湖南文理学院2015年数学建模竞赛学生选拔基础知识考试试卷

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2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标i)附详细解析

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）B2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）255211．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD ，DF 丄平面 ABCD ，BE=2DF ，AE 丄EC ．（Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i =1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）满足=iB．2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．=﹣（﹣＜＜6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（），则，××（，÷7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．利用向量的三角形法则首先表示为=本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+）的部分图象，可得函数的周期为（﹣可得+=，）≤≤2k+）的单调递减区间为（）9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）﹣﹣≤﹣≤﹣=﹣=2552，的通项为=的系数为11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）×+22r+12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[＜﹣时，，＞﹣时，﹣，，解得二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．x+14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．解：一个圆经过椭圆，解得，，）．）15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．，则，解得，即=3的最大值为16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．x x xx+m=+AD=x+mx+m=，x+m x=+x的取值范围是（﹣+﹣，）三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．，利用裂项法即可求数列==（﹣（﹣+﹣）（﹣．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．AG=GC=，且BE=，故，，EF=，），=，）=，﹣，，＞=﹣．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．w=，建立y=c+dw=的线性回归方程，由于===563的线性回归方程为的回归方程为=100.6+68，的预报值=100.6+68=576.6的预报值的预报值=0.2100.6+68）﹣+20.12=20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由），利用导数的运算法则，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．．）联立M Ny=点处的切线斜率为=a=处的切线方程为：，化为==．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．，，即可得出零点的个数；，解得．时，﹣=a+＜﹣=a+=，∴当）在内单调递减，在x==，即，则，即，=a+a时，或时，或选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．，BE=选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．3的面积（3=2=．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．，或求得＜，a|=，，[2a+1]参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；maths；changq；caoqz；cst；lincy；吕静；双曲线；whgcn；孙佑中（排名不分先后）菁优网2015年7月20日。

2015年新课标1高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标1）一．选择题（共12小题）1．【2015新课标1】设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．2考点：复数求模．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再求模即可．解答：解：∵复数z满足=i，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．点评：本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．【2015新课标1】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．解答：解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．点评：本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．【2015新课标1】设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．解答：解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．【2015新课标1】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312考点： n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．专题：概率与统计．分析：判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．解答：解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．点评：本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．【2015新课标1】已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．解答：解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．点评：本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．【2015新课标1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．解答：解：设圆锥的底面半径为r，则×2×3r=8，解得r=，故米堆的体积为××3×（）2×5=，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．点评：本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．【2015新课标1】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．解答：解：由已知得到如图由===；故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．【2015新课标1】函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z考点：余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．解答：解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f （x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．【2015新课标1】执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由题意可得，算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值，由此可得结论．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值，再根据t=0.01，可得当n=6时，S=1﹣﹣=＞0.01，而当n=7时，S=1﹣﹣=≤0.01，故输出的n值为7，故选：C．点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．10．【2015新课标1】（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：利用展开式的通项，即可得出结论．解答：解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．点评：本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．11．【2015新课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．8考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．解答：解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．点评：本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．【2015新课标1】设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．解答：解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D点评：本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二．填空题（共4小题）13．【2015新课标1】若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解解答：解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．点评：本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．【2015新课标1】一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．解答：解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．15．【2015新课标1】若x，y满足约束条件．则的最大值为3．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），则k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．【2015新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．考点：三角形中的几何计算．专题：综合题；创新题型；解三角形．分析：如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．解答：解：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．点评：本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．三．解答题（共8小题）17．【2015新课标1】S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．解答：解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．18．【2015新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G ﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．解答：解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF=，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．点评：本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．19．【2015新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．解答：解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，年利润的预报值最大．点评：本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=﹣．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．解答：解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==﹣．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．【2015新课标1】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：创新题型；导数的综合应用．分析：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．解答：解：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：当或a＜时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．点评：本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．22．【2015新课标1】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．考点：圆的切线的判定定理的证明．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．解答：解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°点评：本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．23．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．解答：解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=ρ1﹣ρ2=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=．点评：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．24．【2015新课标1】已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标1）一．选择题（共12小题）1．【2015新课标1】设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．22．【2015新课标1】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．【2015新课标1】设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 4．【2015新课标1】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3125．【2015新课标1】已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．6．【2015新课标1】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．【2015新课标1】设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．【2015新课标1】函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z9．【2015新课标1】执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．810．【2015新课标1】（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20C．30 D．6011．【2015新课标1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．812．【2015新课标1】设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二．填空题（共4小题）13．【2015新课标1】若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．【2015新课标1】一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．【2015新课标1】若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．【2015新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三．解答题（共8小题）17．【2015新课标1】S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．18．【2015新课标1】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE 丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．【2015新课标1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．【2015新课标1】已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选做题22．【2015新课标1】（2015春•从化市校级期末）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O 于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．23．【2015新课标1】在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．24．【2015新课标1】已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．。

2015年全国高考文科数学试题及答案-新课标2

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|12}A x x =-<<，{|03}B x x =<<，则AB =A ．(1,3)-B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(2,3) 2．若a 为实数，且231ai i i+=++，则a =A ．-4B ．-3C ．3D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b a A ．-1 B ．0 C ．1 D ．35．设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。

若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 =A ．5B ．7C ．9D ．116．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A ．18B ．17C ．16D ．157．已知三点(1,0)A，B，C ，则ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为A ．53 BCD ．432004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”。

湖南省长沙市2015年中考数学试题(word版,含答案)

2015年长沙市初中毕业学业水平考试试卷数学一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1、下列实数中，为无理数的是（） 12 C.22、下列运算中，正确的是（）A.34x x x ÷=B.236()x x =C.321x x -=D.()222a b a b -=-3、2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线每天承运力约为185000人次，则数据185000用科学计数法表示为（）A.51.8510⨯B.41.8510⨯C.51.810⨯D. 418.510⨯4、下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）5、下列命题中，为真命题的是（）A.六边形的内角和为360°B.多边形的外角和与边数有关C.矩形的对角线互相垂直D.三角形两边的和大于第三边6、在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（）7、一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（）尺码/cm 22 23 2425 销售量/双 4 6 6 10 2 11A.平均数B.中位数C.众数D.方差8、下列说法中正确的是（）A.“打开电视机，正在播《动物世界》”是必然事件B.某种彩票的中奖概率为千分之一，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C.抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为三分之一D.想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查9、一次函数y=-2x+1的图像不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）11、如图，为测量一颗与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）12、长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%，现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（）元元元元二、填空题13.一个不透明的袋子中装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同，即除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是。

