上海市崇明区2021届高三一模数学试卷及答案解析
2021-2022学年上海市浦东新区高三(上)期末数学试卷(一模)
2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|=___ ．2.（填空题，4分）函数f （x ）= √x +1的反函数为f -1（x ），则f -1（3）=___ ．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 35 ，则cos2θ的值为 ___ ．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足 x|x|4+y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 13.（单选题，5分）已知直线a 在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（ ）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（ ）A. C 103x 7B. C 104x 6C. −C 103x 7D. −C 104x 615.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12A.12B.13C.14D.1517.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．（2）若函数g（x）= f(x)x19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π．3（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）20.（问答题，16分）已知斜率为k的直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C 交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．和3，求|AB|；（1）若点A和B到抛物线准线的距离分别为32（2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k的值；（3）点M（t，0），t＞0，对任意确定的实数k，若△AMB是以AB为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M有几个，并说明理由．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．是否为“A型数列”；（1）判断数列π、- √3、-1、12（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．2021-2022学年上海市浦东新区高三（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √5【解析】：直接利用复数的模的求法公式，求解即可．【解答】：解：复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|= √12+22 = √5．故答案为：√5．【点评】：本题考查复数的模的求法，考查计算能力．2.（填空题，4分）函数f（x）= √x +1的反函数为f-1（x），则f-1（3）=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：直接利用反函数的关系式的定义域和函数的值的对应关系求出结果．【解答】：解：∵已知函数y=f（x）存在反函数y=f-1（x），设f（x）=3，则√x +1=3，解得x=4，则f-1（3）的值是4．故答案为：4．【点评】：本题考查了反函数的性质的应用，利用原函数与反函数的定义域和值域恰相反，求出反函数的函数值．3.（填空题，4分）已知cosθ=- 3，则cos2θ的值为 ___ ．5【正确答案】：[1]- 725【解析】：由题意利用二倍角的余弦公式，计算求得结果．【解答】：解：∵cosθ=- 35 ，则cos2θ=2cos 2θ-1=2× 925 -1=- 725 ，故答案为：- 725 ．【点评】：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.（填空题，4分）已知集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}，则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（0，1）【解析】：求出集合A ，B ，由此能求出A∩B ．【解答】：解：∵集合A={x|-1＜x ＜1}，B={x| x x−2 ＜0}={x|0＜x ＜2}， ∴A∩B={x|0＜x ＜1}=（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）底面半径长为2，母线长为3的圆柱的体积为 ___ ．【正确答案】：[1]12π【解析】：利用圆柱体的体积公式求解即可．【解答】：解：因为底面半径长为2，母线长为3，所以圆柱的体积为V=Sh=π×22×3=12π．故选：12π．【点评】：本题考查了圆柱的体积公式的理解与应用，属于基础题．6.（填空题，4分）三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式的值为 ___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：根据已知条件，结合代数余子式的定义，即可求解．【解答】：解：在三阶行列式 |125143356| 中，元素2的代数余子式A 12=（-1）1+2 |1336| =-（1×6-3×3）=3．故答案为：3．【点评】：本题主要考查代数余子式的求解，考查计算能力，属于基础题．7.（填空题，5分）数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n (n ≥11) ，则 n→∞a n =___ ． 【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用数列的极限的运算法则，化简求解即可．【解答】：解：数列{a n }的通项公式为a n = {2n −1(1≤n ≤10)2−1n(n ≥11) ， 则 n→∞a n = lim n→∞ (2−1n) =2-0=2． 故答案为：2．【点评】：本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．8.（填空题，5分）方程log 2（x+1）+log 2（x-1）=1的解为 ___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：利用对数的性质及运算法则直接求解．【解答】：解：∵log 2（x+1）+log 2（x-1）=1，∴log 2（x+1）（x-1）=1=log 22，∴（x+1）（x-1）=2且x+1＞0，x-1＞0，故x= √3 ，故答案为： √3 ．【点评】：本题考查对数方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．9.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，若f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数m 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][-6，+∞）【解析】：将问题转化为x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，构造g （x ）=x 2+2x+3，利用二次函数的图象与性质，求解函数的最值，即可得到答案．【解答】：解：函数f （x ）=x 2+2x+3+m ，且f （x ）≥0对任意的x∈[1，2]恒成立， 则x 2+2x+3≥-m 对任意的x∈[1，2]恒成立，令g （x ）=x 2+2x+3，函数g （x ）在[1，2]上单调递增，所以g （x ）min =g （1）=6，则6≥-m ，即m≥-6，所以实数m 的取值范围为[-6，+∞）．故答案为：[-6，+∞）．【点评】：本题考查了二次函数图象与性质的应用，利用函数单调性求解函数最值的应用，不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．10.（填空题，5分）某学校要从6名男生和4名女生中选出3人担任进博会志愿者，则所选3人中男女生都有的概率为 ___ .（用数字作答）【正确答案】：[1] 45【解析】：由排列组合的知识易得总数为120，不符合的有24，由古典概型概率公式求解即可．【解答】：解：从10人中任选3人有 C 103 =120种选法，这3人中只有女生的共有 C 43 =4种，这3人中只有男生的共有 C 63 =20种， ∴这3人中必须男女生都有的共96种，∴所求概率P= 96120 = 45 ．故答案为： 45 ．【点评】：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．11.（填空题，5分）已知A （-1，0）、B （1，0）、P （1， √3 ），点C 是圆x 2+y 2=1上的动点，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1][4，12]【解析】：设点C 坐标（c osθ，sinθ），将 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 用θ函数表示，用正弦函数取值范围求解．【解答】：解：设C （cosθ，sinθ）， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，- √3 ）， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，- √3 ）， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosθ-1，sinθ- √3 ），PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ = PC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=（cosθ-1，sinθ- √3 ）•（-2，-2 √3 ）=-2（cosθ-1+ √3 sinθ-3）=8-4（ √32 sinθ+ 12 cosθ）=8-4sin （θ+ π6 ），因为sin （θ+ π6 ）∈[-1，1]，所以 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PB ⃗⃗⃗⃗⃗ + PC⃗⃗⃗⃗⃗ • PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[4，12]， 故答案为：[4，12]．【点评】：本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．12.（填空题，5分）已知实数x 、y 满足x|x|4 +y|y|=1，则|x+2y-4|的取值范围是 ___ ． 【正确答案】：[1][4-2 √2 ，4）【解析】：把 x|x|4 +y|y|=1等式变形，画出图形，利用线性规划知识求出x+2y-4的范围，取绝对值得答案即可．【解答】：解答】解：由 x|x|4+y|y|=1， 得 {x ≥0，y ≥0x 24+y 2=1 或 {x ＞0，y ＜0x 24−y 2=1 或 {x ＜0，y ＞0y 2−x 24=1 ， 如图，令z=x+2y-4，得y=- 12 x+ 12 z+2，由图可知，当直线y=- 12 x+ 12 z+2与第一象限的椭圆相切时，直线在y 轴上的截距最大， 联立得 {y =−12x +12z +2x 24+y 2=1 ，即2x 2-（2z+8）x+z 2+8z+12=0，∵相切，∴Δ=（2z+8）2-4×2×（z 2+8z+12）=0，∴z 2+8z+8=0，∴z=-4±2 √2 ，∵椭圆的图象只在第一象限，∴z=-4 +2√2 ，根据双曲线的方程知，两条双曲线的渐近线方程都是y=- 12 x ，当直线y=- 12 x+ 12z+2无限靠近y=- 12x时，12z+2趋于0，即z趋于-4，∴-4＜z≤-4 +2√2，∴|x+2y-4|的取值范围是[4-2 √2，4），故答案为：[4-2 √2，4）．【点评】：本题考查简单的线性规划，考查直线与椭圆相切，双曲线的渐近线，考查数形结合思想，是中档题．13.（单选题，5分）已知直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要【正确答案】：B【解析】：“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，由此能求出结果．【解答】：解：直线a在平面β上，则“直线l⊥a”成立时，“直线l⊥β”不一定成立；“直线l⊥β”⇒“直线l⊥a”，∴直线a在平面β上，则“直线l⊥a”是“直线l⊥β”的必要非充分条件．故选：B．【点评】：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查空间中线与面的位置关系等基础知识，考查空间立体感和推理论证能力，属于中档题．14.（单选题，5分）（x-1）10的二项展开式中第4项是（）A. C103x7B. C104x6C. −C103x7D. −C104x6【正确答案】：C【解析】：写出（x-1）10的二项展开式的通项公式，令r=3，可得所求项．【解答】：解：（x-1）10的二项展开式的通项公式为T r+1= C10r x10-r（-1）r= C10r（-1）r x10-r，r=0，1，2， (10)令r=3，T4=- C103 x7，故选：C．【点评】：本题考查二项式定理的运用，考查运算能力，是一道基础题．15.（单选题，5分）若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. 2√kB. 2√−kC. √kD. √−k【正确答案】：B【解析】：根据双曲线标准方程直接求解．【解答】：解：方程4x2+ky2=4k，即为x2k +y24=1，由方程表示双曲线，可得y 24−x2−k=1，所以a=2，b=√−k，所以虚轴长为2b=2√−k．故选：B．【点评】：本题主要考查双曲线的几何性质，由双曲线方程求解虚轴的长度等知识，属于基础题．16.（单选题，5分）函数f（x）=sinx- 12（x∈[t，t+40]）零点的个数不可能是（）个A.12B.13C.14D.15【正确答案】：D【解析】：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12的交点个数，在正弦函数的一个周期内，即在区间[t，t+2π）上总有两个交点，然后考虑，40减去个周期后，在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，根据的不同取值可确定结论．的交点个数，【解答】：解：f（x）的零点个数，即为y=sinx的图象与直线y= 12≈6.37，易知在[t，t+2π）上它们有两个交点，而402π所以前6个周期共有交点12个，因此我们主要研究它们在区间[t，t+0.74π]中的交点个数，＜t＜-π时，它们在区间[t，t+0.74π]上无交点，当- 7π6＜t＜0时，它们在区间[t，t+0.74π]有1个交点，当- π3时，它们在区间[t，t+0.74π]上有2个交点，当0＜t＜π6因此交点个数可能为12，13，14，不可能是15．故选：D．【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．17.（问答题，14分）已知三棱锥P-ABC中，PA、BA、CA两两互相垂直，且长度均为1．（1）求三棱锥P-ABC的全面积；（2）若点D为BC的中点，求PD与平面PAC所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【正确答案】：【解析】：（1）由已知易得△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，进而可求全面积；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，进而证明DH⊥平面PAC，可得∠DPH是PD与平面PAC所成角；在△PDH中求解即可．【解答】：解：（1）由题意知△PAB≌△PAC≌△BAC且为直角三角形，则可得△PBC为边长为√2的等边三角形，所以三棱锥P-ABC的全面积S= 12 ×1×1×3+ 12× √2 × √2 ×sin60°= 3+√32；（2）取AC的中点H，连接HD和HP，因为PA、BA、CA两两互相垂直，所以PA⊥平面ABC，DH在平面ABC内，所以PA⊥DH，又因为DH⊥AC，所以DH⊥平面PAC，所以∠DPH是PD与平面PAC所成角；因为DH= 12，PH= √52，所以tan∠DPH= √55，∠DPH=arctan √55，所以PD与平面PAC所成角的大小为arctan √55．【点评】：本题考查表面积的问题和线面角的求法，属中档题．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x2+ax+1，a∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若函数g（x）= f(x)x（x＞0），写出函数g（x）的单调递增区间并用定义证明．【正确答案】：【解析】：（1）分a=0和a≠0两种情况，分别利用奇函数与偶函数的定义分析判断即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可．【解答】：解：（1）当a=0时，函数f（x）为偶函数，证明如下：函数f（x）=x2+1，定义域为R，因为f（-x）=x2+1=f（x），所以当a=0时，函数f（x）为偶函数；当a≠0时，f（-1）=2-a，f（1）=2+a，则f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），函数f（x）为非奇非偶函数．（2）函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞），证明如下：g（x）= f(x)x =x+1x+a，设1≤x1＜x2，则g(x1)−g(x2)=x1+1x1+a−(x2+1x2+a) = (x1−x2)(1−1x1x2) = (x1−x2)(x1x2−1)x1x2，由于1≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2−1x1x2＞0，所以f（x1）＜f（x2），则函数g（x）的单调递增区间为[1，+∞）．【点评】：本题考查了函数单调性和奇偶性的判断与证明，考查了函数奇偶性与单调性的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．19.（问答题，14分）某水产养殖户承包一片靠岸水域，如图，AO、OB为直线岸线，OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB̂，过弧AB̂上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB= 2π3．（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益，记∠PAB=θ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．（2）根据已知条件，结合正弦定义，以及三角函数的恒等变换，即可求解．【解答】：解：（1）∵OA=1000米，OB=1500米，∠AOB= π3，∴AB= √OA2+OB2−2×OA×OB×cosπ3 = √15002+10002−2×1500×1000×12=500√7，故岸线上点A与点B之间的直线距离为500√7米．（2）∵在△PAB中，500√7sin2π3=PAsin(π3−θ)=PBsinθ，∴ PA=√7√3(π3−θ)，PB= √7√3（0＜θ＜π3），设两段网箱获得的经济总收益为y元，则y=40PA+30PB= √7√3(π3−θ) + √7√3= √7√3(π3−θ)+3sinθ]= √7√3√3cosθ+sinθ)=10000√91√3sin(θ+arctan2√3) ，当 θ+arctan2√3=π2，即 θ≈π2−arctan2√3 ∈（0， π3）时， y max =10000√91√3≈55076 （元），故两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元．