初升高衔接教材第7讲分式方程与无理方程的解法
高次方程分式方程无理方程的解法教程
高次方程分式方程无理方程的解法教程高次方程的解法教程：高次方程是指方程中的最高次项的指数大于1的方程。
一般来说，高次方程的解法相对比较复杂，需要通过一定的代数运算和分解因式的方法逐步求解。
以下是一个示例来说明解高次方程的步骤：假设我们要解方程：x^3-5x^2+6x=0第一步：因式分解观察方程，我们可以发现x是公因子，所以我们可以将方程进行因式分解，得到：x(x^2-5x+6)=0第二步：化简因式继续观察因式(x^2-5x+6)，我们可以发现它可以被进一步分解成(x-2)(x-3)，所以方程可以进一步化简为：x(x-2)(x-3)=0第三步：等式成立条件我们知道，一个数的乘积等于0的时候，其中至少有一个因子等于0。
所以我们得到以下三个解：x=0,x-2=0,x-3=0解得：x=0,x=2,x=3因此，方程的解是x=0,x=2,x=3分式方程的解法教程：分式方程是指方程中含有分式的方程，需要通过合理的方法消去分式并求出方程的解。
以下是一个示例来说明解分式方程的步骤：假设我们要解方程：2/(x-1)+3/(x+2)=1第一步：通分观察方程，我们可以发现，左边的两个分式的分母互为相反数，所以我们可以通过通分来消去分母。
将方程两边乘以(x-1)(x+2)，得到：2(x+2)+3(x-1)=(x-1)(x+2)第二步：化简将方程进行化简，得到：2x+4+3x-3=x^2+x-2第三步：整理将方程整理为标准形式，得到：x^2-x-3=0第四步：因式分解或使用求根公式我们可以尝试将方程进行因式分解或使用求根公式来求解。
这里我们使用求根公式来求解。
根据求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，我们可以得到：x=(1±√(1+12))/2计算得到：x=(1±√13)/2因此，方程的解是x=(1+√13)/2,x=(1-√13)/2无理方程的解法教程：无理方程是指方程中含有无理数的方程，需要通过合理的方法化简方程并求出方程的解。
初高中衔接知识专题（六）：无理方程的解法
初高中衔接知识专题（六）：无理方程的解法
一、概念引入
1、无理式：像、这样根号下有未知数，且开方开不尽的根式称为无理式.
2、无理方程：含有无理式的方程称为无理方程.
二、无理方程的解法
例解方程：
无理方程常见的解法有两种.
第一种是利用“转化与化归” 的数学思想，把无理方程转化成我们以前学过的方程，也就是要把根号给去掉. 要去掉根号，就要用到开方. 怎么样通过开方把根号去掉？
这是我们要着重解决的问题！思路是，让根号单独在等号左端，其它的项都移到等号右端，就可以解决问题了.
解法一：移项，得
两边同乘-1，得
两边同时开平方，得
x²+17=(x²-3)²
即：
x²+17=(x²)²-6x²+9
所以
(x²)²-7x²-8=0
解之得
x²=-1 (舍去)，或x²=8
经检验：原方程的根为
无理方程的第二种方法是利用构造思想和换元思想.
主要是针对根号下的式子，要在根号外部造出一个和根号下的式子一模一样的式子，然后用一个字母替换整个根式.
