二次函数几种解析式求法
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法四川省仪陇县实验学校 李洪泉求二次函数解析式是初中数学的重点和难点，同时也是初中、高中数学知识的一个衔接点。
它所涉及的知识面广，解题技巧高，因此要求学生必须熟练掌握以下几种求二次函数解析式的常用方法。
1、根据二次函数的一般式求解析式当直接或间接知道二次函数图象上任意三点坐标时，通常可设函数解析式为一般式y=ax 2+bx+c 求解。
例1、(2008年广东梅州市)如图，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）分析：根据等腰梯形和直角三角形的性质不难求出60,(1,0),DAB A D C ∠=︒-，A 、D 、C 为抛物线上的任意三点，因此可令抛物线的解析式为一般式：2y ax bx c =++，则042a b c c a bc -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：3ab c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩故：过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式为：2y x x =；对称轴为直线x=1.（第三问解略） 点评：根据二次函数的一般式求解析式，必须知道抛物线上三点的坐标，目的是列一个三元一次方程组求解出解析式的待定系数的值。
2、根据二次函数的顶点式求解析式已知二次函数顶点坐标(h ，k)或对称轴x=h 时，通常可设函数解析式为y=a(x-h)2+k 求解。
例2、（四川省南充高中2011邀请赛题）如图，已知点(2,0),(4,0)B C --，过点,B C 的M 与直线1x =-相切于点A （A 在第二象限）,点A 关于x 轴的对称点是1A ，直线1AA 与x 轴相交点P 。
九年级数学讲义二次函数解析式的三种形式及求法讲解
二次函数是一种常见的数学函数，其解析式可以有三种常见的形式。
下面我将逐一介绍这三种形式及其求法。
1.顶点形式：y=a(x-h)²+k顶点形式是一种常见的二次函数解析式形式。
其中a，h和k分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，h表示抛物线的横向平移，k表示抛物线的纵向平移。
求解二次函数顶点形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后找出顶点坐标(h,k)，其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
2. 一般形式：y = ax² + bx + c一般形式是另一种常见的二次函数解析式形式。
其中a，b和c分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，b表示抛物线的横向平移，c表示抛物线的纵向平移。
求解二次函数一般形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后利用求根公式(-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，计算出二次函数的根；接着可以利用根的性质求出顶点的横坐标-x = b / 2a，并将x代入二次函数求得顶点的纵坐标y。
3.描点形式：y-y₁=a(x-x₁)(x-x₂)描点形式是一种通过抛物线上两个已知点求解二次函数解析式的形式。
其中a表示抛物线的开口方向和大小，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示已知点的坐标。
求解二次函数描点形式的步骤如下：首先计算a的值，可以利用已知点的坐标代入公式求解；接着将(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别代入描点形式，得到两个方程，再解这个方程组得到二次函数的解析式。
以上介绍了二次函数解析式的三种形式及其求法。
不同形式的解析式适合不同的问题，根据具体情况选取合适的形式求解可以提高解题效率。
希望对你的学习有所帮助！。
十种二次函数解析式求解方法
十种二次函数解析式求解方法〈一〉三点式。
1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。
〈二〉顶点式。
1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。
〈三〉交点式。
1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。
2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。
〈四〉定点式。
1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。
2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。
3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。
〈五〉平移式。
