24320-电子教案-第2章线性规划单纯形法

• 改进的单纯形法与表格形式的单纯形法，其 实质完全一样，只是计算形式不同。
• 表格形式的单纯形法，方法简单，容易掌握， 非常适用于手算，且在电子计算机上用于求解 小型线性规划问题时，也是比较方便的。
• 但由于在计算机上使用表格式的单纯形 法需要把整个表格储存在计算机中，因此 这种方法不适合求解较大规模的线性规划 问题。
第四步，选择一个单元格输入公式，计算 每个约束条件左边的值。 第五步，选择一个单元格输入公式，计算 每个约束条件右边的值。
（3）当决策变量xj不满足xj ≥0时，则增加 两个新的非负决策变量 x'j ≥0和x"j ≥0，用 x'j − x"j替代xj，即令xj = x'j − x"j。 （4）当约束条件中第i个方程右端出现常数 项 bi＜ 0时，则在方程两边同时乘（ −1 ）， 得到−bi ＞0。
• 例2.1 将下列非标准型线性规划问题化为 标准型。 min z 3 x1 2 x2 4 x3
（2）基本可行解—非基变量为零的可行解。 （3）基本最优解—满足目标函数的基本可 行解，简称为最优解。
• 例2.2 求解线性规划问题，其模型如下：
•解
（1）将线性规划问题化为标准型。
• 引入松弛变量x3 , x4 , x5后将其转化为标准 型，即
（2）列出初始单纯形表（见表2.1），并 在表中计算出检验数j。
s.t.
2 x1 3x2 4 x3≥ 300 x1 5 x2 6 x3 ≤ 400 x1 x2 x3 ≤ 200 x1≥ 0, x2 ≥ 0, x3不限
• 解 按照前面的变换方法，执行下列步骤。
（1）将min z转化为max (−z)。 （2）令x3 = x'3− x"3，且x'3≥0，x"3≥0。
• 因此我们几乎或实在无法通过作图来找 可行域，更无法找到最优解，此时图解法 就显得无能为力了，但这些问题可以利用 单纯形法进行求解。
（1）基变量—在标准型每一个约束方程 中选一个变量xj，它在该方程中的系数 为1，在其他方程中系数为零，这个变量 xj就称为基变量，或称为基础变量。
• 如有m个约束方程，就可得到m个基变量， 其余变量就称为非基变量。
• 在系统中安装“规划求解”工具的方法如 下。
（1）启动Excel 2003。
• 打开“工具”菜单，如果没有“规划求解” 选项，单击“加载宏”，如图2.2所示。 • 弹出以下窗口，如图2.3所示。
图2.2 安装“规划求解”选项的加载宏窗口
图2.3 选中“规划求解”加载宏
（2）安装“规划求解”工具。
• 目前，我国对于Excel的应用，主要用于 画表格，或作简单的计算，或图形制作， 仅限于很初级的应用，其他方面的功能用 得很少。
• 电子表格软件Excel与Lotus公司的Lotus12-3有类似结构：它们以工作簿为文件单位， 一个工作簿可以包含若干（Excel 2003最多 256个，取决于内存的大小）工作表，一个 工作表又可以包含很多的单元格。
第 2章 线性规划单纯形法
学习目标
用单纯形法等进行求解，学习对偶问题 及实际案例，使学生学会把实际问题归结 为线性规划问题来进行优化，并能用一些 常用的方法进行求解，从而培养和提高学 生分析问题、解决实际问题的能力。 培养优化思想，并能用一定的数学方法 实现优化。
2.1
线性规划问题的标准型
• 这里，1 = 3 − 0 = 3，2 = 2−0 = 2， 3 = 4 = 5 = 0 − 0 = 0，所以要继续迭代运算。
（3）确定主元列，选择进基变量。 （4）确定主元行，选择离基变量。
（5）对增广矩阵用初等行变换将主元化 为1，主元所在列其余元素化为零。 （6）重新按第3步骤和第4步骤对表2.2 确定主元列与主元行及主元，选择进基 变量与离基变量。
（3）将第一个约束方程的左边减去一个 非负的松弛变量 x4 ，将第 2 、第 3 个约束 方程的左边分别加上一个非负的松弛变 量x5和x6。
• 这样，可以将原来的线性规划问题标准 化为
2.1.3 单纯形法的基本步骤和计算
• 两个变量的线性规划问题可以用图解法 进行求解，而当变量是三个或三个以上且 约束条件又多时，可行域所在的凸集表现 为一个凸多边形，在空间上必将是一个凸 几何体。
2.2
2.3 2.4
改进的单纯形法和对偶问题
线性规划问题的应用案例 单纯形法的原理
2.5
线性规划问题的Excel处理
2.1 线性规划问题的标准型
• 由上一章可知，线性规划模型有各种不 同的形式；即目标函数可以求极大值，也 可以求极小值；约束条件可以是等式也可 以是不等式，不等号可以是“≤”也可以是 “≥”；决策变量一般是非负的，但在理论 模型中可能会允许在区间（−∞，+∞）内取 值。
图2.1 利用单纯形法求解线性规划问题的流程
2.5 线性规划问题的Excel处理