【点评】：本题主要考查函数的实际应用，掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题．20.（问答题，16分）已知斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F ，且与抛物线C 交于不同的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）若点A 和B 到抛物线准线的距离分别为 32 和3，求|AB|； （2）若|AF|+|AB|=2|BF|，求k 的值；（3）点M （t ，0），t ＞0，对任意确定的实数k ，若△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形，判断符合条件的点M 有几个，并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；（2）直线l 的方程为y=k （x-1），代入抛物线方程后应用韦达定理得x 1+x 2，x 1x 2，利用焦半径公式及已知|AF|+|AB|=2|BF|，得出x 1，x 2的关系，与韦达定理结合可求得k ；（3）把 MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于t 的方程，由一元二次方程根的分布可得t 的正数解的个数．【解答】：解：（1）根据抛物线定义，|AF|= 32 ，|BF|=3， ∴|AB|= 92；（2）设直线l 的方程为y=k （x-1）， 由 {y =k (x −1)y 2=4x ，可得：k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0，Δ=（2k 2+4）2-4k 4=16k 2+16＞0， ∴x 1+x 2=2+ 4k 2 ，x 1x 2=1，|AF|=x 1+1，|BF|=x 2+1，|AB|=x 1+x 2+2， 又∵|AF|+|AB|=2|BF|，∴（x 1+1）+（x 1+x 2+2）=2（x 2+1）， ∴x 2-2x 1=1， ∴x 1=k 2+43k 2 ，x 2= 5k 2+83k 2， 代入x 1x 2=1得： k 2+43k 2 • 5k 2+83k 2 =1， ∴k 4-7k 2-8=0，∴k 2=-1（舎）或k 2=8， ∴k= ±2√2 ；（3）∵△AMB 是以AB 为斜边的直角三角形， ∴MA⊥MB ， MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ， 即（x 1-t ，y 1）（x 2-t ，y 2）=0， ∴（x 1-t ）（x 2-t ）+y 1y 2=0， 即x 1x 2-t （x 1+x 2）+t 2+y 1y 2=0，又因为y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2（x 1x 2-x 1-x 2+1）=-4， ∴1-t （2+ 4k 2 ）+t 2-4=0， 即t 2-（2+ 4k 2 ）t-3=0， ∵ Δ=(2+4k 2)2+12＞0 ，t 1t 2=-3＜0，∴方程仅有一个正实数解， 存在一个满足条件的点M ．【点评】：本题考查了直线和圆锥曲线（抛物线）的相关计算，属于综合性较强的题目，解决此类题的一个基本思路就是要联立直线方程和圆锥曲线方程，再用设而不解的方法来进行相关解答，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n}，若存在A∈R使得数列{|a n-A|}是递减数列，则称数列{a n}是“A型数列”．（1）判断数列π、- √3、-1、12是否为“A型数列”；（2）若等比数列{a n}的通项公式为a n=q n（n∈N*），q＞0，其前n项和为S n，且{S n}是“A型数列”，求A的值和q的取值范围；（3）已知k＞0，数列{a n}满足a1=0，a n+1=k|a n|-1（n∈N*），若存在A∈R，使得{a n}是“A型数列”，求k的取值范围，并求出所有满足条件的A（用k表示）．【正确答案】：【解析】：（1）根据A型数列的新定义直接判断即可；（2）分q=1，q＞1和0＜q＜1分别求出{a n}的前n项和为S n，再判断是否存在A满足|S n-A|递减即可求解；（3）分k≥1和0＜k＜1两种情况讨论，首先判断k≥1不符合题意，当0＜k＜1时，先证明a n≤0，进而可得a n以及符合题意的A的值，再证明A是唯一的即可．【解答】：解：（1）因为|π−0|＞|−√3−0|＞|−1−0|＞|−12−0|，“A型数列“的定义可知该数列是“A型数列“．（2）若q=1，|S n-A|=|n-A|，不存在A∈R使得数列{|n-A|}是递减数列，此时{S n}不是“A型数列“；若q＞1，S n=q(1−q n)1−q =q(q n−1)q−1，因为{S n}为递增数列，对于任意A，存在N，当n＞N时，|S n-A|=S n-A，递增，因此不存在A，此时{S n}不是“A型数列“；若0＜q＜1，S n=−q1−q q n+q1−q，取A=q1−q，|S n−A|=q1−qq n，递减，此时符合题意；综上所述A=q1−q，q的取值范围{q|0＜q＜1}．（3）（i）若k≥1，则a1=0，a2=-1，a3=k-1．此时若存在A∈R使得{a n}是A型数列，则|A|＞|A+1|＞|k-1-A|，从而A＜−12且k＜1，矛盾；（ii）当0＜k＜1时，首先证明a n≤0（n∈N*）．用反证法．由题意，此时a1=0，a2=-1，a3=k-1．因此，若存在n∈N*，使得a n＞0，则n≥4．假设n=m为使得a n＞0的最小正整数，则a m＞0≥a m-1，故a m=−ka m−1−1＞0⇒a m−1＜−1k，而a m−1=−ka m−2−1＜−1k ⇒a m−2＞1−kk2＞0，与m的最小性矛盾．故a n≤0（n∈N*），从而a n+1=-ka n-1对一切n∈N*成立．据此，可解得a n=(−k)n−1−1k+1．故当α=−1k+1时，|a n−α|=k n−1k+1，即：{|a n-α|}为递减数列．于是{a n}为α型数列．再证明α是唯一解．用反证法．假设存在A≠α使得{a n}是A型数列．若A＞α，则由a2m−1=α+k2m−2k+1得，当m＞log k2[(A−α)(k+1)]+1时，a2m-1＜A．故|a2m−1−A|=A−α−k2m−2k+1＜A−α−k2mk+1=|a2m+1−A|，{|a n-A|}不是递减数列，从而{a n}不是A型数列．同理可证A＜α时，{a n}也不是A型数列，综上，k∈（0，1），相应的A=−1k+1．【点评】：本题主要考查数列中的新定义问题，数列知识的综合运用等知识，属于中等题．。
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A ＝{0，2，4}，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ ．2．（4分）抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为 ．3．（4分）不等式|x 41x|≤0的解为 ． 4．（4分）已知复数z 满足（1+i ）•z ＝2（i 为虚数单位），则|z |＝ ．5．（4分）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （3，4），则tan(π2+α)= ．6．（4分）设函数f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞1）的反函数为y ＝f ﹣1（x ），若f ﹣1（2）＝1，则f （2）＝ ．7．（5分）设各项均为正数的无穷等比数列{a n }满足：a 1＝1，a 2+2a 3＝1，则数列{a 2n }的各项的和为 ．8．（5分）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为 ．9．（5分）在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，CE →=16CB →+23CA →，则AE →⋅BC →= ． 10．（5分）甲和乙等5名志愿者参加进博会A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有 种不同的参加方法（结果用数值表示）．11．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＞0，公差d ＜0，若对任意的n ∈N *，总存在k ∈N *，使S 2k ﹣1＝（2k ﹣1）S n ，则k ﹣3n 的最小值为 ．12．（5分）已知函数f （x ）＝x |x ﹣a |+3x ．若存在a ∈[﹣3，4]，使得关于x 的方程f （x ）＝tf （a ）有三个不相等的实数根，则实数t 的取值范围是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．】13．（5分）已知x ≠0，n ∈N *，则“n ＝2”是“(x +1x )n 的二项展开式中存在常数项”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 14．（5分）已知a 、b ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．1a ＜1bB ．lna ＞lnbC ．a 2＞b 2D ．2a ＞2b15．（5分）过双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A 、O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（ ）A ．x 23−y 2=1 B ．x 2−y 23=1 C ．x 22−y 22=1 D ．x 22−y 26=116．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 是该正方体棱上一点．若满足|PB |+|PC 1|＝m （m ＞0）的点的个数为4，则m 的取值范围是（ ）A ．[2√2，4]B ．[4，2+2√3]C ．[4，4√2]D ．[2+2√3，4√2]三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，A 1D ＝4．（1）求该正四棱柱的表面积和体积；（2）求异面直线A 1D 与AC 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知函数f （x ）＝cos （ωx ）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数g(x)=√3f(π4−x)−f(x)，x ∈[0，π2]的值域；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，若A ∈(0，π2)，f(A)=−12，△ABC 的面积为3√3，b ﹣c ＝2，求a 的值．19．（14分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：v ={50，0＜x ≤2060−k 140−x ，20＜x ≤120(k ∈R)．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y ＝x ⋅v ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且经过点Q(32，√3)，A 为左顶点，B 为下顶点，椭圆上的点P 在第一象限，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若OB →+2OC →=0→，求线段P A 的长；（3）试问：四边形ABCD 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．（18分）若有穷数列{a n }满足：0≤a 1＜a 2＜…＜a k （k ∈N *，k ≥3）且对任意的i ，j （1≤i ≤j ≤k ），a j +a i 与a j ﹣a i 至少有一个是数列{a n }中的项，则称数列{a n }具有性质P ．（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P ，并说明理由；（2）设项数为k （k ∈N *，k ≥3）的数列{a n }具有性质P ，求证：ka k ＝2（a 1+a 2+…+a k ﹣1+a k ）；（3）若项数为k （k ∈N *，k ≥3）的数列{a n }具有性质P ，写出一个当k ＝4时，{a n }不是等差数列的例子，并证明当k＞4时，数列{a n}是等差数列．2021年上海市嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A ＝{0，2，4}，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝ {2，4} ．【解答】解：集合A ＝{0，2，4}，B ＝（0，+∞），则A ∩B ＝{2，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为 （1，0） ．【解答】解：∵抛物线y 2＝4x 是焦点在x 轴正半轴的标准方程，p ＝2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式|x 41x|≤0的解为 {x |﹣2≤x ≤2} ． 【解答】解：不等式|x 41x |≤0，化为：x 2﹣4≤0， 解得﹣2≤x ≤2，所以不等式的解：{x |﹣2≤x ≤2}．故答案为：{x |﹣2≤x ≤2}．4．（4分）已知复数z 满足（1+i ）•z ＝2（i 为虚数单位），则|z |＝ √2 ．【解答】解：∵（1+i ）•z ＝2，∴|1+i |•|z |＝2，∴√2|z |＝2，∴|z |=√2，故答案为：√2．5．（4分）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （3，4），则tan(π2+α)= −34 ．【解答】解：角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P （3，4）， 可得sin α=45，cos α=35，tan(π2+α)=sin(α+π2)cos(α+π2)=cosα−sinα=35−45=−34． 故答案为：−34．6．（4分）设函数f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞1）的反函数为y ＝f ﹣1（x ），若f ﹣1（2）＝1，则f （2）＝ 6 ．【解答】解：由题意得：函数f （x ）＝a x +1﹣2（a ＞1）过（1，2），将（1，2）代入f （x ）得：a 2﹣2＝2，解得：a ＝2，故f （x ）＝2x +1﹣2，故f （2）＝6，故答案为：6．7．（5分）设各项均为正数的无穷等比数列{a n }满足：a 1＝1，a 2+2a 3＝1，则数列{a 2n }的各项的和为 23（1﹣2﹣2n ） ．【解答】解：由题意设公比是q （q ＞0），而a 1＝1，则a 2＝q ，a 3＝q 2，∵a 2+2a 3＝1，∴q +2q 2＝1，解得：q 1=12（﹣1舍），故a n =(12)n−1，则数列{a 2n }的首项是12，公比是q 2=14， 故数列{a 2n }的各项的和S =a 1(1−q n )1−q =12[1−(14)n ]1−14=23（1﹣2﹣2n ）， 故答案为：23（1﹣2﹣2n ）．8．（5分）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为 15π ．【解答】解：如图示：，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，得到的是高为4，底面半径为3，母线长为5的圆锥，。
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．（4分）\{\}\_{}\{}{21}mathop lim limits n frac n n →∞+= ． 2．（4分）半径为2的球的表面积为 ． 3．（4分）抛物线24x y =-的准线方程为 ． 4．（4分）已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =，则AB = ．5．（4分）已知复数z 满足(1)4(z i i -=为虚数单位），则||z = ． 6．（4分）在ABC ∆中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC = ． 7．（5分）函数2()1log (4)f x x x =+的反函数的定义域为 ．8．（5分）在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 ．（用数字作答）9．（5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则\{}\{}overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅的取值范围为 ． 10．（5分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1||211n na S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为 ．11．（5分）设函数()||\{2}{}f x x a frac x a =--+，若关于x 的方程()1f x =有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值构成的集合为 ．12．（5分）对于任意的正实数a ，b 的取值范围为 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 14．（5分）若某线性方程组的增广矩阵为({\.\{}{}1&2&8\\2&4&{16}\{}\.})left begin array l end array right ，则该线性方程组的解的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定15．（5分）下列命题中正确的是( ) A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面16．（5分）已知函数()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则以下4个命题： ①()f x 是偶函数；②()f x 在[0，)+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点． 其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M为线段1A A 的中点．（1）求直三棱柱111A B C ABC -的体积；（2）求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示）18．（14分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围．19．（14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n =，2，3，⋯，12)个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ⎧=⎨-+-⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量． （1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值．20．（16分）已知椭圆221:14x C y +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点．