北京市高一下学期期中数学试卷

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2022-2023学年北京市朝阳区高一下学期期中练习数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市朝阳区高一下学期期中练习数学试题一、单选题1．已知是第三象限角，那么是（）α2αA ．第二象限角B ．第三象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角【答案】D【分析】先写出的范围，再计算出的范围，分是奇数和偶数讨论即可求解.α2αk 【详解】因为是第三象限角，所以，α()3222k k k Z πππαπ+<<+∈则，()3224k k k Z παπππ+<<+∈当时，，此时是第二象限角，2k n =()322224n n k Z παπππ+<<+∈2α当时，，21k n =+()()()32121224n n k Z παπππ++<<++∈即，此时是第四象限角，()3722224n n k Z παπππ+<<+∈2α综上所述：是第三象限角，是第二或第四象限角，α2α故选：D.2．若点在角的终边上，则的值为55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭αsin αA B ．C ．D ．1212-【答案】D【详解】试题分析：因为，所以，故选D ．551(sin,cos )(,662ππ=sin α==【解析】任意角的三角函数值．3．sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为（）A ．B ．tan1.5sin1.5cos1.5>>sin1.5tan1.5cos1.5>>C ．D ．sin1.5cos1.5tan1.5>>tan1.5cos1.5sin1.5>>【答案】A【分析】根据角的范围，得到相应三角函数值的范围求解.【详解】解：因为，ππ1.532<<1sin1.51,0cos1.5,tan1.52<<<<>所以，tan1.5sin1.5cos1.5>>故选：A4．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧AB 和弦AB 所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则2π3此弧田的面积为（）A ．B ．C ．D ．43π43π-83π83π-【答案】A【分析】过点作，垂足为，求得，O OD AB ⊥D 1OD =AB =的面积，结合，即可求解.AOB 1AOB S S S =- 【详解】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，2π3如图所示，过点作，垂足为，O OD AB ⊥D可得，πcos13OD OA ==π2sin 3AB OA ==可得扇形的面积为，的面积为，2112π4π2233S =⨯⨯=AOB 112AOB S =⨯△所以此弧田的面积为14π3AOB S S S =-= 故选：A.5．已知tan a =2，则= （）1cos 2sin 2αα+A ．2B ．C ．-2D ．1212-【答案】B【解析】利用二倍角公式，转化为，再利用商数关系求解.1cos 2sin 2αα+2cos sin cos ααα=【详解】因为tan a =2，所以，1cos 2sin 2αα+，212cos 12sin cos ααα+-=，2cos sin cos ααα=11tan 2α==故选：B6．若向量满足：则,a b ()()1,,2,a ab a a b b =+⊥+⊥ b =A ．2BC ．1D 【答案】B【详解】试题分析：由题意易知：即，，即.()0{(2)0a b a a b b +⋅=+⋅=210{20b a b a b +⋅=⋅+= 222b a b ∴=-⋅= b = 故选B.【解析】向量的数量积的应用.7．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且ABC A B C a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么是（）sin 2sin cos A B C =ABC A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合()()3a b c b c a bc +++-=A sin 2sin cos A B C =正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.【详解】由，得，()()3a b c b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=整理得，则，222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π3A =又由及正弦定理，得，化简得，sin 2sin cos A B C =22222a b c a b ab +-=⋅b c =所以为等边三角形，ABC 故选：B8．若△ABC 为钝角三角形，且，，则边c 的长度可以为（）2a =3b =A ．2.5B ．3C ．4D 【答案】C【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论为最长边和为最长边两c b 种情况，即可得出结论.【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，因此有两种情况：若为最长边，由，c 2222490a b c c +-=+-<可得，又，c >235a b c +=+=>，可得C 正确；5c <<若为最长边，由，b 222249c a c b +=+<=可得，c <1c b a >-=所以，此时没有选项符合.1c <<故选：C9．2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分C ,A B C 别为（单位：），且，则大跳台最高高度（）45,30,60AB = m 30AOB ∠=OC =A ．B ．C ．D ．45m 60m【答案】C【分析】分别在和中，求得OB ，OA ，然后在中，利用余弦定理求解.BOC AOC AOB【详解】解：在中，，BOC tan 30OCOB == 在中，，AOC tan 45OCOA OC ==在中，由余弦定理得，AOB 2222cos AB OB OA OB OA AOB =+-⋅⋅∠即，2236003cos30OC OC OC =+-⋅⋅所以，23600OC =解得，60OC =故选：C10．已知函数的部分图象如图所示，则（）()()sin (0,2f x x ωϕωϕπ=+><A ．函数的最小正周期是()f x 2πB ．函数的图象关于直线对称π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2x π=-C ．函数在区间上单调递减()f x π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．函数在区间()f x 3π4π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】D【分析】通过函数图象先求解周期，从而可得值，代入最高点即可求解出值，从而得函数解析ωϕ式，再利用整体法计算函数的对称轴，函数的单调递减区间以及在区间π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 上的最大值，判断每个选项.3π4π43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【详解】由图可知，，得，故A 错误；5πππ41264T =-=πT =所以，因为，2π2πω==5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，得，5ππ22π,122k k ϕ⨯+=+∈Z π2π,3k k ϕ=-+∈Z因为，所以，所以，2πϕ<π3ϕ=-()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，ππsin 2sin 21212ππ36f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令，得，ππ2π,62x k k Z -=+∈ππ,32k x k =+∈Z 所以函数的对称轴为，π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ,32k x k =+∈Z所以不是函数的对称轴，B 错误；2x π=-π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3222,232k x k k Zπππππ+≤-≤+∈得，5π11πππ,1212k x k k Z +££+Î所以函数的单调递减区间为，()f x 5π11ππ,π1212k k k Zéùêú++Îêúëû所以函数在上单调递减，C 错误；()f x 5π11π,1212éùêúêúëû当时，，3π4π,43x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦π7π7π2,363x ⎛⎫⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以当时，函数的最大值为D 正确.73x π=sin 37π=故选：D二、填空题11．___________sin15cos15︒︒-=【答案】【分析】用辅助角公式求解即可.【详解】)sin15cos15sin15cos 45cos15sin 4545)30-=--== 故答案为：.12．已知向量，，则夹角的余弦值为_________．(4,3)a = 2(3,18)a b +=,a b 【答案】1665【分析】根据条件求出后，可得两向量的数量积与模，然后求夹角的余弦值b【详解】，，故(4,3)a = 2(3,18)a b +=(5,12)b =- 203616cos 51365a b a bθ⋅-+===⋅13．已知，，则__________．sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=()sin αβ+【答案】12-【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得，．22sin()1αβ++=1in()s 2αβ+=-［方法二］：利用方程思想直接解出，两式两边平方相加得，则．sin 1cos ,cos sin αβαβ=-=-1cos 2β=1sin 2α=又或，所以．cos sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩cos sin αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1in()s 2αβ+=-［方法三］：诱导公式＋二倍角公式由，可得，则或cos sin 0αβ+=3sin cos sin 2πβαα⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭322k πβπα=++．32()2k k πβππα⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭Z 若，代入得，即32()2k k πβπα=++∈Z sin cos 2sin 1αβα+==．2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k πααβπααα⎛⎫=+=++=-=-=-⎪⎝⎭若，代入得，与题设矛盾．2()2k k πβπα=--∈Z sin cos 0αβ+=综上所述，．1in()s 2αβ+=-［方法四］：平方关系＋诱导公式由，得．2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=1sin 2α=又，，即，则sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-⎛⎫===-=- ⎪-⎝⎭()2k k βαπ=-∈Z 22k απβ=-．从而．2()k k αβπα+=-∈Z 1sin()sin(2)sin 2k αβπαα+=-=-=-［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-，则或．sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=cos()0αβ-=sin()1αβ+=-若，则，即．cos()0αβ-=()2k k παβπ-=+∈Z ()2k k παβπ=++∈Z 当k 为偶数时，，由，得，又sin cos αβ=sin cos 1αβ+=1sin cos 2αβ==，所以．23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-当k 为奇数时，，得，这与已知矛盾．sin cos αβ=-sin cos 0αβ+=若，则．则，得sin()1αβ+=-2()2k k παβπ+=-∈Z sin sin 2cos 2k παπββ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，这与已知矛盾．sin cos 0αβ+=综上所述，．1in()s 2αβ+=-【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．14．的值为____________.()1tan 7(1tan 38)++【答案】2【分析】由变形求解.()tan 7tan 38tan 7381tan 7tan 38++=-⋅【详解】解：因为，()tan 7tan 38tan 7381tan 7tan 38++=-⋅所以，()()tan 7tan 38tan 7381tan 7tan 38+=+-⋅所以，()1tan 7(1tan 38)++，1tan 7tan 38tan 7tan 38=+++⋅ ，()()1tan 7381tan 7tan 38tan 7tan 38=++-⋅+⋅ ，2=故答案为：215．已知，，，若关于α的方程有两个不相π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭1sin tan cos βαβ-=sin sin 0m αβ++=等的实数根，则实数m 的取值范围是____________.【答案】918m -<<-【分析】由，结合两角和的正弦公式得到，再根据，1sin tan cos βαβ-=()sin cos αβα+=π02,α⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，得到，将，转化为，利用数形结合法π02,β⎛∈⎫⎪⎝⎭π22βα=-sin sin 0m αβ++=22sin sin 1m αα=--求解.【详解】解：由，得，1sin tan cos βαβ-=sin 1sin cos cos αβαβ-=所以，即，sin cos cos sin cos αβαβα+=()sin cos αβα+=因为，，π02,α⎛∈⎫⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭所以或，π2αβα+=-π2αβα+=+解得或（舍去），π22βα=-π2β=则，即为，sin sin 0m αβ++=πsin sin 202m αα⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭即，即，cos 2sin 0m αα++=212sin sin 0m αα-++=所以，22sin sin 1m αα=--因为，，π42βα=-π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，则，π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin t α⎛=∈ ⎝在同一坐标系中作出的图象，2,21y m y t t ==--因为关于α的方程有两个不相等的实数根，sin sin 0m αβ++=由图象知：.918m -<<-三、解答题16．已知.22sin(3)cos(5)()3cos sin 22f παπααππαα-+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）化简，并求的值；()f α6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）若，求的值；tan 3α=()f α（3）若，，求的值.12()25f α=(0,)απ∈sin cos αα-【答案】（1），2）；（3）.sin cos αα-×310-75【分析】（1）利用诱导公式化简表达式，并求得的值.()f α6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）利用齐次式的方法，将的表达式化为只含的形式，由此求得的值.()f αtan α()f α（3）利用同角三角函数的基本关系式，先求得的值，根据的符号，求2(sin cos )αα-sin cos αα-得的值.sin cos αα-【详解】（1）由，22sin (cos )()sin cos sin cos ααf ααααα×-==-×+所以sin cos 666f πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）；222sin cos tan 3()sin cos sin cos tan 110αααf αααααα×=-×=-=-=-++（3）由得，，12()25f α=12sin cos 025αα×=-<又，所以，所以，(0,)απ∈,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin cos 0αα->又，21249(sin cos )12sin cos 122525αααα-=-=+⨯=所以.7sin cos 5αα-=【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简，考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．已知，，，，求的值.()5cos 13αβ-=-4cos 5β=π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫⎪⎝⎭()cos 2αβ-【答案】1665【分析】根据题意，分别求得和，结合，即3sin 5β=()12sin 13αβ-=cos()cos[()2]αβαββ--=-可求解.【详解】由且，可得，4cos 5β=π02,β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭3sin 5β==又由且，可得，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π02,β⎛∈⎫⎪⎝⎭()0,παβ-∈因为，可得，()5cos 13αβ-=-()12sin 13αβ-==又因为cos()cos[()]cos()cos sin()2sin ββαβαβαβαββ---=--=+.541231613513565=-⨯+⨯=故答案为：.166518．如图，在四边形中，，，，且.OBCD 2CD BO = 2OA AD = 90D Ð=°1BO AD ==（Ⅰ）用表示；,OA OB CB （Ⅱ）点在线段上，且，求的值.P AB 3AB AP =cos PCB ∠【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）CB 32OA OB =--cos PCB ∠=【分析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可．()Ⅱ以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得().代入各值即可．55,cos 33CP CB CP AP AC PCB CP CB⋅⎛⎫=-=--∠= ⎪⎝⎭⋅，【详解】（Ⅰ）因为，2OA AD =所以 .因为，32DO AO=2CD BO = 所以=++CB CD DO OB 322BO AO OB=++32OA OB=--（Ⅱ）因为，2CD BO = 所以 .因为，OB CD 2OA AD = 所以点共线.,,O A D 因为，90D ∠=︒所以.90O ∠=︒以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.O OA x 因为，，，1BO AD == 2CD BO = 2OA AD = 所以 .()()()2,0,0,1,3,2A B C 所以，.()1,2AC =()2,1AB =-因为点在线段上，且，P AB 3AB AP =所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 所以.55,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭因为，()3,1CB =--所以.cos CP CB PCB CP CB ⋅∠===⋅ 【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题．19．在△ABC 中，a ＝3，B ＝2A ．b =（Ⅰ）求cosA 的值；（Ⅱ）试比较∠B 与∠C 的大小．【答案】（Ⅰ；（Ⅱ）∠B ＜∠C【分析】（Ⅰ）由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可求得cosA 的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinA ，利用二倍角公式可求cosB ，进而可求sinB 的值，根据三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosC 的值，由于cosB ＞cosC ，根据余弦函数的图象和性质可求∠B ＜∠C ．【详解】（Ⅰ）∵a ＝3，B ＝2A ．b =∴由正弦定理可得：，a bbsinA sinB 2sinAcosA ==∴cosAb 2a ===（Ⅱ）∵A ∈（0，π），可得：sinA∵B ＝2A ，==∴cosB ＝cos2A＝2cos 2A﹣1，∴sinB，13===∵A+B+C ＝π，∴cosC ＝﹣cos （A+B ）＝sinAsinB﹣cosAcosB∴cosB ＞cosC ，=又∵函数y ＝cosx 在（0，π）上单调递减，且B ，C ∈（0，π），∴∠B ＜∠C【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20．已知数的相邻两对称轴间的距离为.2()2sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π(1)求的解析式；()f x (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），()f x 6π12得到函数的图象，当时，求函数的值域；()y g x =,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()g x (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，()g x 4()3g x =4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12,,n x x x 若，试求与的值.m =1231222n n x x x x x -+++++ n m 【答案】(1)()2sin 2f x x =(2)[-(3)205,3n m π==【分析】（1）先整理化简得，利用周期求得，即可得到；()2sin f x x ω=2ω=()2sin 2f x x =（2）利用图像变换得到，用换元法求出函数的值域；()sin()243g x x π=-()g x （3）由方程，得到，借助于正弦函数的图象，求出与的值.4()3g x =2sin(4)33x π-=sin y x =n m【详解】（1）由题意，函数21()2sin ()1626f x x x ππωω⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦cos()2sin()2sin 6666x x x xππππωωωω=+-+=+-=因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.()f x 2πT π=2ω=故()2sin 2f x x=（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.()f x 6π2sin(2)3y x π=-再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象.12()2sin(4)3y g x x π==-当时，，,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦当时，函数取得最小值，最小值为，432x ππ-=-()g x 2-当时，函数433x ππ-=()g x故函数的值域.()g x ⎡-⎣（3）由方程，即，即，4()3g x =42sin(4)33x π-=2sin(4)33x π-=因为，可得，4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦设，其中，即，结合正弦函数的图象，43x πθ=-,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin 3θ=sin y x =可得方程在区间有5个解，即， 2sin 3θ=,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5n =其中，122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-=解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以.m =()()()()1212345233445223220x x x x x x x x x x x x x π=++++++++++++=综上，2053n m π==，【点睛】（1）三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于或sin y x =的性质解题；cos y x =（2）求y =A sin(ωx +φ)+B 的值域通常用换元法；21．已知函数（，，）的部分图像如图所示，点为()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ<,,B D F 与轴的交点，点分别为的最高点和最低点，若将其图像向右平移个单位后得到()f x x ,C E ()f x 12函数的图像，而函数的最小正周期为4，且在处取得最小值．()g x ()g x 0x =（1）求参数和的值；ωϕ（2）若点为函数的图像上的动点，当点在之间（包含）运动时，恒P ()f x P ,C E ,C E 1BP PF ⋅≥成立，求实数的取值范围；A （3）若，是函数图像上的两点，满足与共线，且的中()11,M x y ()22,N x y ()f x OM ON + ODMN 点不在函数的图像上，求的值．()f x ()21cos 2x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1），；（2）；（3）．2πω=4πϕ=-(1-【分析】（1）根据题意求出表达式，根据题中相关条件即可求得和的值；（2）利用()g x ()g x ωϕ向量基底法的运算法则得出，将恒成立转化为，利用24BP PF DP⋅=- 1BP PF ⋅≥ ()min1BP PF ⋅≥数形结合的手段求出其最小值代入计算即可；（3）由与共线得出，结合表OM ON + OD120y y +=达式计算得到或，，代入检验舍去，的情况，1214x x k+=+2124x x k-=+Z k ∈1214x x k+=+Z k ∈再代入所求式计算即可.【详解】（1）依题意得，，()11sin 22g x f x A x ωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵函数的最小正周期为4，()g x ∴，则．2242T πππω===()sin 24g x A x ππϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又∵函数在处取得最小值，()g x 0x =∴，，242k ππϕπ-=-+Z k ∈即，，24k πϕπ=-+Z k ∈又∵，∴取，得．ϕπ<0k =4πϕ=-（2），()()2224BP PF DP DB DF DP DB DP DP⋅=-⋅-=-=-由图像易知，当点与点或点重合时，取到最大值取到最小值P C E DPBP PF ⋅，∵恒成立，∴，解得23A -231A -≥1BP PF ⋅≥0A <≤（3）由与共线易得，的中点在轴上，OM ON + ODMN x ∴，即，120y y +=12sin sin 2424x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则或，，1222424x x k πππππ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭1222424x x k ππππππ⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭Z k ∈化简得或，．当时，的中点，1214x x k +=+2124x x k -=+Z k ∈1214x x k +=+MN 12,02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在函数的图像上，不符合题意，舍去，Z k ∈()f x ∴，，2124x x k-=+Z k ∈则.()()()21cos cos 24cos 2122x x k k ππππ⎡⎤⎡⎤-=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

