2.3.1抛物线及其标准方程
2.3.1抛物线及其标准方程2次矫正
y 2 px
2
x 2 2 py
x 2 2 py
p0 p0 p0 1、抛物线方程可分为两类 a 2 ( , 0) , 准线 （1）焦点在x轴上的抛物线 y ax(a 0) 焦点坐标 4
2.识别焦点位置判断：
a 4 a a 2 （2）焦点在y轴上的抛物线 x ay(a 0) 焦点坐标 (0, ) , 准线 y 4 4 x
抛物线及其标准方程 （一）
生活中存在着各种形式的抛物线
喷泉
21:08:32
一、提出问题
1.由《椭圆》例6和《双曲线》例5，我们可 以得到产生椭圆和双曲线的另一种方法：
平面内与一定点的距离和一条定直线的距离 的比是常数e的点M的轨迹。 （1）当0<e<1时，是椭圆； （2）当e>1时，是双曲线；
p F ( , 0) 2
p F (0, ) 2
p x 2
y
y 2 2 px
FO
x
p0
p x 2
p y 2
y
F
x 2 2 py
x
l
l
O
p0
x 2 2 py p0
y
O
x
F
p F (0, ) 2
p y 2
y
y
F
x
y
y
F
O
FO
x
O
x
l
O
lxF源自y 2 2 px p0解:由已知条件可知,点M 与点F的距离等于它到直线 x+4=0的距离,根据抛物线的 定义,点M的轨迹是以点F(4,0) 为焦点的抛物线. ∵p/2=4, ∴p=8. 又因为焦点在轴的正半轴, 所以点M的轨迹方程为
2.3.1抛物线及其标准方程(1)
设｜KF｜＝ （ ＞0）， M（x,y）是抛物线上任意 一点，点M到L的距离为d， 由抛物线的定义，抛物线 就是集合P={M|MF|=d},
将上式两边平方并化简 ，得x 2 2 py( p 0) ②
y 2 2px
y 2 2px
x 2 2py
x 2 2py
5.四种抛物线的特征
2
方程最简洁 抛物线的标准方程
3.抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）表示抛物 线，其焦点F位于x轴的正半轴上， y 其准线交于x轴的负半轴
P 2 P
即焦点F ( 准线l：x =
,0 )
o
p
.F
x
2
P的几何意义是:焦点到准线的距离 (焦准距)，故此p 为正常数
4.探究抛物线的标准方程的其它成员 抛物线的标准 方程还有哪些 形式?
物线的准线）；一个定值，点M到定点F与到定直线l的距离的
比是定值1.
（3）方程特点：抛物线的标准方程是关于x,y的二元二次方程， 其中一个变量只有一次项，另一个变量只有二次项.
（4）参数p：在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意
义是焦点到准线的距离，因此p＞0，p越大，抛物线开口越开
阔，反之越扁狭.
3.四种位置的抛物线标准方程的对比 （1）相同点 ①顶点都是原点； ②准线与抛物线对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，焦点 到准线的距离都等于p(p>0）;
③焦点都在抛物线对称轴上；
(2)不同点 ①抛物线方程不同； ②抛物线开口方向不同.
1、根据下列条件写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3,0）； y2=12x
2.3.1《抛物线及标准方程》
2.4.1《抛物线及其标准方程》
2.3.1抛物线及其标准方程(1)
N
M
K
F
(3)
二、标准方程
y 设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， l N
由定义可知，
K o
· · F
M
x
P 2 p 2 (x ) y x 2 2
化简得
2 y
= 2px（p＞0）
抛物线的标准方程
方程 y2=2px 叫做 抛物线的标准方程. 它表示的抛物线 焦点在x轴的正半轴上, 焦点坐标是 ,它的
(-4,-2)
综上所述,满足题意的抛物线的标准方程为
y2=-x或x2=-8y.
变式训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是F（3，0）； (2)准线方程是x=1/4； (3)焦点到准线的距离是2；
y2=12x
y2=-x
(4)焦点在直线3x-4y-12=0上.
