如何数复杂图形中三角形个数
三角形个数规律-概述说明以及解释
三角形个数规律-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角形是数学中的一个基本几何形状，它由三条边和三个顶点组成。
三角形在我们的日常生活中随处可见，例如建筑物的屋顶、牛奶盒子的底部等等。
三角形不仅在几何学中有着重要的地位，还在各个学科领域中得到广泛的应用，如物理学、工程学等。
本文的主要目的是探讨三角形个数的规律。
在正文部分，我们将首先介绍三角形的定义和分类，以及它们的基本性质和特点。
接着，我们将重点研究三角形个数的规律，并通过数学方法和图形展示来分析这些规律的特点和变化趋势。
了解三角形个数的规律对于我们理解几何学的发展和应用具有重要意义。
通过探究三角形个数的规律，我们可以更好地理解几何学的基本原理和定理，并在实际问题中灵活运用这些知识。
此外，研究三角形个数的规律还对于提高数学思维能力和解决复杂问题具有启发作用。
总之，本文将系统地介绍三角形个数的规律，通过深入分析和讨论，展示出三角形在几何学中的重要性，并展望未来的研究方向。
通过阅读本文，读者将能够更好地理解三角形的相关概念和性质，扩展数学思维，并在实际问题中应用所学知识。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以从以下角度进行撰写：文章结构文章结构的设计是为了合理地组织和展示文章的内容，使读者能够清晰地理解和接收信息。
本文将按照以下结构进行展开：1. 引言部分1.1 概述在这一部分，我们将介绍三角形个数规律的背景和重要性，引起读者对该主题的兴趣。
1.2 文章结构这一部分旨在概述整篇文章的结构，让读者了解文章的组织方式。
接下来的正文将包括三个主要部分：三角形的定义、分类和性质；三角形个数的规律；以及结论部分。
1.3 目的在这一部分，我们将明确本文的目的，即探讨三角形个数规律的原因和意义，以及进一步研究该规律的动机。
2. 正文部分2.1 三角形的定义这一部分将介绍三角形的定义和基本概念，包括三边和三角形的角度关系等，为后续讨论奠定基础。
2.2 三角形的分类在这一部分，我们将介绍常见的三角形分类方法，如按边长分类（等边三角形、等腰三角形、一般三角形）、按角度分类（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）、按角度和边长综合分类等。
四年级奥数思维训练专题-数数图形
四年级奥数思维训练专题-数数图形专题简析：当线段、角、三角形、长方形等图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形.要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，必须注意以下几点：1，弄清被数图形的特征和变化规律.2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏.例1：数一数下图中共有多少个三角形.分析：以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个；以EF上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个.所以图中共有6×2=12个三角形.试一试1：数一数下面各图中各有多少个三角形.（）个三角形（）个三角形例2：数一数下图中有多少个长方形.·分析：数长方形与数线段的方法类似.可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形.试一试2：数一数下面各图中分别有多少个长方形.（）个长方形数数图形（二）专题简析：“数图形”时，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来.例1：数一数下图中有多少个长方形？分析：AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形.即：长边线段数×宽边线段数=长方形的个数试一试1：数一数，下图中有( )个长方形.例2：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）分析：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个.所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个.经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n.试一试2：数一数下图中有（）个正方形.（每个小方格为边长是1的小正方形）例3：数一数右图中有多少个正方形？(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)分析：边长是1个长度单位的正方形有6×4=24个；边长是2个长度单位的正方形有（6－1）×（4－1）=15个；边长是3个长度单位的正方形有（6－2）×（4－2）=8个；边长是4个长度单位的正方形有（6－3）×（4－3）=3个；共有：24＋15＋8＋3=50个.如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m －2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)·1试一试3：数一数下图中有( )个正方形.。