北京高一下学期期中考试数学试卷

北京市第六十六高一下学期期中考试数学试卷—、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1.若直线的倾斜角为120︒，则直线的斜率为（） A ．3 B ．3- C ．33 D ．33- 2.不等式(2)(1)0x x --<的解集是（）A. {}12x x << B. {}12x x x <>或 C. {}1x x < D. {}2x x > 3.已知等差数列2,7,,则5a = （）A. 22B. 15C. 7D. 24．在ABC ∆中，,,A B C 所对边分别为,,a b c ，则下列各式中一定成立的是（）A.cos cos a b A B =B. sin sin a Ab B = C. sin cos a B b A = D. 2cos a R A =5．在等比数列{}n a ，37232a a ==，，则q =（）(A) 2 (B) －2(C) ±2 (D) 46．等差数列{}n a 中，若24568450aa a a a ++++=，则28a a +＝（）(A) 180 (B) 75 (C) 45 (D) 30 7. 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列结论一定正确的是（） A ． a 2＞b 2 B ． C ． 2a ＞2bD ． ac 2＞bc 28．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且=cosA+cosB ，则△ABC 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．不能确定9.若1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（） A.2 B. 1 C. -1 D. 1210．在R 上定义运算a c ad bcb d=-，若32012x x x<-成立，则x 的取值范围是A.(4,1)-B.(1,4)-C.(,4)(1,)-∞-+∞D.(,1)(4,)-∞-+∞二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 11．在△ABC 中，若sinA=，∠C=150°，BC=1，则AB= ．12.已知数列{a n }满足a n =2a n ﹣1+1，且a 3=5，则a 1= 13.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B=14.设y x z +=2式中变量y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则z 的最大值为．15.若直线022=++y ax 与直线023=--y x 垂直，则a=16．设有数列{a n }，若存在M ＞0，使得对一切自然数n ，都有|a n |＜M 成立，则称数列{a n }有界，下列结论中：①数列{a n }中，a n =，则数列{a n }有界； ②等差数列一定不会有界；③若等比数列{a n }的公比满足0＜q ＜1，则{a n }有界；④等比数列{a n }的公比满足0＜q ＜1，前n 项和记为S n ，则{S n }有界．其中一定正确的结论有．三、解答题（共4道题，共36分）17. （本小题满分7分）在等差数列{}n a 中，已知533a =，7153a =，求公差d 和前n 项和n S . 18．（本小题满分8分）已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0 ．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 关于原点O 对称的直线方程。

