a(n+1) Sn-q*Sn=a1-a(n+1)=a1-a1*q^n (1-q)*Sn=a1*(1-q^n) Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) 等差数列 通项公式： an=a1+(n-1)d 前n项和： Sn=na1+n(n-1)d/2 或Sn=n(a1+an)/2 前n项积： Tn=a1^n + b1a1^(n-1)×d + ……+ bnd^n 其中b1…bn是另一个数列,表示1…n中1个数、2个数…n个数相乘后的积的和等比数列 通项公式： An=A1*q^（n－1） 前n项和： Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 前n项积： Tn=A1^n*q^(n(n-1)/2) 设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为Sn Sn=a1+a2+a3+……+a(n-1)+an =a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1) 等式两边乘以公比q q*Sn=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^(n-1)+a1*q^n 两式相减 Sn-q*Sn =a1+(a1*q-a1*q)+(a1*q^2-a1*q^2)+……+[a1*q^(n-1)-a1*q^(n-1)]-a1*q^n =a1-a1*q^n 即(1-q)*Sn=a1*(1-q^n) 得Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) F=100*[1+(1+0.06)^3+(1+0.06)^2+(1+0.06)] =100*[(1+0.06)^0+(1+0.06)^1+(1+0.06)^2+(1+0.06)^3] 可以看出中括号内是首项为1、公比为1+0.06的等比数列前4项求和 套用上面的公式,a1=1,q=1+0.06,n=4,可得 F=100*{1*[1-(1+0.06)^4]/[1-(1+0.06)]} =100*[(1+0.06)^4-1]/0.06 第1页共1页
等比数列的前n项求和公式
自选课题：等比数列的前n项和 教学设计 1．教学内容解析 本节内容为现行人教A版《必修5》的第二章的核心内容，它在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中． 数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型．在现行教材的编排中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值． 课标要求：学生经历等比数列前n项和公式的探索过程，掌握等比数列前n项和公式及推导方法，并能进行简单应用． 等比数列前n项和公式的知识内容之所以被列为掌握层次，主要是因为它与函数、等差数列的内在联系，尤其是它在数学史上的历史印迹，以及探索过程中所蕴含的丰富的数学思想（如特殊到一般、类比、基本量、分类讨论、函数与方程、转化与化归等），所需要的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算素养，都能充分发挥数学的育人功能。 基于以上分析，本节课的教学重点为：等比数列前n项和公式的导出及其应用。 2.学生学情分析 本节课的授课对象为宜昌市夷陵中学高一年级实验班，夷陵中学是湖北省重点中学、省级示范高中，学生有较好的数学学科基础．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的发现、特点等方面进行类比，这是积极因素，可因势利导．然而，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，对学生的思维能力提出很高的要求．另外，对于q = 1这一特殊情况，运用公式计算时学生往往容易忽视．教学对象刚进入高一不久，虽然逻辑思维能也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，缺乏深刻的理性思考。 基于以上分析，本节课的教学难点为：等比数列前n项和公式的探究及其推导。 3. 教学目标设置 （1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等比数列前n项和公式的来龙去脉，感受前人严谨的治学精神，体验数学的魅力和数学文化的熏陶。 （2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，掌握等比数列前n项和公式的不同推导方法，领悟公式的本质，并能运用公式解决简单问题。 （3）学生在经历等比数列前n项和公式的发生、发展、推导和证明的过程中，感悟特
等差数列与等比数列归纳
二轮专题复习：等差数列与等比数列 澄海实验高级中学 曦怀 一、教材分析： 数列知识是历年高考的重点容，是必考的热点。数列考查的重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等比等差数列的性质的灵活运用。这一部分主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿．在选择题、填空题中突出了“小、巧、活”的三大特点，在解答题中以中等难度以上的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等重要容，试题中往往体现了函数与方程，等价转化，分类讨论等重要的数学思想。 二、复习目的： 1．熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式、等差（比）中项及等差（比）数列的相关性质． 2. 灵活运用等差（比）数列的相关性质解决相应问题.在解决数列综合性问题时，灌输方程思想、化归思想及分类讨论思想。培养学生运算能力、逻辑思维能力、分析问题以及解决问题的能力. 三、复习重点、难点： 重点：等差、等比数列的定义、通项公式、前几项和公式、等差（比）中项及等差（比） 数列的相关性质． 难点：灵活运用差（比）数列的相关性质结合函数思想、方程思想探求解题思路，分析问 题、解决问题． 复习容： 四、复习过程： （一）知识要点回顾： 1、重要公式： （1）数列通项公式n a 与前n 项和公式n S 之间的关系：1n 1 n 1 S n 2 n n S a S -=?=?-≥?. （2）等差数列： ①定义：1{}(n n n a a a d +? -=为等差数列常数）. ②通项公式：1(1)n a a n d =+- ， ()n m a a n m d =+- . ③前n 项和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-=+ = . ④等差中项:112n n n a a a -+=+ .