解法二：
原方程可变为：
即
令则原方程化为：
t²-t-20=0
解之得：
t=-4(舍去)，或t=5
于是
经检验：原方程的根为
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中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第7讲 分式方程及其应用
巩固训
练
1．在下列各式中，是关于x的分式D方程的是()
A．2x－3y＝0
B.x＋2 1－3＝27x
x＋1 C. ＋3
x－2
D.x－3 2＝5x
2．解分式方程x 时－，3＝去2分母正确的是() B
2x－1 1－2x
A．x－3＝－2
B．x－3(2x－1)
＝－2
C．x－3(2xx－－1a)＝2
＝－2
x－1
考点2分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤：
温馨提
示 1．列分式方程解应用题时要双检验：
(1)检验是否是分式方程的根；
(2)检验是否符合题意．
2．常见分式方程的实际应用的解题类型有：
(1)行程问题，所列分式方程形式为：
总路程
总路程
±时间(速度)差＝
；
原速度（时间）
变化后速度（时间）
(2)工程问题，所列分式方程形式为：
温馨提 示
1．去分母时，先确定最简公分母；若分母是多项 式，要进行因式分解；若分子是多项式，则需将其 看作一个整体，加括号后再进行下一步运算． 2．验根的方法： (1)代入原方程检验法； (2)代入最简公分母检验法．
3．增根与无解：分式方程的增根与无解并非同一 个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能 是去分母后的整式方程无解．而分式方程的增根是 去分母后的整式方程解得的根，但此根却是使分式 方程的分母为0的根．
7．(2018·南充改编)某销售商准备在南充采购一批 丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与 用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸 进价比一件B型丝绸进价多100元．求一件A型、B 型丝绸的进价分别为多少元．
延伸训
中考数学 第7讲 分式方程
第7讲 分式方程及其应用
分式方程的概念及其解法
1. 概念：分母中含有__未知数__的方程叫做分式方程．
2. 解分式方程的一般步骤
分式方程――→ 去分母 乘最简公分母整式方程――→解整式方程x ＝a ――→ 检验 ⎩
⎪⎨⎪⎧――→最简公分母为0a 不是分式方程的解――→最简公分母不为0a 是分式方程的解 3. 分式方程的增根：使最简公分母为__0__的根．
温馨提示：分式方程的增根与无解并非同一概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
分式方程的实际应用常见类型
1. 工程问题：工作效率＝工作量工作时间
； 工作时间＝__工作量工作效率
． 2. 销售问题：售价＝标价×折扣． 3. 行程问题：时间＝路程速度
.。
高次方程、分式方程、无理方程的解法教学-2022年学习资料
例62解方程2x-√2x+1=5-典型例题-此题也可令√2x+1=t-t≥0-转化为t的一元二次方程-t2 1-t=5即t2-t-6=0求解.-解得t=3或t=-2舍去-即√2x+1=3-解得x=4-25
例7解方程√3x-2+√x+3=3-典型例题-解：移项得√3x-2=3-√x+3-两边平方，整理得3Vx+ =7-x-再两边平方，化简得x2-23x+22=0-解得x1=1,x2=22-经检验x,=1为原方程的根， x2=22是增根.-方程一边出现两个根号时要先移项-26
例21解方程-x2-5x2-2x2-5x-24=0-典型例题-解：换元-令t=x2-5x-则原方程可以化为 2-2t-24=0-即t-6t+4=0-故t=6或t=4-即x2-5x=6或x2-5x=-4-解得：x1= 1,x2=6,x3=1,x4=4
例22解方程-x-2x+1x+4x+7=19-典型例题-解：原方程即-x2+5x-14x2+5x+4=19 换元-令x2+5x-14=t-原方程可化为tt+18=19-解得t=-19或t=1-即x2+5x-14=91-或x2+5-14=1
解分式方程的思路是：-去分母-整式-解分式方程的一投步骤-1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，-化 整式方程.-2、解这个整式方程-3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公-分母的值不为0，则整式方程的 是原分式方程的解；-否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.-4、写出原方程的根.-化二解三检验-17
x2+2-例4解方程-32x2-1D=-2-2x2-1x2+2-典型例题-解：令-原方程可化为-t--即t +2t-3=0-解得t1=-3,t2=1-所以-=3或-18
初高中数学衔接教材：第7课 方程与方程组及答案
一、一元高次方程解方程的思想：降次，方法：换元、因式分解等． 例1 解方程： (1)x 4－13x 2＋36＝0； (2)x 6－9x 3＋8＝0.例2 解方程：(1)x 3＋3x 2－4x ＝0； (2)x 3－2x ＋1＝0. 二、解方程组解方程组的思想：消元，方法：代入消元、加减消元、整体消元等． 例3 解方程组： (1)⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4z ＝7， ①2x ＋3y ＋z ＝9， ②5x －9y ＋7z ＝8； ③(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3， ①y ＋z ＝4， ②z ＋x ＝5. ③例4 解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7，xy ＝10；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，xy ＝2. 