2022-2023学年北京市丰台区学高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市丰台区学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．＝（）3i1i ++A ．1＋2i B ．1－2i C ．2＋i D ．2－i【答案】D【分析】由题意结合复数的除法运算即可得解.【详解】由题意，()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2+-+-===-++-故选：D.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算法则、细心计算是解题关键，属于基础题.2．在复平面内，复数对应的点如图所示，则复数（）z Z z =A ．B ．C ．D ．2i +2i -12i +12i-【答案】B【分析】根据复数在复平面表示的方法，结合共轭复数的定义进行求解即可.【详解】在复平面内，复数对应的点如图所示，所以，因此，z Z 2i z =+2i z =-故选：B 3．已知向量，，且，则（）(),4a m =()3,2b =-//a bm =A ．6B ．C ．D ．6-8383-【答案】B【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程求出的值.m 【详解】解：向量，，且，(),4a m =()3,2b =-//a b，2430m ∴--⨯=解得.6m =-故选：B.【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题目.4．已知向量， .若向量与垂直，则（）(1,2)a =- (,1)b m = a b + a m =A ．6B ．3C ．7D ．﹣14【答案】C【分析】由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得实数的值．m 【详解】解：已知向量，，若向量与垂直，(1,2)a =- (,1)b m = a b + a 则，求得，()25(2)0a b a aa b m +=+=+-+=7m =故选：C ．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．5．函数的最小正周期是sin 3cos3y x x =+A ．B ．C ．D ．6π2π23π3π【答案】C【解析】逆用两角和的正弦公式，把函数的解析式化为正弦型函数解式，利用最小正周期公式求出最小正周期.【详解】,sin 3cos33))4y x x y x x x π=+⇒==+，故本题选C.223T ππω==【点睛】本题考查了逆用两角和的正弦公式、以及最小正周期公式，熟练掌握公式的变形是解题的关键.6．已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（）A ．20B ．47C ．60D ．94【答案】D【分析】利用长方体的表面积公式即可求解.【详解】长方体的长、宽、高分别为5，4，3,所以该长方体的表面积为(545343)294⨯+⨯+⨯⨯=故选：D7．在中，，则的形状为ABC cos b c A =⋅ABC A ．等边三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】由正弦定理将边化角，再利用正弦的和角公式求解.【详解】由正弦定理得： sin sin cos ,B C A =又因为：()()sin sin sin ,B AC A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦所以 sin cos cos sin sin cos ,A C A C C A +=所以 sin cos 0,A C =又因为 0,0,A C ππ<<<<所以.2C π=故选C.【点睛】本题考查正弦定理的应用即边角互化，和差角公式，属于中档题.8．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则a b （）2a b -=A B C ．D ．20【答案】C【分析】根据图可得的坐标，然后可算出答案.,a b 【详解】由图可得，，所以，()()3,0,2,2a b ==()24,2a b -=-所以，2a = 故选：C 9．在中，，则“”是“是钝角三角形”的（）ABC 3A π=1sin 2B <ABCA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】在中，由得：或，而，则，因此得ABC 1sin 2B <π06B <<5ππ6B <<3A π=2π03B <<，π06B <<于是得，是钝角三角形，π2πC A B =-->ABC 当是钝角三角形时，取钝角，，ABC 7π12B =7π5ππ1sin sin sin sin 121232B ==>=>即是钝角三角形不能推出，ABC 1sin 2B <所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件.1sin 2B <ABC 故选：A10．向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则＝（）,,a b c(),c a b R λμλμ=+∈ λμA ．－8B ．－4C ．4D ．2【答案】C【详解】试题分析：以向量的公共点为坐标原点,,a b建立如图以直角坐标系, 可得,()()()1,1,6,2,1,3a b c =-==--,(),c a b R λμλμ=+∈ 1632λμλμ-=-+⎧∴⎨-=+⎩解之得且,因此，.2λ=-12μ=-2412λμ-==-故选：C ．【解析】1、向量的几何运算；2、向量的坐标运算．11．在直角坐标系中，已知两点，，则（）xOy ()cos110,sin110A (),sin 5500cos B OA OB ⋅=A ．BCD ．112【答案】A【分析】先求向量的坐标，再由数量积的坐标表示和两角差的余弦公式求值.,OA OB【详解】因为，，()cos110,sin110A (),sin 5500cos B所以，，()cos110,sin110OA =()cos50,sin 50OB = 所以，1cos110cos50sin110sin50=cos602OA OB ⋅=+=故选：A.12．函数是（）()sin 2tan f x x x =⋅A ．奇函数，且最小值为B ．奇函数，且最大值为02C ．偶函数，且最小值为D ．偶函数，且最大值为02【答案】C【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.2()2sin 1cos 2f x x x ==-[)()0,2f x ∈【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，()sin 2tan f x x x =⋅π|π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭且，2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin cos xf x x x x x x x =⋅=⋅=而，即函数为偶函数；()22()2sin 2sin ()f x x x f x -=-==()f x 所以，又，2()2sin 1co Z ,ππ,2s 2f k x x x k x ≠+=-∈=(]cos 21,1x ∈-即，可得函数最小值为0，无最大值.[)()1cos 20,2f x x =-∈()f x 故选：C二、填空题13．已知复数，其中是虚数单位，则的模是__.13z i =-+i z【分析】根据复数模的计算公式求解即可.【详解】解：，13z i =-+ z ∴==.【点睛】本题考查了复数的模的计算公式，属基础题.14．在中，若，，则的面积为____________．ABC 3a =c 4B π=ABC 【答案】32【分析】直接利用面积公式计算可得；【详解】解：因为，，3a =c =4B π=所以；113sin 3222ABC S ac B ==⨯=△故答案为：3215．函数在区间上的最小值为___．()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】【分析】利用的范围推出的范围，结合正弦函数的性质计算可得.x π24x -【详解】因为，，，所以，π02x ≤≤02x ≤≤πππ3π2444x -≤-≤πsin 214x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭当即时取得最小值为ππ244x -=-0x =()f x故答案为：16．已知向量满足，与的夹角为，则___．,a b ||2,||1a b == a b 23π2a b +=【答案】2【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律求解作答.a b ⋅ 【详解】由，与的夹角为，得，||2,||1a b == ab 23π2π1||||cos 21()132a b a b ⋅==⨯⨯-=-所以.22a b +====故答案为：217．已知函数的部分图象如图所示，则的最小正周期为______.()sin()(0)f x x ωϕω=+>，()f x【答案】π【分析】观察图象，可列式，解得结果即可.1131264T ππ-=【详解】设的最小正周期为，()f x T 由图可知，，解得.1131264Tππ-=T π=故答案为：.π【点睛】本题考查了由三角函数的图象求最小正周期，属于基础题.18．在如图所示的几何体中，是棱柱的为__.（填写所有正确的序号）【答案】③⑤【分析】由棱柱的结构特征逐一分析五个图形得答案.【详解】解：由棱柱的结构特征，即有两个面互相平行，其余的面都是四边形，并且相邻四边形的公共边互相平行，可得图③⑤为棱柱.故答案为：③⑤.【点睛】本题考查棱柱的结构特征，是基础题.三、解答题19．已知函数.()13sin 126x x f π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）函数的最小正周期；（2）函数的最值及相应的的值.x 【答案】（1）；（2），时，函数有最大值为；，时，函4π243x k ππ=+Z k ∈2843x k ππ=+Z k ∈数有最小值为4-【分析】（1）利用三角函数周期公式计算得到答案.（2）根据三角函数的性质分别计算最大值和最小值得到答案.【详解】（1），则.()13sin 126x x f π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2412T ππ==（2）当，即，时，函数有最大值为；12262x k πππ+=+243x k ππ=+Z k ∈2当，即，时，函数有最小值为.132262x k πππ+=+843x k ππ=+Z k ∈4-【点睛】本题考查了三角函数周期和最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用.20．在．ABC 222b c a =+-(1)求；A(2)若，求．a =3B π=b 【答案】(1)4π(2)【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理计算可得；【详解】（1，即222b ca =+-由余弦定理，222cos 2b c a A bc +-==因为，所以；()0,A π∈4A π=（2）解：因为，，4A π=a =3B π=由正弦定理，所以sin sin a bA B =sin3b π=b =21．如图，在中，D 在边BC 上，且．ABC6,AB AC BC ===ADC 60∠=(1)求；cos B (2)求线段的长．AD 【答案】(1)；cos =B (2).4=AD 【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可；ABC （2）先利用同角关系求，在中利用正弦定理即可求解．sin B ABD △【详解】（1）在中，由余弦定理可得，ABC 222cos2AB BC AC BAB BC +-=⋅又6,AB AC BC ===cos B（2）因为，所以，0πB<<sin 0B >sin B ===由，可得，60ADC ∠= 120ADB ∠=在中根据正弦定理得：，ABD △sin sin AD ABB ADB =∠又，，sin B 6AB =120ADB ∠= 所以．sin 4sin AB B AD ADB ⋅==∠22．已知点O （0，0），A （2，1），B （1，2）．（1）若，求点P 的坐标；12OP OA OB→→→=+（2）已知．OQ OA OB λμ→→→=+①若点Q 在直线AB ：y ＝－x ＋3上，试写出应满足的数量关系，并说明你的理由；,λμ②若△QAB 为等边三角形，求的值．,λμ【答案】（1）；（2）①，②52,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1λμ+=λμ+=λμ+=【分析】（1）设出点P 的坐标，得出和的坐标，根据平面向量的坐标运算即可求得；,OA OB →→OP →（2）设出点Q 的坐标，得出的坐标，通过即可算出；OQ →OQ OA OB λμ→→→=+（3）算出线段AB 的中垂线方程，将点Q 的坐标代入即可求出.【详解】（1），设，则，()(),2,11,2OA OB →→==(),P x y (),OP x y →=∴，∴.()()()5,2,11,22212,x y ⎛⎫= ⎪⎝+⎭=52,2P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）①.1λμ+=理由如下：∵点Q 在直线AB ：y ＝－x ＋3上，设，∴，(),3Q a a -(),3OQ a a →=-∵，∴，OQ OA OB λμ→→→=+()()()(),32,11,22,2a a λμλμλμ-=+=++∴，得证.2132a a λμλμλμ=+⎧⇒+=⎨-=+⎩②线段AB 的中点为，，∴线段AB 的中垂线为：，33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1AB k =-3322y x y x -=-⇒=∵△QAB 为等边三角形，∴点Q 在线段AB 的中垂线上，设，(),Q a a∴，解得()()()()2222211221a a -+-=-+-a =所以或或22λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩λμ+=λμ+=23．已知函数.()2sin 22cos 612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数的最小正周期；()f x (2)求函数在上的最小值；()f x 3,128ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围.x ()0f x =[]0,m m【答案】(1)π(2)2-(3)74,123ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得，由正弦型函数最小正()52112f x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭周期的求法可得结果；（2）根据的范围可求得的范围，由正弦型函数值域的求法可求得最小值；x 5212x π-（3）由可得，可得的范围，根据有两个不()0f x =5sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭5212t x π=-t sin t =同解可构造不等式求得结果.【详解】（1），()5sin 2cos 21216612f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最小正周期.()f x \22T ππ==（2）当时，，，3,128x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,1243x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦5sin 212x π⎡⎛⎫∴-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣.()min 12f x ⎛∴=-=- ⎝（3）令，解得：()0f x =5sin 212x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭令，则当时，，5212t x π=-[]0,x m ∈55,21212t m ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦在上有两个不同解，在有两个不同解，()0f x = []0,m sin t ∴=55,21212m ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，解得：，即实数的取值范围为.35924124m πππ∴≤-<74123m ππ≤<m 74,123ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭。

2023-2024学年北京市第五十七中学高一1+3下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年北京市第五十七中学高一1+3下学期期中考试数学试卷1.已知抛物线方程为，则其准线方程为（）A．B．C．D．2.已知角的终边在第三象限，且，则（）A．B．1C．D．3.已知P为椭圆上的动点．，且，则（）A．1B．2C．3D．44.已知双曲线的渐近线经过点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．5.已知，且，则（）A．B．C．D．6.已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（）A．是等差数列B．是等比数列C．是等差数列D．是等比数列7.已知圆过点，，则圆心到原点距离的最小值为（）A．B．C．1D．8.已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9.在平面直角坐标系中，点，，，是圆上一点，是边上一点，则的最大值是（）A．B．C．D．10.已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（）A．B．1C．D．211.已知均为实数.若，则_________．12.已知圆，则圆的半径为_________；若直线被圆截得的弦长为1，则_________．13.已知抛物线与椭圆有一个公共焦点，则点的坐标是________；若抛物线的准线与椭圆交于两点，是坐标原点，且是直角三角形，则椭圆的离心率________.14.已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数的最大值为_________；若的值域为，则a的最小值为_________．15.已知四边形是椭圆的内接四边形，其对角线和交于原点，且斜率之积为．给出下列四个结论：①四边形是平行四边形；②存在四边形是菱形；③存在四边形使得；④存在四边形使得．其中所有正确结论的序号为__________．16.已知函数.在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知.(1)求的值；(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.条件①：最小正周期为；条件②：最大值与最小值之和为；条件③：.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.17.在中，点是边上一点，且.记，.（1）求证：；（2）若，，，求的长.18.如图，在四棱锥中，平面为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：；条件②：.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.19.已知椭圆C：的右焦点为，离心率为，直线l过点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M.(1)求椭圆C的方程：(2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(3)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜率.20.已知椭圆的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且．(1)求椭圆C的方程．(2)设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及的最大值．21.设为正整数，若无穷数列满足，则称为数列.(1)数列是否为数列？说明理由；(2)已知其中为常数.若数列为数列，求；(3)已知数列满足，，，求.。

北京市首都师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中练习数学试题

北京市首都师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期
期中练习数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．5
B ．10
C ．13
D ．26
三、双空题
16．声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液体)传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.
（1）若甲声波的数学模型为()1
sin 200f t t p =，乙声波的数学模型为
()()()2sin 2000f t t p j j =+＞，甲、乙声波合成后的数学模型为()()()12f t f t f t =+.要
使()0f t =恒成立，则j 的最小值为____________；
（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为()H t ，其部分图像如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分
（ⅱ）记()()()()()()s P M PA M PB M PC M PD M PE =++++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
.求()s P 的最小值及相应的
点P 的坐标.。

