21-22版：素养提升六 带电粒子在磁场和复合场中的运动（创新设计）

素养提升六带电粒子在磁场和复合场中的运动突破1带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在有界磁场中运动的几个结论(1)粒子进入单直线边界磁场时，进、出磁场具有对称性，如图1中(a)、(b)、(c)所示。

(2)在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，如图中(d)所示。

(3)当速率一定时，粒子运动的弧长越长，圆心角越大，运动时间越长。

(4)平行边界：存在临界条件。

如图1中(e)、(f))所示。

图1【例1】(多选)如图2所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场，欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是()图2A.Bqd mB.（2＋2）Bqd mC.（2－2）Bqd mD.2qBd 2m 解析 粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R ＝m v 0qB 知，粒子的入射速度v 0越大，R 越大。

当粒子的径迹和边界QQ ′相切时，粒子刚好不从QQ ′射出，此时其入射速度v 0应为最大。

若粒子带正电，其运动轨迹如图甲所示(此时圆心为O 点)，容易看出R 1sin 45°＋d ＝R 1，将R 1＝m v 0qB 代入得v 0＝（2＋2）Bqd m，选项B 正确；若粒子带负电，其运动轨迹如图乙所示(此时圆心为O ′点)，容易看出R 2＋R 2cos 45°＝d ，将R 2＝m v 0qB 代入得v 0＝（2－2）Bqd m，选项C 正确。

答案 BC【例2】 在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图3所示。

一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以速度v 沿－x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y 轴的交点C 处沿＋y 方向飞出。

图3(1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q m ；(2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B ′，该粒子仍从A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B ′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？ 解析 (1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷。

粒子由A 点射入，由C 点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R ＝r ，又q v B ＝m v 2r ，则粒子的比荷q m ＝v Br 。

(2)设粒子从D 点飞出磁场，速度方向改变了60°角，故AD 弧所对圆心角为60°，粒子做圆周运动的半径R ′＝r tan 30°＝3r ，又R ′＝m v qB ′，所以B ′＝33B 。

粒子在磁场中运动所用时间t ＝16T ＝16×2πm qB ′＝3πr 3v 。

答案 (1)负电荷 v Br (2)33B 3πr3v【针对训练1】 如图4甲所示有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M 点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角。

已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B 1、B 2，则B 1与B 2的比值为( )图4A.2cos θB.sin θC.cos θD.tan θ解析 由题意作出粒子在磁场Ⅰ和磁场Ⅱ中的运动轨迹分别如图1和2所示，由洛伦兹力提供向心力知q v B ＝m v 2r ，得B ＝m v qr ，设磁场Ⅰ宽度为d ，由几何关系知d ＝r 1sin θ，d ＝r 2tan θ，联立得B 1B 2＝cos θ，C 正确。

答案C突破2带电粒子在组合场中的运动1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，一般为两场相邻或在同一区域电场、磁场交替出现。

2.解题时要弄清楚场的性质、场的方向、强弱、范围等。

3.要进行正确的受力分析，确定带电粒子的运动状态。

(1)在电场中运动①若初速度v0与电场线平行，粒子做匀变速直线运动；②若初速度v0与电场线垂直，粒子做类平抛运动。

(2)在磁场中运动①若初速度v0与磁感线平行，粒子做匀速直线运动；②若初速度v0与磁感线垂直，粒子做匀速圆周运动。

4.分析带电粒子的运动过程，画出运动轨迹是解题的关键。

5.解题技巧：组合场中电场和磁场是各自独立的，计算时可以单独分析带电粒子在电场或磁场中的运动来列式处理。

特别注意带电粒子在两场交界处联系物理量，一般是速度。

【例3】(多选)如图5所示，在平面直角坐标系xOy内，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限以ON为直径的半圆形区域内存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。

一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，从y轴正半轴上y＝h处的M点，以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上x＝2h 处的P点进入磁场，最后以垂直于y轴的方向射出磁场。

不计粒子重力。

求：图5(1)电场强度的大小E ；(2)粒子在磁场中运动的轨迹半径r ；(3)粒子从进入电场到离开磁场经历的总时间t 。

解析 粒子的运动轨迹如图所示(1)设粒子在电场中运动的时间为t 1，则有2h ＝v 0t 1，h ＝12at 21 根据牛顿第二定律得Eq ＝ma 解得E ＝m v 202qh(2)设粒子进入磁场时速度为v ，在电场中，由动能定理得Eqh ＝12m v 2－12m v 20又因q v B ＝m v 2r ，解得r ＝2m v 0qB(3)粒子在电场中运动的时间t 1＝2h v 0粒子在磁场中运动的周期T ＝2πr v ＝2πm qB设粒子在磁场中运动的时间为t 2，t 2＝38T ，求得t ＝t 1＋t 2＝2h v 0＋3πm 4qB 答案 (1)m v 202qh (2)2m v 0qB (3)2h v 0＋3πm 4qB 【针对训练2】 (多选)(2020·大连高二检测)一个带电粒子以初速度v 0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域。

