利率风险度量 久期和凸度
合集下载
《久期与凸度》课件
用风险等。
3
影响因素的分析
我们将分析各个因素对市场利率和债 券价格的影响，以帮助我们更好地理 解债券市场。
Байду номын сангаас
久期概念
基本定义
久期是指债券价格对利率变动的敏感性。
久期的特点
久期越高，债券价格对利率变动的敏感性越大，反之亦然。
关键影响因素
债券期限、票面利率、市场利率和债券价格的关系等因素都会对久期产生影响。
久期的计算方法
公式方法
表格方法
通过数学公式计算债券的久期。
利用Excel等软件进行计算，提 高计算效率。
在线计算器
利用互联网上的在线计算器， 快速准确地计算债券久期。
久期的应用
1
债券投资方面
利用久期来评估债券价格的风险和回报，帮助投资者合理配置投资组合。
2
债务管理方面
使用久期来管理公司负债结构，优化债务组合，降低融资成本。
价值投资
通过寻找久期和凸度不匹 配的债券，并对其进行价 值投资，在波动性较大的 债券市场上实现超额收益。
传统投资组合的风险控制方法
风险多样化
将不同行业、不同股票、不同 债券组合在一起，降低整个投 资组合的风险。
市值平衡
通过平衡不同股票和债券的市 值，降低整个投资组合的波动 性。
目标收益
通过预设目标收益，明确投资 组合的风险收益特征，制定相 应投资策略。
3
情景模拟
利用久期和凸度，对债券价格波动的不同情景进行模拟，制定应变措施，提高投 资组合的回报率。
久期和凸度的投资组合
动态平衡
在投资组合构建中，根据 不同债券的久期和凸度， 动态调整投资组合的持仓 比例，以保持投资组合的 风险回报平衡。
5.3债券久期和凸性计算
CHAPTER 05R语言与金融数据分析5.3债券久期和凸性计算5.3 债券久期和凸性的计算利率风险是债券投资者必须面对的日常风险。
所谓利率风险是指债券未来利率变动对债券价格的不利影响。
久期和凸性是债券衡量利率的两个重要工具。
•5.3.1债券久期的计算•5.3.2债券凸性的计算•货币久期•修正久期•麦考利久期麦氏久期是一个加权平均期限，其权重为现金流现值占总现值的比重。
可以通过如下步骤计算麦氏久期：步骤一：根据估值日债券的到期收益率，计算债券各期现金流的现值。
步骤二：计算各期现金流现值之和，即债券的现价（全价），记为P。
步骤三：计算权重，即每期现金流现值除以债券的现价，记权重为w1,w2,…, w n.步骤四：求t1,t2,…,t n的加权平均数，即为麦氏久期。
修正久期为债券的价格对到期收益率求一阶导数。
在数值上，修正久期可以通过麦氏久期除以(1+每期的到期收益率)来调整，即(5.1)ModD=MacD1+y/m修正久期衡量一定的利率变化下，债券价格的变化百分比，即∆P≈−ModD×∆y(5.2)P货币久期用来衡量一定的利率变化所带来的债券价格以货币来衡量的大小，即∆P≈MoneyD×∆y(5.3)货币久期等于修正久期乘以债券的现价，即MoneyD=ModD×P(5.4)我们使用三个在2010年5月28日交易的证券来介绍久期的概念，这三个证券分别是2017，半年付息一次；2010年9月到期的以十年年5月15日到期的美国联邦债券，其票面利率是412期美国联邦债券为标的的期货合约，其交易代码是TYU0；执行价为120的、标的资产为TYU0的看涨期权，其交易代码为TYU0C120。
通过表中利率水平之上和之下的价格变化来计算债券的久期，因此利率为2.77%时TYU0的久期为：D=−1119.7061(119.3338−120.078)2.82%−2.72%=6.217(5.5)同理可得TYU0C120的久期。
久期和凸性——精选推荐
四、利率的久期与凸性（一）久期久期有许多不同的形式和解释。
几种尤为重要的种类是麦考莱久期(Macaulay duration)、修正久期(Modified duration)、封闭式久期(Closed-form duration)和有效久期(Effective duration)。
1．麦考莱久期“久期”又叫“持续期”,要归功于F．R·麦考莱，他在1938年提出要通过衡量债券的平均到期期限来研究债券的时间结构。
当被运用于不可赎回债券时，麦考莱久期就是以年数表示的可用于弥补证券初始成本的货币加权平均时间价值。
久期对于财务经理的主要价值在于它是衡量利率风险的直接方法，久期越长，利率风险越大。