北京市高一下学期数学期中考试试卷

北京市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2018高一上·兰州期末) 若点和都在直线上，又点和点，则（）A . 点P和Q都不在直线上B . 点P和Q都在直线上C . 点P在直线上且Q不在直线上D . 点P不在直线上且Q在直线上2. （2分）(2019·广州模拟) 已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·上海月考) 已知中，且，则是（）A . 正三角形B . 直角三角形C . 正三角形或直角三角形D . 直角三角形或等腰三角形4. （2分）(2020·茂名模拟) 剪纸是我国的传统工艺，要剪出如下图“双喜”字，需要将一张长方形纸对折两次进行剪裁，下列哪一个图形展开后是如图的“双喜”字.（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·吉林月考) 一艘轮船从A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（）A . 北偏东，B . 北偏东，C . 北偏东，D . 北偏东，6. （2分） (2017高一下·保定期中) 已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中（）A . 不一定存在与a平行的直线B . 只有两条与a平行的直线C . 存在无数条与a平行的直线D . 存在唯一一条与a平行的直线7. （2分）(2020·漳州模拟) 已知、为椭圆：的左、右焦点，过点作斜率为的直线与交于、两点，则的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·莆田月考) 平行线和的距离是（）A .B . 2C .D .9. （2分）圆C1：（x-2）2+(y+2)2=9与圆C2：（x+1）2+(y-2)2=4的公切线有（）A . 0条B . 2条C . 3条D . 4条二、多选题 (共3题；共9分)10. （3分） (2020高一下·宝应期中) 如图所示,P为矩形所在平面外一点,矩形对角线的交点为为的中点,给出以下结论,其中正确的是（）A .B . 平面C . 平面D . 平面11. （3分） (2020高一下·济南月考) 下列说法正确的有（）A . 在中，B . 在中，若，则C . 在中，若，则，若，则都成立D . 在中，12. （3分）(2020·山东模拟) 设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（）A . 若，则B . 若，直线AB过定点C . 若，到直线AB的距离不大于1D . 若直线AB过抛物线的焦点F，且，则三、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·齐齐哈尔模拟) 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的表面积为________.14. （1分） (2017高三上·邯郸模拟) 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则cosB=________．15. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知两圆和相交于两点，则直线的方程是________．16. （1分） (2019高一下·朝阳期末) 已知直线与圆交于两点，若，则 ________.四、解答题 (共6题；共57分)17. （5分） (2017高三上·襄阳期中) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且．（1）试判断△ABC的形状；（2）若，求的取值范围．18. （10分） (2016高二上·平罗期中) 如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（﹣2，0），C（a，0），（a＞0），设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为点M、N．（Ⅰ）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；（Ⅱ）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程．19. （2分）(2012·四川理) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（1）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（2）求二面角B﹣AP﹣C的大小．20. （15分） (2019高二下·上海月考) 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长.21. （10分） (2018高一下·龙岩期中) 已知函数（Ⅰ）当且时，求的值域；（Ⅱ）若 ,存在实数使得成立，求实数的取值范围.22. （15分）已知圆C的圆心为原点O，且与直线x+y+4=0相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．参考答案一、单选题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、多选题 (共3题；共9分)10-1、11-1、12-1、三、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、四、解答题 (共6题；共57分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、。

2022-2023学年北京市朝阳区高一下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市朝阳区高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．角化为弧度等于（）．0135A ．B ．C ．D ．π3π234ππ6【答案】C【详解】分析：根据与的关系，写出对应的弧度，之后再做乘法运算，求出结果即可.180︒π1︒详解：因为，所以，所以，故选C.180=π︒1=180π︒1353135==1804ππ︒点睛：该题考查的是有关角度制与弧度制的转换关系，解决该题的关键是掌握，从而求得180=π︒结果.2．已知向量，，则下列结论正确的是（）()2,0a =()3,1a b -=A ．B ．//C ．D ．2a b ⋅=a b()b a b⊥+a b= 【答案】C【解析】采用排除法，根据向量平行，垂直以及数量积的坐标运算，可得结果.【详解】设，(),b x y =因为向量，，()2,0a =()3,1a b -=则，解得，2301x y -=⎧⎨-=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩所以，故()1,1b =--()1,1a b +=-所以，()()()11110b a b ⋅+=-⨯+-⨯-=所以，()b a b⊥+ 故选：C.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，属基础题.3．已知向量，，则“”是“与共线”的（）()1,1a m=-(),2b m =2m =ab A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，，则与共线；2m =()11a =，()22b =，a b当与共线时，，，a b()12m m -=1221m m ==-，所以 “”是“与共线”的充分不必要条件；2m =a a故选:A.二、多选题4．已知，那么下列命题中成立的是（）sin sin αβ>A ．若、是第一象限角，则αβcos cos αβ>B ．若、是第二象限角，则αβtan tan αβ>C ．若、是第二象限角，则αβcos cos αβ>D ．若、是第四象限角，则αβtan tan αβ>【答案】CD【分析】根据选项中角度所处象限，结合三角函数线即可比较大小.【详解】如图(1)，α、β的终边分别为OP 、OQ ，，sin sin MP NQ αβ=>=此时，故A 错；cos cos OM ON αβ=<=如图(2)，OP 、OQ 分别为角α、β的终边，，sin sin MP NQ αβ=>=∴，故B 错；tan tan AC AB αβ=<=如图(2)，角α，β的终边分别为OP 、OQ ，，sin sin MP NQ αβ=>=∴，故C 正确；cos cos ON OM βα=<=如图（4），角α，β的终边分别为OP 、OQ ，sin sin MP NQ αβ=>=∴，故D 正确.tan tan TH TK αβ=>=故选：CD.三、单选题5．已知函数，若对任意的实数，总有，则的最()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ()()()12f x f x f x ≤≤12x x -小值是（）A ．2B ．4C ．D ．π2π【答案】A 【分析】由题知，，先得到所满足的条件，然后再求的1min 2max()(),()()f x f x f x f x ==12,x x 12x x -最小值.【详解】由题意，若对任意的实数，总有，则x ()()()12f x f x f x ≤≤，故由，解得，于1min 2max ()()2,()()2f x f x f x f x ==-==12ππ2sin 225ππ2sin 225x x ⎧⎛⎫+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩111122134,534,5x k k x k k ⎧=+∈⎪⎪⎨⎪=+∈⎪⎩Z Z 是，当时，的最小值为.12124()2x x k k -=-+12k k =12x x -2故选：A6．设定义在上的函数，则（）R ()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x A ．在区间上是增函数B ．在区间上是减函数27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．在区间上是增函数D ．在区间上是减函数,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】根据每个选项中的范围，得到的范围，利用正弦函数的图象得到函数x 3x π+的单调性，再根据函数的符号去绝对值可得的单调性.sin(3y x π=+sin(3y x π=+()f x 【详解】对于A ，当时，，函数为减函数，所以2736x ππ≤≤332x πππ≤+≤sin(3y x π=+为增函数，故A 正确；()|sin(|3f x x π=+sin()3x π=-+对于B ，当时，，函数先递减后递增，所以2x ππ-≤≤-2336x πππ-≤+≤-sin()3y x π=+先递增后递减，故B 不正确；()|sin(|3f x x π=+sin()3x π=-+对于C ，当时，，函数先递增后递减，所以84x ππ≤≤11724312x πππ≤+≤sin()3y x π=+先递增后递减，故C 不正确；()|sin(|3f x x π=+sin(3x π=+对于D ，当时，，函数为递减函数，所以233x ππ≤≤233x πππ≤+≤sin()3y x π=+()|sin()|3f x x π=+为递减函数，当时，，函数为递减函数，所以sin(3x π=+2536x ππ<≤736x πππ<+≤sin(3y x π=+为增函数，故D 不正确.()|sin(|3f x x π=+sin()3x π=-+故选：A【点睛】关键点点睛：熟练掌握正弦函数的单调性是本题解题关键.7．设是第二象限角，则的终边在（）α3αA ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限【答案】D 【分析】由，得到，对k 赋值判断.π2π2ππ,Z 2k k k α+<<+∈2ππ2ππ,Z 36333k k k α+<<+Î【详解】解：因为是第二象限角，α所以，π2π2ππ,Z 2k k k α+<<+∈，2ππ2ππ,Z 36333k k k α+<<+Î当时，，在第一象限；=0k ππ633α<<当时，，在第二象限；=1k 5ππ63α<<当时，，在第四象限；=2k 3π5π233α<<故选：D8．若,则cos 2sin αα+=tan α=A ．B ．2C ．D ．1212-2-【答案】B【解析】将，两边平方，再利用“1”的代换可得，即cos 2sin αα+=()222cos 2sin 5sin cos αααα+=+，再分子分母同除以，得到求解.2222cos 4sin 4sin cos 5sin cos αααααα++=+2cos α2214tan 4tan 5tan 1ααα++=+【详解】cos 2sin αα+= ，()2cos 2sin 5αα∴+=则，()222cos 2sin 5sin cos αααα+=+即，2222cos 4sin 4sin cos 5sin cos αααααα++=+，2214tan 4tan 5tan 1ααα++∴=+解得.tan 2α=故选：B【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数基本关系式化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率.如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值n 记为，那么用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值加可表示成n π2n 2n πA ．B ．C ．D ．360sin nnπ︒360cosnnπ︒180cosnnπ︒90cosnnπ︒【答案】C【分析】设圆的半径为，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：r n ，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：，问180180sin cosn n n n π⨯=⨯2n 2180sin n n n π⨯= 题得解.【详解】设圆的半径为，将内接正边形分成个小三角形，r n n 由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：n ，整理得：，221360sin 2r n r n π≈⨯⨯ 1360sin2n n π≈⨯⨯此时，即：1360sin 2n n n π⨯⨯= 180180sin cosn n n n π⨯=⨯同理，由内接正边形的面积无限接近圆的面积可得：2n ，整理得：2213602sin22r n r n π≈⨯⨯13601802sin sin 22n n n n π≈⨯⨯=⨯ 此时2180sinn n n π⨯=所以2180sin 180cosnnn nnππ==⨯故选C【点睛】本题主要考查了圆的面积公式及三角形面积公式的应用，还考查了正弦的二倍角公式，考查计算能力，属于中档题．10．如图所示，边长为1的正方形的顶点，分别在边长为的正方形的边ABCD A D 2A B C D ''''和上移动，则的最大值是（）A B ''A D ''A B A C ''⋅A ．4B ．C ．D ．21+π【答案】D【分析】建立直角坐标系，设，求出、两点的坐标，利用平面向量数量积的坐标表A AD θ'∠=B C 示公式，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式以及三角函数的性质即可求得最大值.