2015年湖南高考数学理科卷带详解

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.(15湖南高考)已知2(1i)1i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 【参考答案】D【测量目标】复数的计算.【试题分析】由题意得，2(1i)2i1i 1i 1iz --===--++，故选D. 2. (15湖南高考)设A ,B 是两个集合，则”A B A = ”是“A B ⊆”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【参考答案】C【测量目标】集合的关系.【试题分析】由题意得，A B A A B =⇒⊆ ，反之，A B A B A ⊆⇒= ，故为充要条件，选C. 3. (15湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S = ( ) A.67 B.37 C.89 D.49第3题图【测量目标】程序框图、裂项相消法求数列的和. 【参考答案】B【试题分析】由题意得，输出的S 为数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前三项和，而1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，3113(1)221217n n S S n n ∴=-=⇒=++，故选B.4. (15湖南高考)若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤，则3z x y =-的最小值为（）A.-7B. -1C.1D.2 【参考答案】A 【测量目标】线性规划.【试题分析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x =-，1y =时，3z x y =-的最小值是7-，故选A.第4题图5. (15湖南高考)设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数【参考答案】A【测量目标】函数的性质.【试题分析】显然，()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=- ，()f x ∴为奇函数，显然，()f x 在(0,1)上单调递增，故选A.6. (15湖南高考)已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）B. C.6 D.-6【参考答案】D【测量目标】二项式定理. 【试题分析】5215C (1)r rrrr T a x -+=-，令1r =，可得5306a a -=⇒=-，故选D.7. (15湖南高考)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772第7题图【参考答案】C【测量目标】正态分布.【试题分析】根据正态分布的性质，1(01=12P x P x ≈＜＜）（-1＜＜）0.34，故选C.8. (15湖南高考)已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【测量目标】圆的性质、平面向量数量积. 【参考答案】B【试题分析】由题意得，AC 为圆的直径，故可设(,),(,),(,),(6,),A m n C m n B x y PA PB PC x y --∴++=-而22(6)371249x y x PA PB PC -+=-∴++≤，的最大值为7，故选B. 9. (15湖南高考)将函数()sin 2f x x =的图象向右平移π(0)2ϕϕ＜＜个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12minπ3x x -=，则ϕ=（） A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6【参考答案】D【测量目标】三角函数的图象和性质.【试题分析】向右平移ϕ个单位后，得到()sin(22)g x x ϕ=-，又12()()2f x g x -= ，∴不妨令1212πππ22π,222π,()π222x k x n x x k n ϕϕ=+-=-+∴-=-+-，又12min π3x x -= ， πππ236ϕ∴-=⇒，故选D. 10. (15湖南高考)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89πB.169π第10题图【测量目标】圆锥的内接长方体和基本不等式求最值.【参考答案】A【试题分析】分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，h ，长方体上底面截圆锥的截面半径为a ，则2222(2)4x y a a +==，如下图所示，则可知22212a h h a -=⇒=-，而长方体的体积 22223221622(22)2()2327x y a a a V xyh h a h a a +++-===-⨯=≤≤，当且仅当x y=，2223a a a =-⇒=时，等号成立，此时利用率为21682719ππ123=⨯⨯，故选A.第10题图二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. (15湖南高考)2(1)d x x -=⎰.【参考答案】0【测量目标】定积分的计算. 【试题分析】222001(1)()02x dx x x -=-=⎰.12. (15湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示. 若将运动员按成绩由好到差编为135 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.第12题图【参考答案】4【测量目标】系统抽样；茎叶图.【试题分析】由茎叶图可知，在区间[]139,151的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为720435⨯=人. 13. (15湖南高考)设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【测量目标】双曲线的标准方程及其性质.【试题分析】根据对称性，不妨设(,0)F c ，短轴端点为(0,)b ，从而可知点(,2)c b -在双曲线上，222241c b ce a b a∴-=⇒==. 14. (15湖南高考)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = . 【测量目标】等差数列与等比数列的性质. 【参考答案】13n -【试题分析】1233,2,S S S 成等差数列，1211233222()333a a a a a a a a q ∴⨯+=+++⇒=⇒=，又等比数列{},n a 1113n n n a a q --∴==.15. (15湖南高考)已知32,(),x x a f x x x a⎧=⎨⎩≤＞，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 . 【参考答案】(,0)(1,)-∞+∞【测量目标】函数与方程；分类讨论的数学思想.【试题分析】分析题意可知，问题等价于方程3()x b x a =≤与方程2()x b x a =＞的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组13b a a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤有解，从而1a ＞；若方程3()x b x a =≤无解，方程2()x b x a =＞有2个根：则可知关于b的不等式组13b aa ⎧⎪⎨⎪⎩＞有解，从而0a ＜，综上，实数a 的取值范围是(,0)(1,)-∞+∞ .三、解答题16. ( Ι) (15湖南高考)如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB 、CD 的中点分别是M 、N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）°180MEN NOM +=∠∠；（2）FE FN FM FO ⋅=⋅.第16题图【测量目标】（1）垂径定理和四点共圆；（2）割线定理.【试题分析】（1）如图所示，因为分别M ，N 是弦AB ，CD 的中点，所以OM AB ⊥，ON CD ⊥，即°90OME =∠，°90ENO =∠，°180OME ENO -=∠∠又四边形的内角和等于°360，故°180MEN NOM -=∠∠；（2）由（1）知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅.第18题图（Ⅱ）(15湖南高考)已知直线52:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB 的值. 【测量目标】(1)极坐标与直角坐标的互相转化；(2)直线与圆的位置关系.【试题分析】（1）2cos ρθ=等价于22cos ρρθ=①，将222=x y ρ+， cos x ρθ=代入①，即得曲线C的直角坐标方程为2220x y x +-=②；（2）512x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将代入②，得2180t ++=，设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1218MA MB t t == .（Ⅲ）(15湖南高考)设0a ＞，0b ＞，且11a b a b+=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +＜与22b b +＜不可能同时成立.【测量目标】(1)基本不等式；(2)一元二次不等式,反证法.【试题分析】（1）由基本不等式及1ab =，有2a b +=≥，即2a b +≥；（2）假设22a a +＜与22b b +＜同时成立，则由22a a +＜及0a ＞得01a ＜＜，同理01b ＜＜，从而1ab ＜，这与1ab =矛盾，故22a a +＜与22b b +＜不可能同时成立.17. (15湖南高考)设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：π2B A -=；（2）求sin sin A C +的取值范围.【测量目标】(1)正弦定理；(2)三角恒等变形；三角函数的性质. 【试题分析】（1）由t a n a b A =及正弦定理，得s i n s i n c o s c o sA b BA aB ==,所以s i nc o s B A =，即πs i n s i n ()2B A =+.又B 为钝角，因此ππ(,π)22A +∈，故π2B A =+，即π2B A -=；（2）由（I ）知，πππ(2)2022C A A =-+=-＞，所以π(0)4A ∈，，于是2219sin sin sin sin(2)sin cos 22sin sin 12(sin )248A C A A A A A A A π+=+-=+=-++=--+，因为π04A ＜＜，所以0sin A ＜21992(sin )488A --+≤由此可知sin sin A C +的取值范围是928⎛⎤⎥ ⎝⎦， 18. (15湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望. 【测量目标】(1)概率的加法公式；(2)离散型随机变量的概率分布与期望.【试题分析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ 1B = ｛顾客抽奖1次获一等奖｝2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝.由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，C =1B +2B . 因124251()()105102P A P A ====，，所以11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以1~(3)5X B ，.于是00331464(0)C ()()55125P X ===，11231448(1)C ()()55125P X ===，22131412(2)C ()()55125P X ===，3303141(3)C ()()P X ===故X 的分布列为X 的数学期望为13()355E X =⨯=. 19. (15湖南高考)如图，已知四棱台1111ABCD A BC D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱1DD 、BC 上. （1）若P 是1DD 的中点，证明1AB PQ ⊥；（2）若PQ ∥平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.第19题图【测量目标】(1)空间向量的运用；线面垂直的性质；(2)空间几何体体积计算.【试题分析】解法一由题设知1AA ，AB ，AD ，两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图b 所示的空间直角坐标系，则相关个点的坐标为(000)A ，，，1(306)B ，，，(060)D ，，，1(036)D ，，，(60)Q m ，，，其中m BQ =，（1）若P 是1DD 的中点，则9(03)2P ，，，1(306)AB = ，，，于是118180AB PQ =-= ，所以1AB PQ ⊥ ，即1AB PQ ⊥；（2）由题设知，(660)DQ m =- ，，，1(036)DD =-，，是平面PQD 内的两个不共线向量.设1()x y z ，，n 是平面PQD 的一个法向量，则111DQ DD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0n n ，即6(6)0360x m y y z +-=⎧⎨-+=⎩，取6y =，得1(663)m =-，，n .又平面AQD 的一个法向量是1(001)=，，n ，所以121212cos ⋅===，n n n n n n 而二面角P QD A --的余弦值为37，37=，解得4m =，或者8m =（舍去），此时(640)Q ，，. 设1(01)DP DD λλ= ＜≤,而1(036)DD =-，，，由此得点(0636)P λλ-，，，因为PQ ∥平面11ABB A ,且平面11ABB A 的一个法向量是3(010)=，，n ，所以3PQ ⋅=0n ，即320λ-=，亦即23λ=，从而(044)P ，，，于是，将四面体ADPQ 视为以ADQ △为底面的三棱锥P ADQ -，则其高4h =，故四面体ADPQ 的体积，11166424332ADQ V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯=△.B 第19题图解法二（1）如图c ，取1AA 的中点R ，连结PR ，BR ，因为1AA ，1DD 是梯形11A AD D 的两腰，P 是1DD 的中点，所以PR AD ∥，于是由AD BC ∥知，PR BC ∥，所以P ，R ，B ，C 四点共面.由题设知，BC AB ⊥，1BC A A ⊥，所以BC ⊥平面1ABB A ,因此1BC AB ⊥① 因为11113tan tan 6AB AR ABR A AB AB A A====∠∠，所以11tan tan ABR A AB =∠∠，因此 °111190ABR BAB A AB BAB +=+=∠∠∠∠，于是1AB BR ⊥，再由○1即知1AB ⊥平面PRBC ，又PQ ⊂平面PRBC ，故1AB PQ ⊥.c d第19题图（2）如图d ，过点P 作PM //1A A 交AD 于点M ，则PM //平面11ABB A .因为1AA ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ,过点M 作MN ⊥QD 于点N ，连结PN ，则PN ⊥QD ，PNM ∠为二面角P -QD -A 的平面角，所以3cos 7PNM =∠，即37MN PN =,从而3PM MN =. ○3连结MQ ，由PQ //平面11ABB A ，所以MQ //AB ，又ABCD 是正方形，所以ABQM 为矩形，故MQ =AB =6. 设MD =t ，则 MN○4过点1D 作11D E A A ∥交AD 于点E ，则11AA D E 为矩形，所以1D E =1A A =6，AE =11A D =3，因此ED =AD -AE =3，于是1623D E PM MD ED ===,所以PM =2MD =2t ，再由○3○4得3，解得t =2，因此PM =4.故四面体ADPQ 的体积11166424332ADQ V S h =⋅=⨯⨯⨯⨯=△.20. (15湖南高考)已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=＞＞的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD同向（ⅰ）若AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD △总是钝角三角形. 【测量目标】(1)椭圆的标准方程及其性质；(2)直线与椭圆位置关系.【试题分析】（1）由21:4C x y =知其焦点F 的坐标为（0,1），因为F 也是椭圆2C 的一焦点，所以 221a b -=○1又1C 与2C 的公共弦的长为1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为（32，），所以229614a b+=○2，联立○1，○2得2a =9，2b =8，故2C 的方程为22198x y += ○3；（2）如图f ，设A （11x y ，）B （22x y ，）C （33x y ，）D （44x y ，）.（i ）因AC 与BD 同向，且|AC |=|BD |,所以AC =BD，从而31x x -=42x x -，即12x x -=34x x -，于是2212123434()4()4x x x x x x x x +-=+-○3 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y =kx +1.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得216640x kx +-=.而1x ，2x 是这个方程的两根.所以124x x k +=，124x x =- ○4 ，由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(98)16640k x kx ++-=.而3x ，4x 是这个方程的两根.所以3421698k x x k +=-+， 3426498x x k =-+○5，将○4○5带入○3 ，得22221646416(1)(98)98k k k k ⨯+=+++,即22222169(1)16(1)(98)k k k ⨯++=+，所以22(98)169k +=⨯，解得k=4±l的斜率为4±.第20题图（ii ）由24x y =得2xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为111()2x y y x x -=-，即 2114x y x x =-.令y =0得x =12x ，即M （12x ,0）,所以FM =(12x ,-1).而FA =(11,1x y -).于是FA ⋅FM =221111024x x y -+=+＞，因此AFM ∠是锐角，从而°180MFD AFM =-∠∠是钝角.故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形.21. (15湖南高考)已知0a ＞，函数[)()e sin (0,)axf x x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n *(N )n ∈个极值点,证明：（1）数列{}()n f x 是等比数列；（2）若a ，则对一切*N n ∈，()n n x f x ＜恒成立.【测量目标】(1)三角函数的性质,导数的运用；(2)恒成立问题.【试题分析】（1）()e sin e cos e (sin cos )sin()ax ax ax ax f x a x a x a x x x ρ'=+=+=+ 其中1tan a ρ=，π02ρ＜＜.令()0f x '=，由0x ≥得x mx ρ+= 即πx m ρ=-，*N m ∈ 对k ∈N ，若2π(21)πk x k ρ++＜＜,即2π(21)πk x k ρρ-+-＜＜,则()f x '>0；若(21)π(22)πk x k ρ+++＜＜,即21)π(22)πk x k ρρ+-+-（＜＜，则()f x '<0. 因此，在区间((1)π,π)m m ρ--与(π,π)m m ρ-上，()f x '的符号总相反.于是当πx m ρ=- (*m ∈N )时，()f x 取得极值，所以πn x n ρ=-*()n ∈N . 此时，(π)1(π)()e sin(π)(1)e sin a n n a n n f x n ρρρρ-+-=-=-.易知()0n f x ≠，而[](1)π211(π)()(1)e sin e ()(1)e sin a n n ax n n a n n f x f x ρρρρ+-+++--==--是常数，故数列{}()n f x 是首项为(π)1()e sin a n f x ρρ-=，公比为e ax -的等比数列；（2）由（1）知，sin ρ=*n ∈N ,()n n x f x ＜恒成立，即(π)πa n n ρρ--(π)e (π)a n a n ρρ--＜（*）恒成立（因为a >0），设g （t ）=e t t （t ＞0），则2e (1)()t t g t t -'=.令()g t '=0得t =1，当0<t <1时，()0g t '＜，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递减；当t >1时，()0g t '＞，所以g （t ）在区间（0,1）上单调递增. 从而当t =1时，函数g （t ）取得最小值g （1）=e因此，要是（*(1)e g =，即只需a .而当a =时，1tan a ρ==π02ρ＜＜.于是2ππ3ρ-＜n ≥2时，3ππ2π2n ρρ--≥≥因此对一切 *n ∈N，1n ax =≠，所以g （n ax）(1)e g ==.故（*）式亦恒成立.综上所述，若a ，则对一切*n ∈N ，()n n x f x ＜恒成立.。

