重庆市高考数学一轮专题：第21讲正弦定理和余弦定理(II)卷

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总复习《第21讲正弦定理与余弦定理应用》

考点三
三角形的面积
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题1:
3 已知ABC的面积为，且b 2，c 3， 2 60或120 则A .
考点三
三角形的面积
变式1:
在△ABC中，cos2A-3cos(B+C)＝1.
(1)求A的大小；
(2)若S△ABC =5√3，b=5，求sinBsinC的值．
课堂小结
(1) 方程思想 (2) 转化思想 ①边转化为角 ②角转化为边
10 3 2 4 C 10 3 D E
② ?
30
h
①h ?
考点一
利用正、余弦定理解三角形
变式1:
A B
C
75 45
3
30
45
D
考点一
利用正、余弦定理解三角形
变式2:
A
h
B
45 120
C
30
40
D
考点二
判断三角形的形状
变式1:
△ABC 是 A．直角三角形 C．钝角三角形 B．锐角三角形 D．不能确定 ( )
谢谢大家！
．在△ABC 中，若 sinA∶sinB∶sinC＝ 3∶4∶ 30，则
考点二
判断三角形的形状
变式2:
在△ABC中，2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
考点二
判断三角形的形状
[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 1 故 cosA＝－，又 A∈(0，π)，故 A＝120° . 2 (2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. 1 又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝ . 2 因为 0° ＜B＜90° ，0° ＜C＜90° ，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．

2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题4-6 正弦定理和余弦定理【含答案】

2021届高三高考数学文科一轮复习知识点专题4.6 正弦定理和余弦定理【考情分析】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.【重点知识梳理】知识点一正弦定理和余弦定理1.在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C常见变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数一解两解一解一解无解知识点二三角函数关系和射影定理1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B . 3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A > sin B ⇔cos A <cos B . 【典型题分析】高频考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】【2020·江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．【解析】（1）在ABC △中，因为3,2,45a c B ===︒，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2922325b =+-⨯︒=，所以5b =在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=， 52，所以5sin C =（2）在ADC △中，因为4cos 5ADC ∠=-,所以ADC ∠为钝角，而180ADC C CAD ∠+∠+∠=︒,所以C ∠为锐角. 故225cos 1sin C C =-则sin 1tan cos 2C C C ==. 因为4cos 5ADC ∠=-，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=，sin 3tan cos 4ADC ADC ADC ∠∠==-∠.从而31tan()242tan tan(180)tan()===311tan tan 111()42ADC C ADC ADC C ADC C ADC C -+∠+∠∠=︒-∠-∠=-∠+∠---∠⨯∠--⨯. 【举一反三】(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc ＝6.故选A 。

全国通用近年高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第21讲正弦定理和余弦定理优选学案(2021

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第21讲正弦定理和余弦定理考纲要求考情分析命题趋势掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2017·全国卷Ⅰ,112017·山东卷,172017·天津卷，152017·浙江卷，14正、余弦定理是解三角形的主要工具．高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化。

分值：5～12分1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!__＝2R（R为△ABC外接圆半径）a2＝__b2＋c2－2bc cos_A__，b2＝__a2＋c2－2ac cos_B__,c2＝__a2＋b2－2ab cos_C__变形形式a＝__2R sin_A__，b＝__2R sin_B__，c＝__2R sin_C__，sin A＝__错误!__，sin B＝__错误!__，sin C＝__错误!__，a∶b∶c＝__sin A∶sin B∶sinC__，a sin B＝b sin A，b sin C＝c sinB,a sin C＝c sin A,错误!＝2Rcos A＝__错误!__，cos B＝__错误!__，cos C＝__错误!__2．在△ABC中,已知a，b和A,解三角形时解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a〈b sinAa＝b sin Ab sinA〈a〈ba≥ba〉b a≤b解的个数__无解____一解____两解____一解____一解____无解__3(1)S＝错误!a·h a(h a表示a边上的高）．（2)S＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B＝错误!bc sin A＝错误!。

备战2021高考文数热点题型和提分秘籍专题22 正弦定理和余弦定理(解析版)