【详解】如图：以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系：A 'A B ''x 设，由于，故，，A AD θ'∠=1AD =cos A A θ'=sin A D θ'=如图，，π2BAx θ∠=-1BA =故，，πcos cos cos sin 2B x θθθθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭πsin cos 2B y θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭即，，()cos sin ,cos B θθθ+()cos sin ,cos A B θθθ'=+同理，，，即，CDy θ∠=sin C x θ=cos sin Cy θθ=+()sin ,cos sin C θθθ+()sin ,cos sin A C θθθ'=+所以()()sin cos sin cos cos sin A B A C θθθθθθ=+++''⋅，22cos sin 2sin cos 1sin 2θθθθθ=++=+当即时，有最大值，π22θ=π4θ=A B A C ''⋅ 112+=故选：D四、填空题11．已知600°角的终边上有一点，则a 的值为___________.(,3)P a -【答案】【解析】根据任意角的三角函数的定义可得，即可求得的值.3tan 60a ︒=-a 【详解】tan 600tan(360240)︒︒︒=+tan(18060)︒︒=+3tan 60a ︒==-=a =故答案为：.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义及其应用.12．已知，，则，夹角的大小为_____________．8a b ⋅=- 16a b =a b 【答案】120°【分析】根据向量的夹角公式计算求解即可.【详解】设，夹角为，，a b θ81cos ,0180°162a b a b θθ⋅-===-≤≤120°θ∴=故答案为：120°.13．若，，则 .1tan 2α=()2tan 5βα-=()tan 2βα-=【答案】112-【分析】将式子中的角变成，然后利用两角差的正切公式求解即可.2βα-()βαα--【详解】.()()()()21tan tan 152tan 2tan 211tan tan 12152βααβαβααβαα----=--===-⎡⎤⎣⎦+-+⨯故答案为：112-【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式，解题的关键是把要求的角转化成已知角的和与差，属于基础题.14．若平面向量满足：；则的最小值是_________,a b 23a b -≤ a b ⋅ 【答案】98-【详解】试题分析：因为，所以，，－8，所以23a b -≤22(2)49a b a b +-⋅≤9≤≥98-，即的最小值是．98-【解析】不本题主要考查平面向量模的计算，数量积．点评：简单题，涉及平面向量模的计算问题，往往要“化模为方”．15．函数，若函数在区间内没有零点，则实数()211sin sin (0)222xf x x ωωω=+->()f x x ∈()π,2π的取值范围是_____ω【答案】][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【分析】由三角恒等变换公式化简，再根据三角函数性质列式求解【详解】，1cos 11()sin 2224x f x x x ωπωω-=+-=-时，，()π,2πx ∈πππ(π,2π)444x ωωω-∈--无解，则()=0f x ππ(π,2π)(π,π),Z44k k k ωωπ--⊆+∈当时，得，解得，=0k ππ04π2ππ4ω-≥ω-≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩1548ω≤≤当时，得，解得，1k =-πππ4π2π04ω-≥-ω-≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩108ω<≤当时，得，得无解，=1k πππ4π2π2π4ω-≥ω-≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ω同理得取其他整数时无解，k 综上，的取值范围是.ω][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦故答案为：][1150,,848⎛⎤⋃⎥⎝⎦五、解答题16．已知，与的夹角是.4,8a b ==a b 120 (1)求的值及的值；a b ⋅ a b+(2)当为何值时，？k ()()2a b ka b+⊥-【答案】(1)，；16a b ⋅=- a b += (2).7k =-【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求(2)()a b ka b +⊥- (2)()0a b ka b +⋅-=解．【详解】（1）∵，与的夹角是，4,8a b ==a b 120 ∴，1cos12048162a b a b ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；a +=== （2）由题意，，()()()2222210a b ka b ka b k a b +⋅-=-+-⋅= 即，()1612816210k k ---=解得，7k =-即时，.7k =-()()2a b ka b+⊥- 17．已知函数()2cos sin f x x x=+(1)求的值；π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)求的最大值和最小值，并写出取最值时x 的值．()f x【答案】(1)π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)，或，，，()max 54f x =()π2π3x k k Z =+∈()π2π3x k k Z =-∈()min 1f x =-()21πx k =+Z k ∈【分析】（1）将代入函数解析式求解；π6x =（2）由，利用二次函数的性质求解.()2215cos 1cos cos 24f x x x x ⎛⎫=+-=--+⎪⎝⎭【详解】（1）解：；22πππ1cos sin 6662f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2），()2215cos 1cos cos 24f x x x x ⎛⎫=+-=--+⎪⎝⎭因为，1cos 1x -≤≤所以当时，，1cos 2x =()max 54f x =此时或()π2π3x k k Z =+∈()π2π3x k k Z =-∈当时，，cos 1x =-()min 1f x =-此时，.()21πx k =+Z k ∈18．已知向量，.(2sin ,cos )a x x =(cos ,2cos )b x x = （1）设，求的单调递增区间；()f x a b =⋅()f x （2）若，向量与共线，且为第二象限角，求的值．(2,1)c = a b - c x ()a b c +⋅【答案】（1）的单调递增区间为（2）()f x 3[,,Z88k k k ππππ-+∈【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式将函数整理为，令()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）根据向量共线的坐标表222242k x k πππππ-≤+≤+x 示可求得，利用同角三角函数关系求得；根据数量积的坐标运算可求得结果.tan x sin ,cos x x【详解】（1）()22sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭由，得：，222242k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈388k x k ππππ-≤≤+Zk ∈的单调递减增区间为：，()f x \3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2），()2sin cos ,cos a b x x x -=-- ()2,1c =与共线，即a b + c2sin cos 2cos x x x ∴-=-1tan 2x =-是第二象限角，x sin x ∴=cos x =又()2sin cos ,3cos a b x x x +=+()4sin 2cos 3cos 4sin 5cos a b c x x x x x ∴+⋅=++=+=【点睛】本题考查正弦型函数单调区间的求解、平面向量数量积的坐标运算，涉及到平面向量数量积运算、向量共线的坐标表示、同角三角函数关系、利用二倍角和辅助角公式化简三角函数等知识.19．已知函数在区间上的最大值为6.()222cos f x x x m=++0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）求常数的值及函数图像的对称中心；m ()f x （2）作函数关于轴的对称图像得函数的图像，再把函数的图像向右平移个单()f x y ()1f x ()1f x 4π位得函数的图像，求函数的单调减区间.()2f x ()2f x 【答案】（1），对称中心为；（2）.3m =(),4212k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【分析】（1）化简可得，由最大值求得，令可()2sin 216x m f x π⎛⎫+++ ⎪⎭=⎝3m =2,6x k k Z ππ+=∈求得对称中心；（2）根据图像变换求得的解析式，再根据三角函数的性质即可求出单调递减区间.()2f x【详解】（1），()2cos 212sin 216x x m x mf x π⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭=当时，，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最大值为，所以，262x ππ+=()f x 36m +=3m =则，()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令，则，2,6x k k Zππ+=∈,212k x k Z ππ=-∈所以的对称中心为；()f x ,4,212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭（2）和关于轴对称，，()1f x ()f x y 1()2sin 246f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∴把函数的图像向右平移个单位得，()1f x 4π2()2sin 242cos 24266f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令可得222,6k x k k Zππππ-+∈ 7.1212k x k k Z ππππ++∈ 故的单调减区间为.()2f x ()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 20．如图，某市准备在道路的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲EF FBC 线段是函数，时的图象，且图象的最高点为，赛()2sin 0,03y A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭[]4,0x ∈-()1,2B -，且，赛道的后一部分是以为圆心的一段圆弧CD CD EF O ．DE（1）求的值和的大小；ωDOE ∠（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路上，一ODE EF 个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求当“矩形草坪”的面积取最大OD PDE POE θ∠=值时的值．θ【答案】（1），；（2）.6π4π8πθ=【详解】试题分析：（1）由题意可得，故，从而可得曲线段的解析式为，令x=0可得，根据，得,因此（2）结合题意可得当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，由条件可得“矩形草坪”的面积为，然后根据的范围可得当时，取得最大值．试题解析：(1)由条件得.∴.∴曲线段的解析式为.当时，.又，∴,∴.(2)由(1)，可知.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在弧上，故.设,,“矩形草坪”的面积为.∵，∴,故当，即时，取得最大值．21．如果函数的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得()y f x =成立，则称此函数具有“性质”．()()f x a f x +=-()P a(1)判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有a 的值；若不具有sin y x =()P a ()P a“性质”，请说明理由；()P a(2)设函数具有“性质”，且当时，．若与交点个()y g x =()1P ±1122x -≤≤()g x x =()y g x =y mx =数为2023个，求m 的值．【答案】(1)具有"性质"，sin y x =()P a()2ππ,a k k =+∈Z (2)12023m =±【分析】（1）根据题意，直接验证函数是否有性质即可得到结果；sin y x =()P a（2）根据题意，由“性质”可得是以2为周期的周期函数，然后分奇数，偶数讨论，()1P ±()y g x =即可得到是周期为1的函数，最后分讨论，即可得到结果.()y g x =0,0,0m m m ><=【详解】（1）由得，()()sin sin x a x +=-()sin sin x a x+=-根据诱导公式得()2ππ,a k k =+∈Z 所以具有"性质"，其中．sin y x =()P a()2ππ,a k k =+∈Z （2）∵具有"性质"，∴，．()y g x =()1P ±()()1g x g x +=-()()1g x g x -+=-∴，()()()()2111g x g x g x g x +=++=--=从而是以2为周期的周期函数．()y g x =设，则，所以1322x ≤≤11122x -≤-≤()()()()()2111111g x g x g x g x x x g x =-=-+-=-+=-+=-=-再设，()1122n x n n -≤≤+∈Z 当时，，则，所以()2n k k =∈Z 112222k x k -≤≤+12221x k -≤-≤；()()22g x g x k x k x n=-=-=-当时，，则，所以()21n k k =+∈Z 11212122k x k +-≤≤++13222x k ≤-≤.()()221g x g x k x k x n=-=--=-∴对于，都有．()1122n x n n -≤≤+∈Z ()g x x n =-而，所以．1111122n x n +-≤+≤++()()()()111g x x n x n g x +=+-+=-=∴是周期为1的函数．()y g x =①当时，要使得与有2023个交点，0m >y mx =()y g x =只要与在上有2022个交点，而在有一个交点即可．y mx =()y g x =[)0,1011[)1011,1012∴过，从而得；y mx =20231,22⎛⎫⎪⎝⎭12023m =②当时，同理可得；0m <12023m =-③当时，不合题意．0m =综上所述，．12023m =±【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解“性质”，类似于函数的周期性，解答第二问的关()P a键在于得到函数的对称性与周期性，即可得到结果.()g x。