例5 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0， ①x 2－4y 2＋x ＋3y －1＝0. ② 例6 解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧xy －x －y ＋1＝0， ①3x 2＋4y 2＝1； ②(2)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－xy －4y 2－3x ＋4y ＝0， ①x 2＋y 2＝25. ② 例7 解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋xy ＋y 2＝15， ①3x 2－31xy ＋5y 2＝－45； ② (2)⎩⎨⎧4a 2＋4b 2＝1， ①16a 2＋1b 2＝1. ②(a >0，b >0)例8 已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A (1,3)，B (2,7)，C (3,13)三点，求二次函数的表达式．1．解方程：(1)x 3－5x －2＝0； (2)x 3＋3x 2－4x －6＝0.2．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝15， ①2x ＋3y －z ＝9， ②5x －4y －z ＝0； ③ (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝y 4＝z 5， ①x ＋y ＋z ＝24. ②3．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1， ①y ＝x 2＋2x －1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1， ①x 24＋y 22＝1. ②4．解方程组：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＋3x ＋y ＋3＝0， ①x 24＋y 23＝1； ② (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＋x ＋y ＝0， ①x 22－y 22＝1. ②5．已知二次函数的图象的对称轴为x ＝1且经过A (1,2)，B (2,4)，求二次函数的表达式．6．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝b ， ①a ＋b ＋c ＝1， ②ca 2＋b 2＝1. ③答案解析例1 解 (1)令t ＝x 2，t 2－13t ＋36＝0，t ＝4或t ＝9，∴x ＝±2或x ＝±3. (2)令t ＝x 3，t 2－9t ＋8＝0，t ＝1或t ＝8，∴x ＝1或x ＝2.例2 解 (1)x (x 2＋3x －4)＝0，x (x ＋4)(x －1)＝0，x ＝－4或x ＝0或x ＝1. (2)x 3－x －(x －1)＝0，(x －1)(x 2＋x －1)＝0，x ＝1或x ＝－1±52. 例3 解 (1)由②③得：11x ＋10z ＝35，④ 由①④得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝13z ＝－2.(2)3式相加得：x ＋y ＋z ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1z ＝3.例4 解 (1)设x ，y 为方程t 2－7t ＋10＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5 ①xy ＝2 ②将y ＝2x代入①得：x 4－5x 2＋4＝0，x 2＝1或x 2＝4，∴x ＝±1或x ＝±2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1. 例5 解 由①得：y ＝2x －1 ③将③代入②得：15x 2－23x ＋8＝0，x ＝815或x ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝815y ＝115.例6 解 (1)由①得：(x －1)(y －1)＝0，即x ＝1或y ＝1.1°当x ＝1时，4y 2＝－2无解．2°当y ＝1时，3x 2＝－3无解．∴原方程无解．(2)由①得：(3x －4y )(x ＋y )－(3x －4y )＝0，(3x －4y )(x ＋y －1)＝0，即3x －4y ＝0或x ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝0x 2＋y 2＝25得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝25得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4.例7 解方程组：解 (1)①×3＋②得：3x 2－7xy ＋2y 2＝0，(3x －y )·(x －2y )＝0,3x －y ＝0或x －2y ＝0，将y ＝3x 代入①得：x 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3，将x ＝2y 代入①得：y 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－1∴原方程的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1.(2)令x ＝1a 2，y ＝1b2∴⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝116x ＋y ＝1⇒⎩⎨⎧ x ＝120y ＝15⇒⎩⎨⎧1a 2＝1201b 2＝15∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25b ＝5(∵a >0，b >0)．例8 解 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝34a ＋2b ＋c ＝79a ＋3b ＋c ＝13得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1c ＝1∴y ＝x 2＋x ＋1. 强化训练1．解 (1)x 3－4x －(x ＋2)＝0，x (x －2)(x ＋2)－(x ＋2)＝0，(x ＋2)(x 2－2x －1)＝0，x ＝－2或x ＝1±2.(2)x 3＋x 2＋(2x 2－4x －6)＝0，x 2(x ＋1)＋2(x ＋1)·(x －3)＝0，(x ＋1)(x 2＋2x －6)＝0，x ＝－1或x ＝－1±7.2．