八年级第五讲 有条件的分式的化简与求值 王三祝
分式的化简与求值
数学八年级5．分式的化简与求值分式的化简与求值是紧密相连的，化简的目的通常是为了求值，而求值之前必须先化简，先化简后求值是解分式化简与求值的基本策略，分式的化简与求值一般可分为无条件和有条件两类问题。
解分式的化简与求值问题时，除了要用到整式变形求值的知识方法外，还经常用到以下技巧：1．取倒数或利用倒数关系；2．拆项变形或拆分变形；3．整体代入；4．引入参数等。
例1．已知a 2－3a ＋1=0，则代数式361a a +的值为___________. 解题思路 目前不能求出a 的值，但可得出a+1a =3，需要对所求的代数式变形含“a+1a”。
例2．已知一列数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，且a 1=8，a 7=5832，123456234567a a a a a a a a a a a a =====，则a 5为( ) A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944解题思路 引入参数k ，把a 1~ a 7用k 的代数式表示，这是解答比问题的基本思路。
例3．已知x+y+z=3a(a ≠0)求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值解题思路 观察发现，所求式是关于x －a 、y －a 、z －a 的代数式，而条件可分拆成x －a ，y －a ，z －a 的等式，因此，很自然地想到用换元法来简化解题过程。
例4．已知xy x y +=1,yz y z +=2,zx z x+=3,求x 的值。
解题思路 注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元二次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式。
例5．不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。
解题思路 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(a+c)=0。
北师大版八年级下册第五章分式化简求值技巧(无)
分式化简求值的技巧种类一 按惯例步骤运算1、化简m 62的结果是。
m 3m 29 m 32a 1 a 2 2a 1 1 ，此中12、先化简，再求值：1?a 2aa 1a。
a22种类二先约分，再化简3、化简：a 2 1 a 2 a 22a 1a 。
a14、化简求值： (a 3) ?9 a 23 时，该式子的值是2，当 a。
a 6a 9x 22x 1(13 5、先化简，再求值：21) ，此中 x 0 。
x x1种类三混杂运算中灵巧运用分配律6、化简：(21) ?(a2 1)。
a1a17、计算：(22x x1)x 21的结果是。
x 1 x118、先化简，再求值：11?( x2y 2x y) ，此中 x 2, y 3 。
2x x y2x 种类四分式化简求值时注意整体代入9、若xy x y0 ，且 xy011。
，则分式的值x y10、已知a23a 1 0 ，则a 12 的值。
a11、先化简，再求值：(x 1x2) 2 x2x，此中 x 满足 x2x 1 0 。
x x1x22x1分式中易错问题种类一分式值为零时未考虑分母有意义的条件1、能使分式x1x 的值是2的值为零的全部。
x2x 12、若式子a1( a 2)( a 1) 24 的值是。
2的值为零，则式子a a 2种类二分式化简求值，未注意采用使原分式有意义的值3、先化简，再求值：（1）a a23a1构成ABC 的三边长，且 a 为整数；24a2，此中 a 与2、3a 2 a（2）(3x 42 )x 2，此中 x 是不等式组x 1 0的整数解。
x 2 1x 1 x22x 12x 1 3种类三 已知分式方程根的正负求字母系数，未舍去分母为 0 时参数的值m 1 的解是非负数，则 m 的取值范围是。
4、已知关于 x 的分式方程x1种类四 解分式方程未验根5、解方程（1）1 4 xx 313x（2）x8x 2 x 214种类五已知分式方程无解求字母系数的值时漏解x 1 x kx 2 无解，求 k 的值。
新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的化简求值(2)讲义教案资料(Word版)
内容 基本要求 略高要求 较高要求 分式的概念了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式的值为零的条件 分式的性质理解分式的基本性质，并能进行简单的变型 能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算理解分式的加、减、乘、除运算法则 会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质：⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( )( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c=⇒= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd b d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b+++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算分式的乘法：a c a c b d b d⋅⋅=⋅ 分式的除法：a c a d a d b d b c b c⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n n n nn a a a a a a a a b b bb b b b b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（2）负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c+±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.二、条件等式化简求值1、设参辅助求值【例1】 已知234x y z ==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【巩固】已知345x y y z z x==+++，则222x y z xy yz zx ++++=__________.【巩固】若a b c d b c d a ===，求a b c d a b c d-+-+-+的值.