麦考莱久期有如下假设：收益率曲线是平坦的；用于所有未来现金流的贴现率是固定的。
其中：D——久期Ct——t时的现金流R——到期收益率(每期)P——债券的现价N——到期前的时期数；t——收到现金流的时期。
上述公式给出了理解麦考莱久期的方法。
它表明时间的权重是每期收到的现金流的现值。
每一贴现的现金流都代表了债券现金流现值的一部分。
如果加总债券所有的贴现现金流，就得到了债券的价格。
麦考莱久期也可以表达为连续复利形式：2．修正久期债券价格等于与债券相关的现金流的现值：我们可以将上述公式对利率R求导，得到公式：上述公式表示了当债券收益率发生很小变动时以美元表示的债券价值发生的变动。
将公式两边同时除以债券价格便得到了每一单位利率百分比变动时债券价格的百分比变动：上述公式是修正久期的表达式。
括号中的项是麦考莱久期公式的分子。
因而修正久期等于麦考莱久期除以（1+到期收益率）：修正久期显示了与债券到期收益率的小变动相关的价格百分比变化。
注意，按上述公式计算的久期是负值，这是因为，债券价格与利率水平的运动方向相反是一致的。
实际上，久期的负号常常被忽略。
3．封闭式久期这一方法的优点在于计算简便，这也是为什么大多数计算久期的软件程序都使用封闭形式的公式。
久期与凸度
输入参数同bnddury. 其中： • YearConvexity指根据年为单位的凸度， • PerConvexity是以半年为单位的债券凸度
，为YearConvexity的4倍。
例10：三种债券到期收益率分别为5%，5.5%和6%，票 息率都为5.5%，结算日为1999年8月2日，到期日为 2004年6月15日，每年付2次息，应计天数法则为 ACT/ACT。求凸度。 解：
21.1839 PerConvexity = 20.8885 84.7357
例4：一项投资各期现金流如上表，贴现率为 0.025，问该项投资的久期是多少？
解： >> cashflow= [2000 2000 3000 4000 5000]; >> [Durartion,
ModDuration]=cfdur(cashflow,0.025) Durartion = 3.4533
• 这是重要的风险管理方法。在 同等要素条件下,修正久期小 的债券较修正久期大的债券抗 利率上升风险能力强,但抗利 率下降风险能力较弱。
王鑫
07级王鑫说：利率 上升风险是债券价 格下降的风险，这 时,修正久期小的债 券下降就小所以 修正久期小的债券 较修正久期大的债 券抗利率上升风险 能力强。
例2：已知某种债券当前的市场价格为125美元， 当前的市场年利率为5%，债券的久期为4.6年， 求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价 格将发生怎样的市场变化？
>> Yield=[0.05, 0.05, 0.06];>> CouponRate = 0.055;
>> Settle = '02-Aug-1999';>> Maturity='15-Jun-2004';
，为YearConvexity的4倍。
例10：三种债券到期收益率分别为5%，5.5%和6%，票 息率都为5.5%，结算日为1999年8月2日，到期日为 2004年6月15日，每年付2次息，应计天数法则为 ACT/ACT。求凸度。 解：
21.1839 PerConvexity = 20.8885 84.7357
例4：一项投资各期现金流如上表，贴现率为 0.025，问该项投资的久期是多少？
解： >> cashflow= [2000 2000 3000 4000 5000]; >> [Durartion,
ModDuration]=cfdur(cashflow,0.025) Durartion = 3.4533
• 这是重要的风险管理方法。在 同等要素条件下,修正久期小 的债券较修正久期大的债券抗 利率上升风险能力强,但抗利 率下降风险能力较弱。
王鑫
07级王鑫说：利率 上升风险是债券价 格下降的风险，这 时,修正久期小的债 券下降就小所以 修正久期小的债券 较修正久期大的债 券抗利率上升风险 能力强。
例2：已知某种债券当前的市场价格为125美元， 当前的市场年利率为5%，债券的久期为4.6年， 求：如果市场利率上升40个基点，债券的市场价 格将发生怎样的市场变化？
>> Yield=[0.05, 0.05, 0.06];>> CouponRate = 0.055;