角的个数计算方法和技巧
角的个数计算方法和技巧
1. 嘿，你知道怎么数一个图形里角的个数吗？就比如说三角形有几个角呀？那肯定是 3 个嘛，这多简单！可要是复杂点的图形呢？这时候呀，我们可以先按边来分区域，然后分别数每个区域里的角，最后加起来，你说妙不妙？像那个多边形，咱们就可以这样去数角。
2. 哇哦，数角还有一个小技巧呢！如果遇到有好多重复的角不好数，那我们可以给每个角标上号呀！就像给小朋友排排队一样，这样是不是一下子就清楚啦？比如说那个有很多交叉线的图形，给角标号后就超容易数啦！
3. 哎，数角的时候可别马虎哟！得仔细观察，一个都不能漏。
就跟找宝藏似的，得认真去找呀！你想想，如果漏了一个角，那不就不准确了吗？好比那个不规则的图形，你稍微不注意可能就把某个小角给忽略了呀。
4. 嘿呀，还可以从角的大小来入手呢！大角小角分开数，最后再合起来，哇，简直太牛啦！就像在一堆糖果里先分大糖果和小糖果再数数一样，这个办法是不是很新奇？比如那个形状奇怪但角有大有小的图形，用这个方法就很好用呢。
5. 你们试过从角的位置来考虑吗？一些特殊位置的角特别显眼呀！先把这些数出来，然后再数其他的，是不是轻松多啦？就跟挑出最显眼的那颗星星一样明显呀！像那个有对称结构的图形，特殊位置的角就很容易找到啦。
6. 哈哈，数角也得有耐心呀！不能着急忙慌的，不然容易数错呢！这就跟解难题一样，得慢慢来。
比如那个超级复杂的网状图形，不耐心可不行呀！
7. 哇塞，掌握了这些角的个数计算方法和技巧，以后遇到再难的图形咱也不怕啦！这就像是有了一把万能钥匙，啥锁都能开呀！
我的观点结论：角的个数计算是有方法和技巧的，大家掌握了这些，数角就会变得轻松又准确！。
二年级数三角形的题目
二年级数三角形的题目一、基础题型（单个图形中的三角形计数）1. 数一数，下面这个图形中有几个三角形？- △.- 解析：这个图形就是1个三角形，直接数出即可。
2. 观察下面的图形，数出三角形的个数。
- △.- △.- 解析：这里有2个独立的三角形，所以三角形个数为2。
3. 数出这个图形中的三角形个数。
- △.- △.- △.- 解析：图中有3个独立的三角形，三角形个数为3。
二、组合图形中的三角形计数（简单组合）4. 数一数下面图形中有多少个三角形？- △.- △△.- 解析：这里有3个三角形。
上面1个单独的三角形，下面由2个小三角形组成1个大三角形，总共1 + 2=3个。
5. 数出该图形中的三角形数量。
- △.- △△.- △.- 解析：图中共有5个三角形。
上面2个单独的三角形，下面2个单独的三角形，再加上由下面2个小三角形组成的1个大三角形，即2+2 + 1=5个。
6. 求下面图形中三角形的个数。
- △△.- △△.- 解析：这个图形中有6个三角形。
可以先数单个的小三角形有4个，然后由2个小三角形组成的大三角形有2个，4+2 = 6个。
三、较复杂组合图形中的三角形计数。
7. 数出下面图形里三角形的个数。
- △.- △△.- △△△.- 解析：单个小三角形有6个，由2个小三角形组成的三角形有3个（上面2个、中间2个、下面2个），由3个小三角形组成的大三角形有1个，总共6+3+1 = 10个。
8. 数一数这个图形中的三角形数量。
- △.- △△.- △△△.- △.- 解析：单个小三角形有7个，由2个小三角形组成的三角形有3个（左边2个、中间2个、右边2个），由3个小三角形组成的三角形有1个，总共7+3+1 = 11个。
9. 求下面图形中三角形的个数。
- △△.- △△△.- △△△△.- 解析：单个小三角形有10个，由2个小三角形组成的三角形有6个（上排相邻2个有3组，下排相邻2个有3组），由3个小三角形组成的三角形有3个（上排3个、中间3个、下排3个），由4个小三角形组成的大三角形有1个，总共10+6 + 3+1=20个。
三年级奥数巧数图形
第2讲 巧数图形知识要点同学们，我们经常会遇到数图形的问题，对于较复杂的图形，经常会出现数重复或数漏掉的错误。
怎样才能不重复也不遗漏地数出图形的个数呢？这节课，我们将一起来寻找好的方法。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
