单项式与多项式

第一部分：知识点回顾
1、代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

说明：代数式书写时需注意：
（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如
；
（2）数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如－mn；
（3）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：
要写成
的形式；
（4）除号要改写成分数线，如：a÷b要写成
；
（5）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（
＋
）平方米。

2、单项式：只含有数字或字母的乘积的式子叫做单项式．
①定义中的“积”是对数与字母而言的，只能是乘法或乘方运算，而不能是加、减、除等其他运算. 如ab2＋2，
，
等都不是单项式.
②单独的一个数或一个字母也是单项式.
（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
①单项式的系数包括其前面的符号；
②只含有字母因数的单项式，其系数是1或– 1.也就是说，系数是1或–1时，“1”省略不写.
（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项数的次数．
①计算单项数的次数时，不要漏掉字母的指数为1的指数.
②切勿加上系数中的指数.
3、多项式：几个单项式的和叫做多项式.
其含义有：①必须由单项式组成；②体现和的运算法则．
（1）多项式的项：是指在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
多项式的项包括它前面的性质符号。

（2）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项，这个多项式就叫几项式。

（3）常数项：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。

（4）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
注意：不要与单项式的次数混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和，如多项式3x 4 + 2y 2 + 1的次数是4，而不是4 + 2 = 6．
（5）降（升）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降（升）幂排列．
说明：把多项式按升幂或降幂排列时，一定要弄清是针对哪个字母的排列，排列时只看这个字母的指数，而后按照加法交换律交换项的位置．对于不同的字母，排列后的顺序往往不同，切记重新排列多项式时，各项一定要带着符号移动位置．
3、整式：单项式与多项式统称为整式.
注意：分母中含有字母的代数式是分式
第三部分：例题剖析
1. 对单项式、多项式、整式进行判断
例1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．
(1)－3xy2； (2)2x3＋1； (3)
(x＋y＋1)； (4)－a2； (5)0；
(6)
； (7)
； (8)
； (9)x2＋
－1； (10)
；
解：单项式有：(1)－3xy2，(4)－a2，(5)0，(7)
；
多项式有：(2)2x3＋1，(3)
(x＋y＋1)；
不是整式的有：(6)
，(8)
，(9)x2＋
－1，(10)
．
易错提示：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。

在数字和字母之间只出现了乘法、加法、减法（可转化为加法）的运算，这样的代数式就是整式。

整式最显著的特征是字母不能作分母。

(6)
和 (7)
这两个代数式常会误以为都是单项式，（7）可以看成
，所以是单项式，而（6）是2x÷y，所以不是单项式也不是整式。

(3)
(x＋y＋1)；会误以为是单项式，其实
(x＋y＋1)＝
x+
y+
，所以是三个单项式的和，是一个多项式。

2、单项式、多项式的次数和项
例2 指出下列各单项式的系数与次数：
（1）
（2）-mn3; （3）
（4）－3；
解：（1）
的系数是
，次数是3. （2）-mn3的系数是-1，次数是4.
（3）
的系数是
，次数是5. （4）－3的系数是－3，次数是0。

知识体验：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，如-nm3中，系数是－1，则把“1”省略不写；圆周率π只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：
的系数是
，次数是5。

另外，像－3，
，0等这样的常数，是零次单项式．
例3 填空：
（1）多项式2x4-3x5-2π4是次项式，最高次项的系数是，四次项的系数是，常数项是，补足缺项后按字母x升幂排列得；
（2）多项式a3-3ab2 +3a2b-b3是次项式，它的各项的次数都是，按字母b降幂排列得 .
解：（1）五，三，-3，2，－2π4，-2π4 +0x +0x2 +0x3 +2x4-3x5;
（2）三，四，3，-b3-3ab2 +3a2b +a3.
知识体验：－2π4是常数项，不是4次项。

确定多项式项时不要漏掉前面的符号，移动多项式的某一项的位置时，要连同前面的符号一起移动，这些都是容易犯错误的地方，要引起高度重视。

第四部分：典型例题
例1、用代数式表示：
（1）一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为___________。

（2）如图，亮亮家装饰新家，他为自己的房间选了一款窗帘（上方阴影固定），请你帮他计算可以射进阳光的面积为___________米2。

【变式练习】用代数式表示
（1）a的2倍与b的一半之和的平方，减去a、b两数平方和的2倍。

（2）
与x的积与3除y的商的和。

例2、说出下列多项式的项和次数：
(1)3x－1＋3x2； (2)4x3＋2x－2y2。

【变式练习】给出多项式6a2b2－3ab＋4a4b－8b5＋7a3，分别回答下列问题：
（1）是项式
（2）是次式
（3）字母a的最高次数是
（4）字母b的最高次数是
（5）把多项式按a的降幂重新排
列
（6）把多项式按b的降幂重新排
列。

例3、如果
是关于x,y的单项式，且系数为-
，次数10，求a,n的值。

【变式练习】已知代数式3xn－(m－1)x＋1是关于x的三次二项式，求m、n 的条件。

例4、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第
个图形中需要黑色瓷砖____________块（用含
的代数式表示）．
【变式练习】用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：
(1)第4个图案中有白色地面砖块；
(2)第n个图案中有白色地面砖块．
第五部分：思维误区
误区一、单项式系数判断错误
例1、（1）单项式3
的系数是；（2）-πr2h的系数是
（3）
的系数是；
错解：（1）3，（2）-1，（3）-3
纠错秘方：（1）中的系数是3×104，（2）中的π是常数，同时注意符号（3）可以写成
正确的解：（1）3×104；（2）-π（3）
误区二、单项式与多项式的次数判断错误
例2、填空（1）单项式
的次数是
（2）多项式
是次三项式。

错解：（1）6或5；（2）五
纠错秘方：（1）中的字母应该是xy，单项式的次数的指所有字母的指数和即3+1=4，同时这类型的注意y的指数的1，而不是0，所有常数项的指数都是0次单项式；（2）多项式的次数的组成的单项式中次数最高的是多项式的系数；
正确的解：（1）；（2）；
第六部分：方法规律
第七部分：巩固练习
A组
一、选择题
1、在下列代数式：
中，单项式有（）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2、在下列代数式：
ab，
，ab2+b+1，
+
，x3+ x2－3中，多项式有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3、下列代数式中，不是整式的是（）
A.
B.
C.0
D.
4、下列说法正确的是( )
A．x的指数是0 B．x的系数是0 C．－10是一次单项
式 D．－10是单项式
5、多项式－23m2－n2是（）
A．二次二项式 B．三次二项式 C．四次二项式 D五次二项式
6、在多项式x3－xy2＋25中，最高次项是( )
A．x3 B．x3，xy2 C．x3，－
xy2 D．25
7、如果2－（m＋1）a＋an-3是关于a的二次三项式，那么m，n应满足的条件是（）
A．m＝1，n＝5 B．m≠1，n＞3
C．m≠－1，n为大于3的整数 D．m≠－1，n＝5
8．x减去y的平方的差，用代数式表示正确的是（）
A、
B、
C、
D、
9、如果一个多项式是五次多项式，那么（）
A．这个多项式最多有六项； B．这个多项式只能有一项的次数是六；
C．这个多项式一定是五次六项式； D．这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五.
10、在含盐30％的盐水
千克中，注入20%的盐水y千克，此时盐水中含盐（）．
A、
千克 B、
千克
C、
千克 D、
千克
二、填空题
11、单项式－
x2的系数是__________，次数是__________．
12、多项式
是________次________项式，常数项是________；
13、多项式
是关于x的二次三项式，则m= ______．。