初中数学重点梳理：分式的化简与求值
第9章 分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册
=
1
1
(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3
4
−
1
−2
−2
4
=
= −2， 所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1
【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，
5、有条件的分式的化简与求值-培优 数学张老师
5、有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略． 解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件；既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧： 1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代人；5．利用比例性质等． 、【例l 】若,a d d c c b b a ===则dC b a d c b a +-+-+-的值是 (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系．【例2】如果a+b+C=0，,0312111=+++++C b a 那么++++22)2()1(b a 2)3(+C 的值为( )． A ．36 B ．16 C ．14 D ．3(2005年“CASl0杯”武汉市选拔赛试题) 思路点拨联想到(a+b+c)2的展开式，解题的关键是对条件a+b+c= 0的变形． 【例3】 已知xyz=1，x+y+z=2，,16222=++z y x 求代数式++z xy 21yzx x yz 2121+++的值．(北京市竞赛题)思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2一x 一 Y ，x=2- Yz ，y=2一x —z ，从变形分母人手．【例4】 已知,1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a 求a c c c b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题)思路点拨 已知条件是⋅+-+-+-ac ac c b c b b a b a 、、三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出ac ac FC b c b b a b a +-+--++-的值是解本例的关键． 【例5】(1)解方程：;81209112716512312222=+++++++++++x x x x x x x x(第19届江苏省竞赛题)(2)已知方程c c x x 11+=+(c 为不等于0的常数)的解是C 或,1c 求方程x+aa a x 2136412++=-的解(a 为不等于0的常数)．(第16届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨解分式方程涉及到分式的运算、化简，对特殊分式方程常需对方程进行拆项、拆分、分步计算等变形，运用巧取倒数、整体求解等策略．对于(1)，寻找．分母的共同特征；对于(2)，在阅读理解的基础上，把方程左、右两边拆分为倒数和．1．已知x2+x 一3=0，那么1332---x x x =(淄博市中考题)2．已知abc≠0，且,a c c b b a ==则=--++cb ac b a 3223 (第16届“希望杯”邀请赛试题)3．若a 、b 、c 满足a+b+C=0，abc>0，且x=++=++)11(,||||||cb a yc c b b a a ),11()11(b a c a c b +++ 则 x十2y+3xy=(“祖冲之杯”邀请赛试题)4．已知． x2—3x+1=0，则1242++x x x 的值为(2004年重庆市竞赛题)5．若,b a b a x +-=且以≠0，则a b等于( )． x x A +-11. x x B -+11. 11.+-x x C 11.-+x x D (2005年天津市竞赛题)6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果,abb ac b c a =+=-那么( )． A ．3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b(“祖冲之杯”邀请赛试题)7．若4x 一3y -6z=0，x+2y 一7z=0(xyz≠O)，则代数式222222103225x y x z y x ---+的值等于 ( )。
新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的化简求值(1).讲义教师版
内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（1）⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、化简后直接代入求值【例1】 先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【巩固】先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考例题精讲【解析】()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例3】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例4】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【巩固】先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例5】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例6】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6【巩固】先化简：22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【巩固】已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例7】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算 的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】12【例8】 已知22a b ==a bb a-的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b =+=∴4a b +=，a b -=，1ab =而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴a b b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例9】 先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例10】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b ÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【巩固】先化简，再求值：22112b a b a b a ab b⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例11】 先化简，再求值：22211x yx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==， 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例12】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=． 