（1）求椭圆1C 的焦距； （2）点(2Q ，22为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB ∆面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(M M x ，)M y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x 的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF 的取值范围．21．（18分）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数．（1）判断21()4f x x x =-，([1,4])x ∈与2()|1||2|f x x x =-+-，([1,4])x ∈是否是非减函数？ （2）已知函数1()22x x ag x -=+在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围． （3）已知函数()h x 在[0，1]上为非减函数，且满足条件：①(0)0h =，②1()()32x h h x =，③(1)1()h x h x -=-，求1()2020h 的值．2021年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．（4分）\{\}\_{}\{}{21}mathop lim limits n frac n n →∞+= \{1}{2}frac ． 【解答】解：\\_{}\{}{21}\\_{}\{1}{2\{1}{}}\{1}{2}lim limits n frac n n lim limits n frac frac n frac →∞+=→∞+=，故答案为：\{1}{2}frac ．2．（4分）半径为2的球的表面积为 16π ．【解答】解：球的半径为2，所以球的表面积为：2416r ππ= 故答案为：16π3．（4分）抛物线24x y =-的准线方程为 1y = ． 【解答】解：抛物线24x y =-焦点在y 轴的负半轴上，则12p=， ∴抛物线的焦点坐标为(0,1)-，准线方程：1y =，故答案为：1y =．4．（4分）已知集合{|0}A x x =>，2{|1}B x x =，则A B = (0，1] ．【解答】解：{|0}A x x =>，{|11}B x x =-，(0AB ∴=，1]．故答案为：(0，1]．5．（4分）已知复数z 满足(1)4(z i i -=为虚数单位），则||z = 【解答】解：复数z 满足(1)4z i -=， 则41z i=-，所以4|||1|z i ===-．故答案为：6．（4分）在ABC ∆中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC【解答】解：51243A B C πππππ=--=--=， 由正弦定理得sin sin AB BCC A =，所以2sinsin 3sin sin 4AB A BCC ππ===．7．（5分）函数2()1log (4)f x x x =+的反函数的定义域为 [3，)+∞ ． 【解答】解：函数2()1log (4)f x x x =+的值域为[3，)+∞， 故其反函数的定义域为[3，)+∞．8．（5分）在7(x 的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为 12．（用数字作答）【解答】解：因为7(x 展开式的通项为7721772r r rrr r r T C x C x --+==，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数， 而[0r ∈，7]()r N ∈，故有0r =，2，4，6满足题意， 所以所求概率4182P ==， 故答案为：12． 9．（5分）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则\{}\{}overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅的取值范围为 [0，1] ． 【解答】解：取EF 中点为O ，则22\{}\{}(\{}\{})(\{}\{}){}{}overrightarrow AE overrightarrow AF overrightarrow AO overrightarrow OE overrightarrow AO overrightarrow OE A O O E ⋅=+⋅-=-，因为正方形的边长为2，所以\{2},[{1,\{2}}]AO sqrt OE sqrt =∈， 所以\{}\{}[{0,1}]overrightarrow AE overrightarrow AF ⋅∈． 故答案为：[0，1]．10．（5分）若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1||211n na S +=，则数列{}n a 的前n 项和为n S 为 122n n S +=- ．【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等比数列，设等比数列{}n a 的公比为q ， 数列{}n a 满足1||211n na S +=，则有12n n a S +-=，当1n =时，有21212a S a a -=-=，① 当2n =时，有32312()2a S a a a -=-+=，② 联立①②可得：12a =，2q =，则数列{}n a 的前n 项和为11(1)221n n n a q S q +-==--， 故答案为：122n n S +=-．11．（5分）设函数()||\{2}{}f x x a frac x a =--+，若关于x 的方程()1f x =有且仅有两个不同的实数根，则实数a的取值构成的集合为\\{{\{12\{2}}{2},\{12\{2}}{2},2}\\}left frac sqrt frac sqrt right -+ ．【解答】解：由方程()1f x =，得||\{2}{}1x a a frac x -+=+有两个不同的解， 令()||,()\{2}{}1h x x a a g x frac x =-+=+， 则()||h x x a a =-+的顶点(,)a a 在y x =上，而y x =与()\{2}{}1g x frac x =+的交点坐标为(2,2)，(1,1)--， 联立\\{{\.\{}{}{2}\\{\{2}{}1}\{}\.}\.left left begin array l y x a y frac x end array right right =-+=+得{2}(12)20x a x +-+=，由△{2}(12)80a =--=，解得\{12\{2}}{2}a frac sqrt =-或\{12\{2}}{2}frac sqrt +， 作出图象，数形结合，要使得||\{2}{}1x a a frac x -+=+有两个不同的解， 则实数a 的取值范围是\{12\{2}}{2}a frac sqrt =-或\{12\{2}}{2}frac sqrt +或2． 故答案为\\{{\{12\{2}}{2},\{12\{2}}{2},2}\\}left frac sqrt frac sqrt right -+．12．（5分）对于任意的正实数a ，b 22229a a b ++的取值范围为 2[ ．【解答】2222219()22953ba ab a a++++=+，故可看作2(319())b bA a a⨯+与(5,22)B --两点的斜率，其中点A 在221(0,0)y x x y -=>>上，故AB k 最小值在相切时取得， 设2(5)y k x +=+，联立2222(5)1y k x y x ⎧++⎪⎨-=⎪⎩，由△0=，解得122132k k ==（舍) 当ba→+∞时，22219()153AB ba k a++=→+⨯， 22229a a b ++的取值范围是2[．故答案为：2[． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．（5分）若a 、b 是实数，则a b >是22a b >的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：根据题意，因为2x y =是增函数，若a b >，必有22a b >， 反之若22a b >，必有a b >， 则a b >是22a b >的充要条件， 故选：C ． 14．（5分）若某线性方程组的增广矩阵为({\.\{}{}1&2&8\\2&4&{16}\{}\.})left begin array l end array right ，则该线性方程组的解的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定【解答】解：该线性方程组可化为方程28x y +=，故有无数组解； 故选：C ．15．（5分）下列命题中正确的是( ) A ．三点确定一个平面B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．若直线l 与平面α上的无数条直线都垂直，则直线l α⊥D ．若a 、b 、c 是三条直线，//a b 且与c 都相交，则直线a 、b 、c 共面 【解答】解：对于选项A ：不共线的三点确定一个平面，故A 错误， 对于选项B ：由墙角模型可知，显然B 错误，对于选项C ：根据线面垂直的判定定理，若直线l 与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l 与平面α垂直，若直线l 与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l 与平面α不垂直，故C 错误，对于选项D ：因为//a b ，所以a 与b 唯一确定一个平面，设为平面α，又c 与a 和b 都相交，所以c 也在平面α内，即直线a 、b 、c 共面，故选项D 正确， 故选：D ．16．（5分）已知函数()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则以下4个命题： ①()f x 是偶函数；②()f x 在[0，)+∞上是增函数； ③()f x 的值域为R ；④对于任意的正有理数a ，()()g x f x a =-存在奇数个零点．其中正确命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：①因为()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，所以f （1）1=，(1)1f -=-， 所以()f x 不是偶函数，故错误；②因为f （3）35f =<=，所以()f x 在[0，)+∞不是增函数，故错误；③因为()()()2,,x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，显然()F x 的值域中不含负无理数， 故()f x 的值域不为R ，故错误；④()()g x f x a =-的零点即x a =，x 为有理数或2x a =，x 为无理数， 对于x a =，x 为有理数，必有解x a =，对于2x a =，x为无理数，必有解x = 故()()g x f x a =-有三个零点或一个，故正确； 故选：B ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（14分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，1AB AC ==，2BAC π∠=，14A A =，点M为线段1A A 的中点．（1）求直三棱柱111A B C ABC -的体积；（2）求异面直线BM 与11B C 所成的角的大小．（结果用反三角表示）【解答】解：（1）111122ABC S ∆=⨯⨯=，11422ABC V S A A ∆∴==⨯=．（2）11//BC B C ，MBC ∴∠或其补角是异面直线BM 与11B C 所成的角，在MBC ∆中，5BM CM ==2BC ，由余弦定理得，22210cos 2BM BC CM MBC BM BC +-∠==， 10MBC ∴∠= 故异面直线BM 与11B C 所成的角为10 18．（14分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π．（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围．【解答】解：（1）因为()sin()(0)6f x x πωω=+>的最小正周期为π，所以2T ππω==，所以2ω=，()sin(2)6f x x π=+，令222262k x k πππππ-++，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是[3k ππ-，]6k ππ+，k Z ∈．（2）在ABC ∆中，若()12Af =，由（1）得，()sin(2)6f x x π=+，所以sin()16A π+=因为0A π<<，所以62A ππ+=，解得：3A π=，即23sin sin sin sin()sin )326B C B B B B B ππ+=+-==+， 因为203B π<<，所以5666B πππ<+<；所以13sin()1,3sin()3266B B ππ<+<+，所以sin sin B C +的取值范围． 19．（14分）勤俭节约是中华民族的传统美德．为避免舌尖上的浪费，各地各部门采取了精准供应的措施．某学校食堂经调查分析预测，从年初开始的前(1n n =，2，3，⋯，12)个月对某种食材的需求总量n S （公斤）近似地满足2635(16)6774618(712)n n n S n n n ⎧=⎨-+-⎩．为保证全年每一个月该食材都够用，食堂前n 个月的进货总量须不低于前n 个月的需求总量． （1）如果每月初进货646公斤，那么前7个月每月该食材是否都够用？（2）若每月初等量进货p （公斤），为保证全年每一个月该食材都够用，求p 的最小值． 【解答】解：（1）当16n 时，每月需求量635公斤，每月进货646公斤，1到6月都够用， 当7n =时，因为764676467(6497747618)160S ⨯-=⨯--⨯+⨯-=>，第7个月该食材够用，所以，前7个月每月该食材都够用．（2）为保证该食材全年每一个月都够用，不等式n pn S 对1n =，2，⋯，12恒成立， ①当16n 时，635pn n 恒成立，可得635p ，②当712n 时，26774618pn n n -+-恒成立，即1037746()p n n-+恒成立，因为1037746()7746652.2n n n n -+-⨯≈，当且仅当103n n=，即10.15n =≈时，等号成立，又因为*n N ∈，且12n ，所以当10n =时，1037746()n n-+的最大值为652.2， 综上所述，652.2p ，所以为保证全年每一个月该食材都够用，每月初进货量p 的最小值为652.2公斤．20．（16分）已知椭圆221:14x C y +=，1F 、2F 为1C 的左、右焦点．（1）求椭圆1C 的焦距； （2）点Q为椭圆1C 一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆1C 交于两点A 、B ，若QAB ∆面积为1，求直线l 的方程；（3）已知椭圆1C 与双曲线222:1C x y -=在第一象限的交点为(M M x ，)M y ，椭圆1C 和双曲线2C 上满足||||M x x 的所有点(,)x y 组成曲线C ．若点N 是曲线C 上一动点，求12NF NF 的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆221:14x C y +=，可得2a =，1b =，c =， 则椭圆1C的焦距为2c = （2）由12OQ k =，设1:2l y x m =+，代入2244x y +=得222220x mx m ++-=， 由△22248(1)840m m m =--=->，得||m < 2A B x x m +=-，222A B x x m =-，所以222||(2)4(22)52AB mm m =---=-，又Q 到直线l 的距离为d =由1|||1,12QAB S d AB m m ∆===±，所以1:12l y x =±； （3）由2222441x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得M M x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设(,)N x y 是曲线C 上一点，则1(0)F ，20)F ，1(,)NF x y =--，2(3,)NF x y =-， 所以22123NF NF x y =+-；当点N 在曲线2244(||||)M x y x x +=上时，21213NF NF y =-，当y 时，124()5min NF NF =-，当0y =时，12()1max NF NF =， 所以124[,1]5NF NF ∈-；当点N 在曲线221(||||)M x y x x -=上时，21222NF NF y =-；当y 时，124()5min NF NF =-，124[,)5NF NF ∈-+∞； 综上，124[,)5NF NF ∈-+∞．21．（18分）已知函数()f x 的定义域是D ，若对于任意的1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数．（1）判断21()4f x x x =-，([1,4])x ∈与2()|1||2|f x x x =-+-，([1,4])x ∈是否是非减函数？ （2）已知函数1()22x x ag x -=+在[2，4]上为非减函数，求实数a 的取值范围． （3）已知函数()h x 在[0，1]上为非减函数，且满足条件：①(0)0h =，②1()()32x h h x =，③(1)1()h x h x -=-，求1()2020h 的值． 【解答】解：（1）1()f x 不是，2()f x 是．因为1f （1）1f >（2），则1()f x 不是[1，4]上的非减函数， 21,12()2,24x f x x ⎧=⎨<⎩，1x ∀，2[1x ∈，2]，且设1212x x <，则2122()()f x f x =，显然满足2122()()f x f x ， 1x ∀，2(2x ∈，4]，且设1224x x <<，则211222()2323()f x x x f x =-<-=，显然满足2122()()f x f x ，1[1x ∀∈，2]，2(2x ∀∈，4]，则21()1f x =，222()231f x x =->，显然满足2122()()f x f x ，综上所述，2()f x 是[1，4]上的非减函数． （2）1x ∀，2[2x ∈，4]，设1224x x <， 则12()()0g x g x -， 12121222()()2(2)22x x x x a a g x g x -=+-+ 121221121222222()22(22)2222x x x x x x x x x x a a a =-+-=-+-12122(22)(1)022x x x x a=--， 则1x ∀，2(2x ∈，4]，设1224x x <，不等式1221022x x a -恒成立，即1222x a 2x ，则8a ．（3）h （1）(0)1h +=，所以h （1）1=， 所以11()32h h =（1）12=，211()1()332h h =-=， 得出121()()332h h ==，1(3x ∀∈，2)3，因为函数()h x 在[0，1]上为非减函数，所以12()()()33h h x h ，所以11()22h x ， 得到1[3x ∀∈，2]3，1()2h x ≡，由②1()()32x h h x =知，1()(3)2h x h x =，1131729()()()202022020642020h h h ==⋯=， 所以11()2020128h =．。
2021届崇明区中考数学一模(含答案)
