人教A版数学必修二《直线与圆的位置关系》导学案
《直线与圆的位置关系》 导学案
《直线与圆的位置关系》导学案一、学习目标1、理解直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。
2、掌握直线与圆位置关系的判定方法，包括代数法和几何法。
3、能运用直线与圆的位置关系解决相关的实际问题。
二、学习重难点1、重点（1）直线与圆的三种位置关系的定义及判定。
（2）直线与圆位置关系的判定方法的应用。
2、难点（1）几何法判定直线与圆位置关系的原理。
（2）灵活运用直线与圆的位置关系解决综合问题。
三、知识链接1、圆的标准方程：＼（（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2\），其中\（（a, b)＼）为圆心坐标，＼（r\）为圆的半径。
2、点\（P(x_0, y_0)＼）到直线\（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\）的距离公式：＼（d ＝＼frac{｜Ax_0 ＋ By_0 ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＼）四、学习过程（一）引入通过展示一些生活中直线与圆的位置关系的实例，如太阳升起时地平线与太阳的位置关系、自行车车轮与地面的位置关系等，引出直线与圆的位置关系这一课题。
（二）直线与圆的位置关系的定义1、相交：直线与圆有两个公共点。
2、相切：直线与圆只有一个公共点。
3、相离：直线与圆没有公共点。
（三）直线与圆位置关系的判定方法1、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去\（y\）（或\（x\））得到一个关于\（x\）（或\（y\））的一元二次方程，然后根据判别式\（＼Delta\）的值来判断直线与圆的位置关系。
（1）＼（＼Delta ＞ 0\），直线与圆相交。
（2）＼（＼Delta ＝ 0\），直线与圆相切。
（3）＼（＼Delta ＜ 0\），直线与圆相离。
2、几何法计算圆心到直线的距离\（d\），与圆的半径\（r\）进行比较。
（1）＼（d ＜ r\），直线与圆相交。
（2）＼（d ＝ r\），直线与圆相切。
（3）＼（d ＞ r\），直线与圆相离。
（四）例题讲解例 1：已知圆\（C\）：＼（x^2 ＋ y^2 2x 4y 4 ＝ 0\），直线\（l\）：＼（x 2y 2 ＝0\），判断直线\（l\）与圆\（C\）的位置关系。
《直线和圆的位置关系》导学案
24.2.2直线和圆的位置关系第1课时1.知道直线和圆相离、相切、相交的概念、性质和判定方法.2.探索直线和圆的位置关系,圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系,并能利用它们解决问题.3.重点：直线和圆的三种位置关系及其判定方法.知识点直线和圆的位置关系阅读教材本课时的内容,解决下列问题.1.阅读教材本课时“思考”第(1)问,将你发现的圆和直线的几种位置关系画出来.2.在纸上画一个圆,上、下移动直尺,在移动过程中直线与圆的位置关系有哪几种?直线与圆的公共点的个数是如何变化的?有相离、相切、相交三种,直线和圆的公共点的个数从0个,变为1个、2个,又从2个变为1个、0个.3.通过上面的讨论,我们得到直线和圆有三种位置关系：(1)直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.(2)直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.(3)直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离.【归纳总结】直线和圆的位置关系：直线和圆的位置关系相交相切相离图形语言公共点个数210圆心到直线l的距离d与半径r的关系d < r d = r d > r公共点名称交点切点无直线名称割线切线无【讨论】你能找到几种判断直线和圆的位置关系的方法?两种方法：(1)由直线和圆的公共点的个数判断;(2)由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.【预习自测】☉O的半径为8,圆心O到直线l的距离为4,则直线l与☉O的位置关系是(B)A.相切B.相交C.相离D.不能确定互动探究1：设☉O的半径为3,点O到直线l的距离为d,若直线l与☉O至少有一个公共点,则d应满足的条件是(B)A.d=3B.d≤3C.d<3D.d>3互动探究2：已知Rt△ABC的斜边AB=6 cm,直角边AC=3 cm.(1)以C为圆心,以2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相离;(2)以C为圆心,以4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相交;(3)以C为圆心,以 cm长为半径的圆和AB的位置关系是相切.互动探究3：某圆最长的弦为12 cm,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距离为d,试确定d 的取值范围(方法指导：圆中最长的弦是直径).解：圆最长的弦是直径,由直径是12 cm,可知半径是6 cm,则直线与圆相交时,d<6 cm.互动探究4：如图,☉O的半径为5 cm,点O到直线l的距离OP为7 cm.(1)怎样平移直线l,才能使l与☉O相切?(2)要使直线l与☉O有交点,应把直线l向上平移多少 cm?解：(1)直线l向上平移2 cm或12 cm;(2)大于或等于2 cm且小于或等于12 cm.[变式训练]如果把直线l向上平移3 cm,这时直线l与☉O相交,直线l被☉O所截得的弦长为6cm.【方法归纳交流】直线和圆有交点,是指直线和圆的位置关系为相交或相切.★互动探究5:如图,P为正比例函数y=x图象上的一个动点,☉P的半径为3,设点P的坐标为(x,y).(1)求☉P与直线x=2相切时点P的坐标.(2)请直接写出☉P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.解:(1)过点P作直线x=2的垂线,垂足为A,当点P在直线x=2右侧时,AP=x-2=3,∴x=5,∴P(5,).当点P在x=2的左侧时,PA=2-x=3,x=-1,∴P(-1,-),∴当☉P与直线x=2相切时,P点坐标为(5,)或(-1,-).(2)当-1<x<5时,☉P与直线x=2相交,当x<-1或x>5时,☉P与直线x=2相离.。
直线与圆的位置关系导学案
标题： 直线与圆的位置关系
日期：
制作：
课型 复习课 班级：
学生姓名：
学习目标
重点
难点
1、理解直线与圆的位置的种类； 2、会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系 3、掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题
直线与圆的位置关系及其判断方法.
掌握直线和圆的位置关系的应用，能解决弦长、切线以及最值问题
究
A2 B2
d ______ r d ______ r d ______ r
1
一、小组探究，合作交流 判定下列所给直线与圆的位置关系，并给出你的判断依据
1 请判断直线 x y 2 0 与圆 x2 y2 1 的位置关系？
2、请判断直线 x y 1 0 与圆 x2 y2 1 的位置关系？
知识回顾：
1、点 Px0 y0 到直线 l：Ax By C 0 的距离：
课
前 2、一元二次方程 ax2 bx c 0a 0 根的个数与判别式 的关系？
预 3、圆的标准方程：
习 4、圆的一般方程：
；圆心：
；半径：
5、直线与圆的位置关系有
，
，
．
归纳
分
已知直线 Ax By C 0 与圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 ，据方程判断直线与圆的位置关系
练习
1、（2018 年）圆心为两直线 x y 2 0 和 x 3y 10 0 的交点，且与直线 x y 4 0 相
切的圆的标准方程是
.
（2019 年）已知圆 C 和y 轴相切于点 (0,5) ，半径为 5 ，则圆 C 的标准方程是 ( )
直线与圆的位置关系(3)导学案