2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 (1)y2=28x; (2)4x2=3y; (3)2y2+5x=0;
复习:
1.平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于 常数2a,(2a>F1F2)的点的轨迹叫做椭圆. 2.平面内与两个定点F1,F2的距离之差的绝 对值等于常数2a,(2a<F1F2)的点的轨迹叫 做双曲线.
抛物线及其标准方程
观察,概括:
动点满足的条件:
平面内与一个定点F和一条直线L的距离相等 的点的轨迹
a
2
3. 抛物线y2 =12x上与焦点的距离等于9的点的
(6, 6 2) 坐标是____________.
例题讲解
例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点 坐标和准线方程;
(部编版)2020学年高中数学第二章2.3.1抛物线及其标准方程学案含解析新人教A版选修77
2．3.1 抛物线及其标准方程[提出问题]如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：|DA|＝|DC|.问题3：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线．[导入新知]抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．[化解疑难]对抛物线定义的认识(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．[提出问题]平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－2,0)；l1：x＝－1，l2：x＝2.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？提示：抛物线；y2＝4x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y2＝－8x.[导入新知]抛物线标准方程的几种形式1．标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项． 2．标准方程中p 表示焦点到准线的距离，p 的值永远大于零．3．四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.[例1] (1)y 2＝－14x ； (2)5x 2－2y ＝0； (3)y 2＝ax (a ＞0)．[解] (1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110，准线方程是y ＝－110.(3)由a ＞0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.[类题通法]已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p ，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p ＞0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．[活学活用]求抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标和准线方程． 解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1ay .当a ＞0时，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ；当a ＜0时，焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a . 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .[例2] (1)过点M (－6,6)；(2)焦点F 在直线l ：3x －2y －6＝0上． [解] (1)由于点M (－6,6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p ＞0)，将点M (－6,6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x . 若抛物线开口向上，焦点在y 轴上， 设其方程为x 2＝2py (p ＞0)，将点M (－6,6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y .[类题通法]求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程； ②直接根据定义求p ，最后写标准方程；③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数． [活学活用]根据下列条件写出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝－1；(2)焦点在x 轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，则焦点到准线的距离是－p 2－p2＝p ＝3，因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .[例3] 平面上动点P [解] 法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 则有x －2＋y 2＝|x |＋1.两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x x ，x ＜，∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二：由题意，动点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1,0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，题中条件等价于点P 到点F (1,0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)． [类题通法]求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P 的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程．[活学活用]已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与定直线l ：x ＝1，且动圆P 和圆A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心P 的轨迹方程．解：法一：设点P 的坐标为(x ，y )， 由条件知|AP |＝r ＋1(r 为圆P 的半径)， 即x ＋2＋y 2＝|x －1|＋1，化简，整理得y 2＝－8x . ∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .法二：如图所示，作PK 垂直于直线x ＝1，垂足为K ，作PQ 垂直于直线x ＝2，垂足为Q ，则|KQ |＝1，∴|PQ |＝r ＋1.又|AP |＝r ＋1，∴|AP |＝|PQ |，故点P 到圆心A (－2,0)的距离和定直线x ＝2的距离相等，∴点P 的轨迹为抛物线，A (－2,0)为焦点，直线x ＝2为准线． ∴p2＝2，∴p ＝4.∴点P 的轨迹方程为y 2＝－8x .3.研析抛物线定义的应用[典例] 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标．[解] 如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ， 则|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号．∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2， ∴P 点坐标为(2,2)． [多维探究](1)若已知抛物线上点P 到焦点F 的距离(或与此有关)，往往转化为点P 到准线的距离，其步骤是： ①过P 作PN 垂直于准线l ，垂足N ；②连接PF ；③|PF |＝|PN |＝x P ＋p2(焦点在x 轴正半轴上时)．(2)上例中，求|PA |＋|PF |的最小值时，结合图形，根据平面几何知识判断|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PN |≥|AB |.体现了数形结合的思想．1．若点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值． 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，P 点，(0,2)点，和抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172.2．若点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解：如图．|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |≥|AF |min .AF 的最小值为F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离．d ＝3×12＋7232＋42＝1.3．若长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，求M 点到y 轴的最短距离． 