【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】几类常微分方程典型的解法(可编辑)

【数学与应用数学专业】【毕业论文+文献综述+开题报告】几类常微分方程典型的解法（20 届）本科毕业论文几类常微分方程典型的解法摘要:自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画,微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动的最为基本的数学理论和方法.在我们的现实生活中存在着各式各样的微分方程,常微分方程是其比较重要的存在形式.常微分方程作为现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,因此对常微分方程进行求解有一定的必要性.本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及相关应用.关键词:常微分方程;变量分离;积分因子;伯努利方程The Solution to Several Kinds of Differential Equations Abstract: Many things in nature's law of motion can be used to characterize by the differential equations. Natural science, social science things, the phenomenon of movement of the most basic mathematical theory and methods differential equations can be studied by the differential equations. In our real world, there are a lot of kind differential equations. Differential equation is one of the most important existing forms. As an important branch of modern mathematics, ordinary differential equation is the effective tool that people solve practical problems. Therefore it is a necessary of solving ordinary differential equations. This article summarizes several typical methods for ordinary differential equations and related applications.Key words: Ordinary Differential Equations; Separation of Variables; Integrating Factor; Bernoulli Equation1 绪论 11.1 论文选题的背景、意义 11.2 常微分方程的发展动态 22 几类常微分方程的一般解法 52.1 微分方程及其解的定义 52.2 变量分离法72.3 变量代换法92.4 常数变易法153 几类常微分方程的特殊解法19 3.1 凑全微分法193.2 积分因子法214 几类解法在伯努利方程中的应用25 4.1 伯努利方程的由来254.2 伯努利方程的求解264.2.1 变量分离法 264.2.2 变量代换法 274.2.3 常数变易法 284.2.4 部分凑微分法295 结束语306 致谢317 参考文献 32论文选题的背景、意义自然界中很多事物的运动规律可用常微分方程来刻画,常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、现象运动的演变规律的最为基本的数学理论和方法.常微分方程理论研究已经有300百年的历史,当牛顿 Newton,1642-1727 、莱布尼兹 Leibniz,1646-1716 创立了微积分以后,数学家便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题,但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题,这类问题不能通过简单的积分解决,要解决这类问题需要专门的技术,这样,微分方程这门学科就应运而生了.微分方程,是一个有长期历史,而又正在不断发展的学科;是一个既有理论研究意义,又有实际应用价值的学科;是一个既得力于其他数学分支的支持,又为其他数学分支服务的学科,是一个表现客观自然规律的工具学科,又是一个数学可以为实际服务的学科.“300年来分析是数学里首要的分支,而微分方程又是分析的心脏.这是初等微积分的天然后继课,又是为了了解物理科学的一门最重要的数学,而且在它所产生的较深的问题中,它又是高等分析里最大部分思想和理论的根源.”塞蒙斯 Simmons 曾如此评价微分方程在数学中的地位[1].常微分方程的发展极大地推动了自然科学、技术科学和社会科学的发展.到今天它已广泛地渗透到了物理学、化学、生物学、工程技术学乃至社会科学等各个领域,反过来这些领域中提出的实际问题也推动了微分方程的进一步深化,使之成为当今经济发展和社会进步所不可或缺的一门技术.数学的其他分支的新发展如复变函数、组合拓扑学等都给常微分方程的发展以深刻的影响.当前计算机的发展为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等.这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题.但是,数学家发现,不是所有的微分方程的通解都能求出,从以前的“求通解”到“求解定解问题”的转变,所以能求出微分方程的解是十分重要的.