>> Settle = '02-Aug-1999';>> Maturity='15-Jun-2004';
第7讲第4章 久期与凸度(3)
4.5.5 债券投资组合的凸性（与债券投资组合久期的计算类似） • 理论计算 • 实务计算
– 4.5.6 考虑凸度的利率敏感性
考虑凸度后，式（4-3’）可以修正为：
∆P 1 = − D * ∆ y + × 凸度 × ( ∆ y ) 2 （4-4） P 2
由式（4-4）可知，对于有一正的凸度的 债券（不含期权的债券都有正的凸度），无 论收益率是上升还是下降，第二项总是正的。 这就解释了久期近似值为什么在收益率下降 时低估债券价格的增长程度，而在收益率上 升时高估债券价格的下跌程度。
c)
d)
有效久期(期权调整的久期) 计算债券价值是考虑收益率的改变可能引起债券期望现金流 变化 债券价格计算是同时考虑贴现率和期望现金流的可能变化 对于有嵌入期权的债券，有效久期与修正的久期通常不相等 有效久期可以大于修正的久期；有效久期也可以小于修正的 久期 比较(例) 没有嵌入期权的债券：有效久期等于修正的久期 可赎回债券：修正的久期为5，有效久期为3； 担保抵押债务(CMO):修正的久期为7 ,有效久期为20
⑥ a) b)
凸性小于零： 可赎回债券的凸性小于零 套利机会(久期相同，购买凸性小的债券；卖空凸性大的债券) ？ c) 对同样基点的收益率变化，赢利小于损失 例：对一可赎回债券，其有效久期为4，凸性为-30，对于200基点的 收益率变化， 价值变化百分比的凸性调整=-30 ×(0.02)2 ×100%=-1.2% 如果收益率增加200基点， 基于久期的变化=-8.0%,凸性调整=-1.2% 估计的总价格变化=-8.0%-1.2%=-9.2% 如果收益率减少200基点， 基于久期的变化=+8.0%,凸性调整=-1.2% 估计的总价格变化=+8.0%-1.2%=+6.8%
久期与凸性
√ 5年期票面利率为9%的债券； √ 25年期票面利率为9%的债券； √ 5年期票面利率为6%的债券； √ 25年期票面利率为6%的债券； √ 5年期的零息债券； √ 25年期的零息债券；
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
久期和凸性
1 5 10 15 20
0.93 4.05 6.61 7.96 8.53
ห้องสมุดไป่ตู้
要求的收益率＝14％（到期收益率） 1 5 10 15 20 0.92 3.98 6.33 7.37 7.65 0.92 3.83 5.95 6.91 7.24 0.91 3.71 5.68 6.59 6.98 0.91 3.60 5.46 6.37 6.80
债券久期的计算公式为：
C1 C3 (Cn F ) C2 d 1 2 3 ... t /P 2 3 t (1 k ) (1 k ) (1 k ) (1 k )
上式是用现金流现值对现金流所发生的时间加 权。现金流入包括利息C和赎回本金F，并且时间加 权数是从1到t。最后，现金流对时间加权后求和，再 除以债券价格P（债券估值公式中的P）。
债券价格随着利率变化而变化的关系接近于一条 凸函数而不是一条直线函数。 下图对一个10年期零息票到期收益率为10％的债 券的已得价格变化和以久期为基础对债券价格变 化的预期相比较，说明了凸性对价格收益关系的 影响。
债券价值 （美元）
凸性曲线（价格变化对利率变化的实际关系）
650 600 550 500 450 400 350 300
期 限 票息 票息
0
5年 10年 20年 15 55 210
10％
7.3% 12.3% 31.2%
从表中看出：（1）长生命期的债券（如前面的
永续年金图形）与息票利率变化之间的关系具有 明显的凸性性质；（2）短期债券（如前面的3年 期债券）的价格－利率关系几乎是一条直线，只 有适度的弯曲；因此短期债券的凸性最小。（3） 凸性随着票息的降低而增大，随着票息的上升而 降低。（4）低利率水平下的凸性大于高利率水平 下的凸性。（5）债券价格与利率关系在曲线的低 利率部分更加弯曲。
利率风险计量与管理
利率风险计量与管理
------久期、凸度方法的计算不免疫策略
卜 谦 胡增正 李泽凯 周忠全
主要内容
利率风险的含义 利率风险的成因分析 利率风险的类型 利率风险的度量和管理