专题二十二正弦定理和余弦定理【高频考点解读】把握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简洁的三角形度量问题．【热点题型】题型一利用正、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.55(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．【提分秘籍】利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中留意隐含条件的挖掘以确定解的个数．【举一反三】在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝c . (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin B sin C 的取值范围．【热点题型】题型二三角形外形的推断例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的外形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【提分秘籍】依据已知条件中的边角关系推断三角形的外形时，主要有如下两种方法(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而推断三角形的外形；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而推断出三角形的外形，此时要留意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．留意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【举一反三】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试推断△ABC 的外形．【热点题型】题型三三角形的面积问题例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c .已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值．【提分秘籍】三角形的面积求法最常用的是利用公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A 去求．计算时留意整体运算及正、余弦定理的应用．【举一反三】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．【热点题型】题型四解三角形例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【提分秘籍】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简洁的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式消灭．【高考风向标】1．(2022·浙江卷) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2A －B2＋4sin A sin B＝2＋2.(1)求角C的大小；(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．2．(2022·安徽卷) 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为2.求cos A与a的值．3．(2022·北京卷) 在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝14，则c＝________；sin A＝________．4．(2022·福建卷) 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________．5．(2022·广东卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．非充分非必要条件6．(2022·湖北卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________．7．(2022·湖南卷) 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3. (1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-48．(2022·江苏卷) 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．9．(2022·江西卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.7210．(2022·辽宁卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．11．(2022·全国卷) △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .12．(2022·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补， AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．13．(2022·山东卷) △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．14．(2022·陕西卷) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，且c＝2a，求cos B的值．15．(2022·重庆卷) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos2B2＋sin B cos2A2＝2sin C，且△ABC的面积S＝92sin C，求a和b的值．16．(2021·安徽卷) 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝()A.π3 B.2π3C.3π4 D.5π617．(2021·北京卷) 在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝()A.15 B.59C.53D．118．(2021·全国卷) 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sin Asin C ＝3－14，求C.19．(2021·福建卷) 如图1－6，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2 2，点M在线段PQ上．(1)若OM＝5，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且∠MON＝30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．图1－6 20．(2021·湖北卷) 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5 3，b＝5，求sinB sin C的值．21．(2021·湖南卷) 在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.若2asin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π1222．(2021·江西卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin Asin B ＋sin Bsin C ＋cos 2B ＝1.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列； (2)若C ＝2π3，求ab的值．23．(2021·辽宁卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若asin Bcos C ＋csin Bcos A ＝12b ，且a>b ，则∠B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π624．(2021·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．2 3＋2 B.3＋1 C ．2 3－2 D.3－125．(2021·山东卷) △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )A ．2 3B ．2 C. 2 D ．126．(2021·陕西卷) 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的外形为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定27． (2021·天津卷) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知bsin A ＝3csin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin2B －π3的值．28． (2021·四川卷) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B)cos B －sin(A －B)sin(A ＋C)＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝ 4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．【随堂巩固】1．在△ABC 中，A ，B ，C 为内角，且sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形答案：D2．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3 C.π2D.3π43．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4D.π34．在△ABC 中，A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c 且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则B 的值为( ) A.π6B. π3C.2π3D.5π65．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3b sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.12B.32 C ．1D.346．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A.14B.34C.24 D.237．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝6cos A ·sin C ，则b 的值为________．8．在锐角△ABC 中，a ， b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2c sin A . (1)求角C 的度数；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．9．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在锐角△ABC 中，若f (A )＝1，AB →·AC →＝2，求△ABC 的面积．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2b cos C＝2a－c，(1)求B；(2)若△ABC 的面积为3，求b的取值范围．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m ∥n.(1)求角A的大小；(2)若a ＝4，求△ABC面积的最大值．。

