“均值不等式”在高中物理中的妙用第一期
高中数学(人教B版)必修第一册：均值不等式及其应用【精品课件】
2
同理可得， b c 2bc ，当且仅当 b c 时，等号成立，
2
2
c2 a 2 2ca ，当且仅当 c a 时，等号成立，
所以， 2 a b c
2
2
2
2ab 2bc 2ca ，
即 a b c ab bc ca ．
2
2
2
ab
a
b
谢谢
x y
根据均值不等式有
xy ，
2
x y 18
则 xy
81 ，
2 2
2
2
当且仅当 x y 9 时，等号成立，
即当矩形长、宽均为 9 时，矩形的面积最大，最大值为 81 ．
由此可得：两个正数的积是常数时，它们的和有最小值，
即 x y 2 xy ；
∴当 x 1 时， ymax 4 ．
2．证明问题
例 4．已知： x R ，求证： x 2
1
2
x 2
2
2．
1
t ，
证明：令 t x 2 ，则 t 0 ，则 x 2+
2
t
x 2
2
2
1
由均值不等式得， t 2 1 2 ，
t
1
当且仅当 t ，即 t 1 时，等号成立．
均值不等式及其应用（2）
高一年级 数学
主讲人
安东明
北京市第四中学
ab
如果 a , b 都是正数，那么
ab ，当且仅当 a b 时，等号成立．
2
等与不等的问题就要设及到最大、最小值的问题，均值不
均值不等式在实际生活中的应用
均值不等式在实际生活中的应用在日常生活中遇到的土地利用、机械制造、广告投资等问题可用均值不等式来解决．这节主要介绍均值不等式在以上三个方面中的应用．例1 利用已有足够长的一面围墙和100米的篱笆围成一个矩形场地，问如何围才能使围成的场地面积最大？解 设围墙的邻边长为x 米，则围墙对边长为(1002)x -米，那么所围场地面积为(1002)S x x =⋅-12(1002)2x x =⋅- 2121002()125022x x +-≤=， 当且仅当21002x x =-，即25x =米时，围成的面积最大，最大值为1250平方米．机械制造业是各行业技术装备的主要提供者，为其它行业的发展提供必不可少的基础条件，市场需要工厂生产不同规格的零件去满足不同的需求，如果要利用同样的材料制造不同特点的产品，那么此时会用到均值不等式．例2 用一块钢锭铸造一个厚度均匀，且全面积为2的正四棱锥形有盖容器，设容器高为h 米，盖子的边长为a 米，容器的容积为V ，问当a 为何值时，V 最大，并求最大值．解 因为底面积为2a，四个侧面积均为12242S a =+=，整理得a =(0)h <，而容积213V ha =21131h h =⋅+1113h h=⋅+， 由均值不等式，得11163()V h h =≤=+，当且仅当1h h=时，取等号，即1h =，2a =时，容器的容积最大，其最大值为16立方米． 近年来广告业一场突起，可以说为企业的生存和发展劈荆斩棘，在一定条件下，销售量是广告费的增函数，但销售应有极限，盲目加大投入，企业必将亏损，所以企业在策划这方面时，应该运用均值不等式检测是否合理．例3 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式为311x Q x +=+ (0)x ≥，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业年利润最大？解 设企业年利润为W 万元，由已知条件，知年成本为(323)Q +万元，年收入为(323)150%50%Q x +-万元，则年利润(323)150%50%(323)W Q x Q =+--+，整理得298352(1)x x W x -++=+ (0)x ≥． 由于2(1)100(1)642(1)x x W x -+++-=+13250()21x x +=-++5042≤-=， 因此当且仅当13221x x +=+，即7x =时，W 有最大值，最大值为42万元．。
均值不等式在物理中的应用两例