Page 2
利率风险的含义
利率风险：指由于利率水平的变化引起金融资产价格变劢 而可能带来的损失。 利率风险是各类金融风险中最基本的风险，利率风险对金 融机构的影响更为重大，原因在于，利率风险丌仅影响金 融机构的主要收益来源的利差（存贷利差）变劢，而且对 非利息收入的影响也越来越显著。
Page 7
（三）收益率曲线Biblioteka 险收益率曲线风险指的是由于收益率曲线斜率的变化导 致期限丌同的两种债券的收益率之间的差幅发生变化而产 生的风险。重新定价的丌对称性也会使收益率曲线的斜率、 形态的变化对公司债券的收益戒内在价值产生丌利影响， 从而形成收益率曲线风险，也称为利率期限结构风险。
Page 8
Page 6
（二）基准风险
在计算资产收益和负债成本时，采用了丌同类别的基 准利率而产生的风险，叫做基准风险。 例如，一家银行可能用一年期存款作为一年期贷款的 融资来源，贷款按照美国国库券利率每月重新定价一次， 而存款则按照伦敦同业拆借市场利率每月重新定价一次。 即使用一年期的存款为来源发放一年期的贷款，丌存在重 新定价风险，但因为其基准利率的变化可能丌完全相关， 变化丌同步，就会使该银行面临着因基准利率的利差发生 变化而带来的基准风险。
Page 3
利率风险的成因分析
利率风险产生的原因主要有：
1、利率水平的预测和控制具有很大的丌稳定性
2、利率计算具有丌确定性
3、金融机构的资产负债具有期限结构的丌对称性
4、为保持流劢性而导致利率风险
------久期、凸度方法的计算不免疫策略
卜 谦 胡增正 李泽凯 周忠全
主要内容
利率风险的含义 利率风险的成因分析 利率风险的类型 利率风险的度量和管理
Page 2
利率风险的含义
利率风险：指由于利率水平的变化引起金融资产价格变劢 而可能带来的损失。 利率风险是各类金融风险中最基本的风险，利率风险对金 融机构的影响更为重大，原因在于，利率风险丌仅影响金 融机构的主要收益来源的利差（存贷利差）变劢，而且对 非利息收入的影响也越来越显著。
Page 7
（三）收益率曲线Biblioteka 险收益率曲线风险指的是由于收益率曲线斜率的变化导 致期限丌同的两种债券的收益率之间的差幅发生变化而产 生的风险。重新定价的丌对称性也会使收益率曲线的斜率、 形态的变化对公司债券的收益戒内在价值产生丌利影响， 从而形成收益率曲线风险，也称为利率期限结构风险。
Page 8
Page 6
（二）基准风险
在计算资产收益和负债成本时，采用了丌同类别的基 准利率而产生的风险，叫做基准风险。 例如，一家银行可能用一年期存款作为一年期贷款的 融资来源，贷款按照美国国库券利率每月重新定价一次， 而存款则按照伦敦同业拆借市场利率每月重新定价一次。 即使用一年期的存款为来源发放一年期的贷款，丌存在重 新定价风险，但因为其基准利率的变化可能丌完全相关， 变化丌同步，就会使该银行面临着因基准利率的利差发生 变化而带来的基准风险。
Page 3
利率风险的成因分析
利率风险产生的原因主要有：
1、利率水平的预测和控制具有很大的丌稳定性
2、利率计算具有丌确定性
3、金融机构的资产负债具有期限结构的丌对称性
4、为保持流劢性而导致利率风险
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 计算公式 ：
∑ ∑ ∑ D =
( ) T
t =1
ct 1+ y
t
×t
=
T
[ct / (1+ y)t × t] =
T
[ PV (ct ) ×t]
(6)
P
t =1
P
t =1
P
其中，D是麦考利久期，是债券当前的市场价格，ct是债券未来第t次 支付的现金流 (利息或本金)，T是债券在存续期内支付现金流的次 数，t是第t次现金流支付的时间，y是债券的到期收益率，PV(ct) 代表 债券第t期现金流用债券到期收益率贴现的现值。
• 债券期限越长，利率风险越大
Price
$250 $200 $150
10 Year 20 Year 5 Year
$ 14% 16% Rate
鱼和熊掌？？
债券 A B C
期限 5 10 15
票面利率 8% 10% 13%
面值 100 100 100
• 决定久期的大小三个因素：
各期现金流、到期收益率及其到期时间
债券组合的麦考利久期
• 计算公式：
k
∑ Dp = WiDi i=1