2021高考一轮数学(理)第4章第6节正弦定理、余弦定理

第六节正弦定理、余弦定理[最新考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则b2＝c2＋a2－2ca cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝2R.cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab2.三角形常用面积公式(1)S＝12a·h a(h a表示边a上的高)；(2)S＝12ab sin C＝12ac sin_B＝12bc sin_A；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．[常用结论]1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．2．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．3．内角和公式的变形(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C.4．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则ABAC＝BD DC.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)×二、教材改编1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝π6，B＝π4，a＝1，则b＝()A．2B．1C. 3D.2D[由asin A＝bsin B得b＝a sin Bsin A＝sinπ4sinπ6＝22×2＝ 2.]2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有() A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定B[∵b sin A＝24sin 45°＝122，∴122＜18＜24，即b sin A＜a＜b.∴此三角形有两解．]3．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．23[因为23sin 60°＝4sin B，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC ＝12×2×23＝2 3.]考点1利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及asin A＝bsin B＝csin C，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理asin A＝bsin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由asin A＝csin C可求出c，而通过asin A＝bsin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C.①求A ；②若2a ＋b ＝2c ，求sin C. (1)A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴b c ＝6.故选A.](2)[解] ①由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.②由①知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sinC，即62＋32cos C＋12sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝2 2，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝6＋24.解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________．3π4[∵b sin A＋a cos B＝0，∴asin A＝b－cos B.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝3π4.]2．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72，则BC ＝________． 9 [设BD ＝DC ＝x ，∠ADC ＝α，∠ADB ＝π－α，在△ADC 中，72＝x 2＋(72)2－2x ×72cos α，① 在△ABD 中，42＝x 2＋(72)2－2x ×72cos(π－α)，② ①＋②得x ＝92， ∴BC ＝9.]3．(2019·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．[解] (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋（a ＋2）2－（a ＋4）22a （a ＋2），即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ，所以CD ＝ab sin ∠ACB c ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314. 法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB边上的高CD＝153 14.考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[解] (1)由已知条件可得tan A ＝－3，A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，在△ABC 中，由余弦定理得28＝4＋c 2－4c cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，或c ＝4.(2)法一：如图，由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6，故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1，又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3. 法二：由余弦定理得cos C ＝27，在Rt △ACD 中，cos C ＝ACCD ，所以CD ＝7，所以AD ＝3，DB ＝CD ＝7，所以S △ABD ＝S △ACD ＝12×2×7×sin C ＝7×37＝ 3.法三：∠BAD ＝π6，由余弦定理得cos C ＝27，所以CD ＝7，所以AD ＝3，所以S △ABD ＝12×4×3×sin ∠DAB ＝ 3.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为____________．63[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos π3，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×43×23×sinπ3＝6 3.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos π3，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝6 3.]2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cos B.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B，故2sin A cos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B. (2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B. 又B ，C ∈(0，π)．所以C ＝π2±B. 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4. 综上，A ＝π2或A ＝π4.考点3 判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形．]在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin Asin B＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形C[因为sin Asin B＝ac，所以ab＝ac.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3.所以△ABC是等边三角形．]2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asin B＋bsin A＝2c，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形C[因为asin B＋bsin A＝2c，所以由正弦定理可得sin Asin B＋sin Bsin A＝2sin C，而sin A sin B＋sin Bsin A≥2sin Asin B·sin Bsin A＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号．所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.又因为sin A＝sin B，所以A＝B.故三角形为等腰直角三角形．故选C.]。

全国通用近年高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课时达标21正弦定理和余弦定理(2021年整

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课时达标第21讲正弦定理和余弦定理[解密考纲］本考点考查利用正弦定理和余弦定理求解三角形、判断三角形的形状、求三角形的面积等，三种形式均有呈现．一般排在选择题、填空题的中间位置或解答题靠前的位置，题目难度较易或中等．一、选择题1．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a,b，c.若a＝1，b＝3,A＝错误!，则B＝( B) A．错误!B．错误!或错误!C．错误!或错误!D．错误!解析根据正弦定理错误!＝错误!,得错误!＝错误!，∴sin B＝错误!，∴B＝错误!或错误!.2．在△ABC中,若AB＝2，AC2＋BC2＝8,则△ABC面积的最大值为( C）A．错误!B．2C．错误!D．3解析∵AC2＋BC2≥2AC·BC,∴AC·BC≤4.∵cos C＝错误!，∴cos C≥错误!,∴0°<C≤60°.∵S＝错误!AC·BC·s in C，∴由不等式的性质可知当AC＝BC＝2时，面积S有最大值,S max＝错误!×2×2×错误!＝错误!。

