非平稳Ornstein-Uhlenbeck过程中参数估计量 的中偏差上界

1
(
)
证明：因为对任意 p > 1 ，有
T p2 2 T 2 λ ∫0 X s ds , T ≥ 0 exp λ p ∫ X s dWs − 0 2
是 T -鞅，对任意 λ > 0 ，
ˆ −θ ≥ r P θ T
(
≤ EPθ exp λ ∫0 X s dWs − r λ ∫0 X s2 ds
1 α 2bT x − 2Tθ + ο e 2bT x − 2Tθ − θ T + Ο Te 2bT x − 2Tθ = − x − log 2 e 2θ 2
(
)
(
)
(5)
另一方面，若 x < 0 ，则
DOI: 10.12677/pm.2018.86084 634 理论数学
1
(
)
故引理 2 得证。
3. 主要结论及证明
ˆ −θ 定理：若 θ > 0 ， eθ T θ T
(
)
1 bT
, T > 0 以速度 bT 满足中偏差上界，且速率函数为
log x, x ≥ 1; = I ( x ) 0, 0 < x < 1; +∞, x ≤ 0.
(
:= L1 (T ) + L2 (T ) + L3 (T )
由泰勒公式，我们有
α θ 2 + 2α e2bT x − 2Tθ = θ + e2bT x − 2Tθ + ο ( e2bT x − 2Tθ ) , θ
由此可推得
T →∞ 2 lim L2 (T ) = −θ x0 , L3 (T ) = −θ T + Ο Te 2bT x − 2θ T .
1 lim sup log P θ T →∞ bT
θT ˆ −θ e θ T
T
2. 引理及证明
接下来介绍两个关键引理。 令 bT , T ≥ 0 为一个非负函数且满足 bT = ο (T ) 。 引理 1：若 θ > 0 ，对任意的 α > 0 和 x ∈ ，我们有
T − x, x ≥ 0; 1 log EPθ exp −α e 2bT x − 2Tθ ∫0 X t2 dt = T →∞ b 0, x < 0. T
Upper Bounds of Moderate Deviations for the Estimator in the Non-Stationary Ornstein-Ulenbeck Process
Jin Shao
Department of Mathematics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing Jiangsu
2 θ + 2α e
2 2 bT x − 2T θ
−2T θ + 2α e e= e −2T
2
2 bT x −2 Tθ
θ 2 + 2α e2 bT x−2Tθ
+ ο e 2bT x − 2Tθ .
(
)
因此，
1 α − log 2 e 2bT x − 2Tθ + e −2T L1 (T ) = 2 2θ
邵金
T →∞
lim
e 2bT x − 2Tθ e −2T
θ 2 + 2α e2 bT x−2Tθ
= 0,
可推得
T →∞
lim
1 ( L1 (T ) + L3 (T ) ) bT 1 −2T − log e 2
1 = lim T →∞ b T
(
θ 2 + 2α e2 bT x−2Tθ
+ο e
(
)

(
)
当 θ > 0 时，有
log EPθ exp −α e 2bT x − 2Tθ ∫0 X t2 dt
{
T
}
) ( )
1 1 θ θ + θ 2 + 2α e2bT x − 2Tθ −2T θ 2 + 2α e2bT x−2Tθ = − log − + e 2 2 θ 2 + 2α e2bT x − 2Tθ 2 2 θ 2 + 2α e2bT x − 2Tθ 2 bT x − 2T θ 2 x0 α e T − − θ + θ 2 + 2α e2bT x − 2Tθ 2 bT x − 2T θ 2 bT x − 2T θ 2 2 2 coth T θ + 2α e θ − θ + 2α e
DOI: 10.12677/pm.2018.86084 635 理论数学
邵金
如，对任意闭集 F ⊂ ，
lim sup
T →∞
θT 1 log P θˆT − θ θ e bT
(
)
1 bT
∈ F ≤ − inf I ( x ) . x∈F
证明：对任意给定 x > 0 ，由引理 2 有
Pure Mathematics 理论数学, 2018, 8(6), 632-636 Published Online November 2018 in Hans. /journal/pm https:///10.12677/pm.2018.86084
摘
要
对于非平稳Ornstein-Uhlenbeck估计量的 中偏差上界。
文章引用: 邵金. 非平稳 Ornstein-Uhlenbeck 过程中参数估计量的中偏差上界[J]. 理论数学, 2018, 8(6): 632-636. DOI: 10.12677/pm.2018.86084
(
)
eθ T
(θˆ 2θ
T
−θ ⇒
)
ν , η
其中， ν 和 η 为两个独立的高斯随机变量[6]。
ˆ 的精 对于非平稳 Ornstein-Uhlenbeck 过程，如 θ > 0 的情况，Bercu，Coutin 和 Savy [7]已经研究了 θ T ˆ 的中偏差上界。 细大偏差。本文受非平稳高斯自回归过程的中偏差启发，考虑估计量 θ
1
其中，
1 1 r2 pq + = 1 。结合 inf λ 2 − qr λ = − ( q − 1) ，可得 λ >0 2 p q 2
r2 q T 2 ˆ exp 1 d P E q X s − − ( ) P s θ θT − θ ≥ r ≤ inf ∫ θ . 0 q >1 2
th th th
Received: Oct. 15 , 2018; accepted: Oct. 27 , 2018; published: Nov. 8 , 2018
Abstract
We study the maximum likelihood estimator of the drift estimation in a non-stationary Ornstein-Uhlenbeck process. Upper bounds of moderate deviations for this estimator are obtained.
{
)
T
T
}
1 1
T T T p p T = EPθ exp λ ∫0 X s dWs − λ 2 ∫0 X s2 ds + λ 2 ∫0 X s2 ds − r λ ∫0 X s2 ds 2 2
T p2 2 T 2 p pq 2 q T ≤ λ ∫0 X s ds λ − qr λ ∫0 X s2 ds EPθ exp λ p ∫0 X s dWs − EPθ exp 2 2 pq 2 q T = EPθ exp λ − qr λ ∫0 X s2 ds 2
(
2 bT x − 2T θ
) ) − θ T + Ο ( Te
2 bT x − 2T θ
= 0
)
(6)
结合(3)，(5)和(6)，引理 1 得证。 引理 2：对任意 r > 0 ，有
r2 q T 2 ˆ exp 1 d P E q X s − − ( ) P s θ θT − θ ≥ r ≤ 2inf ∫0 θ . q >1 2
T θ 2 − θ 02 exp (θ1 − θ 0 ) ∫ X s dX s − 1 = 0 2
∫0
T
X s2 ds
(2)
其中， 基于 { X t , t ≥ 0} 的观测值，θ 在 P = T σ (Ws , s ≤ T ) ，θ 0 , θ1 ∈ 。 θ 之下的极大似然估计量(MLE)为：
(
)
(3)
对 L1 (T ) ，由简单计算得到
θ
2 θ + 2α e
2 2 bT x − 2T θ
1 1 α 2bT x − 2Tθ = = − 2e + ο e 2bT x − 2Tθ 2 bT x − 2T θ 2 2θ 2α e 2 1+ 2
(
)
θ
和
θ + θ 2 + 2α e2bT x − 2Tθ
邵金
关键词
漂移项参数，中偏差，非平稳Ornstein-Uhlenbeck过程
Copyright © 2018 by author and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/