【例2】 已知222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，求分式222(1)(1)(1)(1)(1)(1)bc ca ab a b c ++++++的值.【例3】 设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________．【例4】 若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz +++的值.【巩固】已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u x z u u x x y y z+++++++++++的值．例题精讲【例5】 已知9p q r ++=，且222p q r x yz y zx z xy ==---，则px qy rz x y z++++的值等于（ ）A. 9B.10C. 8D. 7【例6】 已知2220(0)x yz y zx z xy xyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==.【例7】 已知()()()()()()222222222x y y z z x x y z y z x z x y -+-+-=+-++-++-，求()()()()()()222111111xy yz zx x y z ++++++的值。
第15章 分式的计算与化简求值 人教版八年级上册数学讲义
第15章分式的计算与化简求值 人教版八年级上册数学讲义一、内容复习1、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．2、通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．通分：，．二、知识点一 分式的乘、除法法则【知识梳理】1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为b a ·d c =bdac . 2. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为b a ÷d c =b a ·c d =bcad . 【提醒】1. 分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式，看能否约分，然后再相乘.2.当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘.3.分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式(或被除式)是整式时，可以看做是分母是1的式子，然后按照分式除法法则计算.4.分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式.5.分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，则应按照由左到右的顺序进行计算.【例题精讲】例1、计算2x 3÷的结果是（ ）A ．2x 2B ．2x 4C ．2xD ．4【分析】原式利用除法法则变形，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2x 3•x=2x 4，故选：B ．【强化练习】1、（1）x m 86·m x 32 （2）3ab 2÷ab 62、化简的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二 分式的乘方法则【知识梳理】分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的化简与计算
分式的化简与计算在数学的世界里，分式的化简与计算是一项非常重要的技能。
它不仅在我们日常的数学学习中频繁出现，还在解决实际问题中发挥着关键作用。
首先，让我们来明确一下什么是分式。
简单来说，分式就是形如A/B 的式子，其中 A 和 B 都是整式，且 B 中含有字母。
比如 2/x 、（x ＋ 1)／（x 1) 等等。
分式的化简，是将一个复杂的分式通过一系列的运算和变形，化为最简形式。
最简分式的要求是分子和分母没有公因式。
那么，如何进行分式的化简呢？最常见的方法就是约分。
约分就是把分子和分母的公因式约去。
比如说，对于分式 6/8 ，分子分母的公因式是 2 ，约分后就得到 3/4 。
在约分之前，我们需要先找到分子分母的公因式。
这就需要我们对整式的因式分解有扎实的掌握。
比如对于分式（x² 4)／（x ＋ 2) ，先对分子进行因式分解，得到（x ＋ 2)（x 2) ，那么分子分母的公因式就是（x ＋ 2) ，约分后得到 x 2 。
除了约分，通分在分式的化简中也经常用到。
当我们需要对几个分式进行加减运算时，如果它们的分母不同，就需要通分。
通分就是把几个分母不同的分式化为分母相同的分式。
例如，计算 1/2 ＋ 1/3 ，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6 ，所以通分后得到 3/6 ＋ 2/6 ＝ 5/6 。
再来说说分式的计算。
分式的计算包括加减乘除四种运算。
分式的加法和减法，要先通分，化为同分母分式，然后再将分子相加或相减。
分式的乘法，就是将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母。
例如，（2/x) ×（3/y) ＝ 6/（xy) 。
分式的除法，要将除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘以它的倒数。
比如，（2/x) ÷（3/y) ＝（2/x) ×（y/3) ＝ 2y/（3x) 。
在进行分式的化简与计算时，还需要特别注意一些细节。
比如，分母不能为零，因为分数的分母为零是没有意义的。
初中数学 人教版八年级上册分式的化简 求值 与证明讲义
分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。
八年级数学上册第十五章分式基础专题分式的运算化简与求值习题名师公开课省级获奖课件新人教版
谢谢大家
每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦每天只看目标，别老想障碍宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子积极向上的心态，是成功者的最基本要素生活总会给你另一个机会，人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:48我们必须在失败中寻找胜利10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
5.先化简，再求值： ，其中x的值从不等式组
的整数解中选取.
6.先化简，再求值： ，其中a2－2a－6＝0.
7.已知x2－10xy＋25y2＝0，且xy≠0，求 的值.