龙源期刊网 均值不等式在物理中的应用两例作者：李志边来源：《理科考试研究·高中》2014年第09期不等式中有一个不仅常见而且非常重要的不等式：均值不等式.具体公式：a，b∈R+，a+b≥2ab，（当且仅当a=b时取等号）.这个公式不仅在数学中非常重要，在物理中的应用也非常广泛.举两个例子说明.因此，两人的看法均不正确.当绳长越接近1.5 m时，落点距岸边越远.例2（2010年重庆理综）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如题2图所示.已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.（1）求绳断时球的速度大小v1，和球落地时的速度大小v2.（2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动.若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？解析（1）设绳段后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向14d=12gt2，水平方向d=v1t得v1=2gd，由机械能守恒定律有12mv22=12mv21+mg（d-34d），得v2=52gd.（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小.球做圆周运动的半径为R=34d，由圆周运动向心力公式（3）设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大推力不变，有T-mg=mv23l，得v3=83gl绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1，有d-l=12gt21，x=v3t1，得x=4l（d-l）3≤413（l+（d-l）2）2=233d，当且仅当l=d-l，即l=d2时，x有极大值，xmax=233d.审题的关键是对不同的过程进行准确分析，找到相应的知识，对症下药，巧妙地选取运动过程，使问题得到简化，灵活地运用数学知识，特别是简单常用的数学模型，是解决极值问题和范围等问题的有效工具.。
高中物理均值不等式
高中物理均值不等式
高中物理中的均值不等式是一种重要的不等式，它可以应用于多个物理量的平均值之间的关系。
均值不等式可以分为两种，一种是算术平均值不等式，另一种是几何平均值不等式。
算术平均值不等式是指任意多个正数的算术平均数一定不小于它们的几何平均数。
几何平均值不等式则是指任意多个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数。
这两种平均值不等式在物理学中广泛应用，例如在波动力学、热力学、电学等方面。
对于任意多个正数a1,a2,...,an，它们的算术平均值和几何平均值分别为：
算术平均值： (a1+a2+...+an)/n
几何平均值： (a1*a2*...*an)^(1/n)
利用均值不等式，可以得到许多有用的结论和应用。
例如，在热力学中，均值不等式可以用来证明熵具有可加性；在电学中，它可以用来证明电路负载平衡的原理；在波动力学中，它可以用来证明相干光的合成原理等等。
总之，均值不等式是高中物理中的一个重要概念，它能够帮助我们更好地理解和应用各种物理量之间的关系。
- 1 -。
均值不等式在解物理极值中的应用
均值不等式在解物理极值中的应用均值不等式：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即（a 1+a 2+…+a n ）/n ≥(a 1a 2…a n )1/n 当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立。
一般地，从均值不等式可以得到以下结论：对若干个正数，如果它们的和是定值，则当且仅当这若干个正数相等时，它们的积取得最大值。
常用的正数为两个和三个：如果a ，b 为正数，那么有：ab b a 2≥+ ，当且仅当a=b 时，上式取“=”号。
若两个正数的积一定，则两数相等时和最小；若两个正数的和一定，则两数相等时积最大。