2022-2023学年北京市丰台区高一下学期期中阶段测试数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市丰台区高一下学期期中阶段测试数学试题一、单选题1．向量，与的夹角为，则等于（）2a b ==a b3π4⋅ a bA ．B ．C ．D ．4-2-【答案】A【分析】利用向量数量积定义即可求得的值.⋅a b 【详解】向量，与的夹角为，2a b ==a b3π4则3π22cos 4a b ⋅=⨯⋅=- 故选：A2 ）A ．B ．sin10cos10︒+︒sin10cos10︒-︒C ．D ．cos10sin10︒-︒sin10cos10-︒-︒【答案】C【分析】由同角三角函数的平方关系化简已知式，再结合，则，即可得出答π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos sin x x >案.，sin10cos10=︒-︒由三角函数的图象可知：当，则，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos sin x x >所以.sin10cos10cos10sin10︒-︒=︒-︒故选：C.3．在三角形中，三个内角所对的边分别为，若，则角ABC ,,A B C ,,a b c 13,2,sin 3===c a A 的值为（）sin C A ．B ．C ．D ．1162912【答案】C【分析】由正弦定理得到答案.【详解】由正弦定理得，即，解得.sin sin a c A C =231sin 3C=1sin 2C =故选：C4．函数的图象（）πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．关于直线对称B ．关于直线对称π3x =π3x =-C ．关于点对称D ．关于点对称π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据选项，采用代入法，判断选项.【详解】A.，所以函数不关于直线对称，故A 错误；πππ5πsin 2sin 13366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3x =B. ，所以函数关于直线对称，故B 正确；ππππsin 2sin 13362f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦π3x =C. ，所以函数不关于点对称，故C 错误；ππππsin 2sin 106662f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π,06⎛⎫⎪⎝⎭D. ，所以函数不关于点对称，故D 错误；πππ5πsin 2sin 03366f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B 5．函数的一个单调递减区间是（）()sin f x x=A ．B ．,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由的图象与性质得的单调减区间.sin y x =()f x 【详解】由的图象与性质，的单调减区间为，，所以D sin y x =()sin f x x =ππ,ππ2k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈符合题意.故选：D.6．如图，函数的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则的解析式可以是()f x ()f x （）A ．B ．()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】将图象上特殊点的坐标代入选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，由于，不正确；ππsin 1122f ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于C 选项，由于，不正确；πcos π03f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭对于D 选项，由于，不正确；π5πcos 036f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭函数的图象上特殊点代入B 检验，都满足，故B 正确.()f x 故选：B 7．已知函数，给出下列四个结论：()22cos sin =-f x x x ①函数的最小正周期为；()f x 2π②函数为偶函数；()f x ③方程有无穷多个实根；()32f x =④将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与图象重合. 其中，所有正()f x π4()sin 2g x x =确结论的序号是（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】C【分析】先根据二倍角得余弦公式化一，再根据余弦函数得周期性即可判断①，根据余弦函数的奇偶性即可判断②；根据余弦函数的值域即可判断③；根据平移变换结合诱导公式即可判断④.【详解】，()22i co s 2co s s n xf x x x ==-对于①，函数的最小正周期为，故①错误；()f x 2ππ2T ==对于②，因为，所以函数为偶函数，故②正确；()()cos 2f x x f x -==()f x 对于③，因为，所以方程无实根，故③错误；()[]cos 21,1x f x ∈-=()32f x =对于④，将函数的图象向右平移个单位长度后，()f x π4得，故④正确.()ππcos 2cos 2sin 242y x x x g x ⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.8．已知函数，，则“”是“的值域为”的（）()sin 2f x x=[],x a b ∈2b a π-≥()f x []1,1-A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用特殊值法判断充分性不成立，再利用正弦型函数的单调性可判断必要性成立，由此可得出结论.【详解】充分性：取，，则成立，此时，则，可得0a =2b π=2b a π-≥0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]20,x π∈，充分性不成立；()[]sin 20,1f x x =∈必要性：函数的最小正周期为，()sin 2f x x=22T ππ==因为函数在上的值域为，当函数在上单调时，取得最小值，且有()f x [],a b []1,1-()f x [],a b b a -，必要性成立.22T b a π-≥=因此，“”是“的值域为”的必要而不充分条件.2b a π-≥()f x []1,1-故选：B.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.9．已知正方形的边长为2，为正方形所在平面上的动点，且的最大ABCD P =BP DB AP ⋅值是（）A ．0B．4C ．D ．8【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，由，再根，利用=BP ()2222x y -+=22AP DB x y⋅=-直线与圆的位置关系求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则，设，()()()0,0,2,0,0,2A B D (),P x y 则，()()(),,2,2,2,AP x y DB BP x y ==-=-因为，=BP ()2222x y -+=所以点P 的轨迹是以()2,0因为，令，22AP DB x y ⋅=-22t x y =-圆心到直线的距离为()2,022t x y =-d ，08t ⇒≤≤所以的最大值是8，DB AP 故选：D10．如果函数的两个相邻零点间的距离为2，那么()sin (0)f x x x ωωω=+>的值为（）．()()()()1239f f f f ++++A ．1B ．CD ．1-【答案】A【分析】利用辅助角公式化简函数，由已知求出，再结合函数式计算作答.()f x ω【详解】依题意，，函数的周期，而，则，π()2sin(3f x x ω=+()f x 4T =0ω>2ππ2T ω==，ππ()2sin()23f x x =+，，5π11π(1)(3)2sin2sin 066f f +=+=4π7π(2)(4)2sin 2sin 033f f +=+=所以.()()()()5π1239(1)2[(1)(2)(3)(4)](1)2sin16f f f f f f f f f f ++++=++++=== 故选：A二、填空题11．若，，则____.tan 1x =π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x =【答案】/54π54π【分析】根据正切函数值求解即可.【详解】则，又，故.tan 1x =()ππ,Z 4x k k =+∈π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭5π4x =故答案为：5π4三、双空题12．已知，且，则_____；____.π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭3sin 5α=-sin 2α=πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【答案】/2425-0.96-【分析】利用二倍角正弦公式即可求得的值，利用两角和的余弦公式即可求得的sin 2απcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭值.【详解】因为，且，则，π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭3sin 5α=-4cos 5α=则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=-⎪⎝⎭π43cos 455ααα⎛⎫⎛⎫+==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：2425-四、填空题13．已知向量与的夹角为，则_________.2,==a b a b π62a b +=【分析】结合平面向量的数量积的运算律，利用平面向量的模公式求解.【详解】解：因为向量与的夹角为，2,==a b a bπ6所以，()22222244a b a b a a b b +=+=+⋅+，22π4242cos316=⨯+⨯+=所以2a14．函数的最大值为______.2sin sin 1y x x =-++【答案】/54 1.25【分析】利用二次函数性质即可求得函数的最大值2sin sin 1y x x =-++【详解】22155sin sin 1(sin )244y x x x =-++=--+≤又，则当时，1sin 1x -≤≤1sin 2x =函数的最大值为2sin sin 1y x x =-++54故答案为：5415．如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆时，M '圆与直线l 相切于点B ，点A 运动到点，线段AB 的长度为，则点到直线的距离为M 'A '3π2M 'BA '_____．【分析】根据条件可得圆旋转了圆周，作图可得到是等腰直角三角形，进而可求得到34A M B '' M '的距离．BA '【详解】根据条件可知圆周长为，2π∵，故可得圆旋转了圆周，位置如图：3π32π24AB ==⨯34A '则，则是等腰直角三角形，90A M B ''∠=A MB ''则到的距离M 'BA 'd ==五、双空题16．已知矩形中，，当每个取遍时，ABCD 2AB =1AD =(1,2,3,4,5,6)i i λ=1±的最小值是_____，最大值是_______．123456AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++【答案】【解析】建立直角坐标系，向量坐标化求模长的最值即可【详解】建立如图所示坐标系： ,则()()()2,0,2,1,0,1B C D ()()()()()()()12345612345613562456|2,00,12,00,12,12,12222,AB BC CD DA AC BDλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+++++=++-+-++-=-+--++ 由题意若使模长最大，则13242,2,λλλλ-=±-=±不妨设为13242,2,λλλλ-=-=则()1234565656422,2AB BC CD DA AC BDλλλλλλλλλλ+++++=+-++当时模长最大为56562,0λλλλ+=-=当时模长最小值为01234561,1,1,1,1,1λλλλλλ=-=====-故答案为：0；【点睛】本题考查向量坐标化的应用，建立坐标系是关键，考查推理能力，考查计算与推理能力，是难题六、解答题17．已知，.32ππα<<4cos 5α=-(1)求的值；()()cos πtan 2ππsin 2ααα+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值；πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭(3)求的值.cos 2sin 2αα-【答案】(1)34(2)7(3)1725-【分析】（1）利用同角三角函数关系求出，最后利用诱导公式即可；sin ,tan αα（2）利用两角和与差的正切公式即可；（3）利用二倍角的正弦和余弦公式即可.【详解】（1）因为所以，，则，3ππ2α<<4cos 5α=-3sin 5α==-所以，3tan 4α=()()()cos πtan 2πcos tan 3tan πcos 4sin 2ααααααα+---===⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）.π3tan tan1π44tan 7π341tan tan 1144ααα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--⨯（3）因为，，，3ππ2α<<4cos 5α=-3sin 5α=-所以2243417cos 2sin 22cos 12sin cos 21255525ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯---⨯-⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知.()()()2,1,0,4,,3=-==OA OB OC x (1)求向量和所成角的余弦值；OA OB(2)若，求实数的值；AC AB ⊥ x(3)若向量在方向上的投影的数量为1，求实数的值.OA OCx 【答案】(2)5x =-(3)0x =【分析】（1）由向量数量积的定义及坐标表示求解；（2）由向量垂直的坐标表示求解；（3）根据投影数量的概念计算．【详解】（1）；cos ,=== OA OB OA OB OA OB （2），()()2,2,2,3=+= AC x AB 为，所以，AC AB ⊥ 0= AC AB 所以，()2260++=x 所以；5x =-（3）向量在方向上的投影数量为OA OC1== OA OC OC 所以或（舍）0x =4x =19．已知函数，且图象经过点.()()π4sin 202f x x ϕϕ⎛⎫=+-<<⎪⎝⎭π,4⎛ ⎝(1)求的值；ϕ(2)求图象的对称中心坐标；()f x (3)若，求函数的最大值和最小值.5π,π12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π6-(2)，ππ,0212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Zk ∈(3)最大值为4-【分析】（1）直接代入点可解得.ϕ（2）令，可得对称中心的横坐标.π2π6x k -=Z k ∈（3）结合正弦函数的单调性可直接判断函数在什么位置取得最大值最小值.【详解】（1）因为函数的图象经过点，()f x π,4⎛ ⎝所以，ππ4sin 42f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，又，cos ϕ=π02ϕ-<<所以π6ϕ=-（2）由（1）知：()π4sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，得，π2π6x k -=Z k ∈ππ212k x =+Z k ∈所以对称中心：，ππ,0212k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Zk ∈（3）因为，所以5π,π12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2π11π2,636x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以当即时，取最大值为π2π263x -=5π12x =()f x 当即时，取得最小值为-4.π3π262x -=5π6x =()f x 20．已知函数.()π2sin cos 4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(1)求的值；π4f ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)求的单调区间；()f x (3)若对，关于的方程都有解，求实数的取值范围.π0,2x⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x ()0f x a -=a 【答案】(1)π4f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2)增区间为，减区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)⎡⎢⎣【分析】（1）利用特殊角三角函数值即可求得的值；π4f ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）利用整体代换法即可求得的单调区间；()f x（3）求得在上的值域，进而求得实数的取值范围.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【详解】（1）ππππ2sin cos 214444f ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝（2）()πππ2sin cos 2sin cos cos sin sin 444f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos =x xx 22=+x x ，所以4sin 2πx ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+π()sin 24f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=+由，可得πππ2π22π242k x k -≤+≤+3ππππ88k x k -≤≤+则增区间为；()f x 3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦由，可得ππ3π2π22π242k x k +≤+≤+π5πππ88k x k +≤≤+则减区间为；()f x π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）因为，所以π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦则，则πsin 24x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()⎡∈⎢⎣f x 因为，方程都有解π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()0f xa -=即有解，所以的取值范围是.()f x a =a ⎡⎢⎣21．已知函数，且满足______________.()2ππsin 22cos (0)66f x a x x a ⎛⎫⎛⎫=--+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数的解析式及最小正周期；()f x (2)若关于的方程在区间上有两个不同解，求实数的取值范围.x ()10f x -=[]0,m m 从①的最大值为1，②的图象过点，这两个条件中选择一个，补充在上面问题中()f x ()f x π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭并作答.（注：如果两个条件都选分别解答，按第一个解答计分.）【答案】(1)，最小正周期()π2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πT =(2)4733ππm ≤<【分析】（1）应用二倍角余弦公式、诱导公式化简，即可求最小正周()f x ()π1sin 216a x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭期，再根据所选条件求参数a ，写出解析式.（2）由题意在区间上有两个不同解，结合正弦型函数性质列不等式求m 范围.πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,m 【详解】（1）因为()ππsin 2cos 2166f x a x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin 2cos 2163a x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 21662πππa x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()π1sin 216a x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期，()f x πT =因为，所以函数的最大值为.0a >()f x a 若选①，则，函数； 1a =()π2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭若选②，则，得，故函数；()ππ1sin 21166a ⎛⎫+⨯--= ⎪⎝⎭1a =()π2sin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）由得：在区间上有两个不同解，()1f x =πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭[]0,m 当时，，[]0,x m ∈πππ2,2666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦所以，解得.592262πππm ≤-<4733ππm ≤<22．在中，，.ABC 2π3ABC ∠=4AB BC ==(1)求的值；CB CA ⋅(2)如图，动点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，求的最小值.P B BC AC CP AP ⋅ 【答案】(1)24(2)8-【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合数量积公式求解即可；（2）建立直角坐标系，设，进而可得，再结合角度范()4cos ,4sin P ααπ·16sin 86CP AP α⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ 围与三角函数的取值范围求解即可.【详解】（1）因为，2π·44cos 83BC BA =⨯⨯=- 所以()CB CA CB BA BC ⋅=⋅- 2BC BA BC =-⋅+ 81624=+=（2）建立如图所示的直角坐标系，则，()()0,0,4,0B C 因为，根据三角函数定义，，2π,43ABC AB ∠==(2,A -而点在以为圆心，为半径的劣弧上运动，可设，其中.P B BC AC ()4cos ,4sin P αα2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()(4cos 4,4sin 4cos 2,4sin CP AP αααα⋅=-⋅+-2216cos 8cos 816sin =--+-αααα，8cos 8=--+ααπ16sin 86α⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭因为，所以，，2π0,3α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π,666α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦π1sin ,162α⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，取得最小值，π3α=CP AP ⋅ 8-所以的最小值为.CP AP ⋅ 8-。