设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示。

在如图所示的几种情况中，可能出现的是( )解析由图可知，电场力向下，则粒子带正电，当进入磁场时，由左手定则可得洛伦兹力垂直速度向上，故A项正确；由图可知，电场力向下，粒子应带负电，在磁场中受洛伦兹力应垂直于速度向下，故B项错误；同理可判得C项错误，D项正确。

答案AD突破3带电粒子在复合场中的运动处理带电粒子在复合场中的运动的基本思路(1)弄清复合场的组成。

(2)进行受力分析，确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的结合。

(3)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。

①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。

②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，一定是电场力和重力平衡，洛伦兹力提供向心力，应用平衡条件和牛顿运动定律分别列方程求解。

③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。

【例4】如图6所示，在地面附近一个范围足够大的相互正交的匀强电场和匀强磁场。

匀强磁场的磁感应强度为B，方向水平并垂直纸面向外。

一质量为m、带电荷量为－q的带电微粒在此区域恰好做速度大小为v的匀速圆周运动。

(重力加速度为g)图6(1)求此区域内电场强度的大小和方向；(2)若某时刻微粒运动到场中距地面高度为H的P点，速度与水平方向成45°角，如图所示。

则该微粒至少需要经过多长时间运动到距地面最高点？最高点距地面多高？解析(1)要满足微粒做匀速圆周运动，则qE＝mg得E＝mgq，方向竖直向下。

(2)如图所示，当微粒第一次运动到最高点时，α＝135°，则t＝α2πT＝135°360°T＝3T8，T＝2πmqB，所以t＝3πm4qB，H1＝R＋R sin 45°＋H＝H＋（2＋2）m v2qB。

答案(1)mgq方向竖直向下(2)3πm4qB H＋（2＋2）m v2qB【针对训练3】(多选)如图7所示，竖直直线MN右侧存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，现有一质量m＝0.01 kg、电荷量q＝＋0.01 C的小球从MN左侧水平距离为l＝0.4 m的A点水平抛出，当下落距离是水平距离的一半时从MN上的D点进入电磁场，并恰好能做匀速圆周运动，图中C点是圆周的最低点且C到MN的水平距离为2l，不计空气阻力，g取10 m/s2，则()图7A.小球的初速度为20 m/sB.匀强电场的电场强度为10 V/mC.匀强磁场的磁感应强度为B＝2 TD.小球从D到C运动的时间为0.1π s解析小球从A到D做平抛运动，l＝v0t，l2＝12gt2，所以t＝0.2 s，v0＝2 m/s，选项A错误；小球进入电磁场中恰好做匀速圆周运动，则qE＝mg，即E＝10 V/m，选项B正确；小球进入电磁场时有v y＝gt＝v0，即小球进入电磁场时的速度大小为v ＝2 2 m/s ，且与MN 成45°角，由几何关系可得小球做匀速圆周运动的半径为r ＝2l cos 45°＝45 2 m ，又因q v B ＝m v 2r ，联立并代入数值得B ＝2.5 T ，选项C 错误；小球从D 到达C 经历了18圆周，所以从D 到C 运动的时间为t ＝πr4v ＝0.1π s ，选项D 正确。

答案 BD1.(带电粒子在有界磁场中的运动)(多选)如图8所示，正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，有两个质子从A 点沿AB 方向垂直进入磁场，质子1从顶点C 射出，质子2从顶点D 射出，设质子1的速率为v 1，在磁场中的运动时间为t 1，质子2的速率为v 2，在磁场中的运动时间为t 2，则( )图8A.v 1∶v 2＝1∶2B.v 1∶v 2＝2∶1C.t 1∶t 2＝1∶2D.t 1∶t 2＝2∶1解析 由题图可知质子1的半径为正方形的边长L ，质子2的半径为L 2，根据洛伦兹力充当向心力可得Bq v ＝m v 2R 可得v ＝BqR m ，故速度之比等于半径之比，故v 1∶v 2＝2∶1，故A 错误，B 正确；由T ＝2πm Bq 可知，两粒子的周期相同，但由题图可知，质子1转过的圆心角为90°，而质子2转过的圆心角为180°，则可知，所用时间之比等于转过的圆心角之比，故t 1∶t 2＝90°∶180°＝1∶2，故C 正确，D 错误。

答案 BC2.(有界与临界问题的结合)(2020·全国卷Ⅲ，18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图9所示。