上海市崇明区2021届初三一模数学试卷2021.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 已知线段a 、b 、c 、d 的长度满足等式ab cd ，如果某班四位同学分别将该等式改写 成了如下四个比例式，那么其中错误的是（ ） A. a c b d B. a d c b C. b d c a D. b c d a2. 已知点G 是△ABC 的重心，如果联结AG ，并延长AG 交边BC 于点D ，那么下列说法中错误的是（ ）A. BD CDB. AG GDC. 2AG GDD. 2BC BD 3. 已知a 和b 都是单位向量，那么下列结论中正确的是（ ） A. a b B. 2a b C. 0a b D. ||||2a b4. 在△ABC 中，90C ，如果8AC ，6BC ，那么A 的正弦值为（ ） A. 35 B. 45 C. 34 D. 435. 抛物线2()y a x k k 的顶点总在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 直线y x 上D. 直线y x 上6. （ ）A. 3B. 4C. 5D. 无法确定二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 已知53x y ，那么x y y8. 已知线段6AB cm ，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC ，那么线段AC 的长为 cm9. 如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1:4，那么这两个三角形的面积比为 10. 计算：2(2)3(2)a b a b11. 如果一段斜坡的水平宽度为12米，坡度1:3i ，那么这段斜坡的铅垂高度为 米12. 已知锐角△ABC 中，5AB ，7BC ，4sin 5B ，那么C 度 13. 函数2245y x x 的图像与y 轴的交点坐标为14. 如果将抛物线2(1)y x 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为15. 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的弧与x 轴交于A 、B 两点，已知点P 的坐标为(1,)y ，点A 的坐标为(1,0) ，那么点B 的坐标为16. 如果大小不同的两个圆外切时的圆心距为5厘米，并且它们内切时的圆心距为1厘米，那么其中较大圆的半径为 厘米17. 我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线”，相关两边为“闪亮边”，例如：图（1）中的四边形中ABCD ，AB AC AD ，则2AC AB AD ，所以四边形ABCD 是闪亮四边形，AC 是闪亮对角线，AB 、AD 是对应的闪亮边，如图（2），已知闪亮四边形ABCD 中，AC 是闪亮对角线，AD 、CD 是对应的闪亮边，且90ABC ，60D ，4AB ，2BC ，那么线段AD 的长为18. 在△ABC 中，AB 45B ，60C ，点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连结DE ，沿直线DE 将△ADE 折叠得到△A DE ，连结AA ，当A E AC 时，则线段AA 的长为三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：22cos30cot 45tan 60sin 452sin 30.20. 如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，2AD ，4DB ，8AC .（1）求线段AE 的长；（2）设BA a ，BC b . ①请直接写出向量AE 关于a 、b 的分解式，AE ； ②联结BE ，在图中作出向量BE 分别在a 、b 方向上的分向量.（可以不写作法，但必须写出结论）21. 如图，已知O 在O 中，OA 、OB 都是圆的半径，且OA OB ，点C 在线段AB 的延长线上，且OC AB .（1）求线段BC 的长；（2）求BOC 的正弦值.22. 为了维护国家主权和海洋权益，海监部门对我领海实施常态化巡航管理，如图，一艘正在执行巡航任务的海监船接到固定监测点P 处的值守人员报告，在P 处南偏东30°方向上，距离P 处14海里的Q 处有一可疑船只滞留，海监船以每小时28海里的速度向正东方向航行，在A 处测得监测点P 在其北偏东60°方向上，继续航行半小时到达了B 处，此时测得监测点P 在其北偏东30°方向上.（1）B 、P 两处间的距离为 海里；如果联结图中的B 、Q 两点，那么△BPQ 是 三角形；如果海监船保持原航向继续航行，那么它 （填“能”或“不能）到达Q 处；（2）如果监测点P 处周围12海里内有暗礁，那么海监船继续向正东方向航行是否安全？23. 已知：如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ，联结BE 、CD 相交于点F .（1）求证：ABE ACD ；（2）如果ED EC ，求证：22DF EF BD EB.24. 如图，已知对称轴为直线1x 的抛物线23y ax bx 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(1,0).（1）求点B 的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为P ，对称轴与线段BC 的交点为Q ，将线段PQ 绕点Q ，按顺时 针方向旋转120°，请判断旋转后点P 的对应点P 是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在x 轴上是否存在点M ，使△MOC 与△BCP 相似？若不存在，请说明理由，若 存在，请直接写出点M 的坐标（不必书写求解过程）.25. 如图，Rt △ABC 中，90ACB ，6AC ，8BC ，点D 为斜边AB 的中点，ED AB ，交边BC 于点E ，点P 为射线AC 上的动点，点Q 为边BC 上的动点，且运动过程中始终保持PD QD .（1）求证：ADP ∽EDQ .（2）设AP x ，BQ y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结PQ ，交线段ED 于点F ，当△PDF 为等腰三角形时，求线段AP 的长.参考答案一. 选择题1. A2. B3. D4. A5. C6. B二. 填空题7. 238. 3 9. 1:16 10. 8a b 11. 4 12. 45 13. (0,5) 14. 2(1)1y x15. (3,0) 16. 3 17. 18.三. 解答题19. 12. 20.（1）83AE ；（2）1133AE a b ，BD 、DE 即为所求分向量.21.（1）1BC ；（2）sin 4BOC. 22.（1）14，等边，能；（2）安全.23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）(3,0)B ，223y x x ；（2）P 在抛物线上；（3）1(1,0)M ，2(1,0)M ，3(9,0)M ，4(9,0)M .25.（1）证明略；（2）25325(0)443y x x；（3）256AP 或53.。
2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年上海市高考数学试卷(学生版+解析版).docx
2021年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分，满分54分）1.（4 分）已知 zi = l+z', Z2=2+3Z',求 zi+z2=.2.（4 分）已知 A={x|2xWl}, B={-1, 0, 1},贝i| .3.（4分）若^+y2 -2x~ 4y=0,求圆心坐标为 .4.（4分）如图正方形ABCD,求百.5.（4 分）已知f（x）+2,则广1 （1） =.x6.（4分）已知二项式（x+a） 5展开式中，x2的系数为80,则a=.x<37.（5分）已矢小2x-y-2》o, z=x-y,则z的最大值为 .3x+y-8》08.（5分）已知{a”}为无穷等比数列，671=3, S的各项和为9, bn=ain,则数列化”}的各项和为.9.（5分）己知圆柱的底面圆半径为1,高为2, AB为上底面圆的一条直径，C是下底面圆周上的一个动点，则ABC的面积的取值范围为 .10.（5分）已知花博会有四个不同的场馆A, B, C, D,甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为.11.（5分）已知抛物线y2=2px（p>0）,若第一象限的A, B在抛物线上，焦点为F, |时| =2,|BF|=4, |AB|=3,求直线AB的斜率为.12.（5 分）已知 a庭N* （z=l, 2,…，9）对任意的k€N* （2WZW8）, ak=ak-l+]或破=ak+i - 1中有且仅有一个成立，ai—6, <29=9,则ai+---+a9的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A.y= - 3xB. j=x3C. y=log3xD. y=3xx=3t~4t314.（5分）已知参数方程< * 二_, re[-i, 1],以下哪个图符合该方程（）.y=2tVl-t2三、解答题17. （14 分）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，已知 AB=BC=2, 441=3.(1) 若F 是棱A L D I 上的动点，求三棱锥C-PAD 的体积;(2) 求直线AB1与平面ACC1A1的夹角大小.18. （14 分）在△ABC 中，已知 Q =3, b=2c.（1）若 A = 求 S/VlBC.(2) 若 2sinB - sinC= 1,求 C MBC .19. (14分)已知一企业一年营业额1.1亿元，每年增加0.05亿元，利润0.16亿元，每年增 长4%.A. C. 15. （5 分） 已知 f （x ） =3sinx+2,对任意的 xi£[O,=2/-(x+0) +2成立，则下列选项中，。
上海市崇明区2023届高三上学期高考一模数学试卷带讲解
（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定 的位置.
【小问1详解】
以 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ，
设曲线段 所在抛物线的方程为 ，
由题意可知，点 和 在此抛物线上，
【小问1详解】
由题意， ， ， ，
由题意， ， ， ，故 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
【小问2详解】
当 时，椭圆方程为 ，则 ， ，
由对称性，不妨设点P在x轴上方，则直线AP的方程为 ，代入椭圆方程，得
，解得 （舍去）， ，所以 ，
所以 .
【小问3详解】
设 ，则 ，
直线AP 方程为 ，
【详解】设椭圆 标准方程为 ，椭圆离心率为 ，
设双曲线 标准方程为 ，双曲线离心率为 ，
由题可知： ．
设 ， ，
则 ，
由①②得， ， ，
代入③整理得， ，
两边同时除以 得， ，
即 ，
即 ，
解得 ，即 ．
故答案为：
【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.
【详解】将点 代入 得 ，解得
故答案为：2.
5.设等比数列 满足a1+a2= –1,a1–a3= –3，则a4=___________．
【答案】-8
【详解】设等比数列 的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由 可得： ，代入①可得 ，
由等比数列的通项公式可得 .
2021年上海市高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2021年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知11z i =+，223z i =+，求12z z += ． 2．（4分）已知{|21}A x x =，{1,0,1}B =-，则AB = ．3．（4分）若22240x y x y +--=，求圆心坐标为 ． 4．（4分）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅= ．5．（4分）已知3()2f x x=+，则1(1)f -= ． 6．（4分）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a = ． 7．（5分）已知3220380x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩，z x y =-，则z 的最大值为 ．8．（5分）已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为 ． 9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC ∆的面积的取值范围为 ．10．（5分）已知花博会有四个不同的场馆A ，B ，C ，D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为 ．11．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>，若第一象限的A ，B 在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，求直线AB 的斜率为 ．12．（5分）已知*(1i a N i ∈=，2，⋯，9)对任意的*(28)k N k ∈，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则19a a +⋯+的最小值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13．（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( ) A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3x y =14．（5分）已知参数方程323421x t ty t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，[1,1]t ∈-，以下哪个图符合该方程( )A ．B ．C ．D ．15．（5分）已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()2f x f x θ=++成立，则下列选项中，θ可能的值是( ) A ．35πB ．45π C ．65π D ．75π 16．（5分）已知两两不相等的1x ，1y ，2x ，2y ，3x ，3y ，同时满足①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③1133222x y x y x y +=，以下哪个选项恒成立( )A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x < D ．2213x x x >三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =． （1）若P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积； （2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小．18．（14分）在ABC ∆中，已知3a =，2b c =． （1）若23A π=，求ABC S ∆． （2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%．（1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？20．（16分）已知22:12x y Γ+=，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(,0)(2)P m m -，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅=，且原点O 到直线l l 的方程；（3）证明：对于任意m <12//F A F B 的直线有且仅有一条．21．（18分）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的． （1）判断和证明()21f x x =-是否在[0,)+∞关联？是否有[0,1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0,3]x ∈时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x ． （3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1,2]是关联的”．2021年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分） 1．（4分）已知11z i =+，223z i =+，求12z z += 34i + ．【解析】因为11z i =+，223z i =+，所以1234z z i +=+．故答案为：34i +． 【评注】本题考查了复数的加法运算，属基础题． 2．（4分）已知{|21}A x x =，{1,0,1}B =-，则A B = {1,0}- ．【解析】因为1{|21}{|}2A x x x x==，{1,0,1}B =-，所以{1,0}A B =-．故答案为：{1,0}-．【评注】本题考查了交集及其运算，属基础题．3．（4分）若22240x y x y +--=，求圆心坐标为 (1,2) ．【解析】由22240x y x y +--=，可得圆的标准方程为22(1)(2)5x y -+-=，所以圆心坐标为(1,2)． 故答案为：(1,2)．【评注】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题． 4．（4分）如图正方形ABCD 的边长为3，求AB AC ⋅= 9 ．【解析】由数量积的定义，可得cos AB AC AB AC BAC ⋅=⨯⨯∠，因为cos AB AC BAC =⨯∠，所以29AB AC AB ⋅==．故答案为：9．【评注】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题． 5．（4分）已知3()2f x x=+，则1(1)f -= 3- ． 【解析】因为3()2f x x =+，令()1f x =，即321x+=，解得3x =-，故1(1)3f -=-．故答案为：3-． 【评注】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题．6．（4分）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a = 2 ．【解析】5()x a +的展开式的通项公式为515r r r r T C x a -+=，所以2x 的系数为33580C a =，解得2a =．故答案为：2．【评注】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题． 7．（5分）已知3220380x x y x y ⎧⎪--⎨⎪+-⎩，z x y =-，则z 的最大值为 4 ．【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y x z =-，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距的相反数， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B 处取得最大值， 联立直线方程：3380x x y =⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：(3,1)B -，据此可知目标函数的最大值为：3(1)4max z =--=．故答案为：4．【评注】本题主要考查线性规划的应用，利用线性规划求最值的方法等知识，属于中档题．8．（5分）已知{}n a 为无穷等比数列，13a =，n a 的各项和为9，2n n b a =，则数列{}n b 的各项和为185． 【解析】设{}n a 的公比为q ，由13a =，n a 的各项和为9，可得391q =-，解得23q =，所以123()3n n a -=⨯，21223()3n n n b a -==⨯，可得数列{}n b 是首项为2，公比为49的等比数列，则数列{}n b 的各项和为2184519=-． 故答案为：185． 【评注】本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC ∆的面积的取值范围为．