2015年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21B．42C．63D．84【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10【考点】IR：两点间的距离公式．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x 的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】2：创新题型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z 最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 3．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．=S n+1S n，【解答】解：∵a n+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．【专题】58：解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF 与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【考点】I3：直线的斜率；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】2：创新题型；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】2：创新题型；52：导数的概念及应用．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2c osθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

2015年高考数学(理科)湖南卷

2015年高考数学（理科）湖南卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.已知（i为虚数单位），则复数z=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i2.设A,B是两个集合，则“A∩B=A”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=( )A.<<\frac{6}{7}>>B.<<\frac{3}{7}>>C.<<\frac{8}{9}>>D.<<\frac{4}{9}>>4.若变量x,y满足约束条件$\equ3{x+y≥-1}{2x-y≤1}{y≤1}$，则z=3x-y的最小值为（）A.-7B.-1C.15.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，则f(x)是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数6.已知的展开式中含的项的系数为30，则a=( ) A. B.C.6D.-67.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附：若X～N(μ，σ 2)，则P(μ-σ＜X≤μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ＜X≤μ+2σ)=0.9544A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点A,B,C在圆x 2+y 2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则$|\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}|$的最大值为（）A.6B.7C.8D.99.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足|f(x 1)-g(x 2)|=2的x 1,x 2，有$|\sub{`x}{1}-\sub{`x}{2}|`m`i`n=\frac{`π}{3}$，则φ=( )A.<<\frac{5`π}{12}>>B.<<\frac{`π}{3}>>C.<<\frac{`π}{4}>>D.<<\frac{`π}{6}>>10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（）A.<<\frac{8}{9π}>>B.<<\frac{16}{9π}>>C.<<\frac{4\sup{(\sqrt{2}-1)}{3}}{π}>>D.<<\frac{12\sup{(\sqrt{2}-1)}{3}}{π}>>二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.$\ud {2}{0}(`x-1)`d`x=_________$12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为1～35 号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.13.设F是双曲线C:的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________.14.设Sn 为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1,2S2,S3成等差数列，则an=________.15.已知$`f(`x)=\equ2{\sup{`x}{3},x≤`a}{\sup{`x}{2},`x＞`a}$，若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点，则a的取值范围是__________.三．解答题：本大题共6小题，共75分，16.（Ⅰ）如图，在圆O中，相交于点E 的两弦AB,CD的中点分别是M,N，直线MO与直线CD相交于点F，点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ. （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l与曲线C 的交点为A,B，求|MA|•|MB|的值. （Ⅲ）设a＞0,b＞0，且（1）a+b≥2；（2）a 2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立.17.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角. （1）证明：；（2）求sinA+sinC的取值范围.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.19.如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P,Q分别在棱DD1，BC上. （1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ; （2）若PQ//平面ABB1A1，二面角P-QD-A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积.20.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为. （1）求C2的方程；（2）过点F的直线l与C1相交于A,B两点，与C2相交于C,D两点，且$\onu{`A`C}{→}与\onu{`B`D}{→}$同向（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形21.已知a＞0，函数f(x)=e axsinx(x∈[0,+∞])，记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N+)极值点，证明：（1）数列{f(xn )}是等比数列（2）若< >，则对一切n∈N+,xn＜|f(xn)|恒成立.参考答案 1.D 解析：，故选D. 2.C 解析：由题意得，，反之，，故为充要条件，选C.3.B 解析：由题意得，输出的S为数列<<{\frac{1}{(2`n-1)(2`n+1)}}>>的前三项和，而 <<\frac{1}{(2`n-1)(2`n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2`n-1}-\frac{1}{2`n+1}),∴\sub{`S}{`n}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2`n+1})=\frac{`n}{2`n+1}\sub{`S}{3}=\frac{3}{7}>>，故选B.4.A 解析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l:3x-y=0，平移l,，从而可知当x=-2,y=1时，z min =3×(-2)-1=-7的最小值是-7，故选A.5.A 解析：显然，f(x)定义域为(-1,1)，关于原点对称，又∵f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x)，∴f(x)为奇函数，显然，f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.6.D 解析：<<\sub{`T}{`r+1}=\udC{r}{5}\sup{(-1)}{`r}\sup{`a}{`r}\sup{`x}{\frac{5}{2}`r}>>，令r=1，可得-5a=30 a=-6，故选D.7.C 解析：根据正态分布的性质，< >，故选C.8.B 解析：由题意得，AC为圆的直径，故可设A(m,n),C(-m,-n),B(x,y),<<∴\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}=(`x-6,`y),∴|\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}|=\sqrt{\sup{(`x-6)}{2}+\sup{`y}{2}}>>的最大值为圆x 2+y 2=1上的动点到点(6,0) 距离的最大值，从而易得当<<\equ2{`x=-1}{`y=0}>>时<<|\onu{`P`A}{→}+\onu{`P`B}{→}+\onu{`P`C}{→}|>>的最大值为7，故选B. 【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.9.D 解析：向右平移φ个单位后，得到g(x)=sin(2x-2φ)，又∵|f(x 1)-g(x 2)|=2，∴不妨<<2\sub{`x}{1}=\frac{π}{2}+2k`π>>,<<2\sub{`x}{2}-2`φ=-\frac{`π}{2}+2`m`π>>,<<∴\sub{x}{1}-\sub{x}{2}=\frac{`π}{2}-`φ+(`k-`m)`π,又∵\sub{|\sub{x}{1}-\sub{`x}{2}|}{`m`i`n}=\frac{`π}{3}>>, <<∴\frac{`π}{2}-`φ=\frac{`π}{3} `φ=\frac{`π}{6}>>故选D.，圆锥的轴截面如图所示，则可知<<\frac{`a">{1">=\frac{2-`h">{2"> `h=2-2`a>>，而长方体的体积<<`V=`x`y`h≤\frac{\sup{`x">{2">+\sup{`y">{2">">{2">`h=2\sup{`a">{2">`h=2\sup{`a">{2">(2-2`a)>> <<≤2×\sup{(\frac{`a+`a+2-2`a">{3">)">{3">=\frac{16">{27">>>，当且仅当<<`x=`y,`a=2-2a `a=\frac{2">{3">>>时，等号成立，此时利用率为<<\frac{\frac{16">{27">">{\frac{1">{3">`π×\sup{1">{2">×2">=\frac{8">{9`π">>>，故选A.11.0 解析：<<\ud {2}{0}(`x-1)`d`x=(\frac{1}{2}\sup{`x}{2}-`x\ud){2}{0}=0>>12.4 解析：由茎叶图可知，在区间[139,151]的人数为20,，再由系统抽样的性质可知人数为<<20×\frac{7}{35}=4>>人. 【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.13.<<\sqrt{5}>> 解析：根据对称性，不妨设F(c,0)，短轴端点为(0,b)，从而可知点(-c,2b)在双曲线上， <<∴\frac{\sup{`c}{2}}{\sup{`a}{2}}-\frac{\sup{4`b}{2}}{\sup{`b}{2}}=1`e=\frac{`c}{`a}=\sqrt{5}>>14.3 n-1 解析：∵3S 1,2S 2,S 3成等差数列，∴ 2×2(a 1+a 2)=3a 1+a 1+a 2+a 3 a 3=3a 2 q=3. 又∵等比数列{a n },∴a n =a 1q n-1=3 n-1.15.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析：分析题意可知，问题等价于方程x 3=b(x≤a)与方程x 2=b(x＞a)的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组<<\equ3{\sup{`b}{\frac{1}{3}}≤`a}{\sqrt{`b}＞`a}{-\sqrt{`b}≤`a}>>有解，∴a 2＜b＜a 3，从而a＞1; 若方程x 3=b(x≤a)无解，方程x 2=b(x＞a)有2个根：则可知关于b的不等式组<<\equ2{\sup{`b}{\frac{1}{3}}＞`a}{-\sqrt{`b}＞`a}>>有解，从而a＜0，综上，实数a的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).16.