支持向量机(三)核函数
支持向量机理论概述
支持向量机理论概述中图分类号：o213 文献标识：a 文章编号：1009-4202（2010）11-347-01摘要支持向量机是数据挖掘的新方法，也是一种小样本统计工具，它在解决小样本、非线性及高维的模式识别问题上具有其他机器学习方法难以企及的优势。
本文概述了支持向量机的理论发展过程，并在前人研究的基础上，对支持向量机的算法进行了改进。
关键词支持向量机核函数多分类一、支持向量机概念支持向量机（support vector machine，svm）是由vapnik等人提出的一种新的机器学习方法，是以vc维理论和结构风险最小化原则为基础的。
1981年，vapnik和他的合作者提出了svm的重要基础理论¬¬---vc维。
1982年，vapnik提出了具有划时代意义的结构风险最小化原则。
1992年，boser.guyon和vapnik等人提出最优边界分类器算法，这是支持向量机算法的最初模型。
1993年，cortes和vapnik进一步探讨了非线性情况下最优边界分类问题。
二、支持向量机的理论发展（1）核函数的构造，如核主成分分析等。
基于不同的应用领域，构造不同的核函数。
现在核函数广泛应用的类型有：多项式逼近、贝叶斯分类器、径向机函数、多层感知器等。
（2）svm从两类问题向多类问题的推广，以weston在1998年提出的多类算法为代表，在经典svm理论的基础上，直接在目标函数上进行改进，重新构造多值分类模型，建立k分类svm。
（3）与目前其他机器学习方法的融合。
如：最小二乘支持向量机，研究的问题已推广到对于大规模数据集的处理；处理数据的鲁棒性；参数调节和选择问题等。
（4）与数据预处理方法的结合，将数据中脱离领域知识的信息即数据本身的性质融入svm的算法而产生的新算法。
（5）svm训练算法的探索，提高svm的计算速度，处理大规模问题。
vapnik在1995年提出了一种块算法，即如果删除矩中对应拉格朗日乘数为0的行和列，将不会影响最终结果。
核函数知识点
核函数知识点核函数是机器学习领域中一种重要的数学工具，用于处理非线性问题。
它在支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）等算法中广泛应用。
本文将介绍核函数的基本概念、常见类型以及其在机器学习中的应用。
一、核函数概述核函数是一种将低维特征空间映射到高维空间的函数。
通过核函数的转换，可以将线性不可分的数据在高维空间中变得线性可分，从而使得SVM等机器学习算法能够处理非线性分类问题。
核函数的基本思想是通过非线性映射将数据从原始空间转换到一个新的空间，在新的空间中进行线性操作。
这种转换可以将原来无法线性划分的数据变得线性可分。
二、常见核函数类型1. 线性核函数（Linear Kernel）线性核函数是最简单的核函数，它不进行任何映射，仅仅计算原始特征空间中的内积。
其数学表示形式为K(x, y) = x·y，其中x和y表示原始特征空间中的两个向量。
2. 多项式核函数（Polynomial Kernel）多项式核函数通过将特征空间映射到更高维度的空间，使得原始数据在新的空间中变得线性可分。
其数学表示形式为K(x, y) = (x·y + c)^d，其中c表示常数，d表示多项式的次数。
3. 高斯核函数（Gaussian Kernel）高斯核函数是最常用的核函数之一，也称为径向基函数（Radial Basis Function，简称RBF）。
高斯核函数能够将原始特征空间映射到无限维的特征空间，使得数据在新的空间中呈现出非线性特征。
其数学表示形式为K(x, y) = exp(-γ||x-y||^2)，其中γ表示高斯核函数的带宽参数。
4. 拉普拉斯核函数（Laplacian Kernel）拉普拉斯核函数是一种基于拉普拉斯分布的核函数。
与高斯核函数类似，它也能够将数据映射到无限维的特征空间，实现对非线性数据的线性分类。
其数学表示形式为K(x, y) = exp(-γ||x-y||)，其中γ表示拉普拉斯核函数的带宽参数。
支持向量机中的核函数与模型选择
支持向量机中的核函数与模型选择支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习算法，在解决分类和回归问题中具有广泛的应用。
在SVM中，核函数和模型选择是两个重要的概念，它们在提高模型性能和解决非线性问题上起到至关重要的作用。