解：设抛物线焦点为F ，连接AF ，BF ，如图抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－12，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义，知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |. 又M 为AB 中点，由梯形中位线定理， 得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |) ≥12|AB |＝12×3＝32. 则x ≥32－12＝1(x 为M 点的横坐标，当且仅当AB 过抛物线的焦点时取得等号)，所以x min ＝1，即M 点到y 轴的最短距离为1. [类题通法]解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等，使问题化难为易．[随堂即时演练]1．焦点是F (0,5)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120xD ．x 2＝120y解析：选B 由5＝p2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2＝2py ，所以x 2＝20y .2．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．12解析：选B 由抛物线的方程得p 2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.3．若双曲线x 2m －y 23＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________.解析：∵抛物线焦点为(3,0)， ∴m ＋3＝3且m ＞0，则m ＝6. 答案：64．焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 在准线上的射影为N ，若|MN |＝p ，则|FN |＝________. 解析：由条件知|MF |＝|MN |＝p ，MF ⊥MN ，答案：2p5．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标． 解：由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)， 得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，准线方程为x ＝p2，设点M 到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10， 因此p ＝2.故抛物线的方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程，得y ＝±6. 故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．[课时达标检测]一、选择题1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4x B ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4y D ．y 2＝4x 或x 2＝－4y解析：选C 设抛物线方程为y 2＝－2p 1x 或x 2＝2p 2y ，把(－4,4)代入得16＝8p 1或16＝8p 2，即p 1＝2或p 2＝2. 故抛物线的标准方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .2．已知点P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且点P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析：选B 准线方程为x ＝－p ， ∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的距离为2p ＝4.3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4解析：选C ∵抛物线y 2＝2px 的准线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，∴－p2＝－1，即p ＝2.4．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆解析：选A 由题意知，圆C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，即圆C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线y ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)解析：选A 点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图，|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故最小值在S ，P ，Q 三点共线时取得，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.二、填空题6．抛物线x ＝14m y 2的焦点坐标是________．解析：方程改写成y 2＝4mx ，得2p ＝4m ， ∴p ＝2m ，即焦点(m,0)． 答案：(m,0)7．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：148．对标准形式的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号) 解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足； 设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．答案：②④ 三、解答题9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2.作MN ⊥l ，垂足为N ， 则|MN |＝|MF |＝5， 而|MN |＝3＋p 2，3＋p2＝5， 即p ＝4.所以抛物线方程为x 2＝－8y ， 准线方程为y ＝2. 由m 2＝－8×(－3)＝24， 得m ＝±2 6.法二：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得{ p ＝4，m ＝±2 6.※ 推 荐 ※ 下 载 ※准线方程为y ＝2.10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以抛物线的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度AB 为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)．解：如图所示：(1)依题意，设该抛物线的方程为x 2＝－2py (p ＞0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以该抛物线的方程为x 2＝－5y .(2)设车辆高h ，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05，所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．。
2.3.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的
2.抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
【当堂训练】
1.已知抛物线的准线方程为x＝－7，则抛物线的标准方程为()
A.x2＝－28yB.y2＝28xC.y2＝－28xD.x2＝28y
训练2(1)抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为()
A.B.C.D.
(2)抛物线y＝－x2的准线Fra bibliotek程是()A.x＝B.x＝1C.y＝1D.y＝2
例3分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
小结求抛物线方程的主要步骤都是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程.
鸡西市第十九中学学案
2015年（）月（）日班级姓名
2．3.1抛物线及其标准方程
学习
目标
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.
2.会求简单的抛物线的方程.
重点
难点
通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
例1方程＝|x－y＋3|表示的曲线是()
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
解析原方程变形为＝，它表示点M(x，y)与点F(－3,1)的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离.根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.
小结根据式子的几何意义，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹.注意定义中“点F不在直线l上”这个条件.