如果a ，b ，c 为正数，则有33abc c b a ≥++，当且仅当a=b=c 时，上式取“=”号。
若三个正数的积则当三数相等时和最小；若三个正数的和一定则三数相等时积最大。
下面举例来说明利用均值不等式解决一些物理极值问题例1.某点电荷Q 分成q 和（Q-q ）两部分，将两部分分开一定距离，则它们之间的库仑力为最大值的条件是（ ）两电荷间库仑力F=k q （Q-q ）/r 2, q+（Q-q ）的和一定，当q=（Q-q ）时，库仑力F 才有最大值，例2.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上。
假定经过长时间的开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍按开采前的轨道运行，则与开采前相比（ ） a.地球与月球间的万有引力将变大 b.地球与月球间的万有引力将变小 c.月球绕地球做圆周运动的周期将变长d.月球绕地球做圆周运动的周期将变短地月间万有引力F=GMm/r 2，M+m 和一定，长时间地搬运，导致M 、m 的差值变大，即M 、m 的乘积变小，选b 。
例3：在一个盛水容器的侧壁上开一个小孔，试问小孔应开在离水面多高处，才能使得从小孔中喷出的水射程最远？解析：从小孔中喷出的水做平抛运动，设容器中水面离桌面高H ，小孔离水面为h ，如图1由机械能守恒定律易得从小孔射出的水流初速度为：gh 2v =从小孔喷出的水在空中运动时间为：g)h H (2t -=， 图1所以水的水平射程为：)h H (h 2g)h H (2gh 2vt x -=-⋅==， 因H )h H (h =-+是一定值，所以当h H h -=，即：2Hh =时，水平射程s 有极大值，其值为：H x max =例4. 如图2所示，为一稳压电路，电源电动势为E ，内阻为r ，负载电阻为R ，求当R 取何值时电源的输出功率为最大值，并求出最大值？图2解析：设电源的输出功率为P ，则有P E r R R E rRR r =+⎛⎝ ⎫⎭⎪=++2222 因为(/)r R R r 22·=（定值），故当r R R 2/=时，即R r =时，r R R 2/+有最小值2r ，这时P 为最大值P max ，即P E rmax=24 例5、一轻绳一端固定在O 点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图3所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C 时，重力的功率为： P=mg υcosα=mgυsinθ…………①小球从水平位置到图中C 位置时，机械能守恒有：221cos mv mgL =θ……………②解①②可得：θθ2sin cos 2gL mg P = 令y=cosθsin θB)sin sin cos 2(21)sin cos 2(21sin cos 222422θθθθθθθ⋅⋅===y2)cos (sin 2sin sin cos 222222=+=++θθθθθ 又由基本不等式abc c b a 3≥++知：当且仅当θθ22sin cos2=，y 有最大值33cos cos 1cos 222=-=θθθ：得由 ∴当33cos =θ时，y 及功率P 有最大值。
人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT
2 +2
值.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足
任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取
得相等的值.即“一正二定三相等”.
即时训练
.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
1
1
1
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=4x·
4y≤4 × 4(x+4y)2=16,当且仅
1
1
1
1
2
2
8