2022-2023学年北京市通州区高一下学期期中质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市通州区高一下学期期中质量检测数学试题一、单选题1．复数32i z =-的虚部为（）A ．3B ．2C ．2-D ．2i-【答案】C【分析】根据复数的定义，即可求解．【详解】32i z =-的虚部为2-．故选：C ．2．在复平面内，点()1,2M 对应的复数的模等于（）A ．5B ．5C ．2D ．1【答案】B【分析】利用复数模公式，即可得到答案．【详解】点(1,2)M 对应的复数为12i +，则其模为22125+=．故选：B ．3．设a ，b是单位向量，则下列四个结论中正确的是（）A ．a b= B ．//a bC ．1a b ⋅= D ．22a b = 【答案】D【分析】根据单位向量的定义，即可得解．【详解】由,a b 是单位向量，知||||1a b ==，但单位向量的方向不确定，所以选项A ，B 和C 均错误，选项D 正确．故选：D ．4．已知向量()()1,2,2,4a b =-= ，则向量a 与b夹角的余弦值为（）A ．35-B ．35C ．1-D ．1【答案】A【分析】根据题意，设向量a 与b 夹角为θ，求出||a、||b 和a b ⋅ 的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，设向量a 与b夹角为θ，向量()1,2a =-，(2,4)b = ，则||145a =+=，||41625b =+= ，286b α⋅=-=- ，则63cos 5||||525a b a b θ⋅-===-⨯ ．故选：A ．5．已知向量,a b 满足10a b ⋅=，且()3,4b =- ，则a 在b 上的投影向量为（）A ．()6,8-B ．()6,8-C ．68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．68,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】向量a 在向量b上的投影向量的定义计算即可.【详解】解：因为向量()3,4b =- ，且10a b ⋅=，那么()22345b =-+= ，所以向量a 在向量b上的投影向量为()3468cos ,555b a b a a b bb-⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭，，，故选：C.6．已知向量()()2,4,1,a b m ==-，则“3m =”是“()a b b -⊥ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意，由向量垂直的判断方法分析“3m =”和“()a b b -⊥”的关系，由此分析可得答案．【详解】根据题意，当3m =时，向量(2,4)a =，(1,3)b =- ，则(3,1)a b -= ，有()330a b b -⋅=-+= ，则有()a b b -⊥，反之，若()a b b -⊥，则(3,4)a b m -=- ，则()3(4)0a b b m m -⋅=-+-=，解可得3m =或1，3m =不一定成立；故“3m =”是“()a b b -⊥”的充分不必要条件．故选：A ．7．如图所示，点C 在线段BD 上，且3BC CD =，则AD =（）A ．32AC AB- B ．43AC AB- C ．4133AC AB-D ．1233AC AB-【答案】C【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.【详解】因为3BC CD =，所以14CD BD =，因为()1144AD AC CD AC BD AC AD AB =+=+=+- ，所以3144AD AC AB =-，即4133AD AC AB =- .故选：C.8．抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【分析】利用基本事件的定义，列举即可．【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，则此试验的样本空间为{（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}．故选：C.9．若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，则用现金支付也用非现金支付的概率为（）A ．0.10B ．0.15C ．0.40D ．0.45【答案】B【分析】设成员会用现金支付为是事件A ，会用非现金支付为事件B ，则A B ⋂为即用现金支付也用非现金支付，()()()()=+-+ P A B P A P B P A B .【详解】设成员会用现金支付为是事件A ，会用非现金支付为事件B ，则A B ⋂为即用现金支付也用非现金支付，则()0.6P A =，()0.55=P B ，则()1P A B +=，()()()()0.60.5510.15=+-+=+-= P A B P A P B P A B .故选：B.10．已知,{2,1,1,2}a b ∈--，若向量(,)m a b = ，(1,1)n =r ，则向量m 与n所成的角为锐角的概率是（）A ．316B ．14C ．38D ．716【答案】B【分析】由题意可得0m n ⋅>，且m 与n 的方向不同，然后利用列举法列出满足条件的情况，再根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】向量m 与n 所成的角为锐角等价于0m n ⋅>，且m 与n 的方向不同，即(,)(1,1)0m n a b a b ⋅=⋅=+>，则满足条件的向量m有(1,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,1),(2,2)--，其中(1,1)m = 或(2,2)m = 时，与n同向，故舍去，故共有4种情况满足条件，又m的取法共有4416⨯=种，则向量m 与n 所成的角为锐角的概率是41164=．故选：B ．二、填空题11．已知i 是虚数单位，则10i =．【答案】1-【分析】根据已知条件，结合复数的乘方运算，即可求解．【详解】()()210422i i i 111=⋅=⨯-=-．故答案为：1-．12．在△ABC 中，已知AB =2,AC =3,A =60°，则sinC =.【答案】217【分析】已知利用余弦定理可求BC 的值，进而利用正弦定理可求sinC 的值.【详解】∵AB =2，AC =3，A =60°，∴由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA =4+9﹣2×2×312⨯=7，∵BC >0，∴BC 7=.∴由正弦定理AB BC sinC sinA=，可得32212sin 77AB sinA C BC ⨯⋅===.故答案为：217.【点睛】本题考查余弦定理､正弦定理的在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.13．某人射击中靶的概率为0.9，连续射击3次，每次射击的结果互不影响，则至少中靶一次的概率是．【答案】0.999/9991000【分析】由题意知本题符合独立重复试验的条件，是一个独立重复试验，经过3次射击，至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标，代入公式得到结果．【详解】由题意知本题是一个独立重复试验，∵每次中靶的概率均为0.9，经过3次射击，至少有一次中靶的对立事件是三次未击中目标，3331C (10.9)0.999P ∴=--=．故答案为：0.999．14．一条河宽为800m ，一艘船从岸边的某处出发向对岸航行．船的速度的大小为20km/h ，水流速度的大小为12km/h ，则当航程最短时，这艘船行驶完全程所需要的时间为min ．【答案】3【分析】首先利用向量的模求出合速度，进一步利用S V t =⋅求出结果．【详解】如图所示：所以222212201216kmV V V =-=-= 故0.80.05(h)3(min)16t ===．故答案为：3．15．在正方形ABCD 中，2AB =，P 为BC 边的中点，Q 为CD 边的中点，M 为AB 边（包括端点）上的动点，则PQ PM ⋅的取值范围是．【答案】[1,1]-【分析】建立直角坐标系，利用数量积的坐标计算公式，结合一次函数的性质即可求解.【详解】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,1),(1,2)P Q ，设(,0)M x ，则[0,2]x ∈，所以(1,1),(2,1)PQ PM x =-=--，所以(1,1)(2,1)1[1,1]PQ PM x x ⋅=-⋅--=-+∈-.故答案为：[1,1]-.三、解答题16．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，复数1i z a =+与22i z b =+互为共轭复数．(1)求a ，b 的值，并指出复平面内2z 对应的点所在的象限；(2)计算12z z ，21z ，12z z ；(3)当实数λ取什么值时，复数12z z z λ=+是下列数？①实数；②虚数；③纯虚数．【答案】(1) 2a =，1b =-，第四象限；(2)125z z =，2134i z =+，1234i 55z z =+(3)①1λ=；②1λ≠；③1λ=-.【分析】（1）直接由共轭复数的概念求a 与b 的值，再求出2z 对应的点的坐标得答案；（2）直接利用复数代数形式的乘除运算得答案；（3）122i (2i)(22)(1)i z z z λλλλ=+=++-=++-，再由复数的基本概念求解①②③中的λ值．【详解】（1）因为1i z a =+与22i z b =+互为共轭复数，所以 2a =，1b =-．所以12i z =+，22i z =-．所以复平面内2z 对应的点的坐标为()21-，，所以复平面内2z 对应的点在第四象限．（2）()()2122i 2i 4i 5z z =+-=-=，()22212i 44i+i 34i z =+=+=+，()()()22112122i 2i 34i 2i 2i 2i 55z z z z z ++====+--+．（3）()()()()2i 2i 211i z λλλ=++-=++-.①当10λ-=，即1λ=时，复数z 是实数．②当10λ-≠，即1λ≠时，复数z 是虚数．③当10λ+=，且10λ-≠，即1λ=-时，复数z 是纯虚数．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()()3,3,5,1,2,1A B P ．(1)求PA PB -的值；(2)设点M 是坐标平面内一点，且四边形APBM 是平行四边形，求点M 的坐标；(3)若点N 是直线OP 上的动点，求NA NB ⋅的最小值．【答案】(1)22(2)()6,3(3)-2【分析】（1）由向量的坐标表示求模长即可；（2）由平行四边形的几何性质，结合向量共线的充要条件计算即可；（2）由直线PO 的方程设N 坐标，根据数量积的坐标表示计算求最值即可.【详解】（1）由题意可知()()1,2,3,0,PA PB == ()()222,22222PA PB PA PB ∴-=-⇒-=-+= ；（2）如图所示，因为四边形APBM 是平行四边形，故有PA BM =，设(),M x y ，即()()1,25,1PA BM x y ===--，解之得()6,3,6,3x y M ==∴；（3）易知直线OP 为12y x =，不妨设()2,N a a ，则()()()2232,352,1520185222NA NB a a a a a a a ⋅=--⋅--=-+=--≥- ，当2a =时，即()4,2N =时，NA NB ⋅取得最小值-2.18．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中红球3个，白球2个．(1)从中有放回地依次随机摸出2个球，求第一次摸到白球的概率；(2)从中无放回地依次随机摸出2个球，求第二次摸到白球的概率；(3)若同时随机摸出2个球，求至少摸到一个白球的概率．【答案】(1)25(2)25(3)710【分析】（1）利用有放回的抽取求出基本事件总数，事件A 包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．（2）利用无放回的抽取求出基本事件总数，事件B 包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．（3）求出一次抽取2个球的基本事件总数，事件C 包含的基本事件数，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．【详解】（1）记三个红球编号为1，2，3，两个白球分别为4，5，则在有放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成25种等可能的结果.如表1所示．表1第二次第一次123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)第一次摸到白球的可能结果有10种，见表中后两行．记A=“第一次摸到白球”，则()102 255P A==．（2）在无放回情况下，第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表2所示．表2第二次第一次123451×(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)×(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)×(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)×(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)×第二次摸到白球的可能结果有8种，见表中后两列.记B=“第二次摸到白球”，则()82 205P B==．（3）“同时摸出两个球”的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共10件，其中至少摸到一个白球的基本事件有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共7件，记C =“至少摸到一个白球”，则()710P C =.19．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(),3m a b = 与()sin ,cos n B A =- 垂直．(1)求A 的大小；(2)若7,2a b ==，求ABC 的面积．【答案】(1)π3(2)332【分析】（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合正弦定理和同角的商数关系，可得所求角；（2）运用余弦定理求得c ，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【详解】（1）因为m n ⊥ ，所以0m n ⋅=，即sin 3cos 0a B b A -=．由正弦定理得sin sin 3sin cos =0A B B A -．因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以sin 3cos A A =，所以tan 3A =．因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，所以2742c c =+-，解得3c =，或1c =-（舍）．所以ABC 的面积11333sin 232222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△．20．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为3,,,cos 2a b c a B b c +=.(1)求A 的大小；(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求BC 边上高线的长.条件①：321cos ,114B b ==；条件②：2,23a c ==；条件③：3,3b c ==.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】(1)6π.(2)条件①：217；条件③：32.【分析】（1）利用正弦定理，边化角，再利用三角恒等变换求解即可.（2）根据三角形全等条件可知①③满足条件，条件②由余弦定理可得b 有两解，不满足条件，条件①：根据sin sin()C A B =+，结合等面积求解即可；条件③：利用余弦定理结合等面积求解即可.【详解】（1）在ABC 中因为3cos 2a B b c +=，由正弦定理得3sin cos sin sin 2A B B C +=，所以3sin cos sin sin()sin cos sin cos 2A B B A B A B B A +=+=+，即3sin sin cos 2B B A =，又因为,(0,)A B π∈，sin 0B ≠，所以3cos 2A =，6A π=.（2）设BC 边上的高为h ，条件①：因为321cos 14B =，所以(0,)2B π∈，7sin 14B =，所以0A B π<+<，根据三角形全等（角角边）可知ABC 存在且唯一确定.所以21sin sin()sin cos sin cos 7C A B A B B A =+=+=，则11sin 22ha ab C =，解得217h =，即BC 边上的高为217.条件②：由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即23129243b b+-=，解得24b =或，此时满足条件的ABC 的三角形有两个，条件②不符合题意.条件③：根据三角形全等（边角边）可得ABC 存在且唯一确定，由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即2393263a +-=，解得3a =，则11sin 22ha bc A =，解得32h =，即BC 边上的高为32.21．若函数()sin cos f x a xb x =+，则称向量(),p a b = 为函数()f x 的特征向量，函数()f x 为向量p 的特征函数．(1)若函数()()13sin πsin π2f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，求()1f x 的特征向量1p ；(2)若向量()23,1p = 的特征函数为()2f x ，求当()265f x =，且ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时sin x 的值；(3)已知点()()3,3,3,11A B -，设向量313,22p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的特征函数为()3f x ，函数()()2342h x f x =-．在函数()h x 的图象上是否存在点Q ，使得AQ BQ ⊥ ？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)()11,1p =- (2)33410-(3)不存在理由见解析【分析】（1）由三角函数的和差公式可得1()sin cos f x x x =-，再结合特征向量的定义，即可得出答案．（2）由特征向量的定义可得2()3sin cos f x x x =+，代入解得3sin 65x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再计算cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最后利用两角和差公式即可得出答案．（3）由特征向量的定义可得3()sin 3f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，三角函数倍角公式可得232()4()22cos 23h x f x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，若函数()h x 的图象上是否存在点Q ，使得AQ BQ ⊥ ；再计算其数量积可得2222cos 27253a πα⎡⎤⎛⎫-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用整体法结合余弦型函数的值域即可判断．【详解】（1）因为()()13sin πsin πsin cos 2f x x x x x ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的特征向量()11,1p =- .（2）因为2(3,1)p = ，所以()23sin cos f x x x =+.又()23163sin cos 2sin cos 2sin =2265f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以3sin 65x =π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．因为ππ,63x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以062x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以24cos 1sin 665x =x ππ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以sin sin sin cos cos sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3341334525210-=⨯-⨯=．（3）不存在．理由如下：由向量313,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭p 的特征函数为()3f x ，得()313πsin cos cos 226f x x x x ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以()()223ππ4222cos 12cos 263h x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．设函数()h x 的图象上任一点,2cos 23Q x x π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3,2cos 233AQ x x π⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3,2cos 2113BQ x x π⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．所以()()332cos 232cos 21133AQ BQ x x x x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+-++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22π74cos 22532x x ⎡⎤⎛⎫=++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．因为1cos 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以975cos 22322x π⎛⎫-≤+-≤- ⎪⎝⎭，所以225π781cos 24324x ⎡⎤⎛⎫≤+-≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以274cos 22532x π⎡⎤⎛⎫+-≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当ππ6x k =-，Z k ∈时取等号．所以2274cos 225032AQ BQ x x π⎡⎤⎛⎫⋅=++--> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ．所以函数()h x 的图象上任一点Q ，都不能使得AQ BQ ⊥ ．即函数()h x 的图象上不存在点Q ，使得AQ BQ ⊥ ．【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是计算出()π2cos 23h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后再去设Q 点，得到向量从而化简向量数量积为得22π74cos 22532x x ⎡⎤⎛⎫++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用整体法即可判断.。