类型三 求分式值的特殊方法
了解面对逆境，远比如何接受顺境重要得多一般的伟人总是让身边的人感到渺小昨天是张退票的支票积极人格的完善是本，财富的确立是末昨晚多几分钟的准备每一发奋努力的背，必有加倍的赏赐要及时把握梦想，因为梦想一死10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
类型一 分式的运算
1.计算：
(1)原式＝1.
(5)原式＝－2a－6.
Hale Waihona Puke 类型二 分式的化简求值2.先化简，再求值： ，其中x＝2.
3.先化简，再求值： 其中x＝3，y＝2.
4.先化简，再求值： ·(m2－2mn＋n2)，其中m－n＝1.
解：原式＝3(m－n)，当m－n＝1时，原式＝3×1＝3.
2019-2020学年八年级数学竞赛讲座 第五讲 有条件的分式的化简与求值 人教新课标版
2019-2020学年八年级数学竞赛讲座 第五讲 有条件的分式的化简与求值 人教新课标版给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若a d d c cb b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系．注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11=+b a ，12=+c b ，那么ac 2+等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示．【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (北京市竞赛题)思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值． 河北省竞赛题)(2)汜知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求ac cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11=-aa ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是b a b a +-、c b c b +-、ac ac +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出b a b a +-+c b c b +-+ac ac +-的值是解本例的关键． 学历训练1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ．(淄博市中考题)2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ． ( “五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ (山东省竞赛题)6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225zy x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13 (全国初中数学竞赛题)8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a aa a ，其中a 满足0122=-+a a ； (山西省中考题)(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ．14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ． (全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-C ．2D ．32- (大原市竞赛题)17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a=====，则5a 为（ ）A ．648B ． 832C ．1168D ．194418．已知0199152=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．1996B ．1997C ．1998D ．1999 19．（1）已知ac b =2，求)111(333333222c b a c b a c b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (北京市竞赛题) 20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值．(上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数． (天津市中考题)。
北师大版八年级数学下第第五章分式与分式方程知能素养小专题(七)分式的化简求值习题课件
八年级 数学 下册 北师版
x＋1＋x2－3x 解：(1)原式＝（x＋1）（x－1）
（x－1）2 ＝（x＋1）（x－1） ＝xx－＋11. (2)不正确，理由：当 x＝1 时，原分式无意义．
八年级 数学 下册 北师版
类型六：“纠结型”分式化简
2x－6
x2＋6x＋9
6．计算： x＋3 ÷(x－3)· x2－9 .
类型四：化简后自选数字代入求值
a2－2a
a2－1
4．(遵义中考)化简式子a2－4a＋4＋1÷a2＋a，在－2，－1，0，1，2
中选取一个合适的数，代入求值．
八年级 数学 下册 北师版
a（a－2）
a（a＋1）
解：原式＝
（a－2）2
＋1·（a＋1）（a－1）
＝a－a 2＋1·a－a 1
＝2（aa－－212m＋n
m＋n
m
m2－2mn＋n2·(m－n)＋m－n，其中n＝2.
八年级 数学 下册 北师版
2m＋n
m＋n
解：原式＝（m－n）2·(m－n)＋m－n
＝2m＋mn－＋nm＋n
＝3mm－＋n2n.
m
6n＋2n
由n＝2，得 m＝2n，故原式＝ 2n－n ＝8.
八年级 数学 下册 北师版
2（x－3） 1
（x＋3）2
解：原式＝ x＋3 ·x－3·（x＋3）（x－3）
2 ＝x－3.
（x－1）2
·
x
2x－x x＋1 x x＋1 ＝ x－1 · x ＝x－1· x
x＋1 ＝x－1.
2＋ 2 当 x＝ 1＋ 2时，原式＝ 2 ＝ 2＋1.