课题：直线与圆有关的位置关系（3）导学目标：1.了解切线长的概念；2．理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用.导学重难点：切线长定理及其运用, 切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．导学过程：【复习导入】1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？【自主学习】从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，•并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．从上面的操作几何我们可以得到：从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的切线长．．．_____，这一点和圆心的连线平分______________________________________．【合作探究】下面，我们给予逻辑证明．1．切线长定理推导：如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．证明：因此，我们得到切线长定理：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.内切圆的有关概念：与三角形____________________都相切的圆叫做___________________________，内切圆的圆心是_________________________的交点，叫做三角形的__________。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.2.1
4.2.1 直线与圆的位置关系[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.知识点一 直线与圆的位置关系及判断思考 用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系时，二者在侧重点上有什么不同？ 答 代数法与几何法都能判断直线与圆的位置关系，只是角度不同，代数法侧重于“数”的计算，几何法侧重于“形”的直观. 知识点二 圆的切线问题 1.求圆的切线的方法(1)求过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率k ，则由垂直关系，知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k ＝0或k 不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程：几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 代数法：设切线方程y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0求得k ，切线方程即可求出.并注意检验当k 不存在时，直线x ＝x 0是否为圆的切线. 2.切线段的长度公式(1)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的切线，则P 到切点的切线段长为 d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.(2)从圆外一点P (x 0，y 0)引圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的切线，则P 到切点的切线段长为d ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点.解 方法一 将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，∴当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.方法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点.反思与感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法：(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断. (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.跟踪训练1 若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100有如下关系：①相交；②相切；③相离.试分别求实数a 的取值范围. 解 方法一 (代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0. Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000. ①当直线和圆相交时，Δ＞0， 即－36a 2＋90 000＞0，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ＜0， 即a ＜－50或a ＞50. 方法二 (几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5， ①当直线和圆相交时，d ＜r ， 即|a |5＜10，－50＜a ＜50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d ＞r ， 即|a |5＞10，a ＜－50或a ＞50. 题型二 圆的切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线的方程. 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A 在圆外.(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4).即kx －y －3－4k ＝0， 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1.解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0. (2)若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.反思与感悟 1.过一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.2.一般地，有关圆的切线问题，若已知切点则用k 1·k 2＝－1(k 1，k 2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d ＝r (d 为圆心到切线的距离，r 为半径)列式.跟踪训练2 圆C 与直线2x ＋y －5＝0相切于点(2,1)，且与直线2x ＋y ＋15＝0也相切，求圆C 的方程.解 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 因为两切线2x ＋y －5＝0与2x ＋y ＋15＝0平行， 所以2r ＝|15－(－5)|22＋12＝4 5.所以r ＝2 5.所以|2a ＋b ＋15|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b ＋15|＝10；①|2a ＋b －5|22＋1＝r ＝25，即|2a ＋b －5|＝10.② 又因为过圆心和切点的直线与切线垂直， 所以b －1a －2＝12.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.故所求圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝20. 题型三 圆的弦长问题例3 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长.解 方法一 直线x －3yy ＋23＝0和圆x 2＋y 2＝4的公共点坐标就是方程组⎩⎨⎧x －3y ＋23＝0，x 2＋y 2＝4的解. 