16
当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
1
答案:16
1.对均值不等式的理解
例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
答案:B
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab
的最大值为2,最小值为-2.
即
,
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意
以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
均值不等式的妙用
b2
>
( a + b) (1 1 - 2 ab +
- ab) a2 b2
=
a+ 1-
b ab
.
例 2 若 a , b ∈R + ,求证
a
a +2b
+
b 2a+
b
≥2 3
.
证 原不等式等价于
3 a (2 a + b) + 3 b ( a + 2 b) ≥2 ( a + 2 b) (2 a + b) Ζ 6 a2 + 6 b2 + 6 ab ≥4 a2 + 4 b2 + 10 ab Ζ a2 + b2 ≥2 ab.
2
1 +
x
+
2
1 +
y
≤2 3
.
证
2
1 +
x
+
2
1 +
y
=
4
+
4+ 2( x
x +
+y y) +
xy
=
5
4 +
+ 2
x (x
+ +
y y)
=
1 2
[1
+
5
+
2
3 (x
+
y)
]
≤1 2
[1
+
5
+
3 4
]= xy
2 3
.
例 6 设 a , b , c ∈R + ,求证
1 a(1 +
高中阶段平均值不等式几点应用
高中阶段平均值不等式几点应用【摘要】均值不等式是高中数学学习的重点内容，在很多领域都有十分重要的应用，是高考试题的一个热点。
笔者根据多年的教学经验，浅谈了高中阶段平均值不等式的几点应用，具有一定的参考意义【关键字】均值不等式；高中；应用；最值中图分类号：G633.6均值不等式是高中数学教材的一个重点和难点内容，在这部分的学习中，均值不等式的应用主要有三个方面，用于求最值，用于比较式子大小和用来证明不等式的成立。
应用均值不等式解题时需要注意均值不等式的使用条件，掌握变形技巧，这样才能得心应手的应用均值不等式。
作为一名数学教育工作者，我在教学时不断摸索和总结高效的教学方法，我发现通过开展总结性的教学专题，有利于取得更好的教学效果。
例如，在教学均值不等式这部分时，我对均值不等式的各种应用情况和应用技巧进行总结，使同学们形成一个系统的框架，有利于加深同学们的理解，熟练的进行应用一、灵活配凑，求出最值应用均值不等式求最值有直接求最值、巧妙变形求最值、结合待定系数法求最值三个层次。
解题时的技巧是要学会灵活的配凑，配凑方法主要有拆项配凑法、加倍裂项配凑法、平方裂项配凑法、添项配凑法、换元配凑法和待定系数配凑法等我在对这一应用类型进行教学时，将每种配凑方法都用对应的几道典型例题进行讲解，让同学们体会配凑方法的选取与应用。
例如，已知x>-10，所以y=[（x+1）+4][（x+1）+1]/（x+1），进而化简为y=[4/（x+1）]（x+1）+5，化简到这一式子即可应用均值不等式，y≥5+2√（x+1）[4/（x+1）=9，当且仅当x=1时成立，y的最小值为9。
通过对典型例题进行分析与讲解，同学们掌握了拆项配凑法求最值的解题方法。
另外，对于不同的求最值题型，我也总结出相应的求解技巧，以促进同学们遇到时能快速的做出判断。
例如在求几个正数和的最值时，解题关键在于构造条件，使其积为常熟，然后选用配凑的方法进行变换。
基本(均值)不等式的巧学妙用
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基本 （均值） 不等式的巧学妙用
■ 王石萌