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例13】 已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a =原式2a ba b-=+当2b a =时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例14】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】34【巩固】已知x y z ，，满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为（ ） A.1 B.13C.13-D.12【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B ；由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例15】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++--22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例16】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【巩固】已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=． 【答案】145【例17】 已知x =，求351x x x ++的值．【考点】条件等式化简求值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例18】 已知123a b c a c ==++，求ca b+的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例19】 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【巩固】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【巩固】已知分式1x y xy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】由题可知：()()()1.1x y m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①② 由②得：11x y x y n m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例20】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x +--==．由222nx y -=，得：222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠， ∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=． 【答案】()312x y -【例21】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】::7:5:1x y z =【例22】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛 【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y = 586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++= 【答案】1157【例23】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。
分式-第03讲分式的化简及其应用
第三讲分式化简的应用分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是寒，即分式只有在分母不等于 零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变, 这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而 对分式进行求值.除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答.本讲主 要介绍分式的化简与求值.一.分式的化简与求值例1化简分式：2a 2 + 3a + 2 a 2 - a - 5 3a 2 -4a ~ 5 2a 2 - 8a + 5a +1 a + 2 a - 2 a ■-3分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多.2a 2 -b2a4-a + l + l a?十 2a - 3a - 6 + 1(2a +1) + - (a-3) + —J —a + 1 a + 2■J ■■1 1 1 ——-+ (2a-2) 一一- a-2 a - 3■I !■=[(2a+D- (a-3)・(3a+2) + (2a-2)] 1 1 1 1 1+ -------------- + --------------a + 1 a + 2 a- 2 a-3■1111= --- — --- 十 ----—---a + 1 a + 2 a -2 a-31 -1= -------------- b -------------(a + l)(a 4-2) (a-2)(a-3)_ (a-2Xa-3) -(a + l)(a + 2) (a-M)(a + 2)(a-2)(a-3)_ - 8a 十 4"(a+ l)(a + 2)(a-2)(a-3)'说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式. 例2求分式1 12 4 8 16-- 十 -- + --- 7" + ----- 7- + ---- O- + -----a 1 + a 1 + a 1 + a 1 + a 1 + a '解原式= 3a2 - 6a + 2a -4 - 1 a 一 2 2a 2- 6a - 2a + 6 -1+ --------------------a 一 3当a=2时的值.分析与解先化简再求值.直接通分较复杂，注意到平方差公式:a 2-b 3= (a+b) (a-b),可将分式分步通分，每一步只通分左边两项.