现控第四章

x A(t ) x, x Ax,
x(t0 ) x0 , t [t0 , ) x(t0 ) x0 , t [t0 , )
我们也总假定系统解存在且唯一！
5. 平衡状态 自治系统(4-5)的平衡状态 xe 定义为状态空间 中满足属性 xe f ( xe , t ) 0, t [t0 , ) (4.6) 的一个状态。 • 平衡状态的直观含义； • 平衡状态形式；（点、线断、等） • 不惟一性； • 零平衡状态； • 孤立平衡状态；（坐标平移） • 对平衡状态的约定。
6. 受扰运动 对于系统的一个给定的运动 x(t ) ，当受到干扰 后，轨线 x(t )变成x (t ) 。这个x (t ) 称为受扰运动。 当干扰消失后，x (t ) 能不能渐近趋于x(t ) 呢？如 果x (t ) 能渐近地趋于 x(t ) ，表示受扰运动x (t ) 稳定，反 之， x (t )不稳定。可以证明 x(t )的稳定性问题等价于 某一扰动方程的原点稳定性问题。 不论是系统平衡状态的稳定性问题，还是受扰 运动的稳定性问题，都可以转化为原点稳定性问题 来研究。 7.各种稳定性描述 状态稳定性（内部稳定性）、BIBO稳定性(外部稳 定性)、ISS、NSS、
几何意义
（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹;（b）渐近稳 定平衡状态及一条典型轨迹;（c）不稳定平衡 状态及一条典型轨迹
2. 渐近稳定 对于给定的两个实数 0和 0 ，都对应地存 在实数 T (, , t0 ) 0 ，使得从满足不等式 x0 xe 的任意初始状态 x0 出发的状态轨迹 x(t ) ，有
第4章 控制系统的稳定性
（控制系统研究的永恒主题）
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
引言 Lyapunov意义下的稳定性定义 Lyapunov第二法 线性连续系统的稳定性 线性定常离散系统的稳定性 有界输入－有界输出稳定 非线性系统的稳定性分析
第一节
引言
1. 稳定性问题的简单回顾（自动控制原理中稳定 性的判定） 2. 非线性系统和线性时变系统？ 3. 1892年，俄国数学力学家李亚普诺夫 (A.M.Lyapunov) ，以其天才条件和精心研究， 创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一 般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义， 并提出了解决稳定性问题的方法（即Lyapunov 第一法和Lyapunov第二法 ），从而奠定了现 代稳定性理论的基础
线性化模型与原非线性系统稳定性之间有如下定 理。可以判别在小扰动作用后平衡状态的稳定性
x xe 0
系统(4-44)的线性化模型为
x Ax
(4-46)
f1 x2 f 2 x2 f n x2 f1 xn f 2 xn f n xn x xe 0
其中，
f x
A
x xe 0
f1 x 1 f 2 x 1 f n x1
则 xe 0 是一致稳定的。 如果 x ,V ( x) ，则 xe 0 是一致大范围稳定的
定理4.4 设非线性系统方程为(4-16)，在 xe 0 的某邻域 内，标量函数 V ( x)具有连续一阶导数，且满足 (1)V ( x)为正定的标量函数，即
V ( x) 0, V ( x) 0, x0 x0
x(k 1) Gx(k )
第六节 有界输入－有界输出稳定性
1.有界输入－有界输出稳定 设系统方程为
x Ax Bu y Cx
(4-24)
系统的输出
x e A(t ) Bu ( )d
t0 t
y Cx Ce
t0
t
A ( t )
Bu ( )d H (t )u ( )d
4. 大范围渐近稳定 如果任意的实数 0 ，存在一个实数 0 ，不 论 取的多么小，在满足不等式
x0 xe
的所有初始状态中，至少存在一个初始状态 x0 ， 由此出发的状态轨线 x(t ) ，不满足下面不等式
x xe
则称 xe 0 为Lyapunov意义下的不稳定。
y Cx
其平衡状态的渐近稳定性由 A 的特征值决定； 而BIBO稳定由传递函数极点决定，就是 A 的特征 值； 所以，平衡状态的渐近稳定性就包含了系统的 BIBO稳定，反之，一个系统的BIBO稳定可能不是 平衡状态的渐近稳定。
例4－9 从中可以看出与传递函数之间的关系。 结论： 线性定常系统是BIBO稳定，且系统是既能控，又 能观测，则系统是渐近稳定的。
V ( x) 0, x0
(2) V ( x)为负定的标量函数，即 V ( x) 0,
x0
