【2019年高考一轮课程】理科数学 全国通用版线性规划 教案

一、自我诊断 知己知彼1．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列不等式一定成立的是( )A ．22a b <B ．22ab a b > C.2211ab a b < D . b a a b< 【答案】C【解析】若0a b <<，则22a b >，故A 错；若0a b <<，则b aa b>，故D 错；若0ab <，即0a <，0b >，则22ab a b <，故B 错.2. 若-22ππαβ<<<，则-αβ一定不属于的区间是( )A ．(－π，π)B.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 C ．(0，π) D ．(－π，0) 【答案】C 【解析】因为-22ππαβ<<<，所以-22ππαβ<<<，所以－π＜α－β＜0，结合选项可知选项C 一定不可能，故选C . 3．已知下列结论：①若a b >，则22a b >；②若a b >，则11a b<； ③若a b >，则33a b >；④若0a <，10b -<<，则2ab a >.其中正确的是________(只填序号即可) 【答案】①③④【解析】对于①，因为0a b >≥，所以22a b >，即①正确；对于②，当2a =，1b =-时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为0a <，10b -<<，22(1)0ab a a b -=->，所以2ab a >，即④正确.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】画出可行域，不难发现在点A (1,1)处目标函数z ＝x ＋2y 有最小值z min ＝3.选B.5．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无数个，则实数a 的取值集合是( ) A ．{－3,0} B ．{3，－1} C ．{0,1} D ．{－3,0,1}【答案】A【解析】 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14表示的区域如下图所示.由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .当－a ＞0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，a ＝－1时，线段AC 上的所有点都是最优解；当－a ＜0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当a ＝3时，线段BC 上的所有点都是最优解.故选B.二、温故知新 夯实基础1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a b a －b ＝0⇔a ba －b <0⇔a b(a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a b ab ＝1⇔a ba b <1⇔a b(a ∈R ，b >0).2．不等式的性质 单向性：(1)传递性：a>b ，b>c ⇒a>c.(2)同向相加性：a>b ，c>d ⇒a ＋c>b ＋d. (3)乘法单调性： a>b ，c>0⇒ac>bc ； a>b ，c<0⇒ac<bc ； a>b>0，c>d>0⇒ac>bd ； a>b>0(n ∈N *)⇒a n >b n ； a>b>0(n ∈N *，n≥2)⇒n a双向性：a>b ⇔ b <a . a>b ⇔a ＋c>b ＋c.3．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域. 4. 线性规划相关概念三、典例剖析 思维拓展考点一 不等式的性质例1已知a ，b ，c 为实数，判断以下各命题的真假． (1)若a >b ，则ac <bc ； (2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a <b <0，则a 2>ab >b 2； (4)若a >b ，1a >1b，则a >0，b <0.【答案】（1）假；（2）真；（3）真；（4）真【解析】(1)c 是正、负或为零未知，因而缺少判断ac 与bc 的大小依据，故该命题为假命题．(2)由ac 2>bc 2知c ≠0，∴c 2>0，∴a >b ，故该命题为真命题(3) ⎭⎬⎫a <b a <0⇒a 2>ab ；又⎭⎬⎫a <b b <0⇒ab >b 2，∴a 2>ab >b 2，故该命题为真命题．(4) 由已知条件知a >b ⇒a －b >0，又1a >1b ⇒1a －1b >0⇒b －a ab >0， ∵a －b >0，∴b －a <0，∴ab <0.又a >b ，∴a >0，b <0，故该命题为真命题． 【易错点】易忽视为0的情况. 【方法点拨】合理利用不等式的性质.例2设2()f x ax bx =+，且1(1)2f ≤-≤,2(1)4f ≤≤.求(2)f -的取值范围． 【答案】[]5,10【解析】设f (－2)＝4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，－m ＋n ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3(a －b )＋(a ＋b )．因为1≤a －b ≤2，所以3≤3(a －b )≤6.又因为24a b ≤+≤，所以53()()10a b a b ≤-++≤. 即5(-2)10f ≤≤.【易错点】易把范围扩大.【方法点拨】合理利用不等式的性质.考点二 求目标函数的最值例1已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0，求4x －3y 的最大值和最小值.【答案】最大值：14，最小值：－18. 【解析】不等式组表示的区域如图所示.可观察出4x －3y 在A 点取到最大值，在B 点取到最小值. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23＝04x ＋y ＋10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－6，则A (－1，－6). 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋7y －11＝04x ＋y ＋10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝2.则B (－3,2)，因此4x －3y 的最大值和最小值分别为14，－18.【易错点】对最值点判断易出错.【方法点拨】(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得.(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y 轴上的截距或其相反数.例2变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，(1)设z ＝yx ，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围. 【答案】（1）25；（2）2≤z ≤29；（3）16≤z ≤64.【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示.由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1). 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2).(1)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率. 观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29. ∴2≤z ≤29.(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝8.∴16≤z ≤64.【易错点】本题错误率较高.出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知道从其几何意义入手解题.【方法点拨】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法. (2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.考点三 线性规划的简单应用例1 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 【答案】D【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移． 由此可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． 【易错点】列不等式，以及求最优解【方法点拨】求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y 轴上的截距或其相反数.