1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。
2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。
1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。
〈七〉对称轴式。
1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
二次函数表达式的求解方法
二次函数表达式的求解方法二次函数表达式的求解方法主要包括以下几种：一、直接开平方法直接开平方法适用于求解形如y = ax²+ bx + c（a≠0）的二次函数。
首先判断a的正负性，若a >0，则二次函数有最小值；若a <0，则二次函数有最大值。
接下来，求解方程y = ax²+ bx + c =0的根，即可得到二次函数的解析式。
二、配方法配方法适用于求解形如y = ax²+ bx + c（a≠0）的二次函数。
首先将二次函数表示为完全平方的形式，即y = a(x + b/2a)²-b²/4a。
然后根据完全平方公式，求解方程y = a(x + b/2a)²-b²/4a =0，得到二次函数的解析式。
三、公式法公式法适用于求解形如y = ax²+ bx + c（a≠0）的二次函数。
根据一元二次方程的求根公式，x₁、x₂= (-b ±√(b²-4ac)) / (2a)。
将求得的x₁、x₂代入二次函数，即可得到二次函数的解析式。
四、图像法图像法适用于求解二次函数的解析式。
首先根据二次函数的图像特征，如顶点、对称轴、抛物线的开口方向等，判断二次函数的解析式。
对于开口向上的二次函数，顶点坐标为（-b/2a，f(-b/2a)）；对于开口向下的二次函数，顶点坐标为（-b/2a，g(-b/2a)）。
然后根据顶点坐标和抛物线的对称性，求解二次函数的解析式。
五、待定系数法待定系数法适用于求解形如y = ax²+ bx + c（a≠0）的二次函数。
根据已知的条件，如顶点坐标、对称轴方程等，设定二次函数的解析式为y = a(x -m)²+ n。
将设定后的二次函数与原方程进行比较，得到关于a、m、n的方程组。
解方程组，即可得到二次函数的解析式。
综上所述，二次函数表达式的求解方法有直接开平方法、配方法、公式法、图像法和待定系数法等。
二次函数解析式三种方法
二次函数解析式三种方法嘿，大家知道吗，求二次函数解析式有三种超棒的方法呢！先来说说一般式吧。
一般式是y=ax²+bx+c，当我们知道函数图像上的三个点时，就可以用这个方法啦。
步骤就是把这三个点的坐标代入一般式中，得到一个三元一次方程组，然后解这个方程组就能求出 a、b、c 的值啦。
哎呀呀，这多简单呀，不过可得仔细点，别把坐标代错了哟！这种方法的稳定性那可是杠杠的，只要我们认真计算，就很少会出错呢。
它适用于各种情况，尤其是那些能轻松找到三个点的题目，优势明显呀。
就好比说，我们要建一座房子，这一般式就是那坚固的地基，能让我们的函数稳稳地立起来。
再讲讲顶点式。
顶点式是 y=a(x-h)²+k，要是我们知道了顶点坐标和另外一个点，那就用这个方法最合适啦。
先把顶点坐标代进去确定 h 和 k，然后再把另一个点代进去求出 a 的值。
哇塞，是不是感觉很神奇呀！这个过程就像搭积木一样，一块一块稳稳地堆起来。
它的安全性很高哦，只要我们抓住了顶点这个关键，就不容易出错啦。
它常常在那些强调顶点重要性的题目中大展身手，就像一个武林高手，在关键时刻使出绝招。
还有交点式呢。
交点式是 y=a(x-x₁)(x-x₂)，当我们知道函数与 x 轴的交点坐标时，就选它啦。
把交点坐标代进去求出 a 的值就行啦。
这就像是找到了宝藏的钥匙，一下子就打开了函数的大门。
它的过程也很稳定呀，只要我们确定了交点，就像有了方向标。
在处理与 x 轴交点相关的问题时，那简直就是如鱼得水。
来看看实际案例吧。
比如有个二次函数图像经过点(1,2)、(3,4)、(5,6)，那我们就可以用一般式来求解呀，把这三个点代进去，认真计算，就能求出解析式啦。
再比如知道顶点坐标是(2,3)和另一个点(4,5)，那用顶点式就能快速搞定。
所以呀，这三种方法各有各的好，我们要根据具体情况灵活选择，那就能轻松求出二次函数解析式啦！它们就像我们的得力助手，帮助我们在数学的海洋中畅游无阻！。
求二次函数解析式的几种方法
（ ｘ ＞ －３且 ≠ １ ￣ ）
（ ÷ ＜ ≤ １ ）
＋ ， 求 自变 量 的取
ｆ Ｘ＜５１
ｌ ７ ．已知 函数 ， ， ＝
ｌ １ ． ｙ＝￣ Ｔ￣ ２－ ｘ＋
１
一
√
（ ０ ≤ ≤２且 ≠１ ）
佰茄嗣
一
一
－
一
一
’
例６ 已知二次函数 的图象与 轴的两个交点间的
距离为 ， 其对称轴为 ＋２＝ ０ ， 且 过（一ｌ ， 一１ ） 点， 求
（ １ ， 一 ５ ） ．
・
其解析式． 解： 因对称轴为 ＝一 ２ ， 又抛 物线与 轴 两交 点之
间距离为
．
．
把抛物线 Ｙ＝ ２ ｘ 一４ ｘ一３向右平移 ３个单位 ， 再
４ ． ） ， ：—
１一 ￣ ／ ４ － １
５
６ ． ｙ ：厢
＋ 志 （ 一 ｌ 《 ＜ ２ ） ．
＋
一
（ ≥４且 ≠５ ）
ｌ ４ ． ） ， ： ． ｆ ］ Ｉ ￣ － ２
．
（ ＞２或 ＜ 一 ２ ）
（ 。且 ≠
． （ ≥一 ２ 且 ≠３ ） ．