故选C．3．在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝105°，BC＝错误!，则边长AC为（B）A．错误!－1 B．1C．2 D．错误!＋1解析根据题意有∠B＝180°－105°－45°＝30°，根据正弦定理错误!＝错误!，得AC＝错误!＝1.故选B．4．在△ABC中，AC＝7,BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( B）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析设AC＝b，BC＝a，AB＝c，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得7＝4＋c2－2c，解得c＝3或c＝－1，∵错误!〉2，∴三角形仅有一解，∴c＝3.设BC边上的高为h,则h＝c sin B ＝错误!.5．钝角三角形ABC的面积是错误!，AB＝1，BC＝错误!，则AC＝( B）A．5 B． 5C．2 D．1解析S＝错误!AB·BC sin B＝错误!×1×错误!sin B＝错误!，∴sin B＝错误!，∴B＝错误!或错误!。

高考数学一轮总复习教学课件第四章三角函数、解三角形第一课时余弦定理和正弦定理

,

= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2

a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;

2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,

2
即 cos A-cos A+=0,

sin B=2× = ,

2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,

2

2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+

综上,b= ,c=
+

.

或 c=
-

(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×

=

=

.

- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.

解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=

2sin Acos A=2×

(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形

2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题4-6 正弦定理和余弦定理【含答案】

无解
知识点二三角函数关系和射影定理
1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.
∴AB＝4 .
【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧
1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。
2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数。
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝ a.
由正弦定理得a＝＝＝＋ .
由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.
由(1)知A＋C＝120°，
所以30°<C<90°，故 <a<2，从而 <S△ABC< .
因此，△ABC面积的取值范围是。
【方法技巧】
1.求三角形面积的方法
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围。
【解析】(1)由题设及正弦定理得
sinAsin ＝sinBsinA.
因为sinA≠0，所以sin ＝sinB.
由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，故cos ＝2sin cos .
因为cos ≠0，故sin ＝，因此B＝60°.

