这种最短网络称为最小生成树
斯坦纳树算法路径选择
斯坦纳树算法路径选择斯坦纳树算法，是用于网络优化中的一种算法，通常用于求最小生成树。
斯坦纳树算法主要用于寻找网络中的一些特定节点，这些节点被称为“终端节点”，并通过一些路径连接起来。
斯坦纳树算法的基本思路是通过构建一棵最小生成树，将终端节点连接起来。
在最小生成树的构建过程中，算法会假设所有的节点都是终端节点，并尝试找到一些最小的路径使得这些节点之间连接起来，然后将这些路径添加到最小生成树中。
斯坦纳树算法的步骤如下：1. 确定终端节点。
在开始算法之前，需要确定网络中的一些节点作为终端节点。
通常终端节点是预先指定的，它们可以是网络中的一些特定节点或者是一些已知的关键节点。
2. 构造所有终端节点之间的路径。
使用一些最短路径算法，如 Dijkstra 算法或Floyd 算法，来构造所有终端节点之间的路径，并计算它们之间的距离。
这个过程可以比较耗时，需要使用一些常用的优化技巧来提高效率。
3. 寻找最小生成树。
使用一些最小生成树算法（如 Kruskal 算法）来找到包含所有终端节点的最小生成树。
4. 将路径加入最小生成树中。
将第二步中构造的所有路径加入到最小生成树中，形成一棵新的斯坦纳树。
这个过程通常需要进行一些捆绑（bundling）和压缩（compression）操作，以减少斯坦纳树的复杂度。
5. 循环优化。
从最小生成树的根节点开始，逐级向下遍历，找到每个非终端节点的最短路径，并将这个路径添加到斯坦纳树中。
这个过程需要循环执行，直到所有非终端节点都被连接起来，或者直到满足一些停止条件为止。
总的来说，斯坦纳树算法是一种比较复杂的算法，需要一些高级的数据结构和算法知识。
但是它在一些网络优化问题中具有显著的优势，可以为网络设计提供更优秀的方案。
运筹学-图与网络模型以及最小费用最大流(高级课堂)
v4
v5
高等课堂 7
图与网络的基本概念与模型
环, 多重边, 简单图
e1
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 v2
e2
e4 v1e3
v3
之间多于一条，称为多重边，如右图
e5
中的e4和e5，对无环、无多重边的图
e6
e7
e8
称作简单图。
v4
v5
高等课堂 8
图与网络的基本概念与模型
的长度（单位：公里）。
17
v2
5
6
15
6 v4
V1
（甲地）
43
10
4
4
2
v5
v6
解：这是一个求v3无向图的最短路的问题。可以把无向图的每一边
（vi,vj）都用方向相反的两条弧（vi,vj）和（vj,vi）代替，就化为有向图，
即可用Dijkstra算法来求解。也可直接在无向图中用Dijkstra算法来求解。
最短路问题
最短路问题：对一个赋权的有向图D中的指定的两个点Vs和Vt找 到一条从 Vs 到 Vt 的路，使得这条路上所有弧的权数的总和最小， 这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。这条路上所有弧的权数的总 和被称为从Vs到Vt的距离。
• 求最短路有两种算法:
狄克斯屈拉(Dijkstra)（双标号）算法 逐次逼近算法
• 图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。 • 一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲
直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。
图的定义(P230)
若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图 G可以定义为点和边的集合，记作：
图的最小生成树
保证不形成回路
(2)TE=TE+（u0,v0), 边（u0,v0)并入TE (3)U=U+{v0}，顶点V0 并入U
特点: 以连通为主、选代价最小的邻接边
说明：Prim算法的起始点（可不写，默认为0）
翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节
奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，
【练习】请用kruskal算法找出下图最小生成树。
练习
利用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树 算出该最小生成树的代价
最
1
10
小
生
成
21 6
树 19
算
法
33
思
想
5
18
二
1
10
6 Prim算法
2
11
5
6
3
14 6
4
2
11
5
6
3
初始条件
点集合={u0}， TE={φ}。
5
18
4
普里姆（Prim）最小生成树算法
1
③
④
3
42
⑤
6
利用Prim演算法找最小生成树
以A点为起始点
L ：A D B C E F T ： h c d e a
graph
割顶： 连通图中的一个点，如果删去这个点和相关的边， 那么整个图就不再连通了。 （这里只讨论无向图中的桥和割顶） B A F E C D
在左图中，DE之间的边即为这张图中唯 一的一个桥。
而D,E则分别为这张图中的两个割顶。
G
桥和割顶
A B
A
F E C D G C D
B
E F
在dfs树中，我们不难发现，对于一个桥，必 然没有一条返祖边跨越这条边，反之，则必然 存在一条返祖边跨越这条边。
}
例2、phoneline (USACO)
有N(1<=n<=1000)个点，M(1<=m<=10000)条边， 寻找一条从结点1到结点N的路径，使得其中各 边长度的最大值最小。并且给定一个整数 K(0<=k<=300)，可以使路径中的K条边长度变为 零。求最小的那个最大值。 乍看和最短路没有关系，因为要求最大值最小。
时间复杂度同最短路径
Sec.3 最小生成树