解这个方程组，得⎩⎨⎧x 1＝－3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2. 所以公共点的坐标为(－3，1)，(0,2)，所以直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为(－3－0)2＋(1－2)2＝2. 方法二 如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)， 所以|OM |＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝ 3.所以|AB |＝2|AM |＝2OA 2－OM 2 ＝222－(3)2＝2. 反思与感悟求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝⎛⎭⎫|AB |22＋d 2＝r 2. 即|AB |＝2r 2－d 2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中k 为直线l 的斜率.跟踪训练3 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.46 答案 C解析圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝5.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝|1＋4－5＋5|12＋22＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝r2－d2＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.数形结合思想例4直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有一个交点，则b的取值范围是()A.|b|＝ 2B.－1＜b≤1或b＝－2C.－1≤b＜1D.非以上答案分析曲线x＝1－y2变形为x2＋y2＝1(x≥0)，表示y轴右侧(含与y轴的交点)的半圆，直线y＝x＋b表示一系列斜率为1的直线，利用数形结合思想在同一平面直角坐标系内作出两种图形求解.解析曲线x＝1－y2含有限制条件，即x≥0，故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分.在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝1－y2(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示.相切时，b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.故选B.答案B解后反思求解直线与曲线公共点的问题，首先要借助图形进行思考；其次要注意作图的完整准确，使得图形能够反映问题的全部；最后在求解中还要细心缜密，保证计算无误.1.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C解析方法一圆心(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离d＝11＋k2≤1＜2＝r，∴直线与圆相交，且圆心(0,0)不在该直线上.方法二 直线kx －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，而该点在圆内，故直线与圆相交，且圆心不在该直线上.2.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案 B解析 ∵点M (a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外，∴a 2＋b 2＞1. ∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＜1＝r ，则直线与圆的位置关系是相交. 3.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 答案 D解析 依题意可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋c ＝0的距离为|c |22＋12＝5，解得c ＝±5.故所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 4.设A 、B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 D解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)， 则|AB |＝2.5.过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________. 答案 2x －y ＝0解析 设所求直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0.由于直线kx －y ＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于12－⎝⎛⎭⎫222＝0，即圆心(1,2)位于直线kx －y ＝0上.于是有k －2＝0，即k ＝2，因此所求直线方程是2x －y ＝0.1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|.3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.一、选择题1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交 D.相切 答案 C解析 l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在， ∴l 与圆一定相交，故选C.2.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A.x ＋y －2＝0 B.x －y ＋2＝0 C.x ＋y －3＝0 D.x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3.已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2答案 B解析 由条件，知x －y ＝0与x －y －4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C 的圆心C 在直线x －y －2＝0上.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，x ＋y ＝0，得圆心C (1，－1).又因为两平行线间距离d ＝42＝22，所以所求圆的半径长r ＝2，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A.0° B.45° C.0°或45° D.0°或60° 答案 D解析 设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.5.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于( )A.10－27B.5－7C.10－3 3D.5－322答案 A解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 所以圆心为(2，－3)，半径长为5. 因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25， 所以点(－1,0)在已知圆的内部， 则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10. 当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小. 弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32， 所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27， 所以m －n ＝10－27.6.