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：正弦定理、余弦定理

§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝bsinB ＝c sinC ＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R；(3)a ∶b ∶c＝sin A ∶sin B ∶sin Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C2；cos A ＋B 2＝sin C 2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .(6)三角形中的面积S ＝12(a ＋b ＋思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .(√)(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．(×)教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.2．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为4，a ＝2，B ＝30°，则c 等于()A ．8B ．4C ．833D ．433答案A解析由S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2c ×12＝4，得c ＝8.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，b ＝2，c ＝2，则C ＝.答案45°或135°解析由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝2sin 30°2＝22，因为c >b ，B ＝30°，所以C ＝45°或C ＝135°.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A1＋sin A＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；[切入点：二倍角公式化简](2)求a 2＋b 2c2的最小值．[关键点：找到角B 与角C ，A 的关系]思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．跟踪训练1(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝2531，求△ABC的周长．(1)证明方法一由sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理asin A＝bsin B＝csin C可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*)．由余弦定理可得ac cos B＝a2＋c2－b2，2ab cos C＝a2＋b2－c2，22bc cos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形的形状判断例2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案D解析因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，c －a 2c ＝sin 2B2，则△ABC 的形状为()A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B2，所以c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝a c .方法一由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＝ac ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cos B ＝sin A sin C，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为△ABC 的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．延伸探究将本例(2)中的条件“c －a 2c＝sin 2B 2”改为“sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解因为sin A sin B ＝a c ，所以由正弦定理得a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3(2022·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4a ＝5c ，cos C ＝35.(1)求sin A 的值；(2)若b ＝11，求△ABC 的面积．解(1)由正弦定理a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a ·sin Cc.因为cos C ＝35，所以sin C ＝45，又a c ＝54，所以sin A ＝5sin C 4＝55(2)由(1)知sin A ＝55，因为a ＝5c 4<c ，所以0<A <π2，所以cos A ＝255，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝55×35＋45×255＝11525.因为b sin B ＝csin C，即1111525＝c 45，所以c ＝45，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×11×45×55＝22.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4(2023·厦门模拟)如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，b (1＋cos C )＝3c sin ∠ABC 且△ABC 的外接圆面积为49π3.(1)求边c 的长；(2)若a ＝5，延长CB 至M ，使得cos ∠AMC ＝217，求BM .解(1)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意πR 2＝49π3，解得R ＝733.由题意及正弦定理可得sin ∠ABC (1＋cos C )＝3sin C sin ∠ABC ，因为sin ∠ABC ≠0，所以1＋cos C ＝3sin C ，即1，因为0<C <π，所以C －π6∈－π6，C －π6＝π6，即C ＝π3.故c ＝2R sin C ＝2×733×32＝7.(2)因为a ＝5，c ＝7，C ＝π3，故cos C ＝12＝25＋b 2－492×5×b ，得b 2－5b －24＝0，解得b ＝8(b ＝－3舍去)．在△ABC 中，由余弦定理可得cos ∠ABC ＝52＋72－822×5×7＝17，所以sin ∠ABC ＝437.由cos ∠AMC ＝217得sin ∠AMC ＝277.故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC)＝sin∠ABC cos∠AMC－cos∠ABC sin∠AMC＝107 49，在△ABM中，由正弦定理可得BMsin∠BAM＝ABsin∠AMB，则BM＝7277×10749＝5.思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形B．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形C．若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC一定是等边三角形D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形答案BC解析对于A，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若b cos C＋c cos B＝b，则由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；对于C，若acos A＝bcos B＝ccos C，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．(2)在①b2＋2ac＝a2＋c2；②cos B＝b cos A；③sin B＋cos B＝2这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A＝π3，b＝2，求△ABC的面积．解若选①，则由b2＋2ac＝a2＋c2，得2ac＝a2＋c2－b2.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选②，因为cos B ＝b cos A ，A ＝π3，b ＝2，所以cos B ＝b cos A ＝2cos π3＝22.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选③，则由sin B ＋cos B ＝2，得2sin ＝2，所以 1.