第七章 参数估计

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第七章 参数估计
一、填空题
1、已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布1,N，从中随机地抽

取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则的置信度为0.95的置信区间为
_____________________
。
2、设总体2,~NX，未知，2已知，为使总体均值的置信度为1的
置信区间的长度不大于L，则样本容量n至少应取_______。
3、设总体X的均值和方差2均存在，321,,XXX是取自总体X的样本，已知

的两个无偏估计量为1ˆ3131iiX，2ˆ321613121XXX。则_______比

_______
有效。
4、设总体pnBX,~，p为未知参数，
nXXX,,,21

为来自总体X的一个样本，

则参数p的矩估计量为_______，极大似然估计量为_______。
5、设nXXX,,,21为来自二项分布总体pnB,的简单随机样本，X和2S分别为
样本均值和样本方差。若2kSX为2np的无偏估计量，则_______k。
二、单项选择题
1、设总体X的分布中未知参数的置信度为1的置信区间为21,TT，即



121TTP
，则下列说法正确的是 （ ）

A
、对1T，2T的观测值1t，2t，21,tt
B
、以1的概率落入区间21,TT
C、区间21,TT以1
的概率包含
D
、的数学期望E必属于21,TT
2、设总体2,~NX，其中2已知，则总体均值的置信区间长度l与置信
度1的关系是 （ ）
A、当1缩小时，l缩短 B
、当1缩小时，l增大
2

C、当1
缩小时，l不变 D、以上说法均错
3、设总体2,~NX，其中2已知，若样本容量n和置信度1均不变，则

对于不同的样本观测值，总体均值的置信区间的长度 （ ）
A、变长 B、变短 C、不变 D
、不能确定
4、设nXXX,,,21为取自总体2,~NX的样本，则22的矩估计量为
（ ）

A、211niiXXn B
、2111niiXXn

C
、212XnXnii D、niiXn121
三、计算题
1、某车间生产自行车所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径

2
,~NX
，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径（单位：mm）

为14.6,15.1,14.9,14.8,15.2,15.1，置信度95.01。求：
（1）若06.02，求的置信区间；

（2）若2未知，求的置信区间；
（3）方差2的置信区间。

2、设总体X服从参数为的Poisson分布，
nXXX,,,21

是来自总体X的简单

随机样本，求的矩估计量和极大似然估计量。
3

3、设总体X的概率分布为
其中210为未知参数，利用总体X的如下样本值：3,1,3,0,3,1,2,3，求的
矩估计值和极大似然估计值。

4、设总体其它,00,~2xxexpXx，其中参数0未知，
nXXX,,,21

是

来自总体X的简单随机样本。求：
（1）参数的矩估计量；（2）参数的极大似然估计量。


21
2 12 2



0 1 2 3 P X
4

5、设总体X服从,0上的均匀分布，
nXXX,,,21

是来自总体X的简单随机样

本，求：
（1）的矩估计量1ˆ，并讨论其无偏性和一致性；

（2）的极大似然估计量2ˆ，并讨论其无偏性和一致性。

6、设总体xxexpXx,0,2~2，其中0是未知参数。从总体X中抽
取简单随机样本
nXXX,,,21

，记ˆnXXX,,,min21，求：

（1）总体X的分布函数xF；（2）统计量ˆ的分布函数xFˆ；（3）如果用ˆ作
为的估计量，讨论它是否具有无偏性。
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7、设某产品的性能指标在技术改进前服从正态分布2118.2,N，而在技术改进
后服从2276.1,N，现对改进前的产品随机抽取200个，算得均值为5.32，改
进后的产品抽取100个，算得均值为5.76，试求21的置信度为%95的置信
区间。

四、证明题
设nXXX,,,21为来自总体X的简单随机样本，0i，11nii，证明：

（1）niiiX1为EX的无偏估计；（2）在上述所有无偏估计中，以niiXnX11最
有效。
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参考答案：
一、填空题

1、49.40,51.39 2、22224Lu 3、1ˆ，2ˆ 4、nX，nX 5、1
二、单项选择题
1、C 2、A 3、C 4、D
三、计算题

1、（1）15.15,75.14；（2）19.15,71.14；（3）307.0,020.0

2、X，X 3、41，12137 4、 X2，X2
5、（1）X2ˆ1具有无偏性和一致性；（2）2ˆiniX1max为有偏估计，但有一致
性
6、（1）xexxFx,1,02 ；（2）xFˆxexxn,1,02；（3）ˆ不
是的无偏估计量
7、019.0,899.0
四、证明题略
7

4、设随机变量X的分布函数为









xxxxF,0
,1
,;

其中参数1,0。设
nXXX,,,21

为来自总体X的简单随机样本， 求：

（1）当1时，未知参数的矩估计量； 1XX
（2）当1时，未知参数的极大似然估计量； niiXn1ln
（3）当2时，未知参数的极大似然估计量。 1X