百于 + 2 4 8 16 斥巩_ (1-勾(1斗勾TT? 乔孑 TTZ TT 評 2 2 4 816 1 - a 2 1 + a 2 1 + a 4 1 + a 8 1 + a 16 2(1 +a 2)+ 2(1-a 2)4 8 16 (l-a 2)(l + a 2) 1 + a 4 1 + a 8 1亠尹4 4 8 16l-a 4 + l + a 4 + l + a 8 + 1+ a 168 8 16 _ 16 1632 32a b----------- + ----------- 求 ab + a + 1 be + b + 1分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂.下面介绍几种简单的解法.解法1因为abc=l,所以街b, c 都不为零.c ca + c + 1 a ab abc = ------------- + ------------- 4 -- -----------------ab + a + 1 abc + ab + a abca + abc + aba ab 1=十十 「 ab + a + 1 1 + ab + a a + 1 + aba + ab + 1= ----------- =1.ab + a + 1 解法2因为abc=l,所以a^O, bHO, cH0・障式 = _______ ______ 十 _ _____ab + a + abc bc+b + 1betea +bc +b— 的值.[ b + 1 + be aab + a +1+b ab + — ■ be + b + 1 ab1b 十 1 +bbe十b十bc =1.1 + be + b解法3由遜=1,那詁，将之代入原式丄原式= ----- 虹~1— —• b + — + 1 be be 1 b be卜 -------- + ---------- =]. b + 1 + be be + b +1 1 + be + b例4化简分式:1 1+ 4- 1+ 3x + 2 玄? + 5辺十62+7N + 12分析与解三个分式一齐通分运算址大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简.百十 1 1 1(x + 2)(x+l) (X + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4)1 1.1 1 1 1 z +1 x 十 2， x +2 M 十 3， z +3 x 十4丿1 1 3E +1 z + 4 X 2 + 5z + 4'说明本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有:斗J 亠1下的一般形式,与分式运算的通分思想方法相反，我们 仗 + il)(N + 11+1) 将上式拆成丄与一1^两项，这样，前后两个分式中就有可以相x + n x + n. + 1互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧.例5化简计算(式中r b, c 两两不相等)：2a - b - c 2b - c - a 2c - a - ba 2 - ab - ac + be b 2 - ab - be ■+• ac c 2 - ac - be *+ ab分析本题关犍是搞清分式仝缶去的变形’其他两项是类似的，对于这个分式, 显然分母可以分解因式为(a-b) (a-c),而分子又恰好凑成(a-b) + (a-c),因此有下面的解法.b--------- 4 be + b +1 CiC • - + C +1呼弋=@ - b)十Q-c) + (b - c)十(b - Q * (c-a) + (c -b) 臥厂_ @_b)(ic) (b _ c)(b _ a) (c-a)(c-b)111111c= --- + --- + ---- + --- 十 -- + --- = 0.a - c a -b b - a b -c c - b c-a丄+丄的变形技巧.说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用 肚 A B 「例6已知：x+y+z=3a(a#0,且x, y, z 不全相等)'求a) + (y - a)(z ~ a) + (z - a)(x 一 a)的值O — a)(y - 分析本题字母多，分式复杂.若把条件写成(x-a) + (y-a) + (z-a)=0,那么题目只与xm 为简化计算，可用换元法求解.x-a=u y-a=v z-a=wz-a 有关,变为 UV + VW + wu~2 -----2 ---- r ，且由己知有U + V + w = 0.将u+u + w= 0两边平方得U + V + wu a +v a +w 2+2 (uv+vw+wu) =0.由于x, y, z 不全相等，所以u, V, w 不全为零’所以u a +v 3+wV0,从而有2?即所求分式的值为-说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化.y -|- 1 龙彳十［分析原式中只岀现了—和—的形式，而且X X X孑-2,因此可用换元法. (玄 a) 2 + (y 一 亦2 + (z 疔例7化简分式:=1,所以a+b-c=c, a-b+c=b> ・a+b+c=a, 于是有(a + b)(a + c)(b + c) 2c • 2b * 2a ? abc abc⑵若a+b+c=O,则a+b=-c, b+c=-a, c+a=-br于是有(a + b)(a + c)(b + c) (_c)(_Q 〔_b) .-------------------- = ---------- - - =—1abc abc说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解. 解法2设参数法.令a +b -c a-b + c -a +b + c “-------- =— --- --- = ----------- =k,c b a则a+b=(k+l)c> ①a+c= (k+l)b> ②b+c= (k+l)a.③①+(D+(§)有(a 乜)(a +c)@ +c) abc的值.解法1利用比例的性质解决分式问题.(1)若a+b+c^O,由等比定理有(a + b - c) + (a - b 十 c)十(一玄 +b + c)2 (a+b+c) = (k+1)(a+b+c),所以(&+b+c) (k-l)=O,故有 k=l 或 a+b+c=O.当k=l 时，(a + b)(b 十 c)〔c + a) 2c * 2a * 2b abc abc@ + b)(b + c)(c+G _ (_c)(—a)(—b)abc abc当 a+b+c=O 时 9说明引进一个参数k 表示以连比形式出现的己知条件，可使已知条件便于使用.二.分式方程组的解法。
第初中数学竞赛五讲有条件的分式的化简与求值(含答案)