最小生成树的定义：对于一个连通的带权图，选取一些边，使 得整个图连通，并且所选边的权值和最小。这些边与点所构成 的集合就是最小生成树。
3
4 4
3
湖经数据结构 7-图
计算机科学与技术学院 软件工程系 邓沌华
基于邻接矩阵的图的深度优先遍历算法
typedef struct vertextype
void DFS (MGraph G,int v )
{ int no;
char data; }VertexType; typedef struct mgraph
{ int w;
4
8
5
6
7
是一个递归的过程，类似于树的先序遍历。
遍历结果：
1
2
4
8
5
3
6
7
计算机科学与技术学院 软件工程系 邓沌华
例 1： 1
深度优先遍历
答案一： 1
2 5 4 3 答案二： 6
2
4
8
5
6
3
7
7 8
1
2
5
8
4
7
3
6
答案三：
1 3 6 8 7 4 2 5
计算机科学与技术学院 软件工程系 邓沌华
例 2： 已知图的邻接表如下所示，根据算法，则从顶点0出 发按深度优先遍历的结点序列是 A. 0 1 3 2 C. 0 3 2 1 B. 0 2 3 1 D. 0 1 2 3 √
计算机科学与技术学院 软件工程系 邓沌华
引言 图是比线性表和树更为复杂的非线性的数据结构。 线性表：前后相继、序列；
树：层次、分支；
图：结点之间 的关系可以是任意的，任意两个数 据元素之间都可能相关。 线性表和树都可以看成是简单的图。 图的应用领域：电路网络分析、交通运输、管理 与线路的铺设、印刷电路板与集成电路的布线等； 工作的分配、工程进度的安排、课程表的制订、 关系数据库的设计等。
第二章 生成树
第二章树教学安排的说明章节题目：§2.1树的特性；§2.2割边与割点，§2.3生成树学时分配：共2课时本章教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题．课 堂 教 学 方 案课程名称：§2.1树的特性；§2.2割边与割点；§2.3 生成树授课时数：2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：会正确表述关于树的一些基本概念（如树、生成树、割边与割点），会用避圈法和破圈法找生成树，会用树的方法描述一些简单的实际问题． 教学重点、难点：（1） 理解树的概念以及树的等价命题；（2） 掌握割边与割点的概念；（3） 理解生成树的定义；（4） 掌握找生成树的两种方法——避圈法和破圈法。
教学内容：树是图论中的一个重要概念。
树是一种极为简单而又非常重要的特殊图，它在计算机科学以及其它许多领域都有广泛的应用。
在1847年克希霍夫就用树的理论来研究电网络，1857年凯莱在计算有机化学中222n C H 的同分异构物数目时也用到了树的理论。
各类网络的主干网通常都是树的结构。
本节介绍树的基本知识，其中谈到的图都假定是简单图。
2.1 树的特性定义2.1.1 连通无圈的无向图称为无向树，简称为树（Undirected tree ）。
记作T ，树中的悬挂点（或称T 中度数为1的顶点）又称为树叶（leave ）（或叶顶点），其它顶点称为树枝（Branch Point 或内点(Inner Point)）。
诸连通分支均为树的图称为森林（forest ），树是森林。
例1 图1中（a ），（b ）为树，（c ）为森林。
图1由于树无环也无重边（否则它有圈）,因此树必定是简单图。
树还有等价命题：设T 是一个无向(,)n m 图，则以下关于T 的命题是等价的。
(1) T 是树；（2）T 无圈且1m n =-；(3) T 连通且1m n =-；（4）T 无圈，但增加任一新边，得到且仅得到一个圈。
数据结构练习（二）答案
数据结构练习（二）答案一、填空题：1．若一棵树的括号表示为A（B（E，F），C（G（H,I,J,K）,L）,D（M（N））），则该树的度为（1）4，树的深度为（2）4 ，树中叶子结点的个数为（3）8。
2．一棵满二叉树中有m个叶子，n个结点，深度为h，请写出m、n、h之间关系的表达式（4）n=2h-1,m=n+1-2h-1 n=2m-1 。
3．一棵二叉树中如果有n个叶子结点，则这棵树上最少有（5）2n-1 个结点。
一棵深度为k的完全二叉树中最少有2k-1（6）个结点，最多有（7）2k-1个结点。
4．具有n个结点的二叉树，当它是一棵(8)完全二叉树时具有最小高度（9） log2n」+1，当它为一棵单支树时具有高度(10) n 。
5．对具有n个结点的完全二叉树按照层次从上到下，每一层从左到右的次序对所有结点进行编号，编号为i的结点的双亲结点的编号为_(11)__[i/2]__，左孩子的编号为___2i____，右孩子的编号为__2i+1______。
6．若具有n个结点的二叉树采用二叉链表存储结构，则该链表中有__2n_个指针域，其中有_n-1_个指针域用于链接孩子结点，__n+1_个指针域空闲存放着NULL 。
7．二叉树的遍历方式通常有__先序__、___中序__、__后序__和___层序___四种。
8．已知二叉树的前序遍历序列为ABDCEFG，中序遍历序列为DBCAFEG，其后序遍历序列为___DCBFGEA__。
9．已知某完全二叉树采用顺序存储结构，结点的存放次序为A,B,C,D,E,F,G,H,I,J，该完全二叉树的后序序列为___HIDJEBFGCA____。
10．若具有n个结点的非空二叉树有n0个叶结点，则该二叉树有__n0-1_个度为2的结点，____n-2n0+1____个度为1的结点。
11．任何非空树中有且仅有一个结点没有前驱结点，该结点就是树的__根____。
度为k的树中第i层最多有___k i-1_______个结点(i>=1)，深度为h的k叉树最多有___k0+k1+....+k h-1____个结点。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。