（Ⅰ）（1）详见解析；（2）详见解析. （Ⅱ）（1）x 2+y 2-2x=0；（2）18. （Ⅲ）（1）详见解析；（2）详见解析. 解析：（Ⅰ）（1）首先根据垂径定理可得∠OME=90º,∠ENO=90º，再由四边形的内角和即可得证；（2）由（1）中的结论可得O,M,E,N四点共圆，再由割线定理即得FE•FN=FM•FO. 试题解析：（1）如图a所示， ∵M,N分别是弦AB,CD的中点，∴OM⊥AB,ON⊥CD, 即∠OME=90º,∠ENO=90º,∠OME+∠ENO=180º，又四边形的内角和等于360º，故∠MEN+∠NOM=180º；（2）由（I）知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得FE•FN=FM•FO.（Ⅱ）（1）利用ρ 2=x 2+y 2,ρcosθ=x即可将已知条件中的极坐标方程转化直角坐标方程；（2）联立直线的参数方程与圆的直角方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解. 试题解析：（1）ρ=2cosθ等价于ρ 2=2ρcosθ①，将ρ 2=x 2+y 2,ρcos θ=x代入①，记得曲线C的直角坐标方程为x 2+y 2-2x=0②；（2）将<<\equ2{`x=5+\frac{\sqrt{3">">{2">`t">{`y=\sqrt{3">+\frac{1">{2">`t">>>代入②，得<<\意义即知,|MA|•|MB|=|t 1t 2|=18. （Ⅲ）（1）将已知条件中的式子可等价变形为ab=1，再由基本不等式即可得证；（2）利用反证法,假设假设a 2+a＜2与b 2+b＜2同时成立，可求得0＜a＜1,0＜b＜1，从而与ab=1矛盾，即可得证试题解析：由<<`a+`b=\frac{1">{`a">+\frac{1">{`b">=\frac{`a+`b">{`a`b">,a＞0,b＞0,>>得ab=1，（1）由基本不等式及ab=1，有<<`a+`b≥2\sqrt{`a`b">=2>>，即a+b≥2; （2）假设a 2+a＜2与b 2+b＜2同时成立，则由a 2+a＜2及a＞0得0＜a＜1，同理0＜b＜1，从而ab＜1，这与ab=1矛盾，故a 2+a＜2与b 2+b＜2不可能成立.17.（1）详见解析；（2）<<(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{9}{8}]>> 解析：（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为<<`s`i`n`B=`s`i`n(\frac{`π}{2}+`A)>>，再结合条件从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将sinA+sinC转化为只与A有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解. 试题解析：（1）由a=btanA及正弦定理，得<<\frac{`s`i`n`A}{`c`o`s`A}=\frac{`a}{`b}=\frac{`s`i`n`A}{`s`i`n`B},∴`s`i`n`B=`c`o`s`A>>，即<<`s`i`n`B=`s`i`n(\frac{`π}{2}+`A)>>,又B为钝角，因此<<\frac{`π}{2}+`A∈(\frac{`π}{2},`π)>>，故<<`B=\frac{`π}{2}+`A>>,即<<`B-`A=\frac{`π}{2}>>；（2）由（1）知，<<`C=`π-(`A+`B)`π-(2`A+\frac{`π}{2})=\frac{`π}{2}-2`A＞0,∴`A∈(0,\frac{`π}{4})>>,于是<<`s`i`n`A+`s`i`n`C=`s`i`n`A+`s`i`n(\frac{`π}{2}-2`A)>> <<=`s`i`n`A+`c`o`s2`A=-2\sup{`s`i`n}{2}`A+`s`i`n`A+1=-2\sup{(`s`i`n`A-\frac{1}{4})}{2}+\frac{9}{8},∴0＜`A＜\frac{`π}{4},∴0＜`s`i`n`A＜\frac{\sqrt{2}}{2}>>，因此<<\frac{\sqrt{2}}{2}＜-2\sup{(`s`i`n`A-\frac{1}{4})}{2}+\frac{9}{8}≤\frac{9}{8}>>，由此可知sinA+sinC的取值范围是<<(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{9}{8}]>>.18.（1）<<\frac{7}{10}>>；（2）详见解析. 解析：（1）记事件A 1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A 2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ B 1=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B 2=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知A 1与A 2相互独立，<<\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">与\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>互斥，B 1与B 2互斥，且B 1=A 1A 2,<<\sub{`B">{2">=\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">+\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>,C=B 1+B 2，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知<<`X～`B(3,\frac{1">{5">)>>，分别求得<{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{0">\sup{(\frac{4">{5">)">{3">=\frac{64">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{1">\sup{(\frac{4">{5">)">{2">=\frac{48">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{2">\sup{(\frac{4">{5">)">{1">=\frac{12">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{3">\sup{(\frac{4">{5">)">{0">=\frac{1">{125">>>,即可知X的概率分布及其期望. 试题解析：（1）记事件A 1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，A 2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ B 1=｛顾客抽奖1次获一等奖｝，B 2=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C=｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意， A 1与A 2相互独立，<<\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">与\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>互斥，B 1与B 2互斥，且B 1=A 1A 2,<<\sub{`B">{2">=\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">+\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">>>,C=B 1+B 2，<<∵`P(\sub{`A">{1">)=\frac{4">{10">=\frac{2">{5">,`P(\sub{`A">{2">)=\frac{5">{10">=\frac{1">{">+\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">)=`P(\sub{`A">{1">\onu{\sub{`A">{2">">{-">)+`P(\onu{\sub{`A">{1">">{-">\sub{`A">{2">)=`P(\sub{`A">{1">)(1-`P(\sub{`A">{2">))+(1-`P(\sub{`A">{1">))P(\sub{`A">{2">)>> <<=\frac{2">{5">×(1-\frac{1">{2">)+(1-\frac{2">{5">)×\frac{1">{2">=\frac{1">{2">>>，故所求概率为<<`顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为<<\frac{1">{5">>>,<<∴`X～`B(3,\frac{1">{5">)>>,于是 <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{0">\sup{(\frac{4">{5">)">{3">=\frac{64">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{1">\sup{(\frac{4">{5">)">{2">=\frac{48">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{2">\sup{(\frac{4">{5">)">{1">=\frac{12">{125">>>, <{3">\sup{(\frac{1">{5">)">{3">\sup{(\frac{4">{5">)">{0">=\frac{1">{125">>>,，故X的分布列为 X的数学期望为<<`E(`X)=3×\frac{1">{5">=\frac{3">{5">>>19.（1）详见解析；（2）24. 解析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明<<\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">•\onu{`P`Q">{→">=0>>；（2）根据条件二面角P-QD-A 的余弦值为<<\frac{3">{7">>>，利用空间向量可将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，其高h=4，从而求解试题解析：解法一由题设知，AA1,AB,AD两两垂直，以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0)，其中m=BQ,0≤m≤6, （1）若P是DD1的中点，则<<`P(0，\frac{9">{2">,3),\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">=(3,0,6)>>，于是<<\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">•\onu{`P`Q">{→">=18-18=0,∴\onu{\sub{`A`B">{1">">{→">⊥\onu{`P`Q">{→">,>>即AB1⊥PQ; （2）由题设知，<<\onu{`D`Q">{→">=(6,m-6,0),\onu{\sub{`D`D">{1">">{→">=(0,-3,6)>>是平面PQD内的两个不共线向量. 设<<\onu{\sub{`n">{1">">{→">=(`x,`y,`z)>>是平面PQD的一个法向量，则<<\equ2{\onu{\sub{`n">{1">">{→">•\onu{`D`Q">{→">=0">{\onu{\sub{`n">{1">">{→">•\onu{\sub{`D`D">即<<\equ2{6`x+(`m-6)`y=0">{-3`y+6`z=0">>>, 取y=6，得<<\onu{\sub{`n">{1">">{→">=(6-`m,6,3)>>，又平面AQD的一个法向量是<<\onu{\sub{`n">{2">">{→">=(0,0,1)>>,<<∴cos<\onu{\sub{`n">{1">">{→">,\onu{\sub{`n">{2">">{→">>=\frac{\onu{\sub{`n">{1">">{→">•\ `m)">{2">+\sup{6">{2">+\sup{3">{2">">">=\frac{3">{\sqrt{\sup{(6-`m)">{2">+45">">>>，而二面角P-QD-A的余弦值为<<\frac{3">{7">>>，因此<<\frac{3">{\sqrt{\sup{(6-`m)">{2">+45">">=\frac{3">{7">>>，解得m=4，或者m=8（舍去），此时Q(6,4,0). 