四、举一反三 成果巩固考点一 不等式的性质1、已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )．A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b【答案】C【解析】由a ＋b >0知a >－b ，∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0，∴a >－b >b >－a .答案为C.2、若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________． 【答案】4【解析】∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5， ∴－1≤a －b ≤6.答案为[－1,6].3、若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )．A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【答案】C【解析】∵1e<x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .答案为C.4、已知f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5.求f (3)的取值范围． 【答案】[－1,20]【解析】f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)．∵－1≤f (2)≤5， ∴－83≤83f (2)≤403.∵－4≤f (1)≤－1，∴⎝⎛⎭⎫－53×(－1)≤－53f (1)≤⎝⎛⎭⎫－53×(－4)． ∴－83＋53≤83f (2)－53f (1)≤403＋203，即－1≤f (3)≤20.即f (3)的取值范围是[－1,20]．考点二 求目标函数的最值1、△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.【解析】如图直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)．直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0，直线BC 的方程为x －y ＋2＝0， 把(0,0)代入2x ＋y －5＝－5<0， ∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0.2、若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4.所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )．A.73B.37C.43D.34 【答案】A【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以求得点A ，B ，C 的坐标分别为(1,1)，(0,4)，⎝⎛⎭⎫0，43.由直线y ＝kx ＋43恒过点C ⎝⎛⎭⎫0，43，且平面区域被此直线分为面积相等的两部分，观察图象可知，当直线y ＝kx ＋43与直线 3x＋y ＝4的交点D 的横坐标为点A 的横坐标的一半时，可满足要求．因此x D ＝12，代入直线3x ＋y ＝4，可得y D ＝52，故点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，代入直线y ＝kx ＋43，即52＝k ×12＋43，解得k＝73，故选A. 3、实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围. 【答案】（1）[2，＋∞)；（2）(1,5] 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(OA 斜率不存在).而由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0y ＝2，得B (1,2)，则k OB ＝21＝2.∴z max 不存在，z min ＝2， ∴z 的取值范围是[2，＋∞).(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方. 因此x 2＋y 2的范围最小为|OA |2(取不到)，最大为|OB |2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＝0，得A (0,1)， ∴|OA |2＝(02＋12)2＝1， |OB |2＝(12＋22)2＝5.∴z 的最大值为5，没有最小值. 故z 的取值范围是(1,5].考点三 线性规划的简单应用1、某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【答案】该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.【解析】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l过M 点时，目标函数取得最大值.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900. 解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)，∴z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元).即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.五、分层训练 能力进阶【基础达标】1、 b 克糖水中有a 克糖(b>a>0)，若再添上m 克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：________.【答案】a ＋m b ＋m >a b【解析】变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了．答案为a ＋m b ＋m >a b. 2、若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，且z ＝x ＋2y 的最小值等于 ( )．A ．2B ．3C ．5D ．9【答案】C【解析】可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2＝3.答案为B3、某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．【答案】2300【解析】设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2300元.答案为2300.4、已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝ ( )．A ．2B ．9C ．310D ．0【答案】D【解析】由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.故选D.5、如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )．A.14B.35 C ．4 D.53【答案】B【解析】由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35.答案为B.【能力提升】1、设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线x ＋y ＝0对称，求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0，y ≥0，kx －my ≤0表示的平面区域的面积．【答案】14. 【解析】∵M ，N 关于直线x ＋y ＝0对称，∴直线y ＝kx ＋1垂直于直线x ＋y ＝0，∴k ＝1，∴圆心⎝⎛⎭⎫－k 2，－m 2在x ＋y ＝0上， ∴－k 2－m 2＝0，即m ＝－1， ∴原不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，y ≥0，x ＋y ≤0.作出不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，即△ABO .易得△ABO 为等腰直角三角形，且OA ＝1，故阴影部分的面积为14. 2、已知x ，y 为正实数，满足1≤lg (xy)≤2,3≤lg x y≤4，求lg (x 4y 2)的取值范围. 【答案】[]6,10【解析】设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg (xy)＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg (x 4y 2)＝4a ＋2b ， 设4a ＋2b ＝m(a ＋b)＋n(a －b)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1。