一、核函数在支持向量机中的作用核函数是SVM中的核心概念之一，它用于将样本从原始空间映射到高维特征空间，使得在原始空间中线性不可分的样本在特征空间中变得线性可分。
核函数的作用，可以简言之为将低维数据转换为高维数据，从而扩展数据的表示能力和模型的拟合能力。
常用的核函数包括线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等。
线性核函数适用于线性可分的情况，多项式核函数则可以处理非线性问题，而高斯核函数更适用于复杂的非线性问题。
不同的核函数在数据集的特性和问题的复杂程度上各有优劣，选择适合的核函数有助于提高模型的性能。
二、模型选择与参数调优在支持向量机中，模型选择和参数调优是提高模型性能的重要步骤。
模型选择涉及到选择合适的核函数、设置适当的超参数以及调整正则化参数等。
良好的模型选择可以改善模型的泛化能力，有效地避免过拟合和欠拟合问题。
1. 核函数选择：基于问题的特性和数据集的分布情况，选择适合的核函数非常重要。
线性核函数在简单的线性问题上表现较好，而多项式核函数和高斯核函数则可以应对复杂的非线性问题。
选择合适的核函数需要综合考虑问题的特性、数据集的分布以及算法的复杂度。
2. 超参数设置：SVM中的超参数有很多，如多项式核函数中的多项式次数、高斯核函数中的带宽等。
这些超参数的选择直接关系到模型的性能。
一般来说，我们可以通过交叉验证等方法来搜索最优的超参数。
通过尝试不同的超参数组合，我们可以找到一个相对较好的模型。
3. 正则化参数调整：正则化参数C，用于平衡模型的复杂度和训练误差。
较小的C会使模型趋向于简单，而较大的C会使模型趋向于复杂。
合理的调整正则化参数可以防止模型过拟合，提高模型的泛化能力。
支持向量机的核函数选择技巧
支持向量机（SVM）是一种用于分类和回归分析的监督学习模型。
它在处理复杂的非线性数据时表现出色，其中一个关键的技巧就是核函数的选择。
在本文中，我们将探讨支持向量机的核函数选择技巧，以及不同核函数的特点和适用场景。
一、核函数的概念和作用首先，让我们来了解一下核函数的概念和作用。
在支持向量机中，核函数的作用是将输入的数据映射到高维空间中，从而使得原本线性不可分的数据变得线性可分。
简而言之，核函数可以帮助支持向量机处理非线性数据，提高分类的准确性。
二、常见的核函数类型在支持向量机中，常见的核函数类型包括线性核函数、多项式核函数、高斯径向基核函数等。
不同的核函数具有不同的特点和适用场景。
1. 线性核函数线性核函数是最简单的核函数之一，它适用于处理线性可分的数据。
在一些简单的分类问题中，线性核函数可以取得不错的效果。
然而，对于复杂的非线性数据，线性核函数的表现就会显得力不从心。
2. 多项式核函数多项式核函数可以将数据映射到更高维的空间中，从而增加数据的线性可分性。
多项式核函数的一个重要参数是多项式的阶数，阶数越高，映射到的高维空间就越复杂。
然而，选择合适的多项式阶数并不是一件容易的事情，过高或过低的阶数都会影响分类器的性能。
3. 高斯径向基核函数高斯径向基核函数是支持向量机中最常用的核函数之一，也被称为RBF核函数。
它具有良好的非线性拟合能力，适用于处理复杂的非线性数据。
高斯径向基核函数有一个重要的参数σ，控制了数据映射到高维空间后的分布情况。
选择合适的σ值对支持向量机的性能影响巨大。
三、核函数选择的技巧在实际应用中，选择合适的核函数是非常关键的。
以下是一些核函数选择的技巧：1. 根据数据特点选择核函数在选择核函数时，需要根据数据的特点来进行选择。
如果数据是线性可分的，可以选择线性核函数；如果数据是非线性的，可以考虑使用多项式核函数或高斯径向基核函数。
2. 调参优化在使用多项式核函数或高斯径向基核函数时，需要对核函数的参数进行调参优化。
支持向量机中常见核函数的优劣比较
支持向量机中常见核函数的优劣比较支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）是一种常用的机器学习算法，广泛应用于模式识别、数据分类和回归分析等领域。
在SVM中，核函数的选择对模型的性能和泛化能力有着重要的影响。
本文将对SVM中常见的核函数进行优劣比较。
一、线性核函数线性核函数是SVM中最简单的核函数之一，其形式为K(x, y) = x·y。