第五讲 有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若a d d c cb b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． (第12届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11=+b a ，12=+c b ，那么ac 2+等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示．【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (2003年北京市竞赛题)思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(2003年河北省竞赛题) (2)汜知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求ac cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11=-aa ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是b a b a +-、cb c b +-、a c ac +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出b a b a +-+c b c b +-+ac ac +-的值是解本例的关键．学历训练1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ． (2003年淄博市中考题)2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (2002年山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13. (2003年全国初中数学竞赛题) 8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a ； (2002年山西省中考题)(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ． 14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ． (2003年全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-C ．2D ．32- (大原市竞赛题) 17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ． 832 C ．1168 D ．194418．已知0199152=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．1996B ．1997C ．1998D ．1999 19．（1）已知ac b =2，求)111(333333222cbacb ac b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (2002年北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (2000年上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数．(2001年天津市中考题) 答案：。
分式运算及化简求值
第一讲 分式运算及化简求值一、知识提要1. 分式的运算与分数的运算相似，它是以分式的基本性质、运算法则、通分、约分为基础，以整式变形、因式分解为工具进行的一系列运算过程.2. 分式的加减运算是分式运算的重点及难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地进行通分.分式通分的常用方法及策略有：①将各分式因式分解；②先约分再通分；③找最小公分母3. 分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须化简成最简分式，而化简的目的也正是为了求值.4. 解有条件的化简求值问题是中考中常见的出题模式，解答这类问题需要仅仅抓住题目给定的条件，灵活选用方法，除了常见的整式化简求值方法外，还有：①取倒数和利用倒数关系；②拆项变形；③整体代入等.二、专项训练【板块一】分式的定义即简单应用1. 下列式子中2π，πx y x x --3,2,1b a b x x -,2,2，212x y +，223a b +中，整式有____________________，分式有______________.2. 对于分式2211x x x ++-，当x =_______时，分式无意义；当x =_______时，分式值为零.3. 已知b a a =+-11，用b 的代数式表示a ，得_____________. 4. 若一个矩形的面积是22288a ab b ++，它的一条边是b a 2+，则这个矩形的周长是（ ）A ．b a 66+B ．612a b +C ．126a b +D ．1212a b +5. 与分式1222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x b a 相等的分式是（ ）A ．x b a 222+ B ．222b a x +- C ．222b a x + D ．x b a 222+-【板块二】分式的基本性质和运算 6. ①bb a 1⋅÷ ②()212242-⨯-÷+-a a a a③43222)()()(a b a b b a -÷-⋅ ④x a b bx ay by ax 228932÷⋅⑤()1322342-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅x y xy⑥211339a a a a ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭⑦x x x x x x x 112122÷⎪⎭⎫⎝⎛+---+ ⑧22233(2)3m n m n --【板块三】化简求值7. （2011湖北）先化简，再求值：232244()()442x y y xy x x xy y x y -⋅+++-，其中2121x y ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩8. （2011重庆）先化简，再求值：22122 121x x x x xx x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2-x -1=0.9. 先化简：,22121222x x x x x x x ÷--++--再在x =0，1，2，3中取一个你喜欢的x 值代入求值.10. （2011四川）先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212x x --⎧⎨<⎩≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．【板块四】整体思想应用11. 若分式13x-的值为整数，则整数x =_______. 12. 已知111a b a b +=+，求a b b a+的值.13. 已知112a b -=，则232353a ab b a ab b--+-=______.14. 已知a 、b 为实数，且ab =1，设M =11+++b b a a ，11+=a N +11+b ，则M 与N 的大小关系是什么？。
化简求值(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)
化简求值--中考数学抢分秘籍（全国通用）概率预测☆☆☆☆☆题型预测解答题☆☆☆☆☆考向预测①分式的化简求值②整式的化简求值化简求值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，加减乘除运算是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。