精典例题例1:数出下图中有多少条线段？模仿练习数一数，每种图形有多少个？有（ ）条线段 有（ ）个三角形有（ ）个角 有（ ）个长方形 有（ ）个正方形例2:数出图中共有多少个三角形？从短的线段入手，再两条两条拼接起来数，你发现规律了吗？EABCDODC B A FEDC B A模仿练习数一数，每幅图里有多少个三角形？ （1） （2）有（ ）个三角形有（ ）个三角形例3:下面的图形中有多少个三角形？（第九届中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛试题）模仿练习数一数，图中共有几个正方形？（2010武汉明心数学资优生水平测试题）精典例题例4:数出下图中有多少个长方形？多少个正方形？还能用刚才的方法来数吗？三角形很多，可以尝试按三角形的方向和大小尝试分类数。
KG I H G FEDC B A模仿练习1.数一数，图中有多少个长方形？2.数一数图中有多少个正方形？家庭作业1.数一数每幅图里面图形的个数（能计算的写出算式）。
（1） （2）前面学习的数长方形的方法还有用吗？怎么能用上呢？DCBA D CBA有（ ）条线段 有（ ）个角2.右图中有多少个三角形？3.图中有多少个长方形？（把你的想法分享给你的爸爸妈妈听，你能教会他们吗？分享后让爸爸妈妈给你打星，最多5颗星）4.数一数，右图中有多少个正方形？5.（20XX 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛试题）。
第17讲 数数图形
学习奥数的优点1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
第17讲数数图形一、知识要点我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.线段上有n个端点，那么线段的条数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12.从一个顶点引n条射线，那么锐角的个数为n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+13. 由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
4. 如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.二、精讲精练【例题1】数出下面图中有多少条线段。
练习1：数出下列图中有多少条线段。
（2）【例题2】数一数下图中有多少个锐角。
练习2：：下列各图中各有多少个锐角？【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。
练习3：：数一数下面图中各有多少个三角形。
【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。
练习4：：数一数下面各图中各有多少个三角形。
【例题5】数一数下图中有多少个长方形。
练习5：：数一数下面各图中分别有多少个长方形。
【例题6】数一数下图中有多少个长方形？练习6：数一数，下面各图中分别有几个长方形？【例题7】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）练习7：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）【例题8】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）练习8：数一数下列各图中分别有多少个正方形。
四年级数学同步奥数 第八讲 三角形 、平行四边形和梯形(图形计数)
第八讲三角形、平行四边形和梯形(图形计数)[知识概述]几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的,因而，要准确计数就需要些智慧了。
实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法。
具体而言，它是指把所有要计数的对象一一列举出来，以保证列举时不重复、无遗漏，然后计算其总和,正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养思维的有序性和良好的学习习惯。
例题精学例1A数一数，下图中有多少条线段?[思路分析]同学们可能会凭直觉脱口而出认为图上有4条线段，分别是AB,BC,CD和DE，其实不然，这4条我们称之为最基本的线段，每几条相邻的基本线段还可以组成新的线段，如AB,BC可以组成线段AC,要想得到正确的结果,必须有次序，有条理地数。
方法一:以线段左端点为起点，分类数的方法。