【解析】如图1，上底面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABC S AB CM ∆=⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABC S ∆的大小随着CM 的长短变化而变化，如图2所示，当点M 与点O 重合时，CM OC ==ABC S ∆取得最大值为122⨯；如图3所示，当点M 与点B 重合，CM 取最小值2，此时ABC S ∆取得最小值为12222⨯⨯=．综上所述，ABC S ∆的取值范围为．故答案为：．【评注】本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段CM 的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．10．（5分）已知花博会有四个不同的场馆A ，B ，C ，D ，甲、乙两人每人选2个去参观，则他们的选择中，恰有一个馆相同的概率为23． 【解析】甲选2个去参观，有246C =种，乙选2个去参观，有246C =种，共有6636⨯=种， 若甲乙恰有一个馆相同，则选确定相同的馆有144C =种，然后从剩余3个馆种选2个进行排列，有236A =种，共有4624⨯=种，则对应概率242363P ==，故答案为：23． 【评注】本题主要考查概率的计算，利用古典概型的概率公式是解决本题的关键，是基础题．11．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>，若第一象限的A ，B 在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，求直线AB 的斜率为． 【解析】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AC l ⊥于点C ，BD l ⊥于点D ，AE BD ⊥于点E ，由抛物线的定义，可得2AC AF ==，4BD BF ==，∴422,BE AE =-===∴直线AB 的斜率tan AB AE k ABE BE =∠==． 【评注】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题．12．（5分）已知*(1i a N i ∈=，2，⋯，9)对任意的*(28)k N k ∈，11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则19a a +⋯+的最小值为 31 ． 【解析】设1k k k b a a +=-，由题意可得，k b ，1k b -恰有一个为1， 如果135791b b b b b =====，那么16a =，27a =，31a ，4312a a =+， 同样也有，51a ，6512a a =+，71a ，8712a a =+， 全部加起来至少是67121212931++++++++=； 如果24681b b b b ====，那么88a =，21a ，3212a a =+， 同样也有，41a ，52a ，61a ，72a ，全部加起来至少是61212128932++++++++=， 综上所述，最小应该是31．故答案为：31．【评注】本题考查了数列的概念的理解和应用，递推公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 13．（5分）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数( ) A ．3y x =-B ．3y x =C ．3log y x =D ．3x y =【解析】3y x =-在R 上单调递减且为奇函数，A 符合题意；因为3y x =在R 上是增函数，B 不符合题意；3log y x =，3x y =为非奇非偶函数，C 不符合题意；故选：A ．【评注】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．14．（5分）已知参数方程3342x t ty ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，[1,1]t ∈-，以下哪个图符合该方程( )A ．B ．C ．D ．【解析】利用特殊值法进行排除，当0y =时，0t =，1，1-， 当0t =时，0x =， 当1t =时，1x =-， 当1t =-时，1x =，故当0y =时，0x =或1或1-，即图象经过(1,0)-，(0,0)，(1,0)三个点， 对照四个选项中的图象，只有选项B 符合要求．故选：B ．【评注】本题考查了函数图象的识别问题，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．15．（5分）已知()3sin 2f x x =+，对任意的1[0,]2x π∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()2f x f x θ=++成立，则下列选项中，θ可能的值是( ) A ．35πB ．45π C ．65π D ．75π 【解析】1[0,]2x π∈，1sin [0,1]x ∴∈，1()[2,5]f x ∴∈，都存在2[0,]2x π∈，使得12()2()2f x f x θ=++成立，2()0min f x θ∴+，23()2maxf x θ+， ()3sin 2f x x =+，∴22sin()3min x θ+-，21sin()6max x θ+-，sin y x =在3[,]22x ππ∈上单调递减，当35πθ=时，2311[,]510x ππθ+∈，∴21171sin()sin sin 1062x ππθ+=>=-，故A 选项错误， 当45πθ=时，2413[,]510x ππθ+∈，∴21352sin()sinsin 1043min x ππθ+=<=-， 24sin()sin 05max x πθ+=>，故B 选项正确，当65πθ=时，2617[,]510x ππθ+∈，26131sin()sinsin 5126max x ππθ+=<<-，故C 选项错误， 当75πθ=时，2719[,]510x ππθ+∈，219231sin()sinsin 10126max x ππθ+=<=<-，故D 选项错误． 故选：B ．【评注】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题． 16．（5分）已知两两不相等的1x ，1y ，2x ，2y ，3x ，3y ，同时满足①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③1133222x y x y x y +=，以下哪个选项恒成立( )A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x < D ．2213x x x > 【解析】设1122332x y x y x y m +=+=+=，11x m a y m a =-⎧⎨=+⎩，22x m b y m b =-⎧⎨=+⎩，33x m cy m c =-⎧⎨=+⎩，根据题意，应该有,,0a b c a b c ≠≠⎧⎨>⎩，且2222222()0m a m c m b -+-=->，则有222222a c b m b ⎧+=⎨>⎩， 则1322()()2()2()x x x m a m c m b b a c +-=-+---=-+，因为22222(2)()2()()0b a c a c a c -+=+-+>，所以13222()0x x x b a c +-=-+>，所以A 项正确，B 错误．2222132()()()()(2)(2)2a c x x x m a m c mb b ac m ac b b a c m --=----=--+-=---，而上面已证(2)0b a c -->，因为不知道m 的正负，所以该式子的正负无法恒定．故选：A ．【评注】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =． （1）若P 是棱11A D 上的动点，求三棱锥C PAD -的体积；（2）求直线1AB 与平面11ACC A 的夹角大小．【解析】（1）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1112322332C PAD PAD C PAD V S h -∆-⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭平面；（2）连接1111AC B D O =，AB BC =，∴四边形1111A B C D 为正方形，则11OB OA ⊥，又11AA OB ⊥，111OA AA A =，1OB ∴⊥平面11ACC A ，∴直线1AB 与平面11ACC A 所成的角为1OAB ∠，∴111sin OB OAB AB ∠===．∴直线1AB 与平面11ACC A所成的角为．【评注】本题考查三棱锥体积的求法，考查线面角的求解，考查推理能力及运算能力，属于中档题． 18．（14分）在ABC ∆中，已知3a =，2b c =． （1）若23A π=，求ABC S ∆． （2）若2sin sin 1B C -=，求ABC C ∆．【解析】（1）由余弦定理得22222159cos 224b c a c A bc c +--=-==，解得297c =，21sin 22ABC S bc A c ∆∴==； （2）2b c =，∴由正弦定理得sin 2sin B C =，又2sin sin 1B C -=，1sin 3C ∴=，2sin 3B =，sin sin C B ∴<，C B ∴<，C ∴为锐角，cos C ∴=． 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3a =，2b c =，2294c c ∴=+-，得：2390c -+=，解得：c =当c =时，b =3ABC C ∆=+；当c =时，b =3ABC C ∆=+． 【评注】本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．19．（14分）已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长4%． （1）求今年起的前20个季度的总营业额；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？【解析】（1）由题意可知，可将每个季度的营业额看作等差数列，则首项1 1.1a =，公差0.05d =， 20120(201)2020 1.110190.0531.52S a d -∴=+=⨯+⨯⨯=，即营业额前20季度的和为31.5亿元． （2）法一：假设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润首次超过该季度营业额的18%， 则0.16(14%)(1.10.05)18%n n ⨯+>+⋅，令()0.16(14%)(1.10.05)18%n f n n =⨯+-+⋅，*()n N ∈，即要解()0f n >， 则当2n 时，1()(1)0.0064(14%)0.009n f n f n ---=⋅+-， 令()(1)0f n f n -->，解得：10n ，即当19n 时，()f n 递减；当10n 时，()f n 递增， 由于(1)0f <，因此()0f n >的解只能在10n 时取得， 经检验，(24)0f <，(25)0f >，所以今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的18%． 法二：设今年第一季度往后的第*()n n N ∈季度的利润与该季度营业额的比为n a ， 则1 1.04(1.050.05) 1.04261.0410.04(1)1.10.052222n n a n a n n n++==-=+-+++， ∴数列{}n a 满足1234567a a a a a a a >>>=<<<⋯⋯，注意到，250.178a =⋯，260.181a =⋯，∴今年第一季度往后的第25个季度利润首次超过该季度营业额的18%．【评注】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等差数列的实际应用，同时考查了学生的计算能力，是中档题．20．（16分）已知22:12x y Γ+=，1F ，2F 是其左、右焦点，直线l 过点(,0)(2)P m m -，交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上． （1）若B 是上顶点，11||||BF PF =，求m 的值；（2）若1213F A F A ⋅=，且原点O 到直线ll 的方程；（3）证明：对于任意m <12//F A F B 的直线有且仅有一条．【解析】（1）因为Γ的方程：2212x y +=，所以22a =，21b =，所以2221c a b =-=，所以1(1,0)F -，2(1,0)F ，若B 为Γ的上顶点，则(0,1)B ，所以1||BF ==1||1PF m =--，又11||||BF PF =，所以1m =- （2）设点,sin )A θθ，则222121(21)sin 2cos 1sin 3F A F Aθθθθθ⋅=+-+=-+=，因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cos θ=，故(A ， 设直线l的方程为0)y kx k =+>，由原点O 到直线l则d +==，化简可得231030k k -+=，解得3k =或13k =，故直线l的方程为13y x =3y x =（舍去，无法满足m <，所以直线l 的方程为13y x =+（3）联立方程组2212y kx km x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=， 设11(),A x y ，22(),B x y ，则222121222422,1212k m k m x x x x k k -+==++， 因为12//F A F B ，所以2112(1)(1)x y x y-=+，又y kxkm =-，故化简为122212x x k-=-+， 又1222||||12x x k -===-+， 两边同时平方可得，2224210k k m -+=，整理可得22142k m =--，当m <221042k m=->-， 因为点A ，B 在x 轴上方，所以k 有且仅有一个解， 故对于任意m <12//F A F B 的直线有且仅有一条．【评注】本题考查了平面向量与圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．21．（18分）已知1x ，2x R ∈，若对任意的21x x S -∈，21()()f x f x S -∈，则有定义：()f x 是在S 关联的． （1）判断和证明()21f x x =-是否在[0,)+∞关联？是否有[0,1]关联？（2）若()f x 是在{3}关联的，()f x 在[0,3]x ∈时，2()2f x x x =-，求解不等式：2()3f x ． （3）证明：()f x 是{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1,2]是关联的”． 【解析】（1）()f x 在[0,)+∞关联，在[0,1]不关联，任取12[0,)x x -∈+∞，则1212()()2()[0,)f x f x x x -=-∈+∞，()f x ∴在[0,)+∞关联； 取11x =，20x =，则121[0,1]x x -=∈，1212()()2()2[0,1]f x f x x x -=-=∉，()f x ∴在[0,1]不关联；（2）()f x 在{3}关联，∴对于任意123x x -=，都有12()()3f x f x -=，∴对任意x ，都有(3)()3f x f x +-=，由[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，得()f x 在[0,3)x ∈的值域为[1,3)-，()f x ∴在[3,6)x ∈的值域为[2,6)， 2()3f x ∴仅在[0,3)x ∈或[3,6)x ∈上有解，[0,3)x ∈时，2()2f x x x =-，令2223x x -13x <，[3,6)x ∈时，2()(3)3818f x f x x x =-+=-+，令228183x x -+，解得35x ，∴不等式2()3f x 的解为1,5]，（3）证明：①先证明：()f x 是在{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的()f x ⇒在[1,2]是关联的， 由已知条件可得，(1)()1f x f x +=+，()()f x n f x n ∴+=+，n Z ∈， 又()f x 是在[0,)+∞关联的，∴任意21x x >，21()()f x f x >成立，若2112x x -，12112x x x ∴++，121(1)()(2)f x f x f x ∴++，即121()1()()2f x f x f x ++， 211()()2f x f x ∴-，()f x ∴是[1,2]关联，②再证明：()f x 在[1,2]是关联的()f x ⇒是在{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的， ()f x 在[1,2]是关联的，∴任取12[1,2]x x -∈，都有12()()[1,2]f x f x -∈成立，即满足1212x x -，都有121()()2f x f x -， 下面用反证法证明(1)()1f x f x +-=，若(1)()1f x f x +->，则(2)()(2)(1)(1)()2f x f x f x f x f x f x +-=+-+++->，与()f x 在[1,2]是关联的矛盾，若(1)()1f x f x +-<，而()f x 在[1,2]是关联的，则(1)()1f x f x +-，矛盾， (1)()1f x f x ∴+-=成立，即()f x 是在{1}关联的，再证明()f x 是在[0,)+∞关联的，任取12[,)()x x n n N -∈+∞∈，则存在n N ∈，使得任取12[,1]()x x n n n N -∈+∈， 121(1)2x n x ---，1212[(1)]()()(1)()[1,2]f x n f x f x n f x ∴---=---∈， 12()()[,1][0,)f x f x n n ∴-⊆+⊆+∞，()f x ∴是在[0,)+∞关联的；综上所述，()f x 是{1}关联的，且是在[0,)+∞关联的，当且仅当“()f x 在[1,2]是关联的”，故得证． 【评注】该题考查了函数求解析式，解不等式，函数恒成立的知识，对学生逻辑推理能力提出了很高的要求，属于难题．。