2．从题型角度看，以解答题的第一题或第二题为主，分值8分左右，着实不少！一、分式1.分式的加减乘除运算，注意去括号，添括号时判断是否需要变号，分子计算时要看作整体。
2.分式有意义、无意义的条件：因为0不能做除数，所以在分式AB中，若B≠0，则分式AB有意义；若B＝0，那么分式AB没有意义．3．分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝a±bc.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±cd＝ad±bcbd.4．分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即ab·cd＝acbd.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ab÷cd＝ab·dc＝adbc.5．分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．二、因式分解因式分解的方法：(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )．②运用完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.化简求值的解法第一种是直接代入求值，已知给出了字母的值或通过已知能求出字母的值。
初中数学知识归纳分式的化简和运算
初中数学知识归纳分式的化简和运算在初中数学中，分式的化简和运算是一个重要的知识点。
我们将在本文中对这一内容进行归纳和总结。
一、分式的化简要化简一个分式，我们需要将其化简为最简形式。
在化简分式时，我们可以使用以下方法：1.因式分解法如果分子和分母都是多项式，我们可以尝试使用因式分解法来化简分式。
首先，我们需要对分子和分母进行因式分解，然后消去分子和分母的公因式，并将得到的结果写成最简形式。
例如，化简分式$\frac{6x^2}{12x}$，我们可以将分子和分母都因式分解为$2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$和$2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot x$，然后消去公因式$2 \cdot 3 \cdot x$，得到最简形式$\frac{x}{2}$。
2.约分法如果分式的分子和分母存在公因式，我们可以使用约分法来化简。
具体做法是将分子和分母的公因式约去，保留最简形式。
例如，化简分式$\frac{8y}{12}$，我们可以发现分子和分母都可以被2整除，即存在公因式2。
约去公因式2后，得到最简形式$\frac{4y}{6}$。
再次约分，得到$\frac{2y}{3}$。
二、分式的运算在进行分式运算时，我们主要涉及到加法、减法、乘法和除法。
下面我们将分别介绍这些运算的方法。
1.分式的加法和减法要进行分式的加法和减法，我们需要先找到这些分式的公共分母，然后将分子进行相应的加法或减法操作，并保持公共分母不变。
例如，我们要计算$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}$，首先找到这两个分式的公共分母，由于2和3的最小公倍数为6，因此通分后，我们得到$\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$。
最后，我们可以将$\frac{7}{6}$化简为最简形式，得到$\frac{7}{6}$。
2.分式的乘法对于分式的乘法，我们只需要将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。
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分式的化简与求值知识定位分式的化简与求值是竞赛部分重要内容，要掌握分式运算的基本性质，会灵活对分式作恒等变形，能利用参数对复杂的分式进行化简与求值，另外整体法的应用也要掌握，本节对常见的题型与方法做讲解知识梳理分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值 给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值。
而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略。
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标。
又要抓住条件，既要根据目标变换条件。
又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧：1、恰当引入参数；2、取倒数或利用倒数关系；3、拆项变形或拆分变形；4、整体代入；5、利用比例性质等。
例题精讲◆专题一：恰当引入参数 【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】若，则的值是 。
【答案】0或2- 【解析】设k add c c b b a ====则432ak a ,ak ck b ,ak dk c ,ak d ======则14=k 则1±=k ，当1=k 时，原式等于0；当1-=k 时，原式等于2-。
【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】若，求x ,y ,z（甘肃升中题）。
【答案】【解析】解：设k（k≠0）, 那么x=2k、y=3k、z=4k 代入x+y－z=,得：2k＋3k－4k=,解得：k=，所以:x=，y=，z=.评注：引入参数，把三个未知数转化为关于‘参数’的一元方程问题。
【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂练习【难度系数】2◆专题二：取倒数或利用倒数关系【试题来源】【题目】若，，求的值1【答案】6【解析】解,,,,,(1)得:,故,则.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知 ,求.【答案】31 【解析】解:由整理变形,转化为21=+xx ,分式.因此，本题正确答案是31.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习 【难度系数】3【试题来源】【题目】 求证 无论ａ为什么整数，分式均不可约。
【答案】 见解析【解析】分析：对于某些非零代数式来说，如果从取倒数的角度来分析，有可能揭示出一些内在的特征，从而找到解题的突破口。
证明：设和的公因子为p 那么又由于所以公因子为1或-1，也就是说原式不可约。
【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题三：拆项变形或拆分变形【试题来源】【题目】若x 取整数，则使分式1236-+x x 的值为整数的x 的值有 个 【答案】 4 【解析】，根据题意，得，， ， ，得，，，，，，，，取整数，，，，．共个．故本题答案为：4．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】化简分式：【答案】【解析】分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】化简分式：【答案】【解析】分析： 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明：本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有()()11+++n x n x 的一般形式，与分式运算的通分思想相反，可以将上式分成相减的两项，可以消去一些项，这种方法叫“裂项相消”是分式化简中常用技巧。