解 (1)①＋②得：3x ＋4y ＝24 ④，①＋③得：2x －y ＝5⑤，由④⑤③得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3z ＝8.(2)设x 3＝y 4＝z5＝k ，得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3k y ＝4kz ＝5k (*)时将(*)代入②得：12k ＝24，k ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝8z ＝10.3．解 (1)消y 得：x －1＝x 2＋2x －1，x ＝0或x ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2. (2)将①代入②得：3x 2＋4x －2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋103y ＝1＋103或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－103y ＝1－103.4．解 (1)由①得：(x ＋1)(y ＋3)＝0即x ＝－1或y ＝－3. 将x ＝－1代入②得：y 23＝34，y ＝±32，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32. 将y ＝－3代入②得：x 24＝－2无解．∴原方程组解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32.(2)由①得(x ＋y )(x －y ＋1)＝0，x ＋y ＝0或x －y ＋1＝0，将y ＝－x 代入②得：x 22－x 22＝1方程无解，将y ＝x ＋1代入②得：x 2－(x ＋1)2＝2得：x ＝－32，y ＝－12.∴原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－32y ＝－12.5．解 设二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ －b 2a＝12＝a ＋b ＋c4＝4a ＋2b ＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－4c ＝4∴表达式为y ＝2x 2－4x ＋4.6．解 由题意知b ≥0，则由①得：b ＝a 或b ＝－a .1°b ＝a 时⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1c2a＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－22c ＝2－1b ＝1－222°b ＝－a 时⎩⎪⎨⎪⎧c ＝112|a |＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－22b ＝22c ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22b ＝－22(舍去)c ＝1.。
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第7讲 分式方程及其应用
12.（2021·云南）“30天无理由退货”是营造我省 “诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新 举措.机场、车站、出租车、景区、手机短信……“30 天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南 旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质. 刚刚过去的“五·一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、 生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的 是云南旅游市场强劲复苏.某旅行社今年5月1日租用A， B两种客房一天，供当天使用.下面是有关信息：
命题 分式方程的应用
点2
（2）先计算出第二次购买该商品时甲购买的数量和 乙购买的总价，再用两次总价和除以两次的数量和即 可得出两次的平均单价； （3）通过比较（2）的计算结果即可得出答案.
命题 分式方程的应用
点2
命题 分式方程的应用
点2
命题 分式方程的应用
点2
［点评］本题考查了方式方程的应用，找到题目中的 相等关系是解决问题的关键，计算平均单价的关键是 能够正确得出总价和数量，再思考从特殊到一般的规 律.
变式训 练
4.（2021·抚顺）自带水杯已成为人们良好的健康卫 生习惯.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯， 用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水 杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单 价多15元.设甲种水杯的单价为x元，则列出方程正确 的是（A）
变式训 练
5.（2019·江西，3分）斑马线前“车让人”，不仅体 现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文 明程度.如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双 向行驶车道，其中AB=BC=6米，在绿灯亮时，小明 共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速 度的1.2倍，求小明通过AB时的速度.设小明通过AB 时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：
中考复习第7课时分式方程课件
当堂检测
第7课时 点 聚 焦
考点1 分式方程的解法
2 1 1．把分式方程 ＝ 转化为一元一次方程时，方程两 x＋4 x 边需同乘( D ) A．x B．2x C．x＋4 D．x(x＋4) 1 2 2．方程 － ＝0的根是( D ) x－ 2 x－ 1 A．x＝－3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3 x＋m 2 3．若关于x的方程 ＋ ＝2有增根，则m的值 x－2 2－x 是 0 .