线性核函数的优势在于计算速度快，不需要额外的参数调整，且对于线性可分的数据集表现良好。
然而，线性核函数的局限性在于无法处理非线性可分的数据集，因此在实际应用中效果有限。
二、多项式核函数多项式核函数是一种常用的非线性核函数，其形式为K(x, y) = (x·y + c)^d，其中c和d为用户定义的参数。
多项式核函数通过引入高维特征空间的组合特征，可以处理一定程度上的非线性可分问题。
然而，多项式核函数的缺点在于需要调节两个参数c和d，过高或过低的参数值都可能导致模型的过拟合或欠拟合。
三、高斯核函数（径向基函数）高斯核函数，也称为径向基函数（Radial Basis Function，简称RBF），是SVM中最常用的非线性核函数之一。
其形式为K(x, y) = exp(-γ||x-y||^2)，其中γ为用户定义的参数。
高斯核函数通过计算样本点与支持向量之间的相似度，将数据映射到无穷维的特征空间中，从而实现对非线性可分数据集的建模。
高斯核函数的优势在于可以处理复杂的非线性关系，具有较强的拟合能力。
然而，高斯核函数的缺点在于需要调节参数γ，过高或过低的参数值都可能导致模型的过拟合或欠拟合。
四、拉普拉斯核函数拉普拉斯核函数是一种常用的非线性核函数，其形式为K(x, y) = exp(-γ||x-y||)，其中γ为用户定义的参数。
拉普拉斯核函数与高斯核函数类似，都可以处理非线性可分问题。
不同之处在于拉普拉斯核函数的衰减速度比高斯核函数更快，因此对于异常点的鲁棒性更好。
支持向量机的核函数
支持向量机的核函数
支持向量机（SVM）是一种广泛用于分类、回归和异常检测的机器学习方法。
它基于一种名为核函数的技术，可以将非线性问题转换为线性问题。
下面是常见的支持向量机核函数：
1.线性核函数：线性核函数是最基本的支持向量机核函数，它将每个输入变量投影到同一特征空间，因此它不能解决复杂的非线性问题。
2.多项式核函数：多项式核函数是一种非线性核函数，用来处理复杂的非线性分类。
它利用多项式函数将输入变量投影到高维空间，这有助于多类分类器在该空间中构建复杂的划分边界。
3.径向基核函数：径向基核函数（也称为高斯核函数）是最常用的支持向量机核函数。
它利用输入数据的特征距离来构建内核变换。
该函数是非线性的，可以测量输入空间内两个实例的相似度。
4.Sigmoid核函数：Sigmoid核函数是一种拟s型核函数，该特征可以将非线性映射到线性支持向量机。
核函数的形状可以反映训练示例之间重要的变化，但这一学习效果很好地处理大规模支持向量机。
以上是常见的支持向量机核函数，它们都具有转换复杂非线性问题的能力，使SVM有效处理大规模数据集以及处理多类分类问题。
除此之
外，这些核函数还可用于不同类型的机器学习任务，比如回归、聚类和异常检测。
它们的共同点是，它们都可以将非线性问题转换为线性问题，从而提高模型的泛化能力。
核函数的计算与应用
核函数的计算与应用核函数在机器学习和模式识别领域中扮演着重要的角色。
它们能够将输入数据映射到更高维度的特征空间，从而解决线性不可分的问题。
本文将介绍核函数的计算方法，并探讨其在支持向量机（SVM）和主成分分析（PCA）等算法中的应用。
一、核函数的计算方法核函数是一种在机器学习中常用的函数，用于将低维空间的数据映射到高维空间。
常见的核函数包括线性核函数、多项式核函数、高斯径向基函数等。
1. 线性核函数线性核函数是最简单的核函数之一，它可以直接对原始特征进行线性变换。
其计算方法为：K(x, y) = x·y2. 多项式核函数多项式核函数通过多项式的方式将数据映射到高维空间。
其计算方法为：K(x, y) = (x·y + c)^d3. 高斯径向基函数（RBF）高斯径向基函数是一种常用的核函数，它可以将数据映射到无穷维的特征空间。
其计算方法为：K(x, y) = exp(-γ ||x-y||^2)其中，γ为高斯核函数的带宽参数，||x-y||表示输入数据x和y之间的欧氏距离。
二、核函数在支持向量机中的应用支持向量机是一种常用的分类器，它能够在非线性可分问题上取得较好的性能。
核函数在支持向量机中起到了关键作用。
1. 线性支持向量机线性支持向量机通过线性核函数对数据进行映射，从而实现特征的扩展。
它在处理线性可分问题时表现出色，计算效率高。
2. 非线性支持向量机非线性支持向量机通过非线性核函数对数据进行映射，从而解决非线性可分问题。