其中，Dp表示债券组合的麦考利久期，Wi表示债券i的市 场价值占该债券组合市场价值的比重，Di表示债券i的麦考 利久期，k表示债券组合中债券的个数。
麦考利久期与债券价格的关系
• 考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：
dP = −D*dy + 1 C (dy)2
P
2
• 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动 率之间的关系就可以近似表示为 ：
∆P = −D*∆y + 1 C(∆y)2
P
2
凸度性质
• 若其他条件相同，通常到期期限越长，久期越长，凸 度越大。
• 给定收益率和到期期限，息票率越低，债券的凸度越 大。如相同期限
• 代入公式可得有效久期：
现代久期模型——随机久期
随机久期公式
其中：
详见：Vasicek(1997)、Cox,Ingersoll and Ross(1985)、 Heath,Jarrow and Mortorn(1992)等
现代久期模型——方向久期
• 从20世纪80年代开始，一些研究人员提出了基于方向向量的多元久期理论，如Priman and Shores (1988)提出的多项式参数久期模型，Reitano(1990，199la，1991b，1992) 提出的方向久期模型(Directional Duration)和偏久期模型(Partial Duration)，Ho(1992) 提出的关键利率久期(Key-rate Duration)，Nawalkha and chambers(1997)提出的M一 veoctr模型等。
–
YTM
9% 10% 11%
–
价格
1,000 939 856
– Let yields decrease by 10% (8.1%, 9%, and 9.9%
respectively).
–
–
新价格:
1,036 1,000 931
–
%Price change:
3.6% 6.6% 8.8%
债券期限长度和利率风险
A B C D Change in yield to maturity (%)
0
期限越长的债券价格的利率敏感性越大
– ex.
A
B
C
–
票面利息 ($)
90 90 90
–
面值
1,000 1,000 1,000
–
Moody's Rating
Aa Aa Aa
–
期限
5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.
• 如果说马考勒久期等于债券价格对收益率一阶导数的绝对 值除以债券价格，我们可以把债券的凸度 (C) 类似地定义 为债券价格对收益率二阶导数除以价格。即：
C
=
1 P
∂2P ∂y2
价格敏感度与凸度的关系
用久期近似计 算的收益率变 动与价格变动
率的关系
不同凸度的收益率变 动幅度与价格变动率
之间的真实关系
说明的问题：
当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来 的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上 升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似 值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。 这说明： • (1) 当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变 动率就不准确，需要考虑凸度调整； • (2) 在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。
线平行移动
现代久期模型——有效久期
• 1993年，Frank Fabozzi 提出了有效久期的思想。 • 所谓有效久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券
价格变动的百分比。它直接运用不同收益率变化为基础的 债券价格进行计算，这些价格反映了隐含期权价值的变动。 • 有效久期：
利率下降x个基点时债券价格； 利率上升x个基点时债券价格； 初始收益率加上x个基点； 初始收益率减去x个基点； 债券初始价格；
凸性定义
∂P ∂i
〈0,
∂ 2P ∂i2