以A点为左端点的线段有:AB,AC,AD,AE,4条;以B点为左端点的线段有:BC,BD,BE,3条;以C点为左端点的线段有:CD,CE,2条;以D点为左端点的线段有:DE,1条。
所以图中共有线段:4+3+2+1=10(条)。
方法二:把图中线段AB,BC,CD,DE看成基本线段。
由一条基本线段组成的线段有:AB,BC,CD,DE,4条;由两条基本线段组成的线段有:AC,BD,CE,3条;由三条基本线段组成的线段有:AD,BE,2条;由四条基本线段组成的线段有:AE,1条。
图中一共有10条线段:4+3+2+1=10(条)。
同步精练数一数，图中各有几条线段。
一共有()条线段。
一共有()条线段。
一共有()条线段。
例2、数一数.图中有多少个角?[思路分析] 我们可以用数线段的方法类推出数角的方法。
以OA为一边的角有:∠AOB,∠BOC,∠COD和∠DOE,把它们看作基本角:由一个基本角组成的角有:∠AOB, ∠BOC,∠COD和∠DOE4个;由二个基本角组成的角有:∠AOC,∠BOD和∠COE,3个;由三个基本角组成的角有:∠AOD,∠BOE,2个;由四个基本角组成的角有:∠AOE,1个。
四年级数三角形的规律技巧
四年级数三角形的规律技巧嘿，小朋友们！今天咱们要来聊聊四年级数三角形的那些奇妙事儿哦！你们有没有想过，那些看起来乱七八糟的三角形，其实藏着好多有趣的规律和技巧呢！比如说，咱们先来看一个简单的图形。
哇，这里面有好多三角形啊，那怎么才能不重不漏地数出来呢？这就像是在一个大宝藏里找宝贝，得有方法才行呀！咱们可以从最小的三角形开始数起。
就像小蚂蚁一点点搬运食物一样，一个一个地数。
然后呢，再数由两个小三角形组成的大一点的三角形，接着是三个小三角形组成的更大的三角形……这样一步一步来，是不是感觉有点头绪啦？你们看，这就好比是搭积木，一块一块地往上堆，最后就能看到一个完整的造型啦！还有哦，咱们可以把图形分成几个部分来看。
每个部分都单独数，然后再把它们加起来。
这就好像是把一个大蛋糕切成几块，先数每一块上面的奶油花，最后再把总数加起来。
有时候，图形可能会比较复杂，这时候可别着急，别慌张呀！静下心来，仔细观察，就一定能找到那些隐藏的三角形。
这就像在迷宫里找出口，只要耐心，总能找到路的。
而且呀，数三角形可不仅仅是为了好玩哦，它还能锻炼我们的观察力和思维能力呢！就好像是给我们的大脑做了一次体操，让我们变得更聪明啦！想象一下，如果我们能快速又准确地数出三角形，那该多有成就感呀！别的小朋友还在抓耳挠腮的时候，我们已经轻松搞定啦，是不是感觉超棒的？所以呀，小朋友们，不要害怕那些看起来复杂的图形。
只要我们掌握了规律和技巧，就像是有了一把神奇的钥匙，能打开数三角形的大门哦！加油吧，让我们一起在三角形的世界里尽情探索，发现更多的乐趣和惊喜吧！数三角形其实一点也不难，只要我们用心去感受，去尝试，就一定能找到其中的奥秘！相信自己，你们都是最棒的！。
一年级下册数三角形个数的题
一年级下册数三角形个数的题
# 一、题目示例
题目：数一数下面图形中三角形的个数。
（此处画出一个由多个小三角形组合成的较为复杂的图形，例如：一个大三角形被三条中线分成了6个小三角形的组合图形）
# 二、题目解析
1. 按单个小三角形计数
首先观察图形中最基本的、不可再分割的小三角形。
在上述示例图形中，这样的小三角形有6个。
2. 按由2个小三角形组成的三角形计数
然后看由2个小三角形组合成的三角形。
在这个例子中，有3个这样的三角形（分别是三条中线两两组合所围成的三角形）。
3. 按由3个小三角形组成的三角形计数
接着找由3个小三角形组成的三角形，这里有6个小三角形，每相对的三个小三角形可以组成一个三角形，这样的三角形有0个（因为6个小三角形无法按照这样的方式组成三角形）。
4. 按由更多小三角形组成的三角形计数（如4个、5个等，在这个例子中最多由6个小三角形组成）
再看由4个小三角形组成的三角形，有0个。
由5个小三角形组成的三角形，有0个。
最后看由6个小三角形组成的三角形，这里有1个（就是整个大三角形）。
5. 汇总三角形个数
将上述各类三角形的个数相加：6+3 + 0+0+0+1=10（个），所以这个图形中一共有10个三角形。
四年级奥数-巧数图形个数
姓名：巧数图形个数“数图形的个数”是趣味图形问题的一种，由于几何图形千变万化，错综复杂，要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理有次序地数图形的方法。
数图形的个数时，既不能同一图形数两次，又不能把有的图形漏掉不数，常用的计算方法有按顺序和分类数两种。
下面举例介绍两种方法的运用规律：例：数一数下面图中有多少条线段。
第一：按含基本线段的顺序去数。
上图一共有5条小线段，这每条小线段就是基本线段，有5条基本线段，包含有两条基本线段的有4条……第二：按端点进行分类去数。