设<<\onu{`D`P">{→">=`λ\onu{\sub{`D`D">{1">">{→">(0＜`λ≤1)>>，而<<\onu{\sub{`D`D">{1">">{→">=(0,-3,6)>>，由此得点P(0,6-3λ,6λ), <<\onu{`P`Q">{→">=(6,3`λ-2,-6`λ)>>,∵PQ//平面ABB1A1，且平面ABB1A1的一个法向量是<<\onu{\sub{`n">{3">">{→">=(0,1,0)，∴\onu{`P`Q">{→">•\onu{\sub{`n">{3">">{→">=0>>，即3λ-2=0，亦即<<`λ=\frac{2">{3">>>，从而P(0,4,4)，于是，将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ，则其高h=4，故四面体ADPQ的体积<<`V=\frac{1">{3">\sub{`S">{△`A`D`Q">•`h=\frac{1">{3">×\frac{1">{2">×6×6×4=24>>.，由题设知，BC⊥AB,BC⊥A 1A，∴BC⊥平面ABB 1A 1，因此BC⊥AB 1①,<<∵`t`a`n∠`A`B`R=\frac{`A`R">{`A`B">=\frac{3">{6">=\frac{\sub{`A`B">{1">">{\sub{`A">{1">`因此∠ABR+∠BAB 1=∠A 1AB 1+∠BAB 1=90º，于是AB 1⊥BR，再由①即知AB 1⊥平面PRBC，又PQ 平面PRBC，故AB 1⊥PQ; （2）如图d，过点P作PM//A 1A交AD于点M，则PM//平面ABB 1A 1, ∵A 1A⊥平面ABCD,∴OM⊥平面ABCD，过点M作MN⊥QD于点N，连结PN，则PN⊥QD,∠PNM为二面角P-QD-A的平面角，<<∴`c`o`s∠`P`M`N=\frac{3">{7">>>，即<<\frac{`M`N">{`P`N">=\frac{3">{7">>>，从而<<\frac{`P`M">{`M`N">=\frac{\sqrt{40">">{3">>>③ 连结MQ，由PQ//平面ABB 1A 1，∴MQ//AB,，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQ=AB=6，设MD=t，则<<`M`N=\frac{`M`Q•`M`D">{\sqrt{\sup{`M`Q">{2">+\sup{`M`D">{2">">">>>④，过点D 1作D 1E//A 1A交AD于点E，则AA 1D 1E为矩形，∴D 1E=A 1A=6,AE=A 1D 1=3，因此ED=AD-AE=3，于是<<\frac{`P`M">{`M`D">=\frac{\sub{`D">{1">`E">{`E`D">=\frac{6">{3">=2,∴`P`M=2`M`D=2`t>>,再由③④得<<\frac{\sqrt{36+\sup{`t">{2">">">{3">=\frac{\sqrt{40">">{3">>>，解得t=2，因此PM=4故四面体ADPQ的体积<<`V=\frac{1">{3">\sub{`S">{△`A`D`Q">•`h=\frac{1">{3">×\frac{1">{2">×6×6×4=24>>.20.（1）<<\frac{\sup{`y}{2}}{9}+\frac{\sup{`x}{2}}{8}=1>>；（2）（i），（ii）详见解析. 解析：（1）根据已知条件可求得C 2的焦点坐标为(0,1)，再利用公共弦长为<<2\sqrt{6">>>即可求解；（2）（i）设直线l斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由<<\equ2{`y=`k`x+1">{\sup{`x">{2">=4`y">>>得x 2+16kx-64=0，根据条件可知<<\onu{`A`C">{→">=\onu{`B`D">{→">>>，从而可以建立关于k的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明<<\onu{`F`A">{→">•\onu{`F`M">{→">=\frac{\udx{2">{1">">{2">-\sub{`y">{1">+1=\frac{\udx{2">{1">">{4">+1＞0>>，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180º-∠AFM 是钝角，即可得证试题解析：（1）由C 1:x 2=4y知其焦点F的坐标为(0,1)，∵F也是椭圆C 2的一焦点， ∴a 2-b 2=1①，又C 1与C 2的公共弦的长为<<2\sqrt{6">>>，C 1与C 2都关于y轴对称，且C 1的方程为x 2=4y, 由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为<<(±\sqrt{6">,\frac{2">{3">),∴\frac{9">{\sup{4a">{2">">+\frac{6">{\sup{b">{2">">=1>>②，联立①，②，得a 2=9,b 2=8，故C 2的方程为<<\frac{\sup{`x">{2">">{9">+\frac{\sup{`y">{2">">{8">=1>>；（2）如图f,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4) （i）∵<<\onu{`A`C">{→">与\onu{`B`D">{→">>>同向，且|AC|=|BD|,<<∴\onu{`A`C">{→">=\onu{`B`D">{→">,>>从而x 3-x 1=x 4-x 2，即x 1-x 2=x 3-x 4，于是(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=(x 3+x 4) 2-4x 3x 4③，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由<<\equ2{`y=`k`x+1">{\sup{`x">{2">=4`y">>>得x 2+16kx-64=0，而x 1,x 2是这个方程的两根，∴x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4④，由<<\equ2{`y=`k`x+1">{\frac{\sup{`x">{2">">{8">+\frac{\sup{`y">{2">">{9">=1">>>得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0，而x 3,x 4是这个方程的两根，<<∴\sub{`x">{3">+\sub{`x">{4">=-\frac{16`k">{9+8\sup{`k">{2">">,\sub{`x">{3">\sub{`x">{4">=-sup{`k">{2">+1)=\frac{\sup{16">{2">\sup{`k">{2">">{\sup{(9+8\sup{`k">{2">)">{2">">+\frac{4×64即<<16(\sup{`k">{2">+1)=\frac{\sup{16">{2">×9(\sup{`k">{2">+1)">{\sup{(9+8\sup{`k">{2">)">{2">">>>, ∴(9+8k 2) 2=16×9，解得<<`k=±\frac{\sqrt{6">">{4">>>，即直线l的斜率为<<±\frac{\sqrt{6">">{4">>>. （ii）由x 2=4y得<<`y'=\frac{`x">{2">>>，∴C 1在点A处的切线方程为<<`y-\sub{`y">{1">=\frac{\sub{`x">{1">">{2">(`x-\sub{`x">{1">)>>，即<<`y=\sub{`x">{1">`x-\frac{\udx{2">{1">">{4">>>，令y=0，得<<`x=\frac{\sub{`x">{1">">{2">>>，即<<`M(\frac{\sub{`x">{1">">{2">,0)>>，<<∴\onu{`F`M">{→">=(\frac{\sub{`x">{1">">{2">,-1)>>，而<<\onu{`F`A">{→">=(\sub{`x">{1">,\sub{`y">{1">-1)>>，于是<<\onu{`F`A">{→">•\onu{`F`M">{→">=\frac{\udx{2">{1">">{2">-\sub{`y">{1">+1=\frac{\udx{2">{1">">{4">+1＞0>>，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180º-∠AFM 是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形.21.（1）详见解析；（2）详见解析. 解析：（1）求导，可知<<`f'(`x)=\sup{`e}{`a`x}(`a`s`i`n`x+`c`o`s`x)=\sup{`e}{`a`x}(`a`s`i`n`x+`c`o`s`x)=\sqrt{\sup{`a}{ρ)>>，利用三角函数的知识可求得f(x)的极值点为x n =nπ-ρ(n∈N +)，即可得证；（2）分析题意可知，问题等价于<<\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}＜\frac{\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}}{`a(`n`π-`ρ)}>>恒成立，构造函数<<`g(`t)=\frac{\sup{`e}{`t}}{`t}>>，利用导数判断其单调性即可得证. 试题解析：（1）<<`f'(`x)=\sup`{a`e}{`a`x}`s`i`n`x+\sup{`e}{`a`x}`c`o`s`x=\sup{`e}{`a`x}(`a`s`i`n`x+`c`o`s`x)=\sq ρ)>>. 其中<<`t`a`n`ρ=\frac{1}{`a},0＜`ρ＜\frac{`π}{2}>>,令f'(x)=0，由x≥0得x+ρ=m π，即x=mπ-ρ,m∈N +,对k∈N，若2kπ＜x+ρ＜(2k+1)π，即2kπ-ρ＜x＜(2k+1)π-ρ，则f'(x)＞0, 若(2k+1)π＜x+ρ＜(2k+2)π，即(2k+1)π-ρ＜x＜(2k+2)π-ρ，则f'(x)＜0, 因此，在区间((m-1)π,mπ-ρ)与(mπ-ρ,mπ)上，f'(x)的符号总相反，于是当x=mπ-ρ(m∈N +)时,f(x)取得极值，∴x n =nπ-ρ(n∈N +), 此时，<<`f(\sub{`x}{`n})=\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}`s`i`n(`n`π-`ρ)=\sup{(-1)}{`n+1}\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}`s`i`n`ρ>>，易知f(x n )≠0，而 <<\frac{`f(\sub{`x}{`n+1})}{`f(\sub{`x}{`n})}=\frac{\sup{(-1)}{`n+2}\sup{`e}{`a[(`n+1)`π-`ρ]}`s`i`n`ρ}{\sup{(-1)}{`n+1}\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}`s`i`n`ρ}=-\sup{`e}{`a`x}>>是非零常数，故数列{f(x n )}是首项为f(x 1)=e a(nπ-ρ)sinρ,公比为-e ax 的等比数列；（2）由（1）知，<<`s`i`n`ρ=\frac{1}{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}>>，于是对一切n∈N +,x n ＜|f(x n )|恒成立，即<<`n`π-`ρ＜\frac{1}{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}>>恒成立，等价于<<\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}＜\frac{\sup{`e}{`a(`n`π-`ρ)}}{`a(`n`π-`ρ)}>>（•）恒成立（∵a＞0），设<<`g(`t)=\frac{\sup{`e}{`t}}{`t}(`t＞0)>>，则< >，令g'(t)=0，得t=1, 当0＜t＜1时，g'(t)＜0，∴g(t)在区间(0,1)上单调递减；当t＞1时，是（•）式恒成立，只需<<\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}＜`g(1)=`e>>，即只需<<`a＞\frac{1}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}>>，而当<<`a=\frac{1}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}>>时，<<`t`a`n`ρ=\frac{1}{`a}=\sqrt{\sup{`e}{2}-1}＞\sqrt{3}>>，且<<0＜ρ＜\frac{π}{2}>>，于是<<`π-`ρ＜\frac{2`π}{3}＜\sqrt{\sup{`e}{2}-1}>>，且当n≥2时,<<`n`π-`ρ≥2`π-`ρ≥\frac{3`π}{2}＞\sqrt{\sup{`e}{2}-1}>>，因此对一切n∈N +, <<\sub{`a`x}{`n}=\frac{`n`π-`ρ}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}≠1,∴g(\sub{`a`x}{`n})＞`g(1)=`e=\frac{\sqrt{\sup{`a}{2}+1}}{`a}>>，故（•）式亦恒成立.综上所述，若<<`a≥\frac{1}{\sqrt{\sup{`e}{2}-1}}>>，则对一切n∈N +,x n ＜|f(x n )|11/11。