〉0
dP
=
∂P { ∂i
×
∂i
+
1 2
×
∂2P { ∂i 2
×
∂i 2
+
误差项
-1*价格久期
价格凸性函数
dP p
=
∂P × 1 × ∂i + 1∂i23p
112 ×4∂∂22iP24×31p × ∂i2
+
误差项 P
-1*修正久期 凸性系数
考虑凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的关系
1938 反映债券价格 对利率变动的 敏感性
1971 允许利率期限 结构为任意形 状
1977 可度量收益曲 线非平行移动 下的利率风险
1990 度量非平坦和
-
非平行的利率
1992 风险
1993 可度量隐含期 权的利率风险
不足 无法度量利率大幅 波动、收益率非平 坦和非平行及隐含 期权下的利率风险 隐含收益曲线平行 移动
• 和收益率的零息票债券的凸度大于附息票的凸度。 • 给定到期收益率和修正久期，息票率越大，凸度越大。 • 久期增加时，债券的凸度以增速度增长。 • 与久期一样，凸性也具有可加性。即一个资产组合的
凸度等于组合中单个资产的凸度的加权平均和。
现代久期模型—F-W久期
• Fisher和Wei(1971)提出 • 核心思想是用未来收益的估计值进行现金流折现 • 有效避免了收益率曲线平坦的假定，但仍然假设收益率曲
建模复杂、计算、 存在随机过程风险
计算复杂、无法度 量到期日资产
计算复杂、需借助 模拟技术
适用 利率小幅波动 且收益率平行 移动且平坦及 无隐含期权 非平坦和无隐 含期权
无隐含期权
无隐含期权
隐含期权
久期(Duration)
• 久期(duration) ：将所有影响债券利率风险的因素全考虑 进去，形成一个经过修正的投资标准期限，用以衡量债券 价格的利率风险程度。该标准期限越短，债券对利率的敏 感度越低，风险越低；该标准期限越高，债券对利率的敏 感度越高，风险亦越大。
麦考利久期
• 由麦考利 (F.R.Macaulay, 1938) 提出，使用加权平均数的形式计算债 券的平均到期时间。
A？ B? C?
一个简单例子：
• 李同学向张同学借了1000元钱，没有说明什么时 候还。张同学除了担心李能否还钱（本金安全） 外，还担心什么？
• 李同学承诺三个月内还钱。有三种方式让张同学 选：A、三个月后一次性还1000元；B、第一个月 末还200，第二个月末还300，第三个月末还剩下 的500；C、每个月末平均还1000/3元。从资金安 全的角度看，张同学会选哪种？
]
债券价格的变动比例
等于马考勒久期乘上
∂P ∂y′
=
−PD
∂P = −D∂y′ P
到期收益率微小变动 量的相反数
修正久期
D* = D 1+ y
Q ∂P = − D∂y P 1+ y
麦考利久期定理性质
• 只有零息债券的麦考利久期等于它们的到 期时间。
• 附息债券的麦考利久期小于或等于它们的
到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的
附息债券的麦考利久期等于它们的到期时
间，并等于1 。
[1+1 y]
• 永续债券的麦考利久期等于
，
其中y是计算现值采用的贴现率。
• 在到期时间相同的条件下，息票率越高， 久期越短。
• 在息票率不变的条件下，到期时间越长， 久期一般也越长。
• 在其他条件不变的情况下，债券的到期收 益率越低，久期越长。
麦考利久期的局限性
有效久期的计算过程
• 构建理论上的零息国库券即期收益率曲线 • 选定表示利率期限结构的数学模型 • 运用蒙特卡罗模拟法模拟m条利率路径 • 选定提前偿付模型并计算每一条利率路径上的现金流 • 计算期权调整利差
有效久期的计算过程（续）
• 将OAS代入下面两式，将利率分别上移和下移一个固定的 基本点，计算债券新价格。其公式为:
• 假设价格收益率曲线是线性的 • 假设利率期限结构是平坦的 • 假设未来现金流不随利率变化而变化 • 假设收益率曲线平行移动
久期和凸性
Price
Pricing Error from convexity
Duration
凸度(Convexity)
• 定义：
凸度 (Convexity) 是指债券价格变动率与收益率变动关系 曲线的曲度。
• 核心思想：将收益率曲线分为若干片段，在有限数量的水平上描述利率变动。
∑ ∑ ∑ D =
( ) T
t =1
ct 1+ y