在历年的高考数学试卷中，基本不等式作为一 名 “常客” ， 曾经以不同的面孔戏谑了众多考生。 作为 一名高三学生， 短短三个月的亲密接触， 使我对它终 于有了一个全面系统的了解，下面对其简单地做一 概括。 a+b 1.基本不等式： √ab ≤ 2 （1） 基本不等式成立的条件： a>0， b>0。 当且仅当a=b 时取等号。 （2） 等号成立的条件： 2.利用基本不等式求函数的最值 若 ab 为 定值 p ， （1） 积为定值， 和 有 最 小 值： 则当 且仅当a=b 时， （积定和最小） a+b 有最小值2 √ p 。 （2） 和为定值， 积有最大值： 若a+b 为定值p ， 则当 p2 （和定积最大） 且仅当a=b 时， ab 有最大值 。 4 。 （3） 运用前提： “一正二定三相等” 下面略举几例附加说明： 9 求在下列条件下函 例1 已知函数（ f x） =4x+ ， x 数的最值 （1） x>0 （2） x<0 （3） x≥2 （4） 0<x≤1 9 （1） 解 析： 当x>0时， （ 当 f x） =4x+ ≥2 √36 =12， x 9 3 且仅当4x= ， 即x= 时等号成立。 有最小值12。 ∴（ f x） x 2 9 9 （2） 当x<0时， （ 当 f x） =4x+ =- -4x≤-12， x x 9 3 且仅当-4x=- ， 即x=- 时等号成立。 有最大 ∴（ f x） x 2 值-12。 9 3 （3） 当x≥2时， （ ［ ， 上单调递 f x） =4x+ 在 +∞） x 2 1 9 增， （2） ∴（ f x） =8+ =12 。 min=f 2 2 1 9 （4） 当 0 <x ≤1 时 ， （ f x） =4x+ 在 0， 上 单 点 2 x 递减， （1） ∴（ f x） =13 min=f “对号函 （3） 注： 由 （4） 可知， 当 等 号不 成 立 时 ， 9 数” （ f x） =4x+ 的单调区间来帮忙。 x 3 例2 （1） 设0<x< ， 求函数y=4x （3-2x） 的最大 2 值。 1 （2） 若a<1， 求a+ 的最大值。 a-1 解： （1 ） （3 - 2x ）= 2·2x· （3 - 2x ） y = 4x ≤ 2· 2x+3-2x 2 9 = 2 2 3 当且仅当2x=3-2x。即x= 时等号成立。 4 1 1 1 （2） y=a+ =a-1 + +1 =- 1-a+ +1 ≤ 1 -a a-1 a-1 1 。即1-a=1， a=0时等号成立。 1-a 要特别注意 “拆” “拼” 注： 在运用均值不等式时， （和） 不为定值时， “凑” 等技巧， 使其满足不等式中积 “等” 的条件缺一不可。 凑配法转化为定值。 “正” “定” 且 2x+8y-xy=0， 求x+ 例3 （1） 设 x， （0， ， y∈ +∞） y的最小值。 （2） 已知向量a= （m， ， （1， ， 其 中 m>0， 1 -n） b= 2） 1 1 若a//b， 则 + 的最小值为_______ n>0， m n （1） 由2x+8y-xy=0得y 解： 法一： （x-8） =2x 2x ， ∵x>0， y>0， ∴x-8>0， y= x-8 2x 2x-16+16 16 ∴x+y=x+ =x+ =x +2 + =x-8 + x-8 x-8 x-8 16 16 · +10≥2 （x-8） +10=18 x-8 x-8 16 当且仅当x-8= ， 即x=12时， 等号成立。 x-8 ∴x+y的最小值是18。 8 2 由2x+8y-xy=0及x， 得 + = 法二： （0， y∈ +∞） x y 1 8 2 8y 2x xy 2x · （x+y） + = + +10≥2 ∴x+y= x y x y x y +10=18 8y 2x 当且仅当 = ， 即x=2y=12时等号成立。∴x+y x y 的最小值是18。 （2） （m， ， （1， 。a//b。 ∵向量a= 1-n） b= 2） （1-n） 即2m+n=1 ∴2m=0， 又m>0， n>0 1 1 1 1 2m n + （2m+n） ∴ + = =3 + + ≥3 + m n m n n m 2m n · =3+2 √ 2 2 n m 2m n 2 当且仅当 = 。即m=1- √ ， n= √ 2 -1时 n m 2 等号成立。 1 1 ∴ + 的最小值为3+2 √ 2 。 m n 注：解决本题的技巧是熟练均值不等式的形式 特点。 在应用时若不满足条件，则需要进行相应的变 “和” 或 “积 ” 形技巧， 以便得到均值不等式所需要的 为定值的形式。 思 考， 游走在浩瀚的题海中， 唯 有 不 断地 洞 察， 。以上仅仅是我的一点 才能真正玩转 “均值不等式” 敬请指正。 看法， 不当之处， (作者单位:河南省南阳市五中) 当且仅当1-a= -2+1=-1