2015湖南卷高考数学试题及答案或解析下载_2015高考真题抢先版

开始输入2015年高考将于6月6、7日举行，我们将在第一时间收录真题，现在就请先用这套权威预测解解渴吧市2015届高三四月调研考试数学（文史类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 已知集合 A. B.C. D.3. 命题“若，则”的否命题是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则4. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是A ． B.C. D.5. 当时，执行如右图所示的程序框图，输出的值为A. 30B.14C. 8D.6 6. 设，则的大小关系是 A ．B ．C ．D ．7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．B ．C ． D.8. 不等式组围成的区域为，能够把区域的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为 A ．B ．a2aa正视图左视图俯视图C．D．9. 已知函数，若恒成立，则的取值围是A. B. C. D.10. 如图，在△中，分别是的中点，若（），且点落在四边形（含边界），则的取值围是A．B．C. D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

11. 在某市2015年“创建省文明卫生城市”知识竞赛中，考评组从中抽取份试卷进行分析，其分数的频率分布直方图如右图所示，则分数在区间上的人数大约有人.12. 如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形随机撒200颗黄豆，数得落在椭圆的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出椭圆的面积约为.（第10题图）分数（分）组距40 50 60 70 80频率O0.0313. 在极坐标系中，点A（2，）与曲线上的点的最短距离为.14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象的对称轴重合，则的值为.15. 点在直线上，记，若使取得最小值的点有无数个，则实数的取值是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)等差数列满足：，，其中为数列前n项和．(Ⅰ)求数列通项公式；(Ⅱ)若，且，，成等比数列，求的值．17.(本小题满分12分)某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(湖南卷) (2)