V ( x) 0, x0 (3)除 x xe 0 平衡状态外，还有 V ( x) 0 的点， 但不会在整条状态轨线上有V ( x) 0 ，则系统 xe 0
是一致渐近稳定的。 如果 x ,V ( x) ，则 xe 0是一致大范围渐近稳 定的
第七节 非线性系统的稳定性分析
1. 用Lyapunov第二法分析非线性系统的稳定性 一、克拉索夫斯基法 非线性定常系统的状态方程为 (4-30) x f ( x)
f (0) 0
构造李氏函数为
V ( x) xWx f ( x)Wf ( x)
W为n n 正定对称常阵。
取 S ( x) J ( x)W WJ ( x) ,其中 J ( x)为Jacobian矩阵。 如果 S ( x) 是负定的，平衡点是一致渐近稳定的； 如果 x ,V ( x) ,平衡点是一致大范围渐近稳定的
例4－10 W 的选择；赛尔维斯特判据；充分条件。 二. 变量梯度法（不要求） 2. 用近似理论分析非线性系统的稳定性 非线性定常系统的状态方程为
x f ( x) f (0) 0
(4-44)
设 f ( x) 在 xe 0 的邻域内，可以展开成Taylor级数
f f ( x) f ( xe ) x
x xe 0
f 2 ( x xe ) ( x xe ) x
x ( x2 )
例4－1
4. 自治系统 不受外界影响即没有输入作用的一类动态系统。 对连续时间非线性时变系统，自治系统状态方程为 x f ( x, t ), x(t0 ) x0 , t [t0 , ) (4.5) n n x , f , t 其中 。 当然我们对下式也有自己的理解！
x f ( x)
x Ax
第五节 线性定常离散系统的稳定性
设系统方程为
(4-21) 假定 G 为 n n非奇异矩阵，这时系统存在唯一平 V ( x) 衡状态 xe 0 。 构造李氏函数 V [ x(k )] xT (k ) Px(k ) (4-22) 其中， P 为 n n 正定的对称常值矩阵。 P 怎么求？ Lyapunov方程 G PG P Q (4-23) 例4－7
x(t ) xe t t0 T (, , t0 )
成立，则称 xe 0 为Lyapunov意义下的渐近稳 定。 如果 ( , t0 )和T(, ,t0 ) 与 t 0 无关，即 ( , t0 ) ( )和T (, , t0 ) T (, ) 则系统为一致渐近稳定。
第三节 Lyapu-16) 在平衡状态 xe 0 的某邻域内，标量函数V ( x) 具有 连续一阶导数，且满足 (1) V ( x) x0 为正定的标量函数，即 V ( x) 0,
V ( x) 0, x0
x f ( x)
(2)V ( x) 为负定的标量函数，即 V ( x) 0,
第二节 Lyapunov意义下的稳定性定义
1. 稳定 非线性时变系统状态方程为
x f ( x, t ) (4-12) xe 0 如果对于任意给定的实数 0 ，都对应地存在实
数 ( , t0 ) 0 ，使得由满足不等式 x(t0 ) xe ( , t0 ) (4-13) 的任意初始状态 x(t0 ) x0 出发的状态轨迹 x(t ) 有 x(t ) xe t t0 (4-14) 成立，则称 xe 0 为Lyapunov意义下的稳定。 如果 ( , t0 ) 是与初始时刻 t 0 无关，即 ( , t0 ) ( ) 则称 xe 0 为一致稳定
V ( x) 0,
x0 x0
则 xe 0 是一致渐近稳定的。 如果 x ,V ( x) ，则xe 0 是一致大范围渐近稳 定的
定理4.2 设非线性系统方程为(4-16)，在 xe 0 的某邻域 内，标量函数 V ( x)具有连续一阶导数，且满足 (1)V ( x)为正定的标量函数，即 V ( x) 0, x0
t0
t
其中H (t )＝Ce A(t ) B 为系统脉冲响应矩阵。对 于SISO系统， h(t ) 为脉冲响应函数。
对于初始松弛的系统，任何有界输入，其输出是有 界，称为BIBO稳定。 定理4.5 对于一个由
y(t ) H (t )u( )d
t0 t
描述的初始松弛的线性定常系统。BIBO稳定的充 要条件是存在一个常数K3 ，有 (4-27) H (t ) d K3
(2) V ( x)为正定的标量函数，即
V ( x) 0, V ( x) 0, x0 x0
则 xe 0 是不稳定的。
例4-2、例4-3、例4-4、例4-5
第四节 线性连续系统的稳定性
设系统方程为
(4-17) 假定 A 为非奇异矩阵，这时系统存在唯一平衡状 V ( x) 态 xe 0 。 构造李氏函数 V ( x) xT Px (4-18) 其中， P 为 n n 正定的对称常值矩阵。 P 怎么求？ Lyapunov方程 A P PA Q (4-19) 例4－6