因为B ∈(0，π)，所以B ＋π4∈所以B ＋π4＝π2，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在①c (sin A －sin C )＝(a －b )(sin A ＋sin B )；②2b cos A ＋a ＝2c ；③233ac sin B ＝a 2＋c 2－b 2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．①若，求角B 的大小；②求sin A ＋sin C 的取值范围；③如图所示，当sin A ＋sin C 取得最大值时，若在△ABC 所在平面内取一点D (D 与B 在AC 两侧)，使得线段DC ＝2，DA ＝1，求△BCD 面积的最大值．解①若选①，因为c (sin A －sin C )＝(a －b )(sin A ＋sin B )，由正弦定理得c (a －c )＝(a －b )(a ＋b )，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.若选②，因为2b cos A ＋a ＝2c ，由余弦定理得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ＝2c ，化简得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.若选③，因为233ac sin B ＝a 2＋c 2－b 2，由余弦定理得233ac sin B ＝2ac cos B ，化简得tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.②由①得，A ＋C ＝2π3，则0<A <2π3，sin A ＋sin C ＝sin A ＋＝32sin A ＋32cos A ＝3sin 又π6<A ＋π6<5π6，所以12<sin 1，则sin A ＋sin C ，3.③当sin A ＋sin C 取得最大值时，A ＋π6＝π2，解得A ＝π3，又B ＝π3，所以△ABC 为等边三角形，令∠ACD ＝θ，∠ADC ＝α，AB ＝AC ＝BC ＝a ，则由正弦定理可得a sin α＝1sin θ，所以sin α＝a sin θ.又由余弦定理得，a 2＝22＋12－2×2×1×cos α，所以a 2cos 2θ＝a 2－a 2sin 2θ＝cos 2α－4cos α＋4，所以a cos θ＝2－cos α.S △BCD ＝12×a ×＝32a cos θ＋12a sin θ＝32(2－cos α)＋12sin α＝3＋≤3＋1，当且仅当α＝∠ADC ＝5π6时等号成立，所以△BCD 面积的最大值为3＋1.课时精练1．在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于()A.35B.31C ．6D ．5答案B解析因为sin A ＝6sin B ，则由正弦定理得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×6×1×12，解得c ＝31.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(b ＋c )sin C ，a ＝7，则△ABC 外接圆的直径为()A ．14B ．7C.733D.1433答案D 解析已知(a ＋b )(sin A －sin B )＝(b ＋c )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(b ＋c )c ，化简得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc＝－12，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，所以sin A ＝sin2π3＝32，设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得2R ＝asin A ＝732＝1433，所以△ABC 外接圆的直径为1433.3．(2022·北京模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若3a sin B ＝b cos A ，且b ＝23，c ＝2，则a 的值为()A ．27B ．2C ．23－2D ．1答案B解析由已知及正弦定理得，3sin A sin B ＝sin B cos A 且sin B ≠0，可得tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6，又b ＝23，c ＝2，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16－12＝4，解得a ＝2.4．(2023·枣庄模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于()A.2393B.2633C.833D ．23答案A解析由三角形的面积公式可得S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，解得c ＝4，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，设△ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2r ，所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2r (sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C＝2r ＝asin A ＝1332＝2393.5．(2023·马鞍山模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋(2－2)sin B sin C ，2sin A －2sin B ＝0，则sin C 等于()A.12B.32C.6－24 D.6＋24答案C解析在△ABC 中，由(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋(2－2)sin B sin C 及正弦定理得(b ＋c )2＝a 2＋(2－2)bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－22，而0°<A <180°，解得A ＝135°，由2sin A －2sin B ＝0得sin B ＝22sin A ＝12，显然0°<B <90°，则B ＝30°，C ＝15°，所以sin C ＝sin(60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝6－24.6．(2023·衡阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos B (a cos C ＋c cos A )＝b ，lg sin C ＝12lg 3－lg 2，则△ABC 的形状为()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案C解析∵2cos B (a cos C ＋c cos A )＝b ，∴根据正弦定理得，2cos B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin B ，∴2cos B sin(A ＋C )＝sin B ，∴2cos B sin(π－B )＝sin B ，即2cos B sin B ＝sin B ，∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵lg sin C ＝12lg 3－lg 2，∴lg sin C ＝lg32，∴sin C ＝32，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3或2π3，∵B ＝π3，∴C ≠2π3，∴C ＝π3，∴A ＝B ＝C ＝π3，即△ABC 为等边三角形．7．(2022·全国甲卷)已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝.答案3－1解析设BD ＝k (k >0)，则CD ＝2k .根据题意作出大致图形，如图．在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ＝22＋k 2－2×2k k 2＋2k ＋4.在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ＝22＋(2k )2－2×2×2k ·12＝4k 2－4k ＋4，则AC 2AB 2＝4k 2－4k ＋4k 2＋2k ＋4＝4(k 2＋2k ＋4)－12k －12k 2＋2k ＋4＝4－12(k ＋1)k 2＋2k ＋4＝4－12(k ＋1)(k ＋1)2＋3＝4－12k ＋1＋3k ＋1.∵k ＋1＋3k ＋1≥23(当且仅当k ＋1＝3k ＋1，即k ＝3－1时等号成立)，∴AC 2AB 2≥4－1223＝4－23＝(3－1)2，∴当ACAB取得最小值3－1时，BD ＝k ＝3－1.8．(2023·宜春模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为．