2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南理科数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015湖南,理1)已知(1−i)2z=1+i(i 为虚数单位),则复数z=( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i 答案:D 解析:由已知得z=(1−i)21+i=−2i 1+i=−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−2−2i2=-1-i . 2.(2015湖南,理2)设A ,B 是两个集合,则“A ∩B=A ”是“A ⊆B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:C解析:若A ∩B=A ,则有A ⊆B ;若A ⊆B ,则必有A ∩B=A.所以“A ∩B=A ”是“A ⊆B ”的充要条件. 3.(2015湖南,理3)执行如图所示的程序框图.如果输入n=3,则输出的S=( )A.67B.37C.89D.49答案:B解析:由题意得,输出的S 为数列{1(2n−1)(2n+1)}的前3项和,而1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1),即S n =12(1−12n+1)=n2n+1.故当输入n=3时,S 3=37,故选B .4.(2015湖南,理4)若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≥−1,2x −y <1,y ≤1,则z=3x-y 的最小值为( )A.-7B.-1C.1D.2 答案:A解析:画出约束条件对应的可行域(如图).由z=3x-y 得y=3x-z ,依题意,在可行域内平移直线l 0:y=3x ,当直线l 0经过点A 时,直线l 0的截距最大,此时,z取得最小值.由{y =1,x +y +1=0,得{x =−2,y =1,则A (-2,1),故z 的最小值为3×(-2)-1=-7.5.(2015湖南,理5)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案:A解析:要使函数有意义,应满足{1+x >0,1−x >0,解得-1<x<1,即函数f (x )定义域为(-1,1),关于原点对称.此时f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又f'(x )=11+x−−11−x=21−x2,当x ∈(0,1)时,21−x2>0,即f'(x )>0,所以f (x )在(0,1)上是增函数.故选A . 6.(2015湖南,理6)已知(√x a √x)5的展开式中含x 32的项的系数为30,则a=( )A.√3B.-√3C.6D.-6答案:D解析:展开式的通项为T r+1=C 5r·(√x )5-r ·(√x)r =(-1)r C 5r a r ·x 52−r(r=0,1,2,…,5).令52-r=32,得r=1,所以展开式中含x 32项的系数为(-1)C 51·a ,于是-5a=30,解得a=-6.7.(2015湖南,理7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A.2 386B.2 718C.3 413D.4 772 附:若X~N (μ,σ2),则P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 4. 答案:C解析:由于曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线,所以P (-1<X<1)=0.682 6,由正态分布密度曲线的对称性知P (0<X<1)=0.341 3,即图中阴影部分的面积为0.341 3.由几何概型知点落入阴影部分的概率P=0.341 31=0.341 3.因此,落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×0.341 3=3 413.故选C .8.(2015湖南,理8)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC.若点P 的坐标为(2,0),则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:B解析:设坐标原点为O ,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),由于AB ⊥BC ,所以AC 是圆的直径,因此OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,于是|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|3PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(3PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√9|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+6PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√9×22+12−6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗=√37−6|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠POB=√37−12cos∠POB ,故当∠POB=π时,cos ∠POB 取最小值-1,此时|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最大值7. 9.(2015湖南,理9)将函数f (x )=sin 2x 的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)-g (x 2)|=2的x 1,x 2,有|x 1-x 2|min =π3,则φ= ( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案:D解析:由题意可知,g (x )=sin(2x-2φ).因为|f (x 1)-g (x 2)|=2,可知f (x 1)和g (x 2)分别为f (x )和g (x )的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x 1=π2+2k π(k ∈Z ),2x 2-2φ=-π2+2m π(m ∈Z ),则x 1-x 2=π2-φ+(k-m )π,又|x 1-x 2|min =π3,所以当k-m=0时,即k=m ,又0<φ<π2,则有π2-φ=π3,解得φ=π6.故选D . 10.(2015湖南,理10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4(√2−1)3πD.12(√2−1)3π答案:A解析:由三视图知该工件是一个圆锥,其底面半径为1,高为2,故体积V 1=13·π·12·2=23π.由圆及矩形的对称性可知当长方体体积最大时,其底面一定为正方形,设其边长为x (0<x<√2),长方体的高为h ,则有√22x1=2−ℎ2,所以h=2-√2x ,则长方体体积V=x 2h=x 2(2-√2x )=2x 2-√2x 3,所以V'(x )=4x-3√2x 2,令V'(x )=0得x=2√23或x=0(舍去),因当0<x<2√23时,V (x )递增,而当2√23<x<√2时,V (x )递减,故当x=2√23时,长方体体积V 取最大值1627.故原工件材料的利用率是VV 1=16272π3=89π. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015湖南,理11)∫ 20(x-1)d x= . 答案:0解析:∫ 2(x-1)d x=(12x 2−x)|02=0. 12.(2015湖南,理12)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 . 答案:4解析:依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第2,3,4,5组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4. 13.(2015湖南,理13)设F 是双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1的一个焦点.若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为 . 答案:√5解析:不妨设F (c ,0)为双曲线右焦点,虚轴一个端点为B (0,b ),依题意得点P 为(-c ,2b ),又点P 在双曲线上,所以(−c)2a 2−(2b)2b2=1,得c 2a2=5,即e 2=5,因为e>1,所以e=√5.14.(2015湖南,理14)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,且3S 1,2S 2,S 3成等差数列,则a n = . 答案:3n-1解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n-1=q n-1.因为3S 1,2S 2,S 3成等差数列,所以2×(2S 2)=3S 1+S 3,即4S 2=3+S 3,即4(a 1+a 2)=3+(a 1+a 2+a 3), 也就是4(1+q )=3+(1+q+q 2),整理得q 2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去).所以等比数列{a n }的首项为a 1=1,公比为q=3, 故a n =3n-1.15.(2015湖南,理15)已知函数f (x )={x 3,x ≤a,x 2,x >a.若存在实数b ,使函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,则a 的取值范围是 .答案:(-∞,0)∪(1,+∞)解析:要使函数g (x )=f (x )-b 有两个零点,应使f (x )图象与直线y=b 有两个不同的交点.当0≤a ≤1时,由f (x )的图象知f (x )在定义域R 上单调递增,它与直线y=b 不可能有两个交点.当a<0时,由f (x )的图象(如图①)知,f (x )在(-∞,a ]上递增,在(a ,0)上递减,在[0,+∞)上递增,且a 3<0,a 2>0,所以,当0<b<a 2时,f (x )图象与y=b 有两个不同交点.图①图②当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,+∞)上递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a<0或a>1.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2015湖南,理16)(本小题满分12分)本小题设有Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三个选做题,请考生任选两题作答,并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内.如果全做,则按所做的前两题计分.Ⅰ.(本题满分6分)选修4-1:几何证明选讲如图,在☉O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N.直线MO与直线CD相交于点F.证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°;(2)FE·FN=FM·FO.证明:(1)如图所示,因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠ENO=90°,因此∠OME+∠ENO=180°.又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°.(2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.Ⅱ.(本题满分6分)选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l:{x=5+√32t,y=√3+12t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,√3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.解:(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ.①将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.②(2)将{x=5+√32t,y=√3+12t代入②,得t2+5√3t+18=0.设这个方程的两个实根分别为t1,t2,则由参数t的几何意义即知,|MA|·|MB|=|t1t2|=18.Ⅲ.(本题满分6分)选修4-5:不等式选讲设a>0,b>0,且a+b=1a +1b,证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.证明:由a+b=1a +1b=a+bab,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2√ab=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.17.(2015湖南,理17)(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=π2;(2)求sin A+sin C的取值范围.(1)证明:由a=b tan A及正弦定理,得sinAcosA =ab=sinAsinB,所以sin B=cos A,即sin B=sin(π2+A).又B为钝角,因此π2+A∈(π2,π),故B=π2+A,即B-A=π2.(2)解:由(1)知,C=π-(A+B)=π-(2A+π2)=π2-2A>0,所以A∈(0,π4),于是sin A+sin C=sin A+sin(π2−2A)=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2(sinA−14)2+98.因为0<A<π4,所以0<sin A<√22,因此√22<-2(sinA−14)2+98≤98.由此可知sin A+sin C的取值范围是(√22,9 8 ].18.(2015湖南,理18)(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,A1与A2相互独立,A1A2与A1A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1A2+A1A2,C=B1+B2,因为P(A1)=410=25,P(A2)=510=12,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=25×12=15,P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2) =P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2)=2 5×(1−12)+(1−25)×12=12.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=15+12=710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以X~B(3,15).于是P(X=0)=C30(15)(45)3=64125,P(X=1)=C31(15)1(45)2=48125,P(X=2)=C32(15)2(45)1=12125,P(X=3)=C33(15)3(45)=1125.故X的分布列为X的数学期望为E(X)=3×15=35.19.(2015湖南,理19)(本小题满分13分)如图,已知四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形.A 1A=6,且A 1A ⊥底面ABCD.点P ,Q 分别在棱DD 1,BC 上. (1)若P 是DD 1的中点,证明:AB 1⊥PQ.(2)若PQ ∥平面ABB 1A 1,二面角P-QD-A 的余弦值为37,求四面体ADPQ 的体积. 解法1:由题设知,AA 1,AB ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A (0,0,0),B 1(3,0,6),D (0,6,0),D 1(0,3,6),Q (6,m ,0),其中m=BQ ,0≤m ≤6.(1)若P 是DD 1的中点,则P (0,92,3),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,m −92,−3).又AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,6),于是AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =18-18=0, 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB 1⊥PQ.(2)由题设知,DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,m-6,0),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3,6)是平面PQD 内的两个不共线向量.设n 1=(x ,y ,z )是平面PQD 的一个法向量,则{n 1·DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{6x +(m −6)y =0,−3y +6z =0.取y=6,得n 1=(6-m ,6,3).又平面AQD 的一个法向量是n 2=(0,0,1),所以cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=1·√(6−m)+6+3=√(6−m)+45.而二面角P-QD-A 的余弦值为37,因此3√(6−m)+45=37,解得m=4,或m=8(舍去),此时Q (6,4,0).设DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1),而DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-3,6),由此得点P (0,6-3λ,6λ),所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3λ-2,-6λ).因为PQ ∥平面ABB 1A 1,且平面ABB 1A 1的一个法向量是n 3=(0,1,0),所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 3=0,即3λ-2=0,亦即λ=23,从而P (0,4,4).于是,将四面体ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥P-ADQ ,则其高h=4.故四面体ADPQ 的体积V=13S △ADQ ·h=13×12×6×6×4=24. 解法2:(1)如图,取A 1A 的中点R ,连结PR ,BR.因为A 1A ,D 1D 是梯形A 1ADD 1的两腰,P 是D 1D 的中点,所以PR ∥AD ,于是由AD ∥BC 知,PR ∥BC ,所以P ,R ,B ,C 四点共面.由题设知,BC ⊥AB ,BC ⊥A 1A ,所以BC ⊥平面ABB 1A 1,因此BC ⊥AB 1.①因为tan ∠ABR=AR AB=36=A 1B 1A 1A=tan ∠A 1AB 1, 所以∠ABR=∠A 1AB 1,因此∠ABR+∠BAB 1=∠A 1AB 1+∠BAB 1=90°,于是AB 1⊥BR.再由①即知AB 1⊥平面PRBC. 又PQ ⊂平面PRBC ,故AB 1⊥PQ.(2)如图,过点P 作PM ∥A 1A 交AD 于点M ,则PM ∥平面ABB 1A 1.②因为A 1A ⊥平面ABCD ,所以PM ⊥平面ABCD.过点M 作MN ⊥QD 于点N ,连结PN ,则PN ⊥QD ,∠PNM 为二面角P-QD-A 的平面角,所以cos ∠PNM=37,即MN PN=37,从而PM MN=√403. ③连结MQ ,由PQ ∥平面ABB 1A 1及②知,平面PQM ∥平面ABB 1A 1,所以MQ ∥AB. 又ABCD 是正方形,所以ABQM 为矩形,故MQ=AB=6. 设MD=t ,则MN=√MQ +MD =√36+t . ④过点D 1作D 1E ∥A 1A 交AD 于点E ,则AA 1D 1E 为矩形, 所以D 1E=A 1A=6,AE=A 1D 1=3, 因此ED=AD-AE=3. 于是PM MD=D 1E ED=63=2,所以PM=2MD=2t. 再由③,④得√36+t 23=√403,解得t=2,因此PM=4.故四面体ADPQ 的体积V=13S △ADQ ·PM=13×12×6×6×4=24.20.(2015湖南,理20)(本小题满分13分)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 2a 2+x 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2√6. (1)求C 2的方程;(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向. ①若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率;②设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M.证明:直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形. 解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点, 所以a 2-b 2=1. ① 又C 1与C 2的公共弦的长为2√6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±√6,32),所以94a 2+6b2=1.②联立①,②得a 2=9,b 2=8.故C 2的方程为y 29+x 28=1. (2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).①因AC⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向,且|AC|=|BD|, 所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,从而x 3-x 1=x 4-x 2, 即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4. ③设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y=kx+1. 由{y =kx +1,x 2=4y得x 2-4kx-4=0.而x 1,x 2是这个方程的两根, 所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. ④由{y =kx +1,x 28+y 29=1得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0.而x 3,x 4是这个方程的两根, 所以x 3+x 4=-16k 9+8k2,x 3x 4=-649+8k2.⑤将④,⑤代入③,得16(k 2+1)=162k2(9+8k 2)2+4×649+8k2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k=±√64,即直线l 的斜率为±√64.②由x 2=4y 得y'=x 2,所以C 1在点A 处的切线方程为y-y 1=x12(x-x 1),即y=x 1x 2−x 124. 令y=0得x=x 12,即M (x12,0),所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 12,−1).而FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1-1),于是FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 122-y 1+1=x 124+1>0,因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM 是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.21.(2015湖南,理21)(本小题满分13分)已知a>0,函数f (x )=e ax sin x (x ∈[0,+∞)).记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点.证明:(1)数列{f (x n )}是等比数列; (2)若a ≥√e 2−1,则对一切n ∈N *,x n <|f (x n )|恒成立.证明:(1)f'(x )=a e ax sin x+e ax cos x=e ax (a sin x+cos x )=√a 2+1e ax sin(x+φ),其中tan φ=1a,0<φ<π2.令f'(x )=0,由x ≥0得x+φ=m π, 即x=m π-φ,m ∈N *.对k ∈N ,若2k π<x+φ<(2k+1)π,即2k π-φ<x<(2k+1)π-φ,则f'(x )>0;若(2k+1)π<x+φ<(2k+2)π,即(2k+1)π-φ<x<(2k+2)π-φ,则f'(x )<0.因此,在区间((m-1)π,m π-φ)与(m π-φ,m π)上,f'(x )的符号总相反.于是当x=m π-φ(m ∈N *)时,f (x )取得极值,所以x n =n π-φ(n ∈N *).此时,f (x n )=e a (n π-φ)sin(n π-φ)=(-1)n+1e a (n π-φ)sin φ.易知f (x n )≠0,而f(x n+1)f(x n )=(−1)n+2e a[(n+1)π−φ]sinφ(−1)n+1e a(nπ−φ)sinφ=-e a π是常数,故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)=e a (π-φ)sin φ,公比为-e a π的等比数列.(2)由(1)知,sin φ=1√a 2+1,于是对一切n ∈N *,x n <|f (x n )|恒成立,即n π-φ<1√a 2+1e a (n π-φ)恒成立,等价于√a 2+1a<e a(nπ−φ)a(nπ−φ)(*)恒成立(因为a>0).设g (t )=e t t (t>0),则g'(t )=e t (t−1)t2.令g'(t )=0得t=1.当0<t<1时,g'(t )<0,所以g (t )在区间(0,1)上单调递减;当t>1时,g'(t )>0,所以g (t )在区间(1,+∞)上单调递增. 从而当t=1时,函数g (t )取得最小值g (1)=e . 因此,要使(*)式恒成立,只需√a 2+1a<g (1)=e,即只需a>√e 2−1.而当a=1√e 2−1时,由tan φ=1a=√e 2−1>√3且0<φ<π2知,π3<φ<π2.于是π-φ<2π3<√e 2−1,且当n ≥2时,n π-φ≥2π-φ>3π2>√e 2−1.因此对一切n ∈N *,ax n =nπ−φ√e 2−1≠1,所以g (ax n )>g (1)=e =√a 2+1a.故(*)式亦恒成立. 综上所述,若a ≥√e 2−1,则对一切n ∈N *,x n <|f (x n )|恒成立.。