探讨均值不等式在物理解题中的应用
探讨均值不等式在物理解题中的应用翟银章(江苏省盐城生物工程高等职业技术学校㊀２２４０００)摘㊀要:物理教学集科学性㊁创造性㊁实践性等特点于一身ꎬ要帮助学生在有限的学习空间内掌握更为丰富的物理知识ꎬ教师应不断尝试将新的教学方法㊁解题理论应用到物理解题活动当中.回顾当前的物理教学工作ꎬ物理教育与数学教育之间存在着较为明显的联系ꎬ如果能够将均值不等式的探讨引入到物理问题的解答当中ꎬ必将为物理解题活动的发展打开新的大门.本文针对物理解题活动展开论述ꎬ思考如何应用均值不等式解决物理难题.关键词:均值不等式ꎻ物理解题ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)２４－００６７－０３收稿日期:２０２１－０５－２５作者简介:翟银章(１９７８.３－)ꎬ男ꎬ江苏省盐城人ꎬ本科ꎬ讲师ꎬ从事物理教学研究.㊀㊀运用数学方法解决物理问题已经成为学生所必须掌握的重要技能之一.在当前的物理解题活动中ꎬ求解最大㊁最长㊁最短㊁最重之类的运算问题并不少见ꎬ如果依靠题干信息逐步推导ꎬ则解题难度会直线上升ꎬ依靠均值不等式合理构建全新的解题模块ꎬ将为学生参与物理解题活动提供新的动力.㊀㊀一㊁物理解题活动中的难点问题１.学习能力问题学生所表现出来的学习能力在一定程度上影响着物理教学活动的后续发展ꎬ当学生以积极的态度㊁科学的方法㊁高昂的热情参与物理教学工作时ꎬ其思维㊁素质与能力能够在第一时间得到锻炼ꎬ学生能够从心理上㊁情感上㊁能力上等多个角度接受物理教学活动ꎬ使得物理教学活动的发展向着更为科学㊁开放㊁自由的方向前进.但在当前的物理教学活动中ꎬ教学课程与实际要求之间依然存在着一定的矛盾ꎬ且大部分教学冲突的产生都与学生的学习能力㊁思维态度有关.部分学生的物理学习能力较差ꎬ在解答物理问题的过程中ꎬ忽视了物理教学题目中所包含的科学教育价值ꎬ仅注重物理题目对当前教学活动的要求ꎬ不注重物理技能对于自身未来发展的影响.在后续的教学活动中ꎬ学生依旧遵循死记硬背㊁套用公式的解题方式ꎬ解题效率极低ꎬ物理解题活动的教育价值无法全面展现出来.在长期的物理教学活动中ꎬ部分学生虽然已经掌握了解决物理学习问题的基本方法ꎬ能够以较高的效率参与到物理学习活动当中ꎬ但其对于物理知识的理解并不全面ꎬ在该类学生的眼中ꎬ物理课程仅由公式㊁数据㊁客观现象等材料组成ꎬ学生并不会去主动思考抽象的物理知识与客观世界之间的联系.总的来说ꎬ大部分学生已经以积极的态度参与到物理教学活动当中ꎬ但对于如何解读物理知识㊁如何应用物理知识㊁如何分辨物理知识与现实世界之间的联系等问题ꎬ学生并不能给出一个明确的答复.从整体的教学活动来看ꎬ物理教学保留着极为鲜明的教育特性:或是基于实践生活发展而来的教育理论ꎬ或是针对抽象概念衍生而来的抽象知识ꎬ其从想象㊁实际两大模块入手ꎬ引导学生从科学的角度重新观察世界.基于此ꎬ分数至上的教学理念已经无法满足当前的物理教学要求ꎬ要保障物理解题活动的高效性㊁保障解题活动能够为学生素养的发展提供必要性支持ꎬ教师必须帮助学生打破 公式教学 的桎梏ꎬ使其在全新的教学环境中完成技术性的飞跃.２.教学方法问题在物理教学活动中ꎬ物理教育的最终目标为培养学生的理性思维ꎬ帮助学生在理论知识与客观世界之间找到平衡点ꎬ促使其能够以科学㊁开放的方式回答物理问题.基于这一特点ꎬ物理教育应该以理论教育为铺垫ꎬ以７６实践教育为核心ꎬ依靠对物理问题的全方位解读ꎬ帮助学生从不同的角度思考物理问题.回顾当前的物理解题教学活动ꎬ解题与应用之间存在着较大的差距ꎬ教师所推行的教学方法并不能为学生物理素养的发展提供实质性的支持:在教学环节ꎬ教师仅针对的物理问题中所包含的相关知识发起教学活动ꎬ学生主动回应教学问题的积极性较差.