以线段最左边的点为第一个端点，第二个点为第二个端点……为了方便同学们计数，向大家介绍数线段、三角形、角数量的公式：1+2+…+（n－2）+（n－1）＝2)1(nn一、试一试，看谁数得又对又快。
一共有（）个三角形。
一共有（）个角。
二、填空。
1. 算式中有乘法和加、减法，应先算（）；算式中有除法和加、减法，应先算（）；算式中有括号的，应先算（）。
2. 在计算25＋13×2时,先算( )法,再算( )法。
3. 在计算78÷16×3时，先算（）法，再算（）法。
4. 在算式50－20÷5里，如果要先算减法，那么算式应该是：（）。
里填上“＜”“＞”或“＝”。
20×5＋×（5＋3）48÷6÷÷（6×8）280－37－280－（37＋163）60－24÷60－24）÷12小故事明明和沉沉都十分喜欢数学。
一天明明问沉沉：“你最喜欢几？”“我最喜欢9。
”“那你说说从1数到100，要说几次‘9’？”“啊！……这”沉沉被难住了，“这要数一数才能知道，一分钟时间。
”同学们，请你在一分钟内说出从1到100有多少个9？。
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如何数复杂图形中三角形的个数
作者姓名：曾祥云 电子邮箱：
我们常常会遇到数一个图中有多少个基本图形的问题，比如一个图中有多少个长方形、正方形、三角形等。
对于长方形和正方形来说，由于规律性比较强学生觉得比较容易，但对于三角形则往往觉得比较复杂，有时甚至无从下手。
拙文从有规律图形和复杂图形两方面来探讨数三角形个数的方法，重点通过一个实例展示数复杂图形中三角形个数的一种方法。
一、有规律图形中三角形的个数的计算方法。
如图1所示，这种图形中三角形的个数可用公式2)1(÷-⨯n n 来表示，其中n 为BC 上的顶点数。
其实质就是数BC 边上线段的条数，每条线段对应一个三角形。
图2所示的图形中三角形的个数则可以用m n n ⨯÷-⨯2)1(来表示，n 的含义同上，m 为端点分别在AB 和AC 上的连线的数量。
以上两种情况比较常见，在后面的方法中也常常要用到。
二、复杂图形中三角形个数的计算方法。
在图3所示的图形中，常用的方法是先按图2的方法计算出有顶点在A 的那部分三角形个数，再加上没有顶点在A 的三角形的个数。
这样图3中三角形的个数为：
15322)14(4=+⨯÷-⨯
对于图4中有多少个三角形，则会让人产生一种无从下手的感觉！ 对于这种图形，我们可以采用一种暂且命名为“相关擦除法”的方法来计算，下面以图4为例详细介绍“相关擦除法”的使用方法。
首先计算一个顶点在A 的三角形的个数，也就是与A 点相关的三角形的个数：
3052)14(4=⨯÷-⨯………………………………………………（1） 然后擦除原图中其它部分与A 点的连线，将它变成图4-1，已擦除的连线用虚线表示，也就虚线应视为不存在的线，只是为了便于联系原图而画出来的，下同。
上述个数加上图4-1中三角形的个数就是图4中所有三角形的个数。
因为，（1）式中的三角形个数是与A 点有关的，而图4-1中三角形的个数则是原图中与A 点无关的。
图4-1中与B 点相关的三角形的个数为：
2191232)13(322)14(4=+=⨯÷-⨯+⨯÷-⨯ (2)
计算出与B 点有关的数据后就可以擦除与B 点有关的连线，简化成图4-2。
依此类推，计算与C 点有关的三角形个数后，再变成图4-3。
由于图4-2是一个不规则的图形，其三角形的个数不方便用前面的公式来计算，因此，我们有必要找一种数三角形的方法，而不再是公式。
可以这样数，从C 点出发按顺时针或逆时针方向，数一数一共可以构成多少条三角形回路就行了。
现在用逆时针方向来数，从C 向A ，第一条边有2种选择，分别有2条三角形回路，共4个三角形；再从C 向D ，第一条边会有5种选择，共有711212=++++个三角形；再从C 向E 走，则有2个三角形。
这样，图4-2中与C 点相关的三角形个数为：
13274=++ (3)
图4-3再去掉无三角形的相关点则变成了图4-4。
在图4-4中，我们可以继续用上述方法将图形简化下去，也可以直接数出个数。
我们用前面的方法，得到图4-4中与实线大三角形三个顶点有关的三角形总数为：
4112=++………………………………………………………（4） 并将图简单化为图4-5。
而图4-5中三角形的个数为：4…………………………………（5） 由（1）~（5）式，我们得图4中三角形的总个数为：
7244132130=++++
上述做法只是为了用尽量少的步骤来完成计算，如果为了更加简单地完成全部三角形的个数的计算，则可以从连线少的点进行简化，比如在计算与C 点相关的三角形个数这一步，改为先计算与D 或E 点相关的三角形个数并擦除，再从某个连线较少的顶点来计算相关三角形个数并擦除……这样的步骤可能会多一些，但每一步数错的机会则大为减少。
在教学中，我们对同一个题目完全可以采用不同的相关擦除路径，让学生感受到不同路径的优缺点，并体验异曲同工之妙。