例 ５ 把 Ｙ＝ ２ ｘ 一 ４ ｘ ＋８的图象向右 、 向下各平移 ３ 个单位 ， 求平移后 的解析式．
解： Ｙ＝ ２ ｘ 一 ４ ＋８：２ （ ｘ～１ ） ＋ ６ ， 向右 、 向下各平
将 点（ 一 １ ， １ ） 坐标代入上式得 ｎ ： １
。 ．
移 ３个单位后解析式为
交点为（ ， ｏ ） ， （ ／ ３ ， ｏ ， 则有对称轴 ： 质 ， 求＿些二次函数的解析式极为方便．
求二次函数解析式的三种基本方法
求二次函数解析式的三种基本方法在九年级复习后期，学生面临的一大难点便是二次函数相关知识，对待与二次函数有关的题解可谓是谈虎色变，但是二次函数是初中数学中的重要内容，也蕴涵着一种重要的数学思想方法。
它由数、式、方程（二次方程）到二次函数，贯穿了整个初中代数。
纵观近几年的中考试卷可以发现，二次函数始终是中考命题中的重点与热点，一方面是考查二次函数中学生对基础知识的掌握程度，另一方面以其新颖独特的综合试题引导学生探究和创新。
在此我就以二次函数中求解析式这一小块内容提供几种常见的基本解法，方便同学们在学习中进行参考：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y=ax2+bx+c（a≠0）求解。
我们称y=ax2+bx+c（a≠0）为一般式（三点式）。
例：二次函数图象经过A（1，3）、B（-1，5）、C（2，-1）三点，求此二次函数的解析式。
分析：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。
所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c （a≠0）构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。
二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y=a（x+m）2+k （a≠0）求解。
我们称y=a（x+m）2+k （a≠0）为顶点式（配方式）。
例：若二次函数图像的顶点坐标为（-2，3），且过点（-3，5），求此二次函数的解析式。
分析：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了-m、k 的值。
用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。
若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。
总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。
当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。
待定系数法求二次函数解析式的方法归类(解析版)
专项05 待定系数法求二次函数解析式的方法归类二次函数的四种解析式（1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0）已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。
（2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。
顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
（3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。
已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设y=a（x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A （1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得{a+b+c=0 c=−54a+2b+c=3解得{a=−1 b=6 c=−5所以，所求函数的解析式为y=−x2+6x−5．y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4．所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x = 3．【变式1-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。
求该二次函数的解析式【答案】解：根据题意，得 {0=1+b +c −3=c解得 {b =2c =−3所以所求的二次函数的解析式为y=x 2+2x -3【变式1-2】一个二次函数的图象经过A （0，0），B （1，9），C （-1，-1），求这个二次函数的解析式．【答案】解：设二次函数的解析式为 y =ax 2+bx +c ．∵抛物线经过 A(0,0) ， B(1,9) ， C(−1,−1) ，∴{c =0a +b +c =9a −b +c =−1 ，解得 {a =4b =5c =0，∴y =4x 2+5x【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式.