2021年上海市奉贤区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市奉贤区高考数学一模试卷一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1～6题每个空格填对得4分，7～12题每个空格填对得5分．1．（3分）已知椭圆22\{}{16}\{}{4}1frac x frac y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为 ．2．（3分）在61()x x-展开式中，常数项为 ．（用数值表示） 3．（3分）若实数x ，y 满足0120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩，则z x y =+的最大值为 ．4．（3分）复数\{24}{1}frac i i ++的虚部是 ．5．（3分）设集合{2}\{|(45)\}A x y lg x x ==-+，则A = ．6．（3分）已知函数()sin(3)(\{}{2}\{}{2})f x x frac frac ϕπϕπ=+-<<的图象关于直线\{}{4}x frac π=对称，则ϕ= ．7．（3分）等差数列\{_{}\}a n 中，公差为d ，设_{}S n 是\{_{}\}a n 的前n 项之和，且1d >，计算\{\}\_{}(\{_}{({1}){_}}\{1}{})n mathop lim limits n frac S n n a n frac d →+∞++= ．8．（3分）若抛物线{2}8y x =的准线与曲线22\{}{}\{}{4}1(0)frac x a frac y y +=只有一个交点，则实数a 满足的条件是 ．9．（3分）某工厂生产A 、B 两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3．用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n 的样本，则其中A 种型号的产品有14件．现从样本中抽出两件产品，此时含有A 型号产品的概率为 ．10．（3分）对于正数a 、b ，称\{}{2}frac a b +是a 、b 的算术平均值，并称\{}sqrt ab 是a 、b 的几何平均值．设1x >，1y >，若lnx 、lny 的算术平均值是1，则{}x e 、{}y e 的几何平均值(e 是自然对数的底）的最小值是 ．11．（3分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 ．12．（3分）已知()y f x =是奇函数，定义域为[1-，1]，当0x >时，{21}{}|1(()|{{({\{1}{2}})}}0,)x f x frac x Q ααα--=->∈，当函数()()g x f x t =-有3个零点时，则实数t 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）已知a ，b R ∈，则“{}{|22|}a b >”是“{2}{2}a b >”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（5分）设\{}overrightarrow d 是直线_{1}:_{1}_{1}_{1}0l a x b y c ++=的一个方向向量，\{}overrightarrow n 是直线_{2}:_{2}_{2}_{2}0l a x b y c ++=的一个法向量，设向量\{}overrightarrow d 与向量\{}overrightarrow n 的夹角为θ，则|cos |θ为( )A ．2222\{|{{_1}{_2}{_1}{_2}}|}{\{{_1}{_1}}\{{_2}{_2}}}frac a a b b sqrt a b sqrt a b +++B ．2222\{|{_1}{_2}{_1}{_2}|}{\{{_1}{_1}}\{{_2}{_2}}}frac a a b b sqrt a b sqrt a b -++C ．2222\{|{{_1}{_2}{_2}{_1}}|}{\{{_1}{_1}}\{{_2}{_2}}}frac a b a b sqrt a b sqrt a b -++D ．2222\{|{{_1}{_2}{_2}{_1}}|}{\{{_1}{_1}}\{{_2}{_2}}}frac a b a b sqrt a b sqrt a b +++15．（5分）已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线16．（5分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数()R x 为：当\{}{}(x frac q p p =，q 为正整数，\{}{}frac q p 是既约真分数）时()\{1}{}R x frac p =，当0x =或1x =或x 为[0，1]上的无理数时()0R x =．已知a 、b 、a b +都是区间[0，1]内的实数，则下列不等式一定正确的是( )A ．()R a b R +（a ）R +（b ）B ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）C ．()R a b R +（a ）R +（b ）D ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）三．解答题（第17～19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分0分）17．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，\{}{2}ABC BAD frac π∠=∠=，2AD =，1AB BC ==．（1）当四棱锥P ABCD -的体积为1时，求异面直线AC 与PD 所成角的大小；（2）求证：CD ⊥平面PAC ．18．在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v （单位：/)m s 和燃料的质量M （单位：)kg ，火箭（除燃料外）的质量m （单位：)kg 满足2000(1)(v M e e m=+为自然对数的底）． （1）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的两倍时，求火箭的最大速度（单位：/)m s 结果精确到0.1)；（2）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8000/m s （结果精确到0.1)．19．在①\{3}ac sqrt =；②sin 3c A =；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin \{3}sin A sqrt B =，\{}{6}C frac π=，____．20．如图，曲线τ的方程是{2}||1x y y -=，其中A 、B 为曲线τ与x 轴的交点，A 点在B 点的左边，曲线τ与y 轴的交点为D ．已知_{1}(,0)F c -，_{2}(,0)F c ，0c >，_{1}DBF ∆的面积为\{1\{2}}{2}frac sqrt +．（1）过点B 作斜率为的直线l 交曲线τ于P 、Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，设点P 的横坐标为_{}x P 、Q 的横坐标为_{}x Q ，求证：_{}_{}x P x Q ⋅是定值；（2）过点_{2}F 的直线n 与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n 的倾斜角范围；（3）过点B 作斜率为的直线l 交曲线τ于P 、Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，当\{{_1}}\{{_1}}32\{2}overrightarrow F P overrightarrow F Q sqrt ⋅=+时，求\{|{}|}|{\{}}|overrightarrow AP overrightarrow AQ λ=成立时λ的值．21．已知数列\{_{}\}a n 满足_{}0a n ≠恒成立．（1）若{2}_{}_{2}_{1}a n a n a n +=+且_{}0a n >，当\{_{}\}lga n 成等差数列时，求的值；（2）若{2}_{}_{2}2_{1}a n a n a n +=+且_{}0a n >，当_{1}1a =，_{4}16\{2}a sqrt =时，求_{2}a 以及_{}a n 的通项公式；（3）若_{}_{2}\{1}{2}_{1}_{3}a n a n frac a n a n +=-++，_{1}1a =-，_{3}[4a ∈，8]，_{2020}0a <，设_{}S n 是\{_{}\}a n 的前n 项之和，求_{2020}S 的最大值．2021年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1～6题每个空格填对得4分，7～12题每个空格填对得5分．1．（3分）已知椭圆22\{}{16}\{}{4}1frac x frac y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为 2 ．【解答】解：由已知椭圆的方程可得{2}16a =，所以4a =，设椭圆的两个焦点分别为_{1}F ，_{2}F ，则由椭圆的定义可知|_{1}||_{2}|28PF PF a +==，不妨设|_{1}|6PF =，则|_{2}|2PF =，即点P 到另一个焦点的距离为2，故答案为：2．2．（3分）在61()x x-展开式中，常数项为 20- ．（用数值表示） 【解答】解：二项式6161()[()]x x x x--=+-， 其展开式的通项公式为：6162166()(1)r r r r r r r T C x x C x ---+=-=-，当620r -=时，得3r =，所以展开式的常数项为：3346(1)20T C =-=-．故答案为：20-．3．（3分）若实数x ，y 满足0120x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩，则z x y =+的最大值为 3 ．【解答】解：根据不等式组画出可行域如图中ABO ∆所示，目标函数z x y =+可看作直线y x z =-+，把图中的虚线进行平移，可知在点A 处，直线在y 轴上的截距最大，而点A 的坐标为(2,1)，所以213max Z =+=．故答案为：3．4．（3分）复数\{24}{1}frac i i ++的虚部是 1 ．【解答】解：复数\{24}{1}\{(24)(1)}{(1)(1)}3frac i i frac i i i i i ++=+-+-=+，∴复数\{24}{1}frac i i ++的虚部是1，故答案为：1．5．（3分）设集合{2}\{|(45)\}A x y lg x x ==-+，则A = R ．【解答】解：{2}{2}45(2)10x x x -+=-+>恒成立，{2}450x x ∴-+>的解集为R ，{2}\{|450\}A x x x R ∴=-+>=．故答案为：R ．6．（3分）已知函数()sin(3)(\{}{2}\{}{2})f x x frac frac ϕπϕπ=+-<<的图象关于直线\{}{4}x frac π=对称，则ϕ= \{}{4}frac π- ．【解答】解：数()sin(3)(\{}{2}\{}{2})f x x frac frac ϕπϕπ=+-<<的图象关于直线\{}{4}x frac π=对称，所以3\{}{4}\{}{2}()frac frac Z πϕππ⨯+=+∈，解得\{}{4}()frac Z ϕππ=-∈，由于\{}{2}\{}{2}frac frac πϕπ-<<，当0=时，\{}{4}frac ϕπ=-．故答案为：\{}{4}frac π-7．（3分）等差数列\{_{}\}a n 中，公差为d ，设_{}S n 是\{_{}\}a n 的前n 项之和，且1d >，计算\{\}\_{}(\{_}{({1}){_}}\{1}{})n mathop lim limits n frac S n n a n frac d →+∞++= \{1}{2}frac ．【解答】解：在等差数列\{_{}\}a n 中，有_{}_{1}(1)a n a n d =+-，{}_{}{}_{1}\{(1)}{2}S n n a frac n n d =+-，则{}{2}{2}\{_}{({1}){_}}\{1}{}\{{}_{1}\{(1)}{2}}{(1)({}_{1}(1))}\{1}{{}}\{\{}{2}{}({}_{1}\{}{2})}{{}{}_{1}{}_{1}}n n frac S n n a n frac d frac n a frac n n d n a n d frac d frac frac d n a frac d n d n a n a d ++=+-++-+=+-++-，故{2}{2}\{\}\_{}(\{_}{({1}){_}}\{1}{})\\_{}(\{\{}{2}{}({}_{1}\{}{2})}{{}{}_{1}{}_{1}})\{\{}{2}}{}\{1}{2}n mathop lim limits n frac S n n a n frac d lim limits n frac frac d n a frac d n d n a n a d frac frac d d frac →+∞++=→∞+-++-==．故答案为：\{1}{2}frac ．8．（3分）若抛物线{2}8y x =的准线与曲线22\{}{}\{}{4}1(0)frac x a frac y y +=只有一个交点，则实数a 满足的条件是 (,0)[4-∞⋃，)+∞ ．【解答】解：根据题意得抛物线{2}8y x =的准线为2x =-，当0a >时，曲线22\{}{}\{}{4}1(0)frac x a frac y y +=为椭圆在x 轴及上方一部分，所以\{}\{}sqrt a x sqrt a ，因为抛物线{2}8y x =的准线与曲线22\{}{}\{}{4}1(0)frac x a frac y y +=只有一个交点， 所以\{}2sqrt a --，解得4a ，当0a <时，曲线22\{}{}\{}{4}1(0)frac x a frac y y +=为双曲线在x 轴上方一部分，此时(,)x ∈-∞+∞，所以符合题意，综上所述，a 的取值范围为(,0)[4-∞⋃，)+∞．故答案为：(,0)[4-∞⋃，)+∞．9．（3分）某工厂生产A 、B 两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3．用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n 的样本，则其中A 种型号的产品有14件．现从样本中抽出两件产品，此时含有A 型号产品的概率为 \{11}{17}frac ．【解答】解：某工厂生产A 、B 两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3．设A 产品数量为2，B 产品数量为3，用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n 的样本，则其中A 种型号的产品有14件． 则\{}{23}\{14}{2}frac n frac +=，解得35n =，∴样本单元数为35，其中A 产品数量为14，B 产品数量为21，现从样本中抽出两件产品，基本事件总数{2}{}_{35}595n C ==，含有A 型号产品包含的基本事件个数{1}{1}{2}{}_{14}{}_{21}{}_{14}385m C C C =+=， ∴含有A 型号产品的概率为\{}{}\{385}{595}\{11}{17}P frac m n frac frac ===．故答案为：\{11}{17}frac ．10．（3分）对于正数a 、b ，称\{}{2}frac a b +是a 、b 的算术平均值，并称\{}sqrt ab 是a 、b 的几何平均值．设1x >，1y >，若lnx 、lny 的算术平均值是1，则{}x e 、{}y e 的几何平均值(e 是自然对数的底）的最小值是 {2}\{{}}e sqrt e ．【解答】解：由题意可得，2lnx lny +=，故{2}xy e =，{}x e ∴、{}y e 的几何平均值{}{}{}{2\{2}\{{}{}}\{{}}\{{}{}}}\{{}}x y x y e sqrt e e sqrt e sqrt e sqrt xy sqrt e +⋅==，当且仅当x y e ==时取等号．故答案为：{2}\{{}}e sqrt e ，11．（3分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是124． 【解答】解：由题意在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，△12PP B ∽△1AD B ，设1PB x =，(0,1)x ∈，则12PP =，2P 到平面11AA B B 的距离为x ， 所以四面体121PP AB 的体积为21111(1)()326V x x x x =⨯⨯⨯⨯-=-， 当12x =时，体积取得最大值：124． 故答案是：124．12．（3分）已知()y f x =是奇函数，定义域为[1-，1]，当0x >时，{21}{}|1(()|{{({\{1}{2}})}}0,)x f x frac x Q ααα--=->∈，当函数()()g x f x t =-有3个零点时，则实数t 的取值范围是 (1,\{1}{2}]\{0\}[\{1}{2},1)frac frac -- ．【解答】解：当(0x ∈，1]时，易知函数{21}{}(\{1}{2}){}x y frac x α-=-单调递减，且0x →时，2y →，1x =时，\{1}{2}y frac =-，其大致图象如下，{21}{()|{{({\{1}{2}})}}}|1x f x frac x α-∴=--在(0，1]的大致图象如下，又函数()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，故函数()f x 的图象如下，要使函数()()g x f x t =-有3个零点，只需函数()y f x =的图象与直线y t =有且仅有3个交点，由图象可知，(1,\{1}{2}]\{0\}[\{1}{2},1)t frac frac ∈--． 故答案为：(1,\{1}{2}]\{0\}[\{1}{2},1)frac frac --．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）已知a ，b R ∈，则“{}{|22|}a b >”是“{2}{2}a b >”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：根据题意，若“{}{|22|}a b >”，必有||a b >，则有“{2}{2}a b >”，故“{}{|22|}a b >”是“{2}{2}a b >”的充分条件，反之，若“{2}{2}a b >”，则有||||a b >，此时||a b >不一定成立，即“{}{|22|}a b >”不一定成立，则“{}{|22|}a b >”是“{2}{2}a b >”的不必要条件，故“{}{|22|}a b >”是“{2}{2}a b >”的充分非必要条件，故选：A ．14．（5分）设\{}overrightarrow d 是直线_{1}:_{1}_{1}_{1}0l a x b y c ++=的一个方向向量，\{}overrightarrow n 是直线_{2}:_{2}_{2}_{2}0l a x b y c ++=的一个法向量，设向量\{}overrightarrow d 与向量\{}overrightarrow n 的夹角为θ，则|cos |θ为( )A ．2222\{|{{_1}{_2}{_1}{_2}}|}{\{{_1}{_1}}\{{_2}{_2}}}frac a a b b sqrt a b sqrt a b +++B ．2222\{|{_1}{_2}{_1}{_2}|}{\{{_1}{_1}}\{{_2}{_2}}}frac a a b b sqrt a b sqrt a b -++C ．2222\{|{{_1}{_2}{_2}{_1}}|}{\{{_1}{_1}}\{{_2}{_2}}}frac a b a b sqrt a b sqrt a b -++D ．2222\{|{{_1}{_2}{_2}{_1}}|}{\{{_1}{_1}}\{{_2}{_2}}}frac a b a b sqrt a b sqrt a b +++【解答】解：根据题意，\{}overrightarrow d 是直线_{1}:_{1}_{1}_{1}0l a x b y c ++=的一个方向向量，则\{}overrightarrow d 可以为(_{1}b ，_{1})a -，\{}overrightarrow n 是直线_{2}:_{2}_{2}_{2}0l a x b y c ++=的一个法向量，则\{}(_{2}overrightarrow n a =，_{2})b ，向量\{}overrightarrow d 与向量\{}overrightarrow n 的夹角为θ，则{2}{2}{2}{2}cos \{\{}\{}}{|\{}||\{}|}\{{}_{2}{}_{1}{}_{1}{}_{2}}{\{{{}_{1}}{{}_{1}}}\{{{}_{2}}{{}_{2}}}}frac overrightarrow d overrightarrow n overrightarrow d overrightarrow n frac a b a b sqrt a b sqrt a b θ=⋅=-++，故2222|cos |\{|{{_1}{_2}{_2}{_1}}|}{\{{_1}{_1}}\{{_2}{_2}}}frac a b a b sqrt a b sqrt a b θ=-++，故选：C ．15．（5分）已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线D ．