人教B版高中数学【选修1-1】第2章-2.3-2.3.1抛物线及其标准方程-课件
【答案】 (1)x2＝12y
(2)D
1．根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等 于它到准线的距离， 因此， 抛物线定义的功能是可以把点点距转化 为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷．
∴过 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上， 设其方程为 y2＝－2px(p＞0)， 将点 M(－6,6)代入，可得 36＝－2p×(－6)， ∴p＝3. ∴抛物线的方程为 y2＝－6x；
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2＝2py(p＞ 0)， 将点 M(－6,6)代入可得，36＝2p×6， ∴p＝3， ∴抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
【解析】 (1)由抛物线的定义，点 A 到焦点的距离等于它到 p 准线的距离，而 A 到准线的距离为 4＋ ＝4＋1＝5.(2)由题意，动 2 圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线 x＋1＝0 的距离大 1，故动圆 圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2 为准线的抛物线，其方程为 y2＝8x.
【答案】 (1)D (2)A
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
2.3 抛物线 2．3.1 抛物线及其标准方程
课 后 知 能 检 测
教 师 备 课 资 源
●三维目标 1.知识与技能 掌握抛物线的定义， 掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应 的焦点、准线． 2．过程与方法 掌握对抛物线标准方程的推导， 进一步理解求曲线方程的方法 ——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析和概 括的能力．
2.3.1抛物线及其标准方程
·
K O
·F ·
x
设M（x，y）是抛物线上任意一点， 点M到l的距离为d．
设 FK p ( p ＞ 0），
l
则焦点 F 的坐标为（
P M MF
p 2
，），准线的方程为 0
x
p 2
．
d，
所以
p x y 2
2
2
x
y l O
x 8 y
2
1．因为抛物线的焦点坐
x
标为（ 0 ， 2）， p 2 2 ，所以， 是 x 8 y．
2
F(0,-2)
在 y 轴负半轴上，且 所求抛物线的标准方程
2.抛物线的准线方程是 y=-4;求抛物线的标准方程
x 16 y
2
y
2．因为抛物线的准线方 所以焦点在ｙ轴的正半
MF d
l
1
,则点M的轨迹
是抛物线.
d为 M到 l 的距离
1. 若l经过点F,动点M的轨迹是什么? 2.比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如 何选择坐标系,建立的抛物线的方程才能更简单?
二、抛物线标准方程的推导
H
解：以过F且垂直于直线 l 的直
yd
M （x,y）
线为x轴,垂足为K.以F,K的中
O
x
得p=
2 3
∴抛物线的标准方程为x2 =
9 2
y或 y 2 = x
3
4
。
练习
求焦点在直线2x+3y-6=0上 的抛物线的标准方程。
y
O
x
例3、点M与点F（4，0）的距离比它到直线
高中数学选修1-1精品学案：2.3.1 抛物线及其标准方程
§2.3抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．知识点一抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.思考抛物线的定义中的定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线而是________________．[答案]过点F与l垂直的一条直线知识点二抛物线标准方程的几种形式特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右．1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)2．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(×)3．方程x2＝2ay(a≠0)是表示开口向上的抛物线．(×)题型一求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，；则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝16若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝92.故所求抛物线的标准方程为y2＝－12＝－9y.3x或x(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点为(4,0)时，p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 反思感悟 求抛物线的标准方程的方法定义法 根据定义求p ，最后写标准方程 待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程解 (1)易知抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .题型二 抛物线定义的应用命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程)例2 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程． 考点 题点解 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． 反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．跟踪训练2 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用解 设动点M (x ，y )，⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ， 则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3,0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线， ∴p2＝3，∴p ＝6， 故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .命题角度2 利用抛物线定义求最值或点的坐标例3 如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P (x 0，y 0)是抛物线上一点．(1)若|PF|＝54x0，求x0；(2)已知点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．