在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，而圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，故圆上有3个点满足题意.7.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪[0，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 答案 A解析 设圆心为C ，弦MN 的中点为A ，当|MN |＝23时，|AC |＝|MC |2－|MA |2＝4－3＝1.∴当|MN |≥23时，圆心C 到直线y ＝kx ＋3的距离d ≤1. ∴|3k －2＋3|k 2＋(－1)2≤1，∴(3k ＋1)2≤k 2＋1. 由二次函数的图象可得 －34≤k ≤0. 二、填空题8.设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 圆心到直线的距离d ＝|a －2＋3|a 2＋1＝22－(3)2＝1，解得a ＝0. 9.圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析 设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________. 答案2555解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.11.若直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是_______. 答案 [1，2)解析 如图所示，y ＝1－x 2是一个以原点为圆心，长度1为半径的半圆，y ＝x ＋b 是一个斜率为1的直线，要使直线与半圆有两个交点，连接A (－1,0)和B (0,1)，直线l 必在AB 以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个临界位置直线l 的b 值，当直线l 与AB 重合时，b ＝1；当直线l 与半圆相切时，b ＝ 2.所以b 的取值范围是[1，2). 三、解答题12.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R ). (1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 即l 恒过定点A (3,1).第11页 共11页 因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0.13.已知直线l 过点P (1,1)并与直线l 1：x －y ＋3＝0和l 2：2x ＋y －6＝0分别交于点A ，B ，若线段AB 被点P 平分，求：(1)直线l 的方程；(2)以原点O 为圆心且被l 截得的弦长为855的圆的方程. 解 (1)依题意可设A (m ，n )，B (2－m,2－n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＋3＝0，2(2－m )＋(2－n )－6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝－3，2m ＋n ＝0， 解得A (－1,2).又l 过点P (1,1)，易得直线AB 的方程为x ＋2y －3＝0， 即直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.(2)设圆的半径长为r ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫4552，其中d 为弦心距，d ＝35，可得r 2＝5，故所求圆的方程为x 2＋y 2＝5.。
直线与圆、圆与圆的位置关系导学案
直线与圆、圆与圆的位置关系导学案
一、知识梳理1．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系：设圆1：(－1)＋(－1)＝1(1>0)，圆2：(－2)＋(－2)2＝r22(r2>0)．
3.辨明两个易误点
(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．
(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
[熟记常用结论]
1．圆系方程：(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．。
人教A版数学必修二第四章第五课时导学案§4.2.3直线与圆的方程的应用
§4.2.3直线与圆的方程的应用学习目标1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．学习过程一、课前准备（预习教材P 130~ P 132，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有 .2．圆224450x y x y ++--=和圆2284x y x y +-+70+=的位置关系为 .3．过两圆22640x y x +--=和22628x y y ++-0=的交点的直线方程 .二、新课导学※ 学习探究1．直线方程有几种形式? 分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?※ 典型例题例1 如图所示，已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m =,拱高4OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱22P A 的高度(精确0.01m)变式：如图所示，是距今已有约1400年历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的赵州桥。
其跨度是37.4m.，拱高约为7.2m.，求这座圆拱桥的拱圆的方程例 2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※ 动手试试练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2. 讨论直线2=+与曲线y=.y x三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（ ）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x的最大值为（ ）A ．13. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 .5. 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 . 课后作业1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2. 已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （Ⅰ）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程；（Ⅲ）当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.。
2.2.2直线与圆的位置关系(2014年人教A版数学必修二导学案)
（2）求过原点且与圆 相切的直线的方程．
【课后巩固】
1．直线 与圆 的位置关系是．
2．直线 和圆 交于点 ， ，则弦 的垂直平分线方程是．
3．斜率为 的直线 平分圆 的周长，则 的方程为
4．已知过点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，
求直线 的方程．
5．已知圆 与直线 相交于 ， 两点，
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．判断下列各组中直线 与圆 的位置关系：
（1） ， ；__________________________；