常用的非线性核函数包括多项式核函数和高斯径向基函数。
三、核函数在主成分分析中的应用主成分分析是一种常用的降维技术，它通过将高维数据映射到低维空间，提取出最重要的特征。
核函数在主成分分析中也有广泛的应用。
1. 核主成分分析（Kernel PCA）核主成分分析是主成分分析的扩展形式，它通过非线性核函数将数据映射到高维空间，再进行降维操作。
相比传统主成分分析，核主成分分析能够更好地处理非线性关系。
支持向量机中的核参数选择问题
第 4 期 齐志泉等 : 支持向量机中的核参数选择问题 ・3 8 1 ・
3 3 3 3 3 3 3 3 3 ⑨ 记θ = min{θ ( 1) ,θ ( 2) ,θ ( 3) } , θ3 3 3 即为所求 。
4 数值实验
1) 实验数据 数据 1 是关于酒的识别数据
3 3
③ 选取α 的一个正分量α > 0 , 并据此计算 j 阀值 b = yj (1 3
αj
3
l
C
l
) -
i =1
∑y a
i i
i
3
K ( xi , xj )
④ 构造决策函数 :
f ( x ) =sgn (
i =1
α y K( x , x ) ∑
i i
3
3 + b )
由上述算法可以看到 , 参数 C 的选择和核函
[1 ]
论的新的机器学习方法 。近几年在其理论研究和算 法实现方面都取得了突破性进展 , 并逐渐成为克服 “维数灾难”和 “过学习”等传统困难的有力工具 。 在文本识别 、人脸识别 、图像压缩等领域有着许多 成功的应用 。支持向量机是基于核的学习 , 其核心 思想是 : 在进行分类时 , 对于线性不可分的样本首 先通过一个非线性映射将原空间的样本映射到一个 高维的特征空 ( 也称核空间) , 使得在核空间中变的 线性可分或近似线性可分 , 然后在核空间中进行线 性分类 ( 或其他线性算法) , 从而实现相对于原空间 的非线性算法 。在这些算法中关键是引入了核函
1 ,2 , …,20) 计算它的适合函数 :
gi ( t ) =
i =1
∑yα
= 0
α i ≥0 , i = 1 , …, l
核函数支持向量机的研究进展
函数 和 Si g mo i d 核函 数。
2 基础研究 核函 数方法是 迄今最先进 的分类算 法, 伴
随支持 向量机的 迅速发展, 在 解决分类与 回归 问题方面, 核函数支持 向量机已 成为最流行 且 功 能 强 大的 工 具 。
核函数方法善于将样本经非线性映 射到特 征空间, 核函数能 在特征空间 中变换成 内积表 达形式, 在特征空 间中仅涉及 内积运算 的线性 运算, 并且求和是对样本个数, 不涉及特征空间 的维数, 也不需要知道非线 性映射的具体形式。
向量机的 发展, 核函 数方法已成 为目前最盛 行 与最 有效 的技术 。支 持向 量机的 基本 思想 是 构造一 个超平面作 为决策面, 由此使两类 样本 的间隔最大 ( 图1) 。为了浅而易 见, 我们在 欧氏 空间 Rn 中 讨 论 问题 , 并 给定 L 个 训练 样 本
n 为输 入维 。 在 线性可分 的情况 下, 有一个超 平面把这 两类 样本分 开, 该超平 面的表 达式为:
j
性权 , b 为 偏 置值 。 根 据结 构风 险最 小 化原 理和 依据 拉格 郎
日定 理, 运用 拉格 郎日乘 子法 , 在凸集 的约 束
条件下 , 进行二 次规 划问题 的求 解。最 后, 最 优超 平面可 以定义 为:
( 1. 3)
式 中,
是 核 函数 。核 函数 的 作
用: 平滑( 低通 滤波) , 相似性 度量。
了 相关的基础 研究和应用 研究, 同 时探讨了未 来的发展趋 势。
关键 词: 核函 A
文章编号: 16 72- 37 91 ( 2 00 8) 07 ( a) - 0 20 9- 02
1 基本理论 在 模式分类 与回归分 析方面, 伴 随着支持
支持向量机名词解释
支持向量机名词解释
支持向量机（SupportVectorMachine，SVM）是一种用来分类和
回归的监督学习算法。
SVM 基于统计学习理论和结构风险最小化原理，通过最大化数据集中的“支持向量”与超平面的距离来实现分类和回归。
以下是一些常见的 SVM 相关名词解释：
1. 超平面：将数据集分为两个类别的分界线。
对于二分类问题，SVM 会找到一个最优的超平面，使得该超平面能够清晰地将两个类别分开。
2. 支持向量：指距离分类超平面最近的数据点，这些点对于确