抛物线【解答】解：设两根旗杆1AA 、1BB 分别在地面A 、B 两处，不妨设115AA m =，110BB m =，地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等，设满足条件的点为P ，则直角1PAA ∆∽直角1PBB ∆，因此32PA PB =； 在地面上以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点0为坐标原点，建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，(10,0)A ，(10,0)B -32= 化简整理得：22(26)576x y ++=因此在A 、B 所在直线上距离B 点16米A 点36处的点为圆心，以24为半径画圆，则圆上的点到两旗杆顶点的仰角相等，即：地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等的点P 的轨迹是在A 、B 所在直线上距离B 点16米（距离A 点36处）的点为圆心，以24为半径的圆故选：B ．16．（5分）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德⋅黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用．其定义黎曼函数()R x 为：当\{}{}(x frac q p p =，q 为正整数，\{}{}frac q p 是既约真分数）时()\{1}{}R x frac p =，当0x =或1x =或x 为[0，1]上的无理数时()0R x =．已知a 、b 、a b +都是区间[0，1]内的实数，则下列不等式一定正确的是( )A ．()R a b R +（a ）R +（b ）B ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）C ．()R a b R +（a ）R +（b ）D ．()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ） 【解答】解：设{|,,,}q A x x p q p==为正整数是既约真分数，\{|0B x x ==或1x =或x 是[0，1]上的无理数\}， ①当a A ∈，b A ∈，则()R a b R +（a ）R +（b ），()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）；②当a B ∈，b B ∈，则()R a b R +=（a ）R +（b ），()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）0=；③当\\{\{}{}{}\\{}\{}\.left begin array l a A b B end array right ∈∈或\\{\{}{}{}\\{}\{}\.left begin array l a B b A end array right ∈∈，则()R a b R +（a ）R +（b ），()R a b R ⋅（a ）R ⋅（b ）． 综上，选项B 一定正确．故选：B ．三．解答题（第17～19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分0分）17．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，\{}{2}ABC BAD frac π∠=∠=，2AD =，1AB BC ==．（1）当四棱锥P ABCD -的体积为1时，求异面直线AC 与PD 所成角的大小；（2）求证：CD ⊥平面PAC ．【解答】解：（1）由题意13ABCDV S PA=⨯梯形，可得1\{1}{3}\{(12)1}{2}frac frac PA=⨯+⨯⨯，解得2PA=，如图，以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A xyz-，可得(0A，0，0)，(1C，1，0)，(0D，2，0)，(0P，0，2)，可得\{}(1overrightarrow AC=，1，0)，\{}(0overrightarrow PD=，2，2)-，|\{}|\{2}overrightarrow AC sqrt=，|\{}|2\{2}overrightarrow PD sqrt=，所以\{}\{}10120(2)2overrightarrow AC overrightarrow PD⋅=⨯+⨯+⨯-=，设AC与PD所成角为θ，可得cos\{|\{}\{}|}{|\{}||\{}|}\{2}{\{2}2\{2}}\{1}{2} frac overrightarrow AC overrightarrow PD overrightarrow AC overrightarrow PD frac sqrt sqrt frac θ=⋅⋅=⨯=，可得AC与PD所成角为\{}{3}fracπ．（2）证明：由（1）可得\{}(1overrightarrow CD=-，1，0)，\{}(1overrightarrow AC=，1，0)所以\{}\{}(1)111000overrightarrow CD overrightarrow AC⋅=-⨯+⨯+⨯=，可得AC CD⊥，又PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，可得PA CD⊥，又PA AC A=，所以CD ⊥平面PAC ，得证．18．在不考虑空气阻力的情况下火箭的最大速度v （单位：/)m s 和燃料的质量M （单位：)kg ，火箭（除燃料外）的质量m （单位：)kg 满足2000(1)(v M e e m=+为自然对数的底）． （1）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的两倍时，求火箭的最大速度（单位：/)m s 结果精确到0.1)；（2）当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 的多少倍时，火箭的最大速度可以达到8000/m s （结果精确到0.1)．【解答】（Ⅰ）2000(1)v M e m =+， 2000(1)2000(1)M M v ln ln m m∴=+=+， 当燃料质量M 为火箭（除燃料外）质量m 两倍时，即2M m =，200032000 1.0992198(/)v ln m s ∴=≈⨯=；答：当燃料质量M 为火箭质量m 两倍时，火箭的最大速度为2198/m s ． （Ⅱ）2000(1)v M e m=+， ∴20001v M e m=-， ∴8000420001154M e e m=-=-≈，598154-≈， 答：当燃料质量M 为火箭质量m 的54倍时，火箭最大速度可以达到8/km s ．19．在①\{3}ac sqrt =；②sin 3c A =；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ∆，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin \{3}sin A sqrt B =，\{}{6}C frac π=，____．【解答】解：若选①\{3}ac sqrt =，因为ABC ∆中，sin \{3}sin A sqrt B =，即\{\{3}}{3}b frac sqrt a =，又\{3}ac sqrt =，可得\{\{3}}{}c frac sqrt a =，所以{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}cos \{{}{}{}}{2}\{{}\{{}}{3}\{3}{{}}}{\{2\{3}{}}{3}}\{\{3}}{2}C frac a b c ab frac a frac a frac a frac sqrt a frac sqrt =+-=+-=，所以\{3}a sqrt =，1b =，1c =，\{}{6}B C frac π==，\{2}{3}A frac π=．若选②sin 3c A =，因为ABC ∆中，sin sin sin\{}{6}3c A a C a frac π===，解得6a =，因为sin \{3}sin A sqrt B =，即\{3}a sqrt b =，解得2\{3}b sqrt =．所以{2}{2}{2}{2}cos \{{}{}{}}{2}\{3612{}}{262\{3}}\{\{3}}{2}C frac a b c ab frac c sqrt frac sqrt =+-=+-⨯⨯=，可得2\{3}c sqrt =，所以\{}{6}B C frac π==，\{2}{3}A frac π=．若选③，三边成等比数列，因为sin \{3}sin A sqrt B =，\{}{6}C frac π=，可得\{3}a sqrt b =，由余弦定理可得{2}{2}{2}{2}{2}{2}2cos (\{3})2\{3}\{\{3}}{2}c a b ab C sqrt b b sqrt b b frac sqrt b =+-=+-⨯⨯⨯=，可得c b =，所以\{}{6}B C frac π==，\{2}{3}A frac π=，所以a b c >=，与三边成等比数列矛盾，故问题中的三角形不存在．20．如图，曲线τ的方程是{2}||1x y y -=，其中A 、B 为曲线τ与x 轴的交点，A 点在B 点的左边，曲线τ与y 轴的交点为D ．已知_{1}(,0)F c -，_{2}(,0)F c ，0c >，_{1}DBF ∆的面积为\{1\{2}}{2}frac sqrt +．（1）过点B 作斜率为的直线l 交曲线τ于P 、Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，设点P 的横坐标为_{}x P 、Q 的横坐标为_{}x Q ，求证：_{}_{}x P x Q ⋅是定值；（2）过点_{2}F 的直线n 与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n 的倾斜角范围；（3）过点B 作斜率为的直线l 交曲线τ于P 、Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，当\{{_1}}\{{_1}}32\{2}overrightarrow F P overrightarrow F Q sqrt ⋅=+时，求\{|{}|}|{\{}}|overrightarrow AP overrightarrow AQ λ=成立时λ的值．【解答】解：（1）证明：设直线方程(1)y x =-与{2}{2}1(0)x y y -=交点坐标{2}{2}{}_{}\{{}1}{{}1}x P frac =+-，设直线方程(1)y x =-与{2}{2}1(0)x y y +=交点坐标{2}{2}{}_{}\{{}1}{{}1}x Q frac =-+， _{}_{}1x P x Q ∴⋅=；（2）根据面积\{1}{2}1(1)\{1\{2}}{2}frac c frac sqrt ⨯⨯+=+，得\{2}c sqrt =，设过点_{2}F ，直线n 的方程为(\{2})y m x sqrt =-，则{2}{2}\\{\{}{}{(\{2})}\\{{}{}1}\\{0}\{}\.left begin array l y m x sqrt x y y end array right =-+=只有一个交点，故方程{2}{2}{2}{}{}(\{2})1x m x sqrt +-=只有一个解，亦即{2}{2}{2}{2}(1{}){}2\{2}{}2{}10m x sqrt m x m +-+-=，由判别式△{2}{2}{2}84(1)(21)0m m m =-+-=，解得1m =，显然直线n 的方程为\{2}x sqrt =时也符合题意，∴直线n 的倾斜角的取值范围为[\{}{4},\{3}{4}]frac frac ππ；（3）\{{}_{1}}({}_{}\{2},{}_{}),\{{}_{1}}({}_{}\{2},{}_{})overrightarrow F P x P sqrt y P overrightarrow F Q x Q sqrt y Q =+=+，{2}{2}{2}\{{}_{1}}\{{}_{1}}({}_{}\{2})({}_{}\{2}){}_{}{}_{}(1{}){}_{}{}_{}(\{2}{})({}_{}{}_{}){}2overrightarrow F P overrightarrow F Q x P sqrt x Q sqrt y P y Q x P x Q sqrt x P x Q ⋅=+++=++-+++，{4}{4}{}_{}{}_{}\{2{}2}{{}1},{}_{}{}_{}1x P x Q frac x P x Q +=+-=，∴{2}{2}{4}{4}\{{}_{1}}\{{}_{1}}(32{})(\{2}{})\{2{}2}{{}1}32\{2}overrightarrow F P overrightarrow F Q sqrt frac sqrt ⋅=++-⋅+-=+，∴{2}{}\{2}sqrt =，∴{}_{}32\{2},{}_{}32\{2},|\{}|\{4028\{2}}x P sqrt x Q sqrt overrightarrow AP sqrt sqrt =+=-=+，|\{}|\{84\{2}}overrightarrow AQ sqrt sqrt =-，∴\{\{4028\{2}}{84\{2}}}\{1712\{2}}32\{2}sqrt frac sqrt sqrt sqrt sqrt sqrt λ=+-=+=+．21．已知数列\{_{}\}a n 满足_{}0a n ≠恒成立．（1）若{2}_{}_{2}_{1}a n a n a n +=+且_{}0a n >，当\{_{}\}lga n 成等差数列时，求的值；（2）若{2}_{}_{2}2_{1}a n a n a n +=+且_{}0a n >，当_{1}1a =，_{4}16\{2}a sqrt =时，求_{2}a 以及_{}a n 的通项公式；（3）若_{}_{2}\{1}{2}_{1}_{3}a n a n frac a n a n +=-++，_{1}1a =-，_{3}[4a ∈，8]，_{2020}0a <，设_{}S n 是\{_{}\}a n 的前n 项之和，求_{2020}S 的最大值．【解答】解：（1）{2}_{}_{2}_{1}a n a n a n +=+且_{}0a n >，且\{_{}\}lga n 成等差数列， 2_{1}_{}_{2}lga n lga n lga n ∴+=++，∴{2}{{}_{1}}_{}_{2}a n a n a n +=⋅+，1∴=；（2）{2}_{}_{2}2{{}_{1}}a n a n a n ⋅+=+，_{}0a n >，{2}_{1}_{3}2{{}_{2}}a a a ∴=，{2}_{2}_{4}2{{}_{3}}a a a =，{3}{2}8{{}_{2}}{{}_{1}}_{4}a a a ∴=，_{1}1a =，_{4}16\{2}a sqrt =，_{2}\{2}a sqrt ∴=， {2}_{}_{2}2{{}_{1}}a n a n a n ⋅+=+，∴\{{}_{2}}{{}_{1}}2\{{}_{1}}{{}_{}}frac a n a n frac a n a n ++=+，∴\{\{{}_{1}}{{}_{}}\}frac a n a n +是等比数列，首先\{{}_{2}}{{}_{1}}\{2}frac a a sqrt =，公比为2，∴{1}\{{}_{1}}{{}_{}}\{2}2n frac a n a n sqrt -+=⋅，累乘可得：_{}\{{}_{}}{{}_{1}}\{{}_{}}{{}_{1}}\{{}_}_{2}}{{}_{3}}\{{}_{3}}{{a n frac a n a frac a n a n frac a n a n frac a n a n frac a a f ==-⋅--⋅--⋯⋅=⋅-={{{2}-；（3）由{2}_{}_{2}\{1}{2}_{1}_{3}{(\{1}{2})}_{2}_{4}a n a n frac a n a n frac a n a n +=-++=-++，以及_{}0a n ≠知_{}\{1}{4}_{4}a n frac a n =+对任意{*}n N ∈恒成立，这样{504}_{4}{(\{1}{4})}_{2020}a frac a =，故_{4}0a <，设_{}_{43}_{42}_{41}_{4}T a a a a =-+-+-+，则_{2020}_{1}_{2}_{505}S T T T =++⋯+，又_{}_{43}_{42}_{41}_{4}\{1}{4}(_{41}_{42}_{43}_{44})\{1}{4}_{1}T a a a a frac a a a a frac T =-+-+-+=+++++++=+，故{2}{504}_{2020}_{1}(1444)S T =+++⋯+，显然_{2020}S 最大与_{1}T 最大同时发生，_{2}_{4}2_{1}_{3}[8a a a a =-∈，16]，又_{4}0a <，故_{2}0a <，故_{2}_{4}2\{{{}_{2}}_{4}}2\{{{2}_{1}}_{3}}a a sqrt a a sqrt a a +-=--，故_{1}12\{{2}_{3}}_{3}T sqrt a a --+，考虑函数的性质知12\{{2}_{3}}_{3}sqrt a a --+，_{3}[4a ∈，8]的最大值在端点处取得，故取_{3}8a =得到_{1}1T -，最大值在_{3}8a =，_{2}_{4}4a a ==-时取得，故_{2020}S 的最大值为{2}{504}{504}(1)(1444)\{{4}1}{3}frac -⋅+++⋯+=--．。
2021年上海市长宁区高考数学一模试卷(含详细解析)