t
×t
=
T
[ct / (1+ y)t × t] =
T
[ PV (ct ) ×t]
(6)
P
t =1
P
t =1
P
其中，D是麦考利久期，是债券当前的市场价格，ct是债券未来第t次 支付的现金流 (利息或本金)，T是债券在存续期内支付现金流的次 数，t是第t次现金流支付的时间，y是债券的到期收益率，PV(ct) 代表 债券第t期现金流用债券到期收益率贴现的现值。
• 债券期限越长，利率风险越大
Price
$250 $200 $150
10 Year 20 Year 5 Year
$ 14% 16% Rate
鱼和熊掌？？
债券 A B C
期限 5 10 15
票面利率 8% 10% 13%
面值 100 100 100
• 决定久期的大小三个因素：
各期现金流、到期收益率及其到期时间
债券组合的麦考利久期
• 计算公式：
k
∑ Dp = WiDi i=1
其中，Dp表示债券组合的麦考利久期，Wi表示债券i的市 场价值占该债券组合市场价值的比重，Di表示债券i的麦考 利久期，k表示债券组合中债券的个数。
麦考利久期与债券价格的关系
• 考虑了凸度的收益率变动和价格变动关系：
dP = −D*dy + 1 C (dy)2
P
2
• 当收益率变动幅度不太大时，收益率变动幅度与价格变动 率之间的关系就可以近似表示为 ：
∆P = −D*∆y + 1 C(∆y)2
P
2
凸度性质
• 若其他条件相同，通常到期期限越长，久期越长，凸 度越大。
• 给定收益率和到期期限，息票率越低，债券的凸度越 大。如相同期限
• 代入公式可得有效久期：
现代久期模型——随机久期
随机久期公式
其中：
详见：Vasicek(1997)、Cox,Ingersoll and Ross(1985)、 Heath,Jarrow and Mortorn(1992)等
现代久期模型——方向久期
• 从20世纪80年代开始，一些研究人员提出了基于方向向量的多元久期理论，如Priman and Shores (1988)提出的多项式参数久期模型，Reitano(1990，199la，1991b，1992) 提出的方向久期模型(Directional Duration)和偏久期模型(Partial Duration)，Ho(1992) 提出的关键利率久期(Key-rate Duration)，Nawalkha and chambers(1997)提出的M一 veoctr模型等。
–
YTM
9% 10% 11%
–
价格
1,000 939 856
– Let yields decrease by 10% (8.1%, 9%, and 9.9%
respectively).
–
–
新价格:
1,036 1,000 931
–
%Price change:
3.6% 6.6% 8.8%
债券期限长度和利率风险
A B C D Change in yield to maturity (%)
0
期限越长的债券价格的利率敏感性越大
– ex.
A
B
C
–
票面利息 ($)
90 90 90
–
面值
1,000 1,000 1,000
–
Moody's Rating
Aa Aa Aa
–
期限
5 yrs. 10 yrs. 15 yrs.
• 如果说马考勒久期等于债券价格对收益率一阶导数的绝对 值除以债券价格，我们可以把债券的凸度 (C) 类似地定义 为债券价格对收益率二阶导数除以价格。即：
C
=
1 P
∂2P ∂y2
价格敏感度与凸度的关系
用久期近似计 算的收益率变 动与价格变动
率的关系
不同凸度的收益率变 动幅度与价格变动率
之间的真实关系
说明的问题：
当收益率下降时，价格的实际上升率高于用久期计算出来 的近似值，而且凸度越大，实际上升率越高；当收益率上 升时，价格的实际下跌比率却小于用久期计算出来的近似 值，且凸度越大，价格的实际下跌比率越小。 这说明： • (1) 当收益率变动幅度较大时，用久期近似计算的价格变 动率就不准确，需要考虑凸度调整； • (2) 在其他条件相同时，人们应该偏好凸度大的债券。
线平行移动
现代久期模型——有效久期
• 1993年，Frank Fabozzi 提出了有效久期的思想。 • 所谓有效久期是指在利率水平发生特定变化的情况下债券
价格变动的百分比。它直接运用不同收益率变化为基础的 债券价格进行计算，这些价格反映了隐含期权价值的变动。 • 有效久期：