等差数列求和公式推导方法
等差数列求和公式推导方法 有很多喜欢学习数学的同学，是非常的想知道，等差数列求和公式推导 方法是什幺，小编整理了相关信息，西瓦会对大家有所帮助！ 1 等差数列求和公式是怎幺推导的一。从通项公式可以看出，a(n)是n 的一 次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n 项和公式知，S(n)是n 的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。 二。从等差数列的定义、通项公式，前n 项和公式还可推出：a(1)+a(n) =a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=… =a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n- k+1))，k∈{1,2,…,n} 三。若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1) =(2n-1)*a(n)，S(2n+1)= (2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。 若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p) (对3 的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n) p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p (q)) 其他推论 ①和=(首项+末项)×项数÷2 (证明：s(n)=[n,n ]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n
等差与等比数列和数列求和的基本方法和技巧
高考专题复习——等差与等比数列 一、知识结构与要点： 等差、等比数列的性质推广 定义n n n n n n a a a a d a a -=-→=-++++1121 N n ∈ 通项d n a a t n )1(1-= —等差中项 abc 成等差2 c a b += ? 基本概念 推广 d m n a a m n )(-+= 前n 项和nd n n a n a a S n )1(2 1 2)(121-+=+= 等差数列 当d>0(<0) 时{}n a 为递增（减）数列 当d=0时}{n a 为常数 基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等 1121......+--+==+=+i n i n n a a c a a a a N i ∈ q p n m a a a a q p n m +=+?+=+ }{n a 中共k n n n .......21成等差则nk n n a a a ......,,21也成等
定义: n n n n n n a a a a q a a 1121+++-=→= N n ∈ 通项 →?=-11n n q a a 等比中项：a b c 成等比数列ac b =?2 基本概念 推广m n q -? 前n 项和=n S )1(11)1() 1(11 1≠--= --=q q q a a q q a q n a n n 等比数列 与首末两端等距离的两项之积相等 1121......+--?===i n i n n a a a a a a q p n m a a a a q p n m ?=??+=+ }{n a 成等比，若k n n n ,...,21 成等差 则nk n a a a ,...,21 成等比 基本性质 当 1 01>>q a 或 1001<<q a 时 {}n a 为递减数列 当 q<0时 {}n a 为摆动数列 当 q=1时 {}n a 为常数数列 二、典型例题 例1．在等差数列中20151296=+++a a a a 求20S 解法一 d n a a n )1(1-+=Θ 20 )192(2)14()11()8()5(11111151296=+=+++++++=+++∴d a d a d a d a d a a a a a ∴101921=+d a 那么100)192(102 ) (20120120=+=+= d a a a S 解法二：由q p n m a a a a q p n m +=+?+=+
《等差数列求和公式》教案
等差数列求和公式 一、教材分析： 数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习数学的必备的基础知识。 二、学生分析： 数列在对于我们的学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要 三、教学目标： 1．与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 2．过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 3．情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 四、教学重点与难点： 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 课堂系统部分： 五、教学过程 1．问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图）， 问题1：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 在知道了高斯算法之后，同学们很容易把本题与高斯 算法联系起来，也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形,引引导学生去思考,如何将图与高斯的逆序相加结合起来,让 他们借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形.
获得算法： 设计说明： ? 源于历史，富有人文气息. ? 图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础. 2．探究发现： 问题3： 由前面的例子，不难用逆序相加法推出 3．公式应用 例题1： 2008年北京奥运会的体育馆已初步建成，其中有一块地的方砖成扇形铺开，有人数了第一排的方砖个数为10个，最后一排的方砖个数为2008个，而且一共有36排，问这一块地的方砖有多少块？ 本例提供了许多数据，学生可以从题目条件发现，只告知了首项、尾项和项数，于是从这一方向出发，可知使用公式1，达到学生熟悉公式的要素与结构的教学目的。 通过两种公式的比较，引导学生应该根据信息选择适当的公式，以便于计算。例题2： 2003年医护人员积极致力于研究人体内的非典病毒，已知一个患病初期的人人体内的病毒数排列成等差数列，且已知第一排的病毒数是2个，后面每一排比前一排多3个，一共有78排，问这个人体内的病毒数有多少个？ 本例已知首项，公差和项数，引导学生使用公式2。 事实上，根据提供的条件再与公式对比， 便不难知道应选公式。 例题3： 甲从A地出发骑车去B地，前1分钟他骑了了400米，后来每一分钟都比前一分钟多骑5米，当他到达B地时的那一分钟内骑了500米，问A地和B地之间的距离？