【数学】2015年高考真题——湖南卷(文)(word版含解析)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知2(1)iz-=1+i（i为虚数单位），则复数z=( )A、1+iB、1-iC、-1+iD、-1-i2、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A、3B、4C、5D、63、设x∈R，则“x>1”是“2x>1”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4、若变量x、y满足约束条件111x yy xx+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z=2x-y的最小值为( )A、-1B、0C、1D、25、执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=()A 、67 B 、37 C 、89 D 、496、若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )A 、3B 、54C 、43D 、537、若实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B 、2 C 、 D 、4 8、设函数f （x ）=ln （1+x ）-ln （1-x ），则f （x ）是( )A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数9、已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为( )A 、6B 、7C 、8D 、9 10、某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）( )A 、89πB 、827πCD 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11、已知集合U={}1,2,3,4，A={}1,3,B={}1,3,4,则A (U B ð)=_____.12、在直角坐标系x Oy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____. 13. 若直线3x -4y+5=0与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=（O 为坐标原点），则r=_____.14、若函数f （x ）=| 2x-2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.15、已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为ω =_____.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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湖南文理学院2015年数学建模竞赛学生
选拔基础知识考试试卷
1.计算题
1. 121cos0lim1sinxxx
2. arctanxdx
3. xedx
4. Dxyd，其中D是由2yx和2xy围成的区域。

2.解答题
1. 2xyzxe，求xz，xyz

2. 求方程 '''6xyyye 的通解。

3. 当k为何值时，现行方程组1232123123424xxkxxkxxkxxx 有唯一解，无解，无穷多组解？若有解
时，求出其全部解。
4. 由直线0,8yx以及抛物线2yx围成的曲边三角形，在曲边2yx求一点，使得曲

线在该点处的切线与直线0,8yx所围成的三角形面积最大。
3.证明题
1. 设函数(), ()fxgx在区间(,)上连续，如果

（i）()gx满足条件：对于任意的,xy有()()()gxygxgy;
（ii）()fx满足条件：()()(fxfxAA为常数）。
（1）证明()gx是一个奇函数。
（2）证明0()|()||()|aaafxgxdxAgxdx，其中0a。
（3）证明函数arctanxye满足条件（ii）。
（4）计算定积分22||arctanxxedx