高一数学专题1-数形结合思想含答案

数形结合思想

一．作图、识图、用图技巧

(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．

(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．

(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究．

(4)利用基本函数图象的变换作图

①平移变换：

y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位h <0，左移|h |个单位

y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位

y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换：

y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )，

y ＝f (x )――→0

A >1，纵坐标伸长到原来的A 倍y ＝Af (x )．

③对称变换：

y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )，

y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )，

y ＝f (x )――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )，

y ＝f (x )――→关于原点对称

y ＝－f (－x )．

f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 二、通法归纳与感悟

1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化

(1)集合的运算及韦恩图；

(2)函数及其图像；

(3)方程(多指二元方程)及方程的曲线；

(4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；

(5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．

2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则

(1)等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．

(2)双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的． 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．

(3)简单性原则

就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．

三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点

利用数形结合求方程解应注意两点

(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解．

(2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．

1．(2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1f (x ＋1)

，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )

A. ⎣⎡⎭

⎫0，12 B. ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C. ⎣⎡⎭⎫0，13 D. ⎝⎛⎦

⎤0，12 2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]

时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则函数h (x )＝

f (x )－

g (x )在区间[－5,5]内零点的个数是 ( )

A ．5

B ．7

C ．8

D ．10

解析:C

3.已知函数()12+-=x x f ,

()kx x g =.若方程()()x g x f =有两学科网个不相等的实根，

则实数k 的取值范围是 （A ）），（210（B ）），（12

1（C ）），（21（D ）），（∞+2

4．(文)已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．10

6．函数y ＝11－x

的图象与函数y ＝2sinπx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2 B ．4

C ．6

D ．8 二、利用数形结合解不等式或求参数

利用数形结合解不等式应注意的问题

解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．

7. (1)使log 2(－x )

(2)若不等式|x －2a |≥12

x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 8. 当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2

范围为

( )

A ．(2,3]

B ．[4，＋∞)

C ．(1,2]

D ．[2,4)

9. (理)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧

a ，a －

b ≤1，b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－

c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )

A ．(－∞，2]∪(－1，32

) B ．(－∞，－2]∪(－1，－34) C ．(－1，14)∪(14，＋∞) D ．(－1，－34)∪[14

，＋∞) 10. (理)(2015·安徽理，9)函数f (x )＝ax ＋b x ＋c 2

的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) 5