答案233解析∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，sin B sin C >0，结合正弦定理可得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，∴sin A ＝12，∵b 2＋c 2－a 2＝8，结合余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得2bc cos A ＝8，∴A 为锐角，且cos A ＝32，从而求得bc ＝833，∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解(1)由正弦定理，得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∴sin A ＝2sin A cos B ，又∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∵B 为三角形内角，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理得c ＝2a ，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝9，即3a 2＝9，∴a ＝3，c ＝23，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×3×23×32＝332.10．(2023·湖州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知3b a sin B .(1)求角A 的大小；(2)若b ，a ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状．解(1)∵3b a sin B ，由诱导公式得3b cos A ＝a sin B ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin A sin B ，∵sin B ≠0，∴3cos A ＝sin A ，即tan A ＝3，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵b ，a ，c 成等比数列，∴a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝12，即b 2＋c 2－bc ＝bc ，∴(b －c )2＝0，∴b ＝c ，又由(1)知A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．11．(多选)对于△ABC ，有如下判断，其中正确的是()A ．若cos A ＝cosB ，则△ABC 为等腰三角形B ．若A >B ，则sin A >sin BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形答案ABD解析对于A ，若cos A ＝cos B ，则A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ，若A >B ，则a >b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B＝2R ，得2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B 成立，故B 正确；对于C ，由余弦定理可得b ＝82＋102－2×8×10×12＝84，只有一解，故C 错误；对于D ，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则根据正弦定理得a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C为钝角，所以△ABC 是钝角三角形，故D 正确．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A sin B sin C ＝18，△ABC 的面积为2，则下列选项错误的是()A ．abc ＝162B ．若a ＝2，则A ＝π3C ．△ABC 外接圆的半径R ＝22D ≥32sin C 答案B解析由题可得12ab sin C ＝2，则sin C ＝4ab，代入sin A sin B sin C ＝18，得4sin A sin B ab ＝18，即R 2＝8，即R ＝22，C 正确；abc ＝8R 3sin A sin B sin C ＝1282×18＝162，A 正确；若a ＝2，则sin A ＝a 2R ＝242＝14，此时A ≠π3，B 错误；因为sin A >0，sin B >0，所以(sin A ＋sin B )2≥4sin A sin B ，所以(sin A ＋sin B )2(sin A sin B )2≥4sin A sin B ，由sin A sin B sin C ＝18，得4sin A sin B＝32sin C ，所以(sin A ＋sin B )2(sin A sin B )2≥32sin C ，即≥32sin C ，D 正确．13．(2023·嘉兴模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin A ＝3a cos C ，c ＝23，ab ＝8，则a ＋b 的值是．答案6解析∵c sin A ＝3a cos C ，根据正弦定理得sin C sin A ＝3sin A cos C ，∵sin A ≠0，故tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3，再由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，代入c ＝23，ab ＝8，得a ＋b ＝6.14．在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝72，那么BC ＝.答案9解析在△ABD 中，结合余弦定理得cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD，在△ACD 中，结合余弦定理得cos ∠ADC ＝CD 2＋AD 2－AC 22CD ·AD，由题意知BD ＝CD ，∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，所以BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD ＋CD 2＋AD 2－AC 22CD ·AD ＝0，2×72CD 2×72CD 0，解得CD ＝92，所以BC ＝9.15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝332，则下列命题正确的是()A ．△ABC 的周长为5＋7B ．△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足关系A ＋B ＝2C C ．△ABC 的外接圆半径为2213D ．△ABC 的中线CD 的长为192答案ABD解析因为△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t ，t >0，利用余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4t 2＋9t 2－7t 212t 2＝12，由于C ∈(0，π)，所以C ＝π3.对于A ，因为S △ABC ＝332，所以12ab sin C ＝12·2t ·3t ·32＝332，解得t ＝1.所以a ＝2，b ＝3，c ＝7，所以△ABC 的周长为5＋7，故A 正确；对于B ，因为C ＝π3，所以A ＋B ＝2π3，故A ＋B ＝2C ，故B 正确；对于C ，利用正弦定理c sin C ＝732＝2213＝2R ，解得R ＝213，所以△ABC 的外接圆半径为213，故C 错误；对于D ，如图所示，在△ABC 中，利用正弦定理732＝2sin A ，解得sin A ＝217，又a <c ，所以cos A ＝277，在△ACD 中，利用余弦定理CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos A ＝9＋74－2×3×72×277＝194，解得CD ＝192，故D 正确．16.如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a 2＋c 2＝b 2＋ac ，则B ＝.若线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，且BC ＝4，DE ＝ 6.则△BCE 的面积为．答案π323解析在△ABC 中，由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，而a 2＋c 2＝b 2＋ac ，∴cos B ＝12，又0<B <π，则B ＝π3，在△BCE 中，设∠CEB ＝θ，则CE sin π3＝BC sin θ，可得CE ＝23sin θ，又AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，则∠ECA ＝∠EAC ＝θ2，∴sin θ2＝DE CE ＝2sin θ2，可得cos θ2＝22，而0<θ<π，故θ2＝π4，即θ＝π2.∴CE ＝23，BE ＝2，故△BCE 的面积为12·CE ·BE ＝23.。