（2） ， ；___________________；
（3） ， ．_____________________．
2．若直线 与圆 相交，则点 与圆的位置关系是．
为坐标原点，若 ，求 的值．
6．已知过点 的直线 与圆 相交，求直线 斜率的取值范围．
7．求半径为 ，且与直线 切于点 的圆的方程．
8．求圆心在 轴上，且与直线 ，直线 都相切的圆的方程．
9．已知圆 的方程是 ，求证：经过圆 上一点 的切线方程是 ．
10．已知圆 ，直线 ．
（1）当点 在圆 上时，直线 与圆 具有怎样的位置关系？
课题：2.2.2直线与圆的位置关系导学案
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1.能够熟练的写出直线和圆的方程的交点坐标；
2.能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小判断直线和圆的位置关系；
3.理解直线和圆的方程组成的二元二次方程组的解的对应关系．
【课前预习】
问题1．直线和圆的位置关系有几种情况？直线和圆的位置关系是用什么方法研究的？
d
r
人教A版数学必修二第四章第三课时导学案§4.2.1直线与圆的位置关系
§4.2.1直线、圆的位置关系学习目标1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．学习过程一、课前准备（预习教材P 126~ P 128，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=整理为圆的一般方程 . 把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->整理为圆的标准方程为 .2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学※ 学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点；⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※ 典型例题例1 用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例2 如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为,求l 的方程变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++0=所得的弦长.※ 动手试试练1. 直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2. 求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升 ※ 学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法① 判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b 无解,则直线与圆相离② 如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =.⑴如果d r < 直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切;⑶如果d r >直线与圆相离. 学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心2. 若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（ ）.A ．0或2B ．2CD ．无解3. 已知直线l 过点(2,0)-，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）.A ．(-B ．(C ．(D ．11(,)88- 4. 过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为 . 5. 圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为 . 课后作业1. 圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=.2. 若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.。
广东省佛山市超盈实验中学人教A版高中数学必修二导学案(无答案)4.2.1直线与圆的位置关系
4.2.1直线与圆的位置关系 第一课时【学习目标】1、理解和掌握直线与圆的位置关系；2、会用代数和几何方法判断直线和圆的位置关系；3、会利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题。
重点：判断直线和圆的位置关系；难点：解含参数，绝对值的方程与不等式。
【自主学习】基础梳理：==+-d l A y x l 的距离到直线则点：、已知直线)2,1(,05431()()==-+-r y x 圆的半径，，则圆心坐标为、已知圆的方程为421222为半径，，圆心坐标为则标准方程为、已知圆的方程为r x y x ,012322=--+4、直线和圆的位置关系有几种？分别是什么？并用图形表示。
自主探究：一个小岛的周围有环岛暗礁，分布在以小岛的中心为圆心，半径为220km 的圆形区域。
已知轮船位于小岛中心正东40km 处，港口位于小岛中心正北30km 处，如果轮船沿着直线返港，那么它是否会触礁？ ∙ 轮船 ∙∙ 港口 O 思考1、如何将上述实际问题转化为数学问题？2、你有什么方法解决该问题？3、你用到了哪些知识，请写出你的思路并与小组其他成员分享。
【课堂新知】上述问题涉及到直线与圆的位置关系，为了准确判断轮船的航线（直线）与环岛暗礁(圆)的位置关系，我们可以建立以小岛中心O 为原点，东西方向为x 轴，取10km 为单位长度的直角坐标系。
在所建立的直角坐标系下，直线的方程为：圆的方程为：轮船的航线与环岛暗礁的位置关系判断过程：小结：直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.【课外作业】A 组 直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断如下表所示：⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝r 21、直线3420x y --=与圆22(2)(1)4x y -+-=的位置关系是________________2、已知直线(0)x a a =>和圆22(1)4x y -+=相切，那么a 的值为（ ）A 、5B 、4C 、3D 、23、果直线ax ＋by －4＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4有2个不同的交点，那么点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ． 在圆外B ． 在圆上C ． 在圆内D ．不确定4、知圆x 2＋y 2＝4，定点P (3,0)，问过P 点的直线斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切； (2)相交；(3)相离．B 组5、合P ＝，Q ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b ，x ，y ∈R}，若P ∩Q ≠φ，则实数b 的取值范围是( )A ． [－5,5]B ． (－5，5)C ． [－5，5]D ． [－5，5] 6、y ＝－＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 取值范围是( ) A ．＜m ＜2 B ．＜m ＜3 C ．＜m ＜ D ． 1＜m ＜。
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高中数学必修2《直线与圆的位置关系》导学案
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【学习目标】
1﹑会用两种方法判断直线与圆的位置关系.