考点聚焦 豫考探究 当堂检测
第7课时┃ 分式方程
解 析
(1)相等关系：甲工程队铺设350米所用的天数＝乙
工程队铺设250米所用的天数；(2)不等关系：完成该项工程 的工期不超过10天．
解
(1)设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天
能铺设(x－20)米． 350 250 根据题意得 x ＝ ，解得x＝70. x－20 经检验x＝70是原分式方程的解． 答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．
完成此项工程需1.5x天． 1 1 1 根据题意，得x＋ ＝ ， 1.5x 36 解得x＝60， 经检验，知x＝60是方程的解且符合题意． 1．5x＝90. 故甲、乙两公司单独完成此项工程，各需60天，90天．
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第7课时┃ 分式方程
变式题 [2011· 济宁] 某市在道路改造过程中，需要铺设 一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这 一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工 程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数 相同. (1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？ (2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两 工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助 设计出来.
中考数学知识点梳理第7讲分式方程
中考数学知识点梳理第7讲分式方程分式方程是指含有分式（即含有未知数的分数形式）的方程。
解分式方程的关键是化简、消去分母，找到未知数的值。
1.分式方程的定义分式方程是指方程的一种形式，其中包含了未知数的分式，并要求找到满足方程的未知数的值。
2.分式方程的基本形式(1)真分式方程：分子次数小于分母次数的分式方程。
示例：$\dfrac{2x+3}{x-1}=3$(2)假分式方程：分子次数大于或等于分母次数的分式方程。
示例：$\dfrac{x^2+1}{x-1}=3$3.分式方程的解法(1)化简分式方程将分式方程中的分数进行通分、化简，使得方程的表达式更简洁。
示例：$\dfrac{x+2}{x-3}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{2x+1}{x-3}$，通分后可得到$(x-2)(x-3)+(x-3)=(2x+1)(x-2)$。
(2)消去分母在化简后的方程中，通过乘以适当的数值，消去方程中的分母。
示例：在上述化简后的方程中，可以通过乘以$(x-2)(x-3)$来消去分母，得到$(x-2)(x-3)^2+(x-3)(x-2)=(2x+1)(x-2)(x-3)$。
4.分式方程的解的判断(1)求解方程将已化简且消去分母的方程转化为一元一次方程，并求解得到未知数的值。
示例：在上述方程中，将其展开并整理后，得到$x^3-3x^2-17x+23=0$，解得$x=1,x=2,x=10$。
(2)检验解将求得的解代入原方程中，检验是否满足分式方程。
示例：将$x=1$代入原方程中，有$\dfrac{2\cdot1+3}{1-1}=3$，左右两边相等，所以$x=1$是方程的解。
5.分式方程的注意事项(1)分母不为零分式中的分母不能为零，否则方程无意义。
示例：在$\dfrac{1}{x-1}=3$中，$x=1$是方程无意义。
(2)未知数的范围分式方程的解必须满足未知数的范围限制。
示例：在$\dfrac{x^2+1}{x-1}=3$中，$x=2$是方程无意义。
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第七讲 分式方程和无理方程的解法
初中大家已经学习了可化为一元一次方程的分式方程的解法。本讲将要学习可化为一元
二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成
的分式方程的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方
程概念，掌握可化为一元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法”求根，并
会验根。
一、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程
【例1】解方程 21421224xxxx。
分析：去分母，转化为整式方程。
说明：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；
③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根。
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大。而分式方程可
能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根。因此我们只要检验一元二次方程的根，是
否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0。若为0，即为增根；若不为0，即为原
方程的解。
2．用换元法化分式方程为一元二次方程
【例2】解方程 2223()4011xxxx
分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难。但注意到方程的结构
特点，设21xyx，即得到一个关于y的一元二次方程。最后在已知y的值的情况下，用去
分母的方法解方程21xyx。
2
说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即
x
的值。
【例3】解方程 22228(2)3(1)1112xxxxxx．
分析：注意观察方程特点，可以看到分式2221xxx与2212xxx互为倒数。因此，
可以设2221xxyx，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程。
说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，
体现了化归思想．
二、可化为一元二次方程的无理方程
根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．
1．平方法解无理方程
【例4】解方程 71xx
分析：移项、平方，转化为有理方程求解．
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②
3
两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
【例5】解方程 3233xx
分析：直接平方将很困难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模
式，再用例4的方法解方程．
说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的
二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．
2．换元法解无理方程
【例6】解方程 223152512xxxx
分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知
数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)xxxx．因此，可以设
2
51xxy
，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理．
说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体
现了化归思想．
练 习