在教师提出新的学习任务时ꎬ学生会将当前的教学要求理解为 解答物理问题 ꎬ忽视外界环境㊁事物与物理知识之间的联系ꎬ在这种情况下ꎬ学生的思维发展意识被个人所限制ꎬ未来物理教育的质量㊁价值并不能得到保障.部分教师将物理问题视为发起教学活动的第一参考对象ꎬ但在完成了物理问题的讲解之后ꎬ其并不会对解题结论中所展现出来的物理知识加以应用.在这一教学模块下ꎬ物理解题教学的影响范围仅仅局限于物理课堂ꎬ学生的解题技巧㊁物理思维无法得到提升.从物理解题教学的整体要求来看ꎬ针对某一题型发起联系活动并不是物理教育的最终目标ꎬ唯有实现知识与解题技巧的同步提升ꎬ才能保障学生在物理解题活动中获得更为科学的物理知识.如何确定科学的物理解题教学结构㊁帮助学生从多个角度思考物理问题ꎬ提升物理解题教学的科学性ꎬ降低物理解题教学的盲目性ꎬ这是教师必须思考的重要问题.㊀㊀二㊁均值不等式的概念及其应用价值１.均值不等式的概念新的教学方法的引入必将为原有教学活动的发展注入新的灵感ꎬ对于物理解题活动来说更是如此.在当前的物理教育环节ꎬ大部分教师已经注意到了外来理论对于物理解题的积极影响ꎬ故而ꎬ 应用均值不等式解决物理问题 已经成为重要的教育课题.但在物理解题活动中ꎬ大部分教师根本不能对均值不等式的概念㊁应用范围给出一个明确的定义ꎬ在这种情况下ꎬ学生在利用均值不等式解决物理学习问题的过程中ꎬ处于 盲人摸象 的尴尬位置ꎬ其无法及时整理均值不等式的应用特点㊁应用范围ꎬ在教学活动中ꎬ由于无法理解 均值不等式 的客观定义ꎬ均值不等式的出现反而加大了学生的学习负担ꎬ在物理解题活动中ꎬ对于相关问题的解答依旧以套用公式㊁背诵概念为主ꎬ学生无法将均值不等式应用到物理习题当中.作为一个数学公式ꎬ均值不等式又被成为平均值不等式㊁平均不等式ꎬ其强调 调和平均数不超过几何平均数ꎬ几何平均数不超过算数平均数ꎬ算数平均数不超过平方均数 ꎬ从定义上来看ꎬ均值不等式中所包含的数学概念是极为复杂的ꎬ但在解答物理问题的过程中ꎬ均值不等式能够帮助学生在短时间内确定题目中变量的数学关系ꎬ从而根据题目要求提出对应的解题策略.可以说ꎬ均值不等式在一定程度上加快了从抽象到具象的转化速度.２.均值不等式的应用价值利用均值不等式解决物理问题已经成为当下物理教育活动中的热门话题ꎬ但部分教师依旧对均值不等式的应用价值㊁应用范围抱有怀疑态度ꎬ认为数学方法在物理问题中的应用过于唐突.回顾物理教学的整体形势㊁教育要求ꎬ均值不等式的出现为教师解决多元化教学问题提供了新的灵感:一方面ꎬ均值不等式完成了从抽象到具体的转化:在不同阶段的物理教学活动中ꎬ物理问题中所涉及到的变量正在向着复杂化㊁多元化的方向发展ꎬ物理概念比较复杂ꎬ学生的解题压力较大.如果仅依靠公式㊁定义㊁数学概念等内容帮助学生完成数学学习活动ꎬ其很难在短时间内找到数学问题的突破口.均值不等式的出现则为学生提供了全新的解题思路:在将客观概念转化为抽象数字之后ꎬ学生只需对物理问题中所涉及到的数学关系进行加工ꎬ围绕数学关系发起解题活动ꎬ在这一环节ꎬ不同物理量之间的转化㊁置换成为学生优先考虑的解题方式ꎬ在均值不等式的引导下ꎬ学生能够将数字从题干中提取出来ꎬ以数字为第一对象解决物理学习问题.另一方面ꎬ均值不等式能够对学生的思维意识㊁解题能力发起针对性的训练ꎬ在有限的学习空间内ꎬ教师能够利用均值不等式理念中所包含的数学知识㊁科学知识㊁物理技能对学生发起针对性的教育ꎬ或是引导学生全面掌握物理概念ꎬ或是帮助学生应用数学知识解决物理问题ꎬ在同一教学空间内ꎬ数学理论与物理问题逐步结合ꎬ学生的思维与空间意识能够获得逐步发展ꎬ物理教育的系统价值也得以展现出来.㊀㊀三㊁均值不等式在物理解题中的应用１.构建知识模型ꎬ强调解题思路大部分学生在尝试解答物理问题的过程中并没有形成清晰地知识结构ꎬ在对客观物理问题作出回应时ꎬ学生对于物理问题的理解停留在概念层次ꎬ对于其考察范围㊁计算方法等内容ꎬ学生无法形成一个准确的认知.部分教师虽然尝试在教学活动中导入多种观察材８６料㊁教学对象ꎬ但学生主动解读物理知识的积极性依旧较低.