【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)：【答案】0【解析】分析：本题的关键是搞清分式bcac ab a cb a +----22的变形，其他两项是类似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法．解说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用的变形技巧。
【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3◆专题四：整体代入 【试题来源】【题目】若3819-=x ，求分式1582318262234+-++--x x x x x x 的值。
【答案】5【解析】分析：直接将x 的原值代入原式求值，计算繁琐，可将3819-=x 适当变形，化简分式后计算求值。
(x -4)2=3，即x 2-8x+13＝0．原式分子=(x 4-8x 3+13x 2)+(2x 3-16x 2+26x)+(x 2-8x+13)+10 =x 2(x 2-8x+13)+2x(x 2-8x+13)+(x 2-8x+13)+10 =10，原式分母=(x 2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求【答案】【解析】分析本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】 已知0=++c b a ，求⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+c b a a c b b a c 111111的值． 【答案】-3 【解析】 解:,,,,=()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-c bc b a cc a b ab a 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++--=c a b a c b bc a 6=-3.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】【题目】已知abc ＝1，求：的值【答案】1【解析】分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a ，b ，c 都不为零．解法2 因为abc=1，所以a ≠0，b ≠0，c ≠0．【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】化简分式：【答案】【解析】原式中只出现了x x 1+和221x x +的形式，而且211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x ，因此用换元法。
【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题五：利用比例性质【试题来源】 【题目】若a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求()()()abcc b c a b a +++的值。
【答案】-1【解析】 解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以 a+b-c=c ，a-b+c=b ，-a+b+c=a ， 于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以(a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】当堂例题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】求分式当a=2时的值．【答案】【解析】分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】已知满足，则的值为（）（2007）（A）1. （B）. （C）. （D）.【答案】B【解析】解由得，所以，故选（B）.注：本题也可用特殊值法来判断.【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知，，，则的值为（）（2011）A．1. B．. C．2. D．.【答案】C【解析】解：由已知等式得，，，所以．于是，，，．所以，，，即。
代入，得，解得．所以．【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知实数 c b,a,满足1=++c b a ，1111=-++-++-+ba c a cbc b a ，则abc=____．（2014） 【答案】0【解析】由题意知，所以整理得，所以0.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知y ,x 为整数，且满足，则y x +的可能的值有（ ）（2014）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：由已知等式得，显然均不为0，所以＝0或.若，则.又为整数，可求得或所以或.因此，的可能的值有3个.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知，，则的值为（）（2011）A．1. B．. C．. D．.【答案】B【解析】解：由可得，即，即，即，所以【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】已知实数满足，，，则＝．（2012）33【答案】2【解析】因为，所以.同理可得，.结合可得，所以.结合，，可得.因此，.实际上，满足条件的可以分别为.【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】【题目】若是两个正数，且则（）（2010）A．. B．. C．. D．【答案】C【解析】解：由可得，则①由于是两个正数，所以，所以，从而另一方面，由可得，结合①式可得，所以因此，.【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【试题来源】【题目】已知互不相等的实数c ,b ,a 满足t ac c b b a =+=+=+111，则___ ．（2012）【答案】1±【解析】解：由t ba =+1得，代入得，整理得①又由可得，代入①式得，即，又，所以，所以.验证可知：时；时.因此，【知识点】分式的化简与求值 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4【试题来源】【题目】已知，求的值【答案】3【解析】解:根据题意可得,,,,同理可得:;,.【知识点】分式的化简与求值【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】已知x、y、z满足，求代数式的值。