2.5.1 电子表格软件Excel简介
• 电子表格实际上就是用于显示和管理数 据，并能对数据进行各种复杂统计运算的 表格。
•
Excel能以表格形式提供以下功能： 强大（或万能）的表格计算功能； 方便的制表和图形制作功能； 灵活的数据库管理功能； 强大的科学计算功能； 多方面的数据分析功能。
• 原问题的模型如果表示如下：
• 则相应的对偶问题的一般模型表示如下：
• 例2.5 设线性规划原问题的模型如下：
• 解 根据对偶规划规则，可以得到线性规 划原问题的对偶模型为
2.3 线性规划问题的应用案例
• 线性规划问题的应用十分广泛，在运输 问题、设备的合理利用问题、下料问题、 营养搭配问题等各方面均有应用。
• 因此，单纯形方法是一种非常有效的计算 方法。
2.2.2 对偶问题
1．线性规划对偶问题的提出
• 线性规划对偶理论是线性规划理论中一 个非常有趣的概念，它充分显示了线性规 划理论逻辑的严谨性和结构的对称美。 • 线性规划问题与其对偶线性规划问题在 模型的表现形式和问题的解之间存在着紧 密的联系。
• 例2.4 家具厂生产桌子和椅子两种家具， 有关资料如表2.5所示。 • 问该家具厂应如何安排生产才能使每月 的销售收入最大？
• 在“当前加载宏”的复选框中选中“规 划求解”，单击“确定”按钮后返回Excel。 • 这时在“工具”菜单中就出现了“规划 求解”选项，如图2.4所示。
• 关闭“工具”菜单。
图2.4 安装后在工具菜单中出现“规划求解”选项
2.5.2 使用Excel建立数学公式并输 入数据
• 使用Excel 2003建立数学公式的基本步骤 如下。 第一步，在工作表的顶部输入数据。 第二步，确定每个决策变量所对应的单元 格的位置。 第三步，选择单元格输入格式，找到目标 函数的值。
（2）当约束条件中第个方程出现ai1x1 + ai2x2 + …+ ainxn≤bi时，则增加一个 “松弛变量”xi1≥0，使它成为等式 ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn + xi1 = bi。
• 同样，当约束条件中第个方程出现ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn≥bi时，则减去一个“松弛 变量”xi1≥0，使它成为等式ai1x1 + ai2x2 + … + ainxn − xi1 = bi。
• 调整的方法是从一个基本可行解出发，设 法得到另一个更好的基本可行解，直到目标 函数达到最优时，基本可行解即为最优解。
• 如果仍然不是最优解，则重复进行调整。 • 每调整一次，目标函数就改进一次（在 线性规划问题的标准型中，目标函数值总 是大于或等于前面得到的解的目标函数 值），直到求得最优解。
• 而改进的单纯形法，一般说来，不适合 用于手工计算，但较大规模的线性规划问 题，其约束方程组的系数矩阵往往是稀疏 的（即矩阵中的大多数元素为零），于是 利用计算机上数据处理的某些技巧，就可 以在电子计算机上使用改进的单纯形法处 理较大规模的线性规划问题了。
• 这就是改进的单纯形法的最主要的优点。 • 无论使用哪一种形式，经验表明，要解一 个含有m个约束条件的线性规划问题，大约 只要经过m～1.5m次迭代就可以了。
• 为适应通用的代数求解方法，将不同形 式的线性规划模型转化为统一的标准形式 是十分必要的。
• 线性规划问题的数学模型，都是由决策 变量、约束条件（线性等式或不等式）及 目标函数（最大或最小）3部分组成的。 • 为了使线性规划问题的求解变得尽可能 简化，我们需要规定线性规划模型的标准 形式。
2.1.1 线性规划问题的标准型
• 而一个有界的线性规划可行域，其顶点个 数必然是有限的。
• 因此，求线性规划的最优解时，只要在线 性规划可行域的有限个顶点上去寻找即可。
• 用单纯形法解题分为两个阶段：第一阶 段是寻求一个可行解，经检验若不是最优 解，则转入第二阶段；第二阶段从所求出 的可行解出发，通过变量的调整求出新的 可行解。
运杂费 = 运费 + 装卸费 + 中途存储费 + 损耗费
• 在表2.6中，某些空格没有填数表示此路 线不通或明显不合理，计算时可以取一个 相当大的正数M。
• 通过计算机处理和计算后得到该线性规 划问题的解如表2.7所示。
2.4 单纯形法的原理
• 线性规划的最优解一定可以在线性规划 可行域的某个顶点上达到。 • 实际上对于任意一个有n个变量的线性规 划问题，如果它有有界的线性规划可行域， 则它的最优解必然在所有约束条件的交点 处取得。
（7）对增广矩阵用初等行变换将主元[5] 化为1，将主元[5]所在第二列其余元素 化为零，得表2.3。
• 例2.3 求解线性规划问题，其模型如下：
• 解 先化为标准型，再用单纯形法。