北京市第八十中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

北京市第八十中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在复平面内，复数2i -对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC AB -=uuu r uuu r （）A ．CBuuur B ．AD uuu r C ．BD uuu r D ．CDuuu r 3．已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（）A ．20B ．47C ．60D ．944．已知向量()()1,2,2,a b m =-=r r ，且a b r r P ，则m =（）A ．1B ．-1C ．4D ．-45．已知向量,,a b cr r r 在正方形网格中的位置，若网格纸上小正方形的边长为1，如图所示．则()2a b c +×=r r r（）A ．12B ．4C ．6D ．36．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）10．如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ×uuu r uuu r的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[]0,4D ．[]1,4-参考答案：1．D【分析】求得复数对应的坐标，从而确定正确选项.【详解】复数2i -对应的点为()2,1-，在第四象限.故选：D 2．B【分析】根据向量运算得AC AB AD -=uuu r uuu r uuu r.【详解】由图知AC AB BC AD -==uuu r uuu r uuu r uuu r，故选：B.3．D【分析】利用长方体的表面积公式即可求解.【详解】长方体的长、宽、高分别为5，4，3,所以该长方体的表面积为(545343)294´+´+´´=故选：D 4．D【分析】利用平行的坐标公式处理即可.【详解】由向量()()1,2,2,a b m =-=r r ，且a br r P ，1220m \-´-´=，解得：4m =-.故选：D.5．C【分析】建立平面直角坐标系，可得出(2,1)a =-r ，(2,2)b =r，(1,2)c =r ，再结合平面向量坐标的线性运算性质即可求解.【详解】Q 网格纸上小正方形的边长为1，10．D【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002P x x ££，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--uu r uur，所以()()224133,4P A P B x x x éù×=-+=-+Îëûuu r uur ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P y y ££，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-uu r uur，所以()220,4P A P B y éù×=-Îëûuu r uur ；当点P 在AB 上时，设()(),202P x x ££，要使符合题意的有且只有两个，只所以，该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.21．(1)1(0,2)B ，2(2,5)B ，3(5,2)B (2)不存在，理由见解析(3)不存在，证明见解析【分析】（1）由正交点列的定义可知1(0,2)B ，3(5,2)B ，设2(,)B x y ，由正交点列的定义可知121223230,0A A B B A A B B ×=×=uuuur uuuur uuuur uuuur，即可得出结论；（2）设点列1B ，2B ，3B ，4B 是点列1A ，2A ，3A ，4A 的正交点列，则可设()()()1212323431,3,1,3,1,3B B B B B B l l l =-==-uuuur uuuur uuuur，1l ，2l ，3Z l Î，因为1A 与1B ，4A 与4B 相同，即可得到结论；（3）5n "³，N n Î，都存在整点列()A n 无正交点列.设()1,i i iiA A a b +=uuuuur，其中i a ，i b 是一对互质整数，1,2,3,,1i n =-L ，则有()()11111111n n i i i i i n n i i i i i b a a b l l --==--==ì-=ïïíï=ïîåååå，分类讨论，即可得出结论.【详解】（1）设点列1(0,2)A ，2(3,0)A ，3(5,2)A 的正交点列是1B ，2B ，3B ，由正交点列的定义可知1(0,2)B ，3(5,2)B ，设2(,)B x y ，()()()()122312233,2,2,2,,2,5,2A A A A B B x y B B x y =-==-=--uuuur uuuur uuuur uuuur，由正交点列的定义可知121223230,0A A B B A A B B ×=×=uuuur uuuur uuuur uuuur，即()()()322025220x y x y ì--=ïí-+-=ïî，解得25x y =ìí=î所以点列1(0,2)A ，2(3,0)A ，3(5,2)A 的正交点列是1(0,2)B ，2(2,5)B ，3(5,2)B .（2）由题可得()()()1223343,1,3,1,3,1A A A A A A ==-=uuuur uuuur uuuur ，设点列1B ，2B ，3B ，4B 是点列1A ，2A ，3A ，4A 的正交点列，则可设()()()1212323431,3,1,3,1,3B B B B B B l l l =-==-uuuur uuuur uuuur ，1l ，2l ，3Z l Î因为1A 与1B ，4A 与4B 相同，所以有12312303331l l l l l l -+-=ìí++=î①②因为1l ，2l ，3Z l Î，方程②显然不成立，所以有序整点列1(0,0)A ，2(3,1)A ，3(6,0)A ，4(9,1)A 不存在正交点列；（3）5n "³，N n Î，都存在整点列()A n 无正交点列.5n "³，N n Î，设()1,i i i iA A a b +=uuuuur ，其中i a ，i b 是一对互质整数，1,2,3,,1i n =-L 若有序整点列1B ，2B ，3B ，n B ¼是点列1A ，2A ，3A ，n A ¼正交点列，则()1,,1,2,3,,1i i i i iB B b a i n l +=-=¼-uuuuur ，则有()()()()111111111*2*n n i i i i i n n i i i i i b a a b l l --==--==ì-=ïïíï=ïîåååå当n 为偶数时，取1(0,0)A ，1,3,,1,2,3,,11,i i i a b i n i ì===¼-í-î为奇数为偶数.由于1B ，2B ，3B ，n B ¼是整点列，所以有Z i l Î，1,2,3,,1i n =-L .等式（2*）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列1A ，2A ，3A ，n A ¼无正交点列；当n 为奇数时，取1(0,0)A ，13a =，12b =，1,3,,2,3,,11,i i i a b i n i ì===¼-í-î为奇数为偶数，由于1B ，2B ，3B ，n B ¼是整点列，所以有Z i l Î，1,2,3,,1i n =-L .等式（2*）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，所以该点列1A ，2A ，3A ，n A ¼无正交点列.综上所述，5n "³，N n Î，都不存在无正交点列的有序整数点列()A n .【点睛】关键点睛：本题以平面直角坐标系为载体，平面向量为工具，给出新定义“互为正交点列”，解本类题的关键在于结合课本知识，认真理解新定义，在新定义的基础上用学过的知识来解决问题.。

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北京市高一下学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）下列关于算法的说法正确的有（）
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义；
④算法执行后一定产生明确的结果．
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
2. （2分） (2017高一下·郴州期中) 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是（）
A . 3
B . 9
C . 17
D . 51
3. （2分） (2017高一下·邯郸期末) 如图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民
族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）

A . 84，4.84
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B . 84，1.6
C . 85，1.6
D . 85，4
4. （2分） (2017·渝中模拟) 下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y的值为3，那么应
输入x=（）

A . 1
B . 2
C . 3
D . 6
5. （2分） (2017高一上·邢台期末) 将500个实验样本编号为001，002，003，…，500．采用系统抽样的
方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的一个号码为005，这500个实验样本分别在三个本库，从001到100
在甲样本库，从101到250放在乙样本库，从251到500放在丙样本库，则甲、乙、丙三个样本库被抽中的样本个
数分别为（）

A . 10，15，25
B . 10，16，24
C . 11，15，24
D . 12，13，25
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6. （2分）如图是根据变量x，y的观测数据（xi ， yi）（i=1，2，…10）得到的散点图，由这些散点图可
以判断变量x，y具有相关关系的图是（）

A . ①②
B . ①④
C . ②③
D . ③④
7. （2分） (2016高一下·邵东期末) 下列各数中最小的是（）
A . 85
B . 210（6）
C . 1000（7）
D . 101011（2）
8. （2分）据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一
台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案．

方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为
30000元．

方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．
以下说法正确的是（）
A . 方案一的平均损失比方案二的平均损失大
B . 方案二的平均损失比方案一的平均损失大
C . 方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大
D . 方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算
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9. （2分）把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组
只有一组解的概率是（）

A .
B .
C .
D .
10. （2分）如果下面的程序执行后输出的结果是11880，那么在程序UNTIL后面的条件应为（）

A . i＜10
B . i≤10
C . i≤9
D . i＜9
11. （2分） (2017高一下·咸阳期末) 将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是（）
A . 必然事件
B . 不可能事件
C . 随机事件
D . 不能判定
12. （2分） (2016高二上·黄骅期中) 已知变量x，y的取值如表所示：
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x 4 5 6
y 8 6 7

如果y与x线性相关，且线性回归方程为，则的值为（）
A . 1
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一下·徐州期末) 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．

14. （1分） (2019高二下·虹口期末) 某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、
丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________。

15. （1分） (2016高三上·崇明期中) 某同学从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选择三个学科
参加测试，则物理和化学不同时被选中的概率为________．

16. （1分） (2017·南通模拟) 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：
学生第1次第2次第3次第4次第5次
甲 65 80 70 85 75
乙 80 70 75 80 70
则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________．
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三、解答题 (共6题；共45分)
17. （10分）计算
（1）用辗转相除法求779与247的最大公约数．
（2）利用秦九韶算法求多项式f（x）=2x5+4x4﹣2x3+8x2+7x+4当x=3的值．
18. （10分） (2018高二下·辽源月考) 为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一
次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：

组别频数频率
[145.5，149.5） 1 0.02
[149.5，153.5） 4 0.08
[153.5，157.5） 20 0.40
[157.5，161.5） 15 0.30
[161.5，165.5） 8 0.16
[165.5，169.5） m n
合计 M N

（1）求出表中所表示的数；
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（2）画出频率分布直方图；
19. （5分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知关于的二次函数
（Ⅰ）设集合和，分别从集合中随机取一个数作为和，
在区间上是增函数的概率．

（Ⅱ）设点是区域内的随机点，求函数在区间上是增函数的概率．
20. （5分）设计一个算法，求使1＋2＋3＋4＋…＋n>2 017成立的最小自然数，画出程序框图，并写出程序
语句.

21. （10分） (2017高二下·眉山期中) 某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅
游团可任选其中一条旅游线路．

（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；
（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两
个旅游团在该著名景点相遇的概率．

22. （5分） (2017高二下·平顶山期末) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
与p，且乙投球2次均未命中的概率为．
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
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参考答案
一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)

13-1、
14-1、
15-1、
第 9 页共 13 页

16-1、
三、解答题 (共6题；共45分)

17-1、

17-2、
18-1、
18-2、
第 10 页共 13 页

19-1、
第 11 页共 13 页

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