考点求抛物线的最值问题题点根据抛物线定义转换求最值解(1)由题意知抛物线的准线为x＝－12，根据抛物线的定义可得，x0＋12＝|PF|＝54x0，解得x0＝2.(2)如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|P A|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|P A|＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x 0＝2. ∴点P 坐标为(2,2)． 引申探究若将本例中的点A (3,2)改为点(0,2)，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，(0,2)点和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3 抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用解 设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10， 即9＋p2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6. ∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．抛物线的实际应用问题典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m 时，小船开始不能通航？ 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上， 故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航， 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75m ， 所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．[素养评析] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为： (1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2考点 抛物线的几何性质题点 与准线、焦点有关的简单几何性质[答案] A[解析] 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p 2＝－1. 2．已知抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫116，0C.⎝⎛⎭⎫0，116D ．(0,1) 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程题点 求抛物线的焦点坐标[答案] C[解析] 由抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，可得p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝14y ， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，故选C. 3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12考点 抛物线的几何性质题点 与准线、焦点有关的简单几何性质[答案] B[解析] 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.4．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1，则动点P 的轨迹方程是________． 考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程[答案] y 2＝16x[解析] ∵点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1，∴点P 到直线x ＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，∴p 2＝4，∴动点P 的轨迹方程为y 2＝16x . 5．若抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点的横坐标是________．考点题点[答案] 2[解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知点A 到焦点F 的距离等于点A 到准线的距离，即|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋12. 同理|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋12. 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝5，即x 1＋x 2＝4，得x 1＋x 22＝2.故线段AB的中点的横坐标是2.1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p的值)”的程序求解.。
2.3.1抛物线及其标准方程(1)
l
则焦 F的 点坐标 p， 0） 为， （准线 x的 p．
2
2
由抛物线的定义，抛物线就是点的集合PM M F d，
所以 xp2y2 xp
2
2
＞ 两边平方,整理精选得课件ppt y2 2p(xp 0） 9
· 二、探究新知
抛物线的标准方程 y2 = 2px（p＞0）H
yd M
·· 其
· N M ·x
oF
变式、点M与点F(4,0)的距离比
它到直线l:x+5=0的距离小1,求
点M的轨迹方程 y
x+5=
M
0
o F(4，
x
0)
x+4=0 精选课件ppt
17
三、知识迁移
独立思考，然后举手展示思路
例3、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M( 2,2 2 ),求它的 标准方程。
5.固定绳子另一端在三角板顶点 A上 6.用笔将绳子拉紧,并使绳子紧贴 三角板的直角边 7.上下移动三角板,用笔画出精选轨课件迹ppt
动画 演示
A
6
抛物线的画法 数学这门学科不仅需要观察，还需要实验
精选课件ppt
7
二、探究新知
请同学们回忆作图过程，给抛物线下定义
在平面内,与一个定点F和一 H
d为 M到 l 的距离
8
二、抛物线标准方程的推导 解：以过F且垂直于直线 l 的直
化 列设建简式点系
H
· yd M（x,y） 线为x轴,垂足为K.以F,K的中 点O为求坐曲标线原点方建程立直角坐标系
K O··F
xoy. 的基本步骤
x 设M（x，是y）怎是样抛的物？线上任意一点，
2.3.1抛物线及其标准方程 精品教案
2.3.1抛物线及其标准方程教学设计一、教学目标：（一）、通过自主合作学习，学生能掌握抛物线的几何特征；（二）、通过类比的学习方式方法，学生能深刻理解抛物线的四种不同开口方向对应的抛物线标准方程及其焦点坐标和准线方程；（三）、通过教师的课堂引导，学生能利用本节知识解决相应的习题问题。