八年级 数学 下册 北师版
类型二：化简后整体代入求值
八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计
2.分式运算中，特别是乘除法和加减法的混合运算，学生容易混淆，导致计算错误。
3.在解分式方程时，对等式性质的掌握不够牢固，可能难以找到解题的关键步骤。
针对以上情况，教学中应注重以下几点：
1.注重启发式教学，引导学生发现分式性质和运算法则，提高他们的观察力和思维能力。
八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质，如约分、通分等，并能够灵活运用这些性质对分式进行化简。
2.掌握分式的乘除法、加减法法则，能够正确进行分式的四则运算，解决实际问题。
3.学会解分式方程，理解分式方程的解的意义，并能将其应用于解决实际问题。
2.教学过程：
-采用任务驱动法，设计一系列具有梯度的问题和练习，引导学生逐步掌握分式化简的方法和技巧。
-结合具体例题，讲解分式乘除法和加减法的运算规则，强调运算顺序和运算法则的重要性。
-通过小组合作和讨论，让学生在解决分式方程的过程中，学会转化问题和找到解题关键步骤。
-设计课堂互动环节，鼓励学生提问和分享解题心得，培养他们的表达能力和团队合作精神。
4.能够运用所学的分式知识，解决数学问题，提高解决问题的能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法：
1.通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究分式的化简求值方法。
2.采用讲解、示范、讨论、练习等多种教学手段，帮助学生掌握分式的性质、运算法则和解方程的方法。
3.设计具有梯度、层次的练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步提高分析问题、解决问题的能力。
3.分式的乘除法与加减法：介绍分式乘除法和加减法的运算规则，结合具体例题进行讲解。
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第五讲 有条件的分式的化简与求值
王三祝
给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:
1．恰当引入参数；
2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；
5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若
a d d c c
b b a ===，则
d
c b a d
c b a +-+-+-的值是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．
在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．
【例2】如果11=+
b a ，12=+
c b ，那么a
c 2
+等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示．
【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式
y
zx x yz z xy 21
2121++
+++的值． (北京市竞赛题)
思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．
【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足
c
b a
c b a ++=
++1
111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)
思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．
【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．
河北省竞赛题) (2)汜知
1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求a
c c
c b b b a a ++
+++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11
=-a
a ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是
b a b a +-、c
b c b +-、a c a
c +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三
个数的积之间的关系，从而求出
b a b a +-+
c b c b +-+a
c a
c +-的值是解本例的关键． 学历训练
1．已知032
=-+x x ，那么1
33
2---x x x = ．
(淄博市中考题)
2．已知
71
2=+-x x x ，则
1
242++x x x = ．
3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=
，y=)11()11()11(b
a c a c
b
c b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知
43322a c c b b a -=
-=+，则b
a c
b a 98765+-+= ． ( “五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、
c 、
d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②d
c c
b a a +<
+；③
d c d b a b +>+；④ d
c d
b a b +<
+，其中正确的是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ (山东省竞赛题)
6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果
a
b
b a
c b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式
2
2
2
222103225z
y x z y x ---+的值等于( )．
A ． 21-
2
19
- C ．－15 D ． －13 (全国初中数学竞赛题)
8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )
A ．T=t
B ．T<t
C ．T>t
D ．不能确定T 、t 的大小关系
9．(1)化简，求值：2
4
)44122(22+-÷
++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a ； (山西省中考题)
(2)设0=++c b a ，求ab
c c ac b b bc a a +++++22
2222222的值．
10．已知x
z z y y x 1
11+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．
11．若0≠abc ，且
b a
c a c b c b a +=
+=+，则abc
a c c
b b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、
c 满足1222=++c b a ，3)1
1()11()11(-=+++++b
a c c a
b
c b a ，那么 a+b+c 的值
为 ． 13．已知
1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+x
z zx
，则x 的值为 ． 14．已知x 、y 、z 满足41=+
y x ，11=+z y ，3
7
1=+x z ，则xyz 的值为 ． (全国初中数学竞赛题)
15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则ab
c b a ca b a c bc a c b 2222
22222222-++-++-+的值为
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则1
1
1111-++
-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-
C ．2
D ．3
2
- (大原市竞赛题)
17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，
7
6
6554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ． 832 C ．1168 D ．1944
18．已知0199152
=--x x ，则代数式)
2)(1(1
)1()2(24----+-x x x x 的值为( )
A ．1996
B ．1997
C ．1998
D ．1999 19．（1）已知ac b =2
，求
)111(
3
3
3
3
3
3
222c
b
a
c
b a
c b a +
+
⋅++的值；
(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式y
x z x z y z y x +++++2
22的值． (北京市竞赛题) 20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1
111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n c
b a
c b a 1111++=++ (波兰竞赛题)
21．已知012
=--a a ，且
112
93
22322324-
=-++-a
xa a xa a ，求x 的值． (上海市高中理科班招生试题)
22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A ，B 两组检验员，其中A 组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个
车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．
(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；
(2)求B组检验员的人数．(天津市中考题)。