利率下降x个基点时债券价格； 利率上升x个基点时债券价格； 初始收益率加上x个基点； 初始收益率减去x个基点； 债券初始价格；
凸性定义
∂P ∂i
〈0,
∂ 2P ∂i2
〉0
dP
=
∂P { ∂i
×
∂i
+
1 2
×
∂2P { ∂i 2
×
∂i 2
+
误差项
-1*价格久期
价格凸性函数
dP p
=
∂P × 1 × ∂i + 1∂i23p
112 ×4∂∂22iP24×31p × ∂i2
+
误差项 P
-1*修正久期 凸性系数
考虑凸度的收益率变动幅度与价格变动率之间的关系
1938 反映债券价格 对利率变动的 敏感性
1971 允许利率期限 结构为任意形 状
1977 可度量收益曲 线非平行移动 下的利率风险
1990 度量非平坦和
-
非平行的利率
1992 风险
1993 可度量隐含期 权的利率风险
不足 无法度量利率大幅 波动、收益率非平 坦和非平行及隐含 期权下的利率风险 隐含收益曲线平行 移动
• 和收益率的零息票债券的凸度大于附息票的凸度。 • 给定到期收益率和修正久期，息票率越大，凸度越大。 • 久期增加时，债券的凸度以增速度增长。 • 与久期一样，凸性也具有可加性。即一个资产组合的
凸度等于组合中单个资产的凸度的加权平均和。
现代久期模型—F-W久期
• Fisher和Wei(1971)提出 • 核心思想是用未来收益的估计值进行现金流折现 • 有效避免了收益率曲线平坦的假定，但仍然假设收益率曲
建模复杂、计算、 存在随机过程风险
计算复杂、无法度 量到期日资产
计算复杂、需借助 模拟技术
适用 利率小幅波动 且收益率平行 移动且平坦及 无隐含期权 非平坦和无隐 含期权
无隐含期权
无隐含期权
隐含期权
久期(Duration)
• 久期(duration) ：将所有影响债券利率风险的因素全考虑 进去，形成一个经过修正的投资标准期限，用以衡量债券 价格的利率风险程度。该标准期限越短，债券对利率的敏 感度越低，风险越低；该标准期限越高，债券对利率的敏 感度越高，风险亦越大。
麦考利久期
• 由麦考利 (F.R.Macaulay, 1938) 提出，使用加权平均数的形式计算债 券的平均到期时间。
A？ B? C?
一个简单例子：
• 李同学向张同学借了1000元钱，没有说明什么时 候还。张同学除了担心李能否还钱（本金安全） 外，还担心什么？
• 李同学承诺三个月内还钱。有三种方式让张同学 选：A、三个月后一次性还1000元；B、第一个月 末还200，第二个月末还300，第三个月末还剩下 的500；C、每个月末平均还1000/3元。从资金安 全的角度看，张同学会选哪种？
]
债券价格的变动比例
等于马考勒久期乘上
∂P ∂y′
=
−PD
∂P = −D∂y′ P
到期收益率微小变动 量的相反数
修正久期
D* = D 1+ y
Q ∂P = − D∂y P 1+ y
麦考利久期定理性质
• 只有零息债券的麦考利久期等于它们的到 期时间。
• 附息债券的麦考利久期小于或等于它们的
到期时间。只有仅剩最后一期就要期满的
附息债券的麦考利久期等于它们的到期时
间，并等于1 。
[1+1 y]
• 永续债券的麦考利久期等于
，
其中y是计算现值采用的贴现率。
• 在到期时间相同的条件下，息票率越高， 久期越短。
• 在息票率不变的条件下，到期时间越长， 久期一般也越长。
• 在其他条件不变的情况下，债券的到期收 益率越低，久期越长。
麦考利久期的局限性
有效久期的计算过程
• 构建理论上的零息国库券即期收益率曲线 • 选定表示利率期限结构的数学模型 • 运用蒙特卡罗模拟法模拟m条利率路径 • 选定提前偿付模型并计算每一条利率路径上的现金流 • 计算期权调整利差
有效久期的计算过程（续）
• 将OAS代入下面两式，将利率分别上移和下移一个固定的 基本点，计算债券新价格。其公式为:
• 假设价格收益率曲线是线性的 • 假设利率期限结构是平坦的 • 假设未来现金流不随利率变化而变化 • 假设收益率曲线平行移动
久期和凸性
Price
Pricing Error from convexity
Duration
凸度(Convexity)
• 定义：
凸度 (Convexity) 是指债券价格变动率与收益率变动关系 曲线的曲度。
• 核心思想：将收益率曲线分为若干片段，在有限数量的水平上描述利率变动。