二、教学的重点和难点：教学重点:抛物线的几何特征和抛物线四种不同类型标准方程及其焦点坐标、准线方程。
教学难点：抛物线四种不同类型对应的标准方程在应用中的甄别和应用。
三、教学方法：引导学生用类比的学习方法来理解和思考，在课堂上自主与探讨相结合，发现规律，解决疑惑。
四、教学过程：（一）、引入新课：1、情景引入（抛物示范，）；2、生活图片引入（多媒体展示生活中抛物线图片，形象生动地展示抛物线形状，迅速吸引学生注意力，激发学生学习的兴趣）（二）、讲解新课：1、讲授第一学习目标复习椭圆和双曲线的几何特征，做简图，写出它们的几何关系式。
有目的地引入是为了在学习抛物线几何特征时可以进行类比学习，利用类比引出抛物线几何特征、定义，建立平面直角坐标系、求出一个类型的抛物线标准方程。
类比教学贯穿整个过程。
2、讲授第二学习目标引导学生观察椭圆焦点在轴上变化时对应的标准方程的相应变化，分析它们变化的依据从而进行类比，确定抛物线的另外三种类型的标准方程，有效解决焦点坐标及准线方程。
学生能根据课堂理解自主完成课本图表填空。
3、讲授第三学习目标通过实际例子引导学生观察抛物线方程系数和焦点坐标数值与准线方程数值的联系与区别，从而熟练解决相关习题。
评优劣；第1题（1）（2）（3）。
点评时特别要重点分析已知条件是否可以确定抛物线类型。
（五）、小结：本节学习完成后最重要的是能使所有学生学有所获，在小结上让学生自主归纳，教师提出相应引导：什么是抛物线？有什么几何特征？P表示什么？标准方程怎样表示？如何求抛物线焦点坐标和准线方程？（六）、课外作业P64 第2题五、板书设计（主要板书）：1、椭圆，双曲线几何特征及其简图；2作图探究平面内找到5个点，使它们到定点F和定直线L(不经过F)的距离相等-------抛物线几何特征；3、抛物线定义，类比椭圆建立直角坐标系、抛物线4种类型标准方程，例题均可以借助多媒体展示；4、课堂练习让学生黑板演示，自主点评优劣。
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<<2.3.1抛物线及其标准方程>>导学案
【学习目标】
1、掌握抛物线的定义
2、掌握抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线。
3、能根据已知条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应准线方程，焦点坐标。
4、提高分析、概括等方面能力，渗透数形结合和分类讨论等数学思想。
【自主学习】
1、平面内与一个定点F 和一条定直线l （_______）的____ ___的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的_ _，直线l 叫做抛物线的_______.
2、根据定义推导出了焦点在x 轴上的抛物线的标准方程：________, 这里标准的含义是_________,其中p 的几何意义是_____________。
3、抛物线px
y 22
=(p ＞0)上一点Ｍ到焦点的距离是⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
>
2p a
a ，则点Ｍ到准线的距离是
___，点Ｍ的横坐标是______ 4. 填写下表：
【合作探究】
探究一 由抛物线的标准方程求基本量 例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）x y 62= （2）y x 122
=
（3）212x y = （4）y
x 162
-=
变式训练1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）x
y 82= （2）y
x 42
=
（3）0
322=+x y （4）2
6
1x
y
-
=
探究二 求抛物线的标准方程
例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是)0,5(-F （2）经过点)3,2(-A
（3）准线方程为x ＝－7 （4）焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上.
变式训练2 （1）经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝y B ．y 2＝x 或x 2＝8y C ．x 2＝－8y 或y 2＝x D ．x 2＝y 或y 2＝－8x
（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程.
探究三 抛物线定义的应用
例3 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0的距离比它到y 轴的距离大12.
（1）求点M 的轨迹方程； （2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由
变式训练3 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )
A ．1716
B ．1516
C ．78
D ．0
（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( )
A ．172
B ．3
C ． 5
D ．9
2 【当堂检测】
1．抛物线y ＝2x 2
的准线方程为( )
A ．y ＝－18
B ．y ＝－14
C ．y ＝－1
2 D ．y ＝－1
2．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是( )
A.|a |4
B.|a |
2 C ．|a |
D ．－a 2
3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )
A ．y 2＝－8x
B ．y 2＝－4x
C ．y 2＝8x
D ．y 2＝4x 4．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A ．3
B ．6 C.1
48
D.124
5．抛物线y ＝1a x 2
的焦点坐标是( )
A ．(0，a 4)或(0，－a 4)
B ．(0，a 4)
C ．(0，14a )或(0，－14a )
D ．(0，1
4a ) 6．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
7．若双曲线x 2m －y 2
3＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则m ＝________.
8．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是)0,2(-F （2）准线方程是3
1=
y
（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上 （4）经过点)2,6(-A
【总结反思】
1.利用待定系数法求抛物线的标准方程时，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可；若焦点的位置不确定，则要分类讨论．
2.焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设为x 2＝ay (a ≠0)．
3.重视定义在解题中的应用；灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化。