在这种情况下ꎬ教师可积极发挥均值不等式的数学运算价值ꎬ帮助学生在物理概念与数学运算之间建立良好的对接ꎬ引导学生在脑海中形成一个清晰的物理学习模型ꎬ促使其能够在接触到物理问题的第一时间在记忆中调用对应的物理知识.在教学环节ꎬ教师将物理概念作为参考材料导入到物理课堂当中ꎬ然后引导学生依据均值不等式理念思考物理问题中所包含的数学关系ꎬ依靠数学概念将题目中所涉及到的物理条件㊁物理现象与解答过程结合起来ꎬ从而建立清晰的解题思路.为保障均值不等式的应用价值ꎬ教师应从数学教育的基本特点入手ꎬ依靠数字关系理清物理问题中的问题结构ꎬ从而帮助学生建立完备的知识模型.部分物理难题中包含着图形㊁文字㊁抽象定义等概念ꎬ教师应引导学生依靠均值不等式对相关问题进行加工ꎬ对物理难题的考察范围㊁问题中所包含的数学关系进行判断ꎬ从而顺利完成题目分析任务.在尝试引导学生解答物理问题的过程中ꎬ对于较为复杂的计算问题ꎬ教师应优先考虑帮助学生确定物理问题中的数学关系ꎬ依靠均值不等式理清物理问题中所包含的数学联系ꎬ才能引导学生以更高的效率解答物理问题.２.活用理论知识ꎬ培养解题能力大部分学生在物理解题活动中并没有表现出良好的解题能力ꎬ在对相关问题作出回应的过程中ꎬ理论知识的应用并不全面ꎬ学生仅考虑依靠客观概念㊁物理定义解决物理问题ꎬ主动回应教学要求的积极性较低.在这种落后的解题思想下ꎬ学生的解题能力很难得到锻炼.㊀在全新的教学框架中ꎬ教师可尝试利用均值不等式培养学生的解题能力ꎬ从全新的角度引导学生解答物理问题:在教学环节ꎬ教师针对均值不等式的基本特点㊁应用范围等内容提出思考问题ꎬ在学生给出回应之后ꎬ教师引导学生对教学知识进行整理 均值不等式能够应用在哪些问题的解答当中?你能否利用均值不等式解答物理问题?学生会基于客观知识㊁物理问题两大角度进行思考ꎬ将 均值不等式 的应用作为探究课题ꎬ导入到后续的物理学习活动当中ꎬ根据问题的特点㊁均值不等式的应用范围等内容ꎬ对物理问题进行解答ꎬ从多个角度思考物理知识.大部分学生习惯了 衣来伸手饭来张口 的教学模式ꎬ缺乏独立思考物理问题的必要素质.基于这一特点ꎬ教师可将学生的物理思维与其所表现出来的数学知识结合起来ꎬ引导学生主动回答物理问题ꎬ在保障学生的解题效率的同时ꎬ提高学生的解题正确率ꎬ促使其在全新的解题活动中取得更大的进步.３.强化物理实践ꎬ发起教学反思为帮助学生以更为科学的态度掌握相关物理知识ꎬ教师在完成均值不等式的讲解工作之后ꎬ应为学生创造应用数学知识解答相关问题的机会.在全新的教学环境下ꎬ要帮助学生解答物理问题ꎬ教师应首先考虑培养学生的思维与能力ꎬ依靠内部素养与外界能力的同步提升ꎬ激发学生的自主意识.在教学环节ꎬ教师应利用周围的可用资源摆脱学生的依赖心理ꎬ依靠物理问题锻炼学生解答物理疑惑的能力:在教学活动中ꎬ教师依据物理知识提出思考问题或计算问题ꎬ要求学生利用均值不等式说明物理问题的原理ꎬ对物理问题作出解答ꎬ在这一过程中ꎬ学生无法在教师处直接获得丰富的教学知识ꎬ自主意识占据了上风.当学生得出有关答案之后ꎬ教师针对学生所提出的答案发起交流讨论活动:该学生所提出的答案是否正确?在其所给出的物理答案中ꎬ你获得了哪些知识?在解答问题之后发起交流活动ꎬ学生能够在第一时间对解题过程作出回应:部分学生针对均值不等式的应用方法进行讨论ꎬ部分学生则根据解题结果提出新的解题策略ꎬ从而实现解题能力与思考能力的同步发展.教师在完成解题教学活动之后ꎬ应为学生创造积累学习经验的机会ꎬ依靠学生的主动回馈优化教学活动.均值不等式在物理教学活动中的应用较为常见ꎬ但对于如何应用均值不等式㊁哪类问题能够应用均值不等式等问题ꎬ少有教师能够给出一个明确的答复.在引导学生利用均值不等式解答物理问题的过程中ꎬ教师应从多个角度入手ꎬ引导学生考虑不同知识之间所存在的必然联系ꎬ为学生能力的发展提供新的支持.㊀㊀参考文献:[１]徐峰ꎬ金立林.均值不等式在物理解题中的应用[Ｊ].中学物理教学参考ꎬ２０１８ꎬ４７(１２):４２－４３.[２]汪飞.应用均值不等式巧解极值题[Ｊ].物理教学ꎬ２０１３ꎬ３５(０５):５４－５５.[３]武文.利用均值不等式解答物理问题[Ｊ].甘肃教育ꎬ２００７ꎬ１１(０２):５０.[责任编辑:李㊀璟]９６。