【答案】解：∵抛物线顶点为（1，﹣4），∴设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，把（2，﹣3）代入得a ﹣4＝﹣3，解得a ＝1，所以抛物线解析式为y ＝（x ﹣1）2﹣4【变式2-1】已知抛物线的顶点为 (−2，−4) ，且经过点 (1，12) ，求此抛物线的解析式．【答案】解：∵二次函数的图象的顶点为（﹣2，﹣4），∴可设函数解析式为：y ＝a （x+2）2﹣4，∵函数图象经过点（1， 12） ∴a×9﹣4＝ 12， ∴a =12 ，∴二次函数的表达式为： y =12(x +2)2−4 ． 【变式2-2】已知抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，与y 轴交于点(0，﹣4)，求抛物线的解析式．【答案】解：∵抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2−2，∵抛物线经过点(0，﹣4)，∴a−2=−4，解得a=−2，∴抛物线解析式为y=−2(x−1)2−2．【变式2-3】已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+b将A，B点坐标带入得，{0=4a+b，6=a+b，解得a=-2，b=8，则y=-2(x-1)²+8.【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式．【答案】解：由题意可设二次函数的解析式为：y=a(x+1)(x−3)将C（0，﹣3）代入得：−3=a(0+1)(0−3)解得a=1∴y=(x+1)(x-3)= x2−2x−3∴此二次函数的解析式为：y=x2−2x−3.【变式3-1】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式【答案】解：依题意，设函数的解析式为y=a(x+3)(x−1)(a≠0)将点(0,−3)代入，得−3=−3a∴a=1∴所求函数解析式为y=(x+3)(x−1)，即y=x2+2x−3【典例4】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，求抛物线的解析式。
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二次函数的解析式求法之宇文皓月创作 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。 分析已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x2+8x-9的顶点A（2，-1）。将A点的坐标代入
y=ax(x-3),得到a=2
1 ∴y=21x(x-3),即 y=xx23212. 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在
本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-2
1
∴y=-,4)1(212x 即y=-.272
12xx
由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122xxy则b与c分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析逆用平移分式，将函数y=x2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x3)3(22xcbx =x.662x
∴b=-6,c=6. 因此选（B） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax2+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。 分析弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，
二是用弦比公式d=a就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A（1，0），B（3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x2+8x-6. 六、识图型
例 6 如图1，抛物线y=cxbx)2(212与y=dxbx)2(212其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。 （1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？ （2）求两条抛物线的解析式。
解（1）抛物线y=cxbx)2(212与x轴交于M，N两点（过程从略）；
（2）因y=dxbx)2(212的顶点坐标为（0，1）， ∴b-2=0,d=1, ∴b=2. ∴Y=1212x. 将点N的坐标与b=2分别代入y=221x+(b+2)x+c得c=6. ∴y=221x+4x+6 七、面积型 例 7 已知抛物线y=xcbx2的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。求其解析式。 解将（0，-3）代入y=cbxx2得 c=-3. 由弦长公式，得122bAB
点P的纵坐标为4
122b