定超平面的位置至关重要。
SVM 将这些支持向量作为分类决策的关键因素。
3. 核函数：用来将非线性问题映射到高维空间，以实现更好的
分类效果。
SVM 可以使用多种核函数，如线性核、多项式核和径向基函数核等。
4. 松弛变量：在实际分类问题中，很难找到一个完美的超平面，因此 SVM 引入了松弛变量来允许一些数据点被分类错误。
松弛变量
的数量可以通过调节一个参数来控制。
5. C 值：SVM 的一个参数，它控制了分类器的复杂度和过拟合
的风险。
C 值越小，分类器越简单，可能会出现欠拟合；C 值越大，分类器越复杂，可能会出现过拟合。
6. 判别函数：SVM 的预测函数，根据输入数据的特征向量和训
练得到的模型参数，输出一个预测结果。
对于二分类问题，判别函数
的输出值大于 0 表示属于正类，小于 0 表示属于负类。
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支持向量机（三）核函数
7 核函数（Kernels）
考虑我们最初在“线性回归”中提出的问题，特征是房子的面积x，这里的x是实数，结果y是房子的价格。
假设我们从样本点的分布中看到x和y符合3次曲线，那么我们希望使用x的三次
多项式来逼近这些样本点。
那么首先需要将特征x扩展到三维，然后寻找特征和结果
之间的模型。
我们将这种特征变换称作特征映射（feature mapping）。
映射函数称作，在这个例子中
我们希望将得到的特征映射后的特征应用于SVM分类，而不是最初的特征。
这样，我们需要将
前面公式中的内积从，映射到。
至于为什么需要映射后的特征而不是最初的特征来参与计算，上面提到的（为了更好地拟合）是其中一个原因，另外的一个重要原因是样例可能存在线性不可分的情况，而将特征映射到高维空间后，往往就可分了。
（在《数据挖掘导论》Pang-Ning Tan等人著的《支持向量机》那一章有个很好的例子说明）
将核函数形式化定义，如果原始特征内积是，映射后为，那么定义核函数（Kernel）为
到这里，我们可以得出结论，如果要实现该节开头的效果，只需先计算，然后计算
即可，然而这种计算方式是非常低效的。
比如最初的特征是n维的，我们将其映射到维，然
后再计算，这样需要的时间。
那么我们能不能想办法减少计算时间呢？
先看一个例子，假设x和z都是n维的，
展开后，得
这个时候发现我们可以只计算原始特征x和z内积的平方（时间复杂度是O(n)），就等价与计
算映射后特征的内积。
也就是说我们不需要花时间了。
现在看一下映射函数（n=3时），根据上面的公式，得到
也就是说核函数只能在选择这样的作为映射函数时才能够等价于映射后特征的内积。
再看一个核函数
对应的映射函数（n=3时）是
更一般地，核函数对应的映射后特征维度为。
（求解方法参见/question/16706714.html）。
由于计算的是内积，我们可以想到IR中的余弦相似度，如果x和z向量夹角越小，那么核函数
值越大，反之，越小。
因此，核函数值是和的相似度。
再看另外一个核函数
这时，如果x和z很相近（），那么核函数值为1，如果x和z相差很大（），那么核函数值约等于0。
由于这个函数类似于高斯分布，因此称为高斯核函数，也叫做径向基函数(Radial Basis Function 简称RBF)。
它能够把原始特征映射到无穷维。
既然高斯核函数能够比较x和z的相似度，并映射到0到1，回想logistic回归，sigmoid函数可以，因此还有sigmoid核函数等等。
下面有张图说明在低维线性不可分时，映射到高维后就可分了，使用高斯核函数。
来自Eric Xing的slides
注意，使用核函数后，怎么分类新来的样本呢？线性的时候我们使用SVM学习出w和b，新来
样本x的话，我们使用来判断，如果值大于等于1，那么是正类，小于等于是负类。
在两者之间，认为无法确定。
如果使用了核函数后，就变成了，是否先
要找到，然后再预测？答案肯定不是了，找很麻烦，回想我们之前说过的
只需将替换成，然后值的判断同上。
8 核函数有效性判定
问题：给定一个函数K，我们能否使用K来替代计算，也就说，是否能够找出一个，使得对于所有的x和z，都有？
比如给出了，是否能够认为K是一个有效的核函数。
下面来解决这个问题，给定m个训练样本，每一个对应一个特征向量。
那么，我们可以将任意两个和带入K中，计算得到。
I可以从1到m，。