2﹑会求圆的切线方程及与弦长等有关直线与圆的问题.
【重点难点】
▲重点：直线与圆的位置关系的判断.
▲难点：解决与圆的切线、弦长有关的问题.
【知识链接】
1、 把圆的标准方程222
()()x a y b r -+-=化为圆的一般方
程 . 把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->化为圆的标准方程 .
2、一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西
70km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域已知港口位于台风中心正北40km 处，
如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
【学习过程】
阅读课本第126页至第128页的内容，尝试回答以下问题：
知识点１: 直线与圆的位置关系及其判断
问题1、直线与圆的三种位置关系：
（1） （2） （3）
问题2、直线与圆的位置关系的判断：
方法1、（几何法）依据圆心到直线的距离与半径长的关系
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当 时，直线l 与圆C 相离；
（2）当 时，直线l 与圆C 相切；
（3）当 时，直线l 与圆C 相交；
方法2、（代数法）依据依据直线与圆的方程组成的方程组有几组实数解确定
设直线l 的方程为y kx m =+ ，圆C 的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线l
的方程代入圆C 的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程式2
0Ax Bx C ++=，那么：
（1）当 时，直线与圆没有公共点，直线l 与圆C .
（2）当 时，直线与圆有且只有一个公共点，直线l 与圆C .
（3）当 时，直线与圆有两个不同的公共点，直线l 与圆C .
知识点2：几类重要题型
题型1、有关直线与圆的位置关系
例1、（尝试用两种方法求解哦！）已知圆的方程是222x y +=，直线为y x b =+，当b 为
何值时：（1）直线与圆有两个公共点.
（2）直线与圆只有一个公共点.
（3）直线与圆没有公共点.
、
方法小结：
题型2、有关圆的切线问题
例2、（1）已知圆的方程为222x y r +=，求经过圆上一点00(,)M x y 的切线方程.
（2）已知圆的方程为222()()x a y b r -+-=，求经过圆上一点00(,)M x y 的切线方
程.
方法小结：
题型3、有关弦长问题及最值问题
例3、已知圆22:(2)(1)4C x y -++=，直线:1l y x =-交圆C 于B A 、两点，求AB .
方法小结：
例4、圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离的最大值与最小值.
方法小结：
【基础达标】
A1、判断直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的位置关系.
B2、已知圆2225x y +=，求（1）过点(4,3)A -的切线方程.（2）过点(5,2)B -的切线
方程.
C3、求与x 轴相切与点(5,0)，并在y 轴上的截得弦长为10的圆的方程.
C4、圆心在直线538x y -=上，且与坐标轴相切的圆的方程.
【小结】
1、 判断直线与圆的位置关系的方法：
方法1：
方法2:
2、 利用斜率研究直线时，要注意直线斜率不存在的情形.
【当堂检测】
已知直线01=++y x ，圆034222=-+++y x y x 上到该直线距离等于2的点共
有 .
【课后反思】
本节课我最大的收获是
我还存在的疑惑是
我对导学案的建议是。