由面积公式，得 解得.2b
因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2. 所以解析式为y=322xx
八、几何型 例 8 已知二次函数y=2x-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。 解由弦比公式，得AB=4)42(42mmm 顶点C的纵坐标为-4
)4(2m
∵ΔABC为等边三角形 ∴43214)4(2mm
解得m=4,32故所求解析式为 y=,344)324(2xx 或y=344)324(2xx 九、三角型
例 9已知抛物线y=cbxx2的图象经过三点（0，2512）、（sinA，0）、（sinB，0）且A、B为直角三角形的两个锐角，求其解析式。 解∵A+B=900，∴sinB=cosA. 则由根与系数的关系，可得
将（0，2512）代入解析式，得c=.25
12
（1）2)2(2,得 ,125242b∴57b
∵-b,0∴b=-5
7 所以解析式为y=25125
72xx
十、综合型 例 10 如图2，已知抛物线y=-qpxx2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点， 若∠ACB=900，且tg∠CAO-tg∠CBO=2，求其解析式． 解设A，B两点的横坐标分别为x21,x,则q=(-x.)21OBOAx 由ΔAOC～ΔCOB，可得OC2=OA·OB， ∴q2=q解得q1=1,q2=0（舍去），
又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得2OBOCOA
OC
即21121XX
∴x1+x2=-2x1x 2即 p=2p=2 所以解析式为y=-x2+2x+1
函数及其图象 例1.二次函数性质的应用 例2.利用二次函数性质求点的坐标 例3.求二次函数解析式 例4.求二次函数解析式 二、同步测试 三、提示与答案
-------------------------------------------------------------------------------- 例6.已知抛物线y=ax2+bx+c如图所示，对称轴是直线x=-1 (1)确定a.b.c.b2-4ac的符号， (2)求证a-b+c＜o ;
(3)当x取何值时，y随x值的增大而减小。 解：(1)由抛物线开口向上，得出a＞0，由抛物线与y轴交点坐标为(O，C)，而此点在x轴下方，得出c＜0，又由抛物线的对称轴是x=-1，在y轴左侧，得出b与a同号∴b＞0。
抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bc+c=0有两个不等的实根，∴b2-4ac＞0 (2)当x=-1时，y=a-b+c＜0 (3)当x＜-1时，y随x值的增大而减小。 例7.已知y是x的二次函数，且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位，当x=3时，y取得最小值-2。(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P，使ΔPAB的面积等于12个平方单位，求P点坐标。
分析：由已知可得抛物线的对称轴是直线x=3，根据抛物线的对称性，又由抛物线在x轴上截得线段AB的长是4，可知其与x轴交点为(1，0)，(5,0)
解：(1)∵当x=3时 y取得最小值-2.即抛物线顶点为(3，-2).∴设二次函数解析式为 y=a(x-3)2-2 又∵图象在x轴上截得线段AB的长是4，∴图象与x轴交于(1，0)和(5，0)两点
∴a(1-3)2-2=0 ∴a= ∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+ (2)∵ΔPAB的面积为12个平方单位，｜AB｜=4
∴×4×｜Py｜=12 ∴｜Py｜=6 ∴Pg=±6 但抛物线开口向上，函数值最小为-2，∴Py=-6应舍去，∴Pg=6 又点P在抛物线上，
∴6=x2-3x+ x1=-1,x2=7 即点P的坐标为(-1，6)或(7，6)
说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式｜x1-x2｜=，会使运算繁琐。这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。
例8.如图，矩形EFGH内接于ΔABC。E、F在AC边上H、G分别在AB、BC边上，AC=8cm,高BD=6cm,设矩形的宽HE为x(cm)。试求出矩形EFGH的面积y(cm2)与矩形EFGH的宽x(cm)间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少?
解：∵四边形EFGH是矩形 ∴HG∥AC ∴ΔABC∽ΔHBG 设BD交HG于M 则BD与BM分别是ΔABC和ΔHBG的高。 ∴ ∵HG∥AC, ∴MD=HE=x,BM=6-x
∴, ∴HG= ∵y=S矩形EFGH=HE*HG
∴y=x* 整理得y=-x2+8x ∵BD=6 ∴自变量x的取值范围是0＜x＜6
∵x2的系数为-＜0， ∴y有最大值
当x=-=3时， y最大值==12 ∴所求函数的解析式为y=-x2+8x(0＜x＜6)，当它的宽为3cm时，矩形EFGH面积最大，最大面积