第7节正弦定理和余弦定理--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

二倍角公式得sin 2A=sin 2B,所以2A=2B,或2A+2B=π,即A=B,或A+B= π ,
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
题组三连线高考
7.(2023·全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
acos B-bcos A=c,且

A.
10

C= ,则
5
B=( C )
π
C= .
3
B)
(3)(2024·广东广州模拟)在△ABC中,点D在边BC上,AB= √6 ,CD=3,B=45°,
∠ADB=60°,则AC的长为
√19 .
解析由题意,作 AE⊥BD 交 BD 于 E,因为 AB=√6,CD=3,B=45°,∠ADB=60°,
所以 AE=sin 45°AB=√3,且∠ADC=120°,则
②-①得
5√2
1
2√2xy=5,xy= 4 ,所以 S△AOB=2xy·
sin
5
45°=8,
易知△AOB,△AOD,△DOC,△BOC 的面积相同,所以
5
S▱ABCD=4S△AOB=2.
6.(湘教版必修第二册习题1.6第10题改编)在下列条件下,判断△ABC的形
状.
(1)acos B=bcos A;(2)acos A=bcos B.
1.三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比.( × )
2.在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.( √ )
3.在△ABC的内角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.( × )
4.在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分而不必要条件.( √ )

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重庆市高考数学一轮专题：第21讲正弦定理和余弦定理（II）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共11题；共22分)
1. （2分）(2013·天津理) 在△ABC中，，则sin∠BAC=（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）在△ABC中，AB=AC，M为AC的中点，BM=，则△ABC面积的最大值是（）
A .
B . 2
C .
D . 3
3. （2分）(2018·临川模拟) 设，则“ 是第一象限角”是“ ”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要而不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
4. （2分） (2018高二下·驻马店期末) 的内角，，的对边分别为，，，且
，则为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高一下·巴音郭楞月考) 中，角、、所对的边长分别为、、，若，，，则此三角形解的个数为（）
A . 一解
B . 二解
C . 无解
D . 解的个数不确定
6. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，若
是和的等比中项，则（）
A . 1
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高二上·会宁期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac=3，且a=3bsinA，则△ABC的面积等于（）
A .
B .
C . 1
D .
8. （2分） (2019高二上·兰州期中) 在△ 中，分别为角的对边，已知，
，面积，则等于（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2017高二上·南阳月考) 在中，角的对边分别为，若，则此三角形外接圆的半径（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2017·菏泽模拟) 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2sinC=4sinA，cosB=
，则△ABC的面积为（）
A . 1
B .
C . 2
D .
11. （2分） (2017高一下·哈尔滨期末) 在中，角的对边满足，且，则的面积等于（）
A .
B . 4
C .
D . 8
二、填空题 (共4题；共4分)
12. （1分） (2017高二下·陕西期末) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=________．
13. （1分） (2016高二上·郑州期中) 已知△ABC中，a=2，∠A=60°，则△ABC的外接圆直径为________．
14. （1分）(2017·林芝模拟) 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若，b2﹣a2= ac，则cosB=________．
15. （1分）(2017·太原模拟) 已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为________．
三、解答题 (共8题；共85分)
16. （10分）在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b=， c=1，cosB=．
（1）求sinC的值；
（2）求△ABC的面积．
17. （10分） (2017高一下·宜昌期中) 已知函数
（1）求函数f（x）的对称中心和函数的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．
18. （10分） (2019高三上·德州期中) 如图，在四边形中，，，
，连接，．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积最大值．
19. （10分） (2017高三·银川月考) 在中，内角A，B，C所对的边分别为 .已知的面积为，
（1）
求和的值；
（2）
求cos(2A+ )的值。

20. （10分）(2020·兴平模拟) 在中，角，，的对边分别为，，，且
.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.
21. （10分） (2018高二下·凯里期末) 在中，角所对的边分别为，满足
.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积.
22. （15分） (2019高三上·广东月考) 在中，角所对的边分别为，
；
（1）证明：为等腰三角形；
（2）若为边上的点，，且，，求的值．23. （10分）tanα+ = ，则求tan2α+ + 的值．
参考答案一、单选题 (共11题；共22分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共8题；共85分) 16-1、
17-1、
17-2、
18-1、18-2、
19-1、19-2、
20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、
22-2、
23-1、。