2021年上海市长宁区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．（4分）不等式201x x -<+解集为 ． 2．（4分）函数sin(2)6y x π=-的最小正周期为 ．3．（4分）计算：121lim 31n nn +→∞+=- ． 4．（4分）数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 ．5．（4分）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为 ．6．（4分）若函数()y f x =的反函数1()log (0,1)a f x x a a -=>≠图象经过点3(8,)2，则1()2f -的值为 ．7．（5分）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k = ．8．（5分）设集合2{|1}M x x =，{}N b =，若MN M =，则实数b 的取值范围为 ．9．（5分）设F 为双曲线222:1(0)y x b bΓ-=>的右焦点，O 为坐标原点，P 、Q 是以OF 为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若||||PQ OF =，则b = ．10．（5分）在ABC ∆中，3AB =，2AC =，点D 在边BC 上．若1AB AD =，53AD AC =，则AB AC 的值为 ．11．（5分）设O 为坐标原点，从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的元素x 、y ，组成A 、B 两点的坐标(,)x y 、(,)y x ，则12arctan 3AOB ∠=的概率为 ． 12．（5分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（5分）对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．22()||a b a b +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．||||||a b a b D ．||||||||a b a b --15．（5分）设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是( )A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ16．（5分）设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，1b ，2b ，3b R ∈，若函数()y f x =图象如图所示，则数组1(b ，2b ，3)b 的一组值可以是()A ．(3，1-，1)B ．(1，2-，1)-C ．(1-，2，2)D ．(1，3-，1)三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为32． （1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值，18．（14分）设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A 、B 两点．（1）若||8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 19．（14分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒．（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．20．（16分）设32()2()f x x ax x x R =+-∈，其中常数a R ∈．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式33()2f x x >在区间1[2，1]上有解，求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()(2)2h x h m x n +-=，则函数()y x =的图象有对称中心(,)m n ．利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a 表示）；若不是，证明你的结论．21．（18分）若对于数列{}n a 中的任意两项可i a ，()j a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”若对于数列{}n a 中的任意一项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l >，使得2k n la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”．（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的前n 项和21(*)n n S n N =-∈，求证：数列{}n a 为“Y 数列”； （3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．2021年上海市长宁区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（4分）不等式201x x -<+解集为 {|12}x x -<< ． 【解答】解：由不等式不等式201x x -<+，可得(2)(1)0x x -+<，解得12x -<<， 故答案为{|12}x x -<<． 2．（4分）函数sin(2)6y x π=-的最小正周期为 π ．【解答】解：函数sin(2)6y x π=-的最小正周期是：22ππ=． 故答案为：π．3．（4分）计算：121lim 31n nn +→∞+=- 0 ． 【解答】解：1212()2133lim lim 013113n n nnn n n+→∞→∞⨯++==--． 故答案为：0．4．（4分）数组2.7、3.1、2.5、4.8、2.9、3.6的中位数为 3.0 ． 【解答】解：该组数据按从小到大排列为：2.5，2.7，2.9，3.1，3.6，4.8； 所以这组数据的中位数为1(2.9 3.1) 3.02⨯+=． 故答案为：3.0．5．（4分）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为 15 ．【解答】解：根据二项式定理，61()x x +的通项为6621661()r r r r rr T C x C x x--+==，0r =，1，2，⋯，6，当622r -=时，即2r =时，可得2315T x =，即2x 项的系数为15， 故答案为：15．6．（4分）若函数()y f x =的反函数1()log (0,1)a f x x a a -=>≠图象经过点3(8,)2，则1()2f -的值为12． 【解答】解：由已知可得3log 82a =，即328a =，解得4a =，所以14()log f x x -=，再令41log 2x =-，即124x -=，解得12x =，由反函数的定义可得11()22f -=， 故答案为：12． 7．（5分）若直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，则实数k =1- ．【解答】解：直线1201x y k-+=，即(1)1(2)0k x y ⨯--⨯+=，即20kx y k ---=， 直线1201x y k-+=的法向量与直线10x y +-=的方向向量垂直，∴这两条直线互相平行，故它们的斜率相等，即1k =-， 故答案为：1-．8．（5分）设集合2{|1}M x x =，{}N b =，若MN M =，则实数b 的取值范围为[1-，1] ．【解答】解：2{|1}{|11}M x x x x ==-，M N M =，N M ∴⊆，{}N b =，11b ∴-．故答案为：[1-，1]．9．（5分）设F为双曲线222:1(0)yx bbΓ-=>的右焦点，O为坐标原点，P、Q是以OF为直径的圆与双曲线Γ渐近线的两个交点．若||||PQ OF=，则b=1．【解答】解：如图，可得(2cP，)2c，又点P在渐进线by xa=上，∴22c b ca=，整理得：1ba=，又1a=，1b∴=，故答案为：110．（5分）在ABC∆中，3AB=，2AC =，点D在边BC上．若1AB AD=，53AD AC=，则AB AC 的值为3-．【解答】解：由已知设AD xAB y AC=+，且1x y+=，因为1AB AD=，53AD AC=，所以()15()3AB xAB y ACAC xAB y AC⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即91543x y AB ACy xAB AC⎧+⋅=⋯⋯⎪⎨+⋅=⋯⋯⎪⎩①②，结合1x y+=，消去AB AC，得195431x yxyx y-⎧=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩，解得12,33x y==，代入①式，可得3AB AC=-．故答案为：3-．11．（5分）设O 为坐标原点，从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取两个不同的元素x 、y ，组成A 、B 两点的坐标(,)x y 、(,)y x ，则12arctan 3AOB ∠=的概率为19． 【解答】解：x ，{1y ∈，2，3，4，5，6，7，8，9}且y x ≠，∴数对(,)x y 共有9872⨯=个．12arctan 3AOB ∠=，2233tan 241()3AOB ∴∠==-，4cos 5AOB ∴∠=，又连接原点O 和(,)A x y ，(,)B y x 两点，得(,)OA x y ==，(,)OB y x =， 则2224cos 5||||OA OB xy AOB x y OA OB ∠===+，即(2)(2)0x y x y --=，即2y x =，或12y x =， ∴满足12arctan 3AOB ∠=的数对有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，(2,1)，(4,2)，(6,3)， (8,4)，共8个，12arctan 3AOB ∴∠=的概率81729P ==．故答案为：19．12．（5分）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 满足：存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则1990nnS S a +的最小值为 45 ． 【解答】解：根据题意，数列{}n a 为等差数列，设n a pn q =+，若存在三个不同的正整数r ，s ，t ，使得r a ，s a ，t a 成等比数列，2r a ，2s a ，2t a 也成等比数列，则有22()()()(2)(2)(2)pr q pt q ps q pr q pt q ps q ⎧++=+⎨++=+⎩，即()()222222224444p rt pq t r p s pqs p rt pq t r p s pqs ⎧++=+⎪⎨++=+⎪⎩①② 联立①②，变形可得222p rt p s =，又由等差数列{}n a 的公差不为0，即0p ≠，则有2rt s =，代入①式可得()2pq r t pqs +=，又由r ，s ，t 互不相等且2rt s =，则2r t s +≠，必有0q =，则n a pn =，所以11S a p ==，1()(1)22n n a a n n n pS +⨯+==， 故1(1)9909909901222nnn n p S S n a pn n +++==++，设9901()22n f n n =++，则990199011()22222n f nn n =++⨯=， 当且仅当21880n =时等号成立，此时n 不是正整数，不符合题意， 而4344<<， 所以9904311936(43)432243f =++=，990441(44)454422f =++=， 所以(43)(44)f f >， 所以1990nnS S a +的最小值为45， 故答案为：45．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（5分）设复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位），当0a =，且0b ≠时，z 为纯虚数，则“0a =”是“z 为纯虚数”必要非充分条件， 故选：B ．14．（5分）对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是()A ．22()||a b a b +=+B ．22()()a b a b a b +-=-C ．||||||a b a bD ．||||||||a b a b --【解答】解：因为22||a a =，所以22()||a b a b +=+正确，所以A 正确；22()()a b a b a b +-=-，满足向量的运算法则，所以B 正确； ||||||cos ,||||a b a b a b a b =<>，所以C 正确；如果两个向量是相反向量，||||||||a b a b --，不正确，所以D 不正确；故选：D ．15．（5分）设m 、n 为两条直线，α、β为两个平面，则下列命题中假命题是( )A ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥B ．若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥C ．若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβD ．若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ【解答】解：对于A ：由于m α⊥，n β⊥，所以直线m 和n 相当于平面α和β的法向量，由于m n ⊥，所以αβ⊥，故A 正确；对于B ：由于m α⊥，//n β，所以m 相当于α的法向量，由于//m n ，则αβ⊥，故B 正确；对于C ：由于m n ⊥，//m α，//n β，则αβ⊥，故C 正确； 对于D ：由于//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ，故D 正确． 故选：C ．16．（5分）设123()|||||2|f x x b kx b x b =-+---，其中常数0k >，1b ，2b ，3b R ∈，若函数()y f x =图象如图所示，则数组1(b ，2b ，3)b 的一组值可以是()A ．(3，1-，1)B ．(1，2-，1)-C ．(1-，2，2)D ．(1，3-，1)【解答】解：由图象可知，当x →+∞时，123123()2(1)()f x x b kx b x b k x b b b =-+--+=--+-恒为负值，所以1k =，1230b b b +->，即123b b b +>，观察选项可知，只有A 选项中123b b b +>， 故选：A ．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）如图，已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，高为23，底面半径为2． （1）求该圆锥的侧面积；（2）设OA 、OB 为该圆锥的底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，求直线PM 与直线OB 所成的角的正切值，【解答】解：（1）由题意知，23h =，2r =，∴圆锥的母线224l h r =+=，∴圆锥的侧面积112422822S l r πππ==⨯⨯⨯=．（2）取OA 的中点N ，连接MN ，PN ，M 为AB 的中点，//MN OB ∴，PMN ∴∠或其补角即为直线PM 与直线OB 所成的角， OB OA ⊥，OB OP ⊥，OA OP O =，OA 、OP ⊂平面POA ，OB ∴⊥平面POA ，MN ∴⊥平面POA ，MN PN ∴⊥，在Rt PMN ∆中，PN ==112MN OB ==，tan PNPMN MN∴∠== 故直线PM 与直线OB．18．（14分）设抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，直线:0l x my n --=经过F 且与Γ交于A 、B 两点．（1）若||8AB =，求m 的值；（2）设O 为坐标原点，直线AO 与Γ的准线交于点C ，求证：直线BC 平行于x 轴． 【解答】解：（1）根据题意，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，则(1,0)F ，直线:0l x my n --=经过点F ，则有100n --=，解可得1n =，直线l 的方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可得：2440y my --=，则有124y y m +=，124y y =-，又由||8AB =，则2||4(1)8AB m =+=， 解可得1m =±，（2）根据题意，抛物线2:4y x Γ=的准线为1x =-，设3(1,)C y -，由直线OA 的方程11y y x x =， 则有13114y y x y =-=-， 又由124y y =-，则214y y =-，故2314y y y ==-，故直线BC平行于x 轴． 19．（14分）某公共场所计划用固定高度的板材将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿边界围成一个封闭的留观区．经测量，边界AB 与AD 的长度都是20米，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒．（1）若105ADC ∠=︒，求BC 的长（结果精确到米）；（2）求围成该区域至多需要多少米长度的板材（不计损耗，结果精确到米）．【解答】解：（1）连接BD ，在ABD ∆中，因为60BAD ∠=︒，AB AD =，所以ABD ∆为等边三角形，所以20BD =，因为105ADC ∠=︒，所以1056045BDC ∠=︒-︒=︒， 在BCD ∆中，由正弦定理可得sin120sin 45BC BC =︒︒，所以20616BC =≈千米，（2）连接BD ，2BD AD ==，且60ADB ∠=︒，可得2BD =， 在BCD∆中，由余弦定理可得222222232cos120()()()()24BC CD BD BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD +=+-︒=+-+-=+，所以2241600()33BC CD BD +=，所以403()max BC CD +=，所以四边形ABCD 的周长为：403()202073max AB BC CD AD +++=++≈米．20．（16分）设32()2()f x x ax x x R =+-∈，其中常数a R ∈．（1）判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； （2）若不等式33()2f x x >在区间1[2，1]上有解，求实数a 的取值范围； （3）已知：若对函数()y h x =定义域内的任意x ，都有()(2)2h x h m x n +-=，则函数()y x =的图象有对称中心(,)m n ．利用以上结论探究：对于任意的实数a ，函数()y f x =是否都有对称中心？若是，求出对称中心的坐标（用a 表示）；若不是，证明你的结论．【解答】解：（1）当0a =时，3()2f x x x =-，显然()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数， 当0a ≠，f （1）1a =-，(1)1f a -=+，(1)f f -≠±（1），故()f x 既不是奇函数也不是偶函数；（2）原问题转化为122a x x >+在区间1[2，1]上有解，函数122y x x =+在区间1[2，1]上单调递减，故52min y =，故a 的取值范围是5(2，)+∞；（3）假设存在对称中心(,)m n ，则32322(2)(2)2(2)2x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成立，得2232(62)(124)8442m a x m a x m am m n +-+++-=恒成立，故23262012408442m a m am m am m n +=⎧⎪+=⎨⎪+-=⎩， 故3a m =-，322273a an =+， 故函数()y f x =的对称中心是(3a -，322)273a a+． 21．（18分）若对于数列{}n a 中的任意两项可i a ，()j a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使得2i m ja a a =，则称数列{}n a 为“X 数列”若对于数列{}n a 中的任意一项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项k a ，()l a k l >，使得2k n la a a =，则称数列{}n a 为“Y 数列”．（1）若数列{}n a 为首项为1公差也为1的等差数列，判断数列{}n a 是否为“X 数列”，并说明理由；（2）若数列{}n a 的前n 项和21(*)n n S n N =-∈，求证：数列{}n a 为“Y 数列”； （3）若数列{}n a 为各项均为正数的递增数列，且既为“X 数列”，又为“Y 数列”，求证：1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．【解答】解：（1）数列{}n a 的通项公式为：n a n =，22a =，33a =，23292a a =不是整数，故不是数列{}n a 的项， 故数列{}n a 不是“X 数列”；（2）数列{}n a 的前n 项和*21()n n S n N =-∈，故12n n a -=，当3n 时，取1K m =-，2l m =-，则221122k l n k n la a a ---===，故数列{}n a 是“Y 数列”， （3）证明：记21a q a =，而数列{}n a 为各项均为正数的递增数列， 故1q >且当k l >时，1k laa >，若k l >，2k kn k k l l la a a a a a a a ==⨯>>，则n k l >>①， 数列{}n a 为“X 数列”，故存在i j >，且23i ja a a =，由①知：31i j >>，故2i =，1j =，即222311a a a q a ==，即1a ，2a ，3a 成等比数列，数列{}n a 是“X 数列”，存在正整数k ，()l k l >，使得24k la a a =，由①得：4k l >>，故3k l >，从而22141k l k la a a q a --==，记*421n k l N =--∈，数列{}n a 是“Y 数列”，存在正整数m ，使得233312m a a q a a q a ==⨯=，由1q >，得3m a a >，若43411na a q a q =<，再由2314a a q a =<，得423n <<，与*4n N ∈矛盾，若341m a a q a >=，则34m a a a <<，与数列{}n a 递增矛盾， 故341a a q =，即1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列．。