Q015-复变函数与积分变换-习题七

复变函数与积分变换习题集 1 第七章 傅立叶变换 一、 判断题 1．任意函数的傅立叶变换都存在。（ ）

2．)(tf的正弦变换就是)(tf为奇函数时的傅立叶变换。（ ）

3．:),()(上满足下列条件在若tf

),d|)(|(),()().2(;).1(收敛即积分上绝对可积在无限区间条件在任一有限区间上满足ttftfDirichlet

则 成立。（ ） 4．)(t具有性质),0()()(fdtttf其中的积分就是我们数学分析中熟悉的广义积分。（ ） 5．因为)(2tdeti，所以)1(2dei。（ ） 6．古典意义下的傅立叶变换的所有性质对于广义傅立叶变换均成立，且形式完全相同。（ ） 二、 选择题



dd)(21)(tiieeftf

)()]([),()()1(0tftttfF则设titieDeCBA00)()(2)(1)(

)()]([,2cos)()2(tfttfF则设

)]2()2([)()]2()2([)()]2()2([)()]2()2([)(iDiCBA复变函数与积分变换习题集

2 （9）设0,0,0)(tettft，则)(*)(tftu=（ ） （A）)(tuet （B）)()1(tuet （C）)1()1(tuet （D）)1()(1()1tuet

)()]()2[(),()]([)3(tftFtfFF则设)(2)()()(2)()()(2)()()(2)()(FFiDFFiCFFBFFA

)()]1([),()]([)4(tfFtfFF则设

iiiieFDeFCeFBeFA)()()()()()()()(

)()]([,)2()()5(0tfettftiF则设

)(2)()(2)()(2)()(2)(02020202iiiieDeCeBeA



itDtCBituA2)][sgn()(1)](2[)()(2]1[)()(1)]([)(



FFFF

)()6(下列变换中不正确的是

)(]d)([,0d)()(,),()]([)7(1212ttttfttftgtFtfFF则时假如当设)2(1)()2(21)()2(1)()2(21)(22FeiDFeiCFeiBFeiAii

ii

)()]([,)()8(0tftetftiF则设

)(2)()(2)()(2)()(2)(0000iDiCBA复变函数与积分变换习题集

3 三、 填空题

（5） 积分dtetuti0)( （6）积分deii21 （7）假设函数)(tf的傅立叶变换为)(F，则函数)42(tf的傅立叶变换为 （8）函数)]2()2([)(F的傅立叶逆变换为

（9）积分方程1,010,1sin)(0tdttf的解)(tf 四、 计算下列函数的傅立叶变换 （1）0,00,)(ttetft （2）)(cos)(0tuttf（3）ttf3sin)(

（4）)35sin()(ttf （5）)24(t 五、 计算下列函数的傅立叶变换，并求给出的相应的积分的值。 （1）其他,01||,)(tttf， dsincossin02t）（

（2）1||,01||,1)(2ttttf，dcoscossin03t）（ 六、 已知函数F),()]([Ftf求下列函数的傅立叶变换。

.)(,0,0,)(,0)1(变换为的则函数设Fouriertftetetfatt



.)]([,cos)()2(2tfttfF则设.)(,13)]([)3(2tftf则设

F

.)(*)(,0,0,0)()4(tftutettft则设复变函数与积分变换习题集

4 （1）)2(ttf （2）)1()1(tft （3）)2()1(tft （4）dttdft)(） 七、 计算下列函数的傅立叶逆变换。 （1）0cos)(tF （2）)9)(1(1)(22F

（3）223212)(234F 八、证明：若F ),(][)(Feti其中)(t为一实函数，则 F ])()([2

1)]([cosFFt

F ])()([21)]([sinFFit

九、证明：)()()()()]()([212121tfdtdtftftfdtdtftfdtd

答案：一、1。 2。√ 3。 4。 5。√ 6。 二、(1)D (2) A (3) C (4) B (5) A (6) C (7) B (8) D (9) B (10) C

三、1。222aa 2。)2()2(2)( 3。||23te 4。)()1(tuet

5.)(100i 6. 22e 7. )2(212Fei 8. ti0sin 9.tt)cos1(2 四、(1) dtetfFti)()(dteti)1(=i11 (2) 因为F )(1))((itu，2cos000titieet，所以 复变函数与积分变换习题集 5 F))()(1(21))()(1(21))((cos00000iittu

（5）因为),42()24(tt由相似性质Fiet221))24(( 五（1）)cossin(2dsin2d)()(210ittittetfFti 所以在连续点处 

d)cossin(221)(2tieitf=dsincossin202t）（

所以1,41||,01,41||,2dsincossin02tttttt）（。 复变函数与积分变换习题集

6 （2）ttttetfFtidcos)1(2d)()(1023)cos(sin4 



dcossin403，

因此dcoscossin03t）（1||,01||,12ttt 六、（1）因为),2(22)2(tftttf由相似性质，F2121)]2([ttfF)2(4)]([2Fittf

（2）F d)(1d)1()1()]1()1[()1(itiefttetfttft iiieefed)()(

F ddFiettfi)()]([

（3）因为),2(2)2()2()2(tfttftft由相似性质， F 212

1)]2()2[(tft F 2)]([2ttfF )]2([tf

=)2()2(4)2(212)2(4FFiFFi （4）F itft)]([F ])([)]([Fiitf 七、（1）F dtdit1]cos[01{F][cos01t}=)()(21100ttttdtdi

= )()(2100tttti （2）)9111(81)9)(1(1)(2222F, 所以 )(161)(||3||tteetf 复变函数与积分变换习题集 7 （3）223212)(234F=1)1(11122，所以 ||)1(21)(titeetf

八、 证,d)(,d)()()()()()(teedteeFteeFtitititititi teeeFFtititid2])()([21)()( dtetti)(cos F )].([cost

同理可证另一等式. 九、证