应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有的理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善[2].本文主要总结了几种常微分方程的典型解法及其相关应用.常微分方程的发展动态常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一.常微分的发展主要可以分为四个阶段:常微分的经典阶段--以通解为主要研究内容、常微分方程的适定性理论阶段--以定解问题的适定性理论为研究内容、常微分方程的解析理论阶段--以解析理论为研究内容、常微分方程的定性理论阶段--以定性与稳定性理论为研究内容[3].尽管在耐皮尔 John Napier,1550-1617 所创立的对数理论及达芬奇提出的饿狼扑兔问题中都已涉及到微分方程发展的思想萌芽,但微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的. 1676年,莱布尼兹在给牛顿的通信中,第一次提出“微分方程”这个数学名词.17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典阶段,以求通解为主要内容. 牛顿和莱布尼兹在建立微分方程与积分运算时就指出了它们的互逆性,实际上是解决了最简单的微分方程的求解问题.此外,牛顿、莱布尼兹也都应用了无穷级数和待定系数法解出了某些初等微分方程[3].莱布尼兹最早使用变量分离法解微分方程.他用这种方法解决了形如的方程,同一年,他又用变量分离法解出了一阶齐次方程.在17世纪,作为微积分的一部分,微分方程跟微积分彼此不分.到了18世纪,由于天文学、力学、物理学的需要,同时也因为要解决许多较为复杂的问题,需要专门的技术,这样,微分方程开始成为一门独立的学科而存在.在1734-1735年的论文中,欧拉提出了全微分方程,即方程中的是某个函数的恰当微分,并给出所给方程的全微分条件.他确立了可采用积分因子的方程类型,证明了凡是分离变量的方程,均可以用积分因子方法求解,还证明了如果知道了任何一个常微分方程的两个积分因子,那么令他们的比等于常数,就是微分方程的一个通解. 1743-1751年,欧拉又将积分因子法推广到高阶方程,并通过特征方程法和降阶法解决了常系数线性齐次方程和非齐次的阶线性常微分方程,并利用变换提出欧拉方程[4].19世纪是微分方程严格理论的奠定时期,此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段,人们从求通解的热潮转向研究常微分方程的适定性理论.18世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题,如里卡蒂方程求解问题,使数学家招架不住了,于是转向对解的存在性问题的思考.第一个考虑微分方程解的存在性的是柯西A.Cauchy,1789-1857 ,19世纪20年代,他建立了柯西问题解的存在唯一性定理.1873年,德国数学家李普希兹Rudolph Lipschitz.1832-1903 提出著名的“李普希兹条件”,对柯西的存在唯一性定理做了改进.在适定性理论的研究中,与柯西、李普希兹同一时期的还有皮亚拿与皮卡,他们先后于1875年和1876年给出常微分方程的逐次逼近法,皮亚拿在仅仅要求在点领域连续的条件下证明了柯西问题解的存在性.后来这方面的理论有了很大的发展,这些基本理论包括:解的存在及唯一解,延展性,解的唯一存在性,解对初值和参数的连续依赖性和可微性、奇解等,这些问题是微分方程的一般基础理论问题[3].19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段,这一阶段的主要理论结果是微分方程的解析理论,运用幂级数和广义幂级数解法,求出一些重要的二阶线性方程的级数解,并得到及其重要的一些函数.1826年,贝塞尔研究行星运动时,开始系统地研究贝塞尔方程,贝塞尔得出了此方程的两个级数解,分别称为第一类贝塞尔函数和第二类贝塞尔函数.另一个重要内容是勒让德方程的级数解和勒让德多项式方面的成果.1784年他出版的代表作《行星外形的研究》中研究了勒让德方程,并且给出了幂级数解的形式.高斯研究了高斯几何方程,并且得到了级数解,同时,他还建立了公式,并指出对不同值,此级数包括了几乎所有的初等函数和类似贝塞尔函数的特征函数.在19世纪后半叶,天体力学及其他技术科学提出的一些问题中,需要研究比较复杂的微分方程的解的局部和全局性质.但由于绝大多数的这种方程不能用初等函数的积分表达通解,因此学者们考虑直接根据微分方程的结构来研究微分方程解的属性.为此,法国数学家庞加莱 Henri Poincare,1854-1912 就开始了微分方程的定性研究,从1881年起,庞加莱独创出微分方程的定性理论.此后,为了寻求只通过考察微分方程本身就可以问答关于稳定性等问题的方法,他从非线性方程出发,发现微分方程的奇点起关键作用,并把奇点分为四类焦点、鞍点、节点、中心 ,讨论了解在各个奇点附近的性状.庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题,成为动力系统地开端.常微分方程定性理论中另一个重要领域是1892年由俄国数学家李雅普诺夫1857-1918 创立的运动稳定性理论.李雅普诺夫在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》中创造了两种新方法;首创了运动稳定性的一半理论.到1937年数学家庞特里亚金提出结构稳定性概念,且严格证明了其充要条件,使动力系统的研究向大范围转化.稳定性理论在美国迅速地变成训练自动控制方面的工程师的一个标准部分.目前,稳定性理论的方法结果已经推广到泛函微分方程、随机微分方程、偏微分方程以及动力系统中去.同时,在自动控制系统、电子技术、卫星姿态动力学、大型动力系统以及生态学等新技术、新领域中均有重要的应用.二十世纪自然科学和技术科学的发展,一个显著的特点是多学科的互相渗透,数学向各个学科的渗透更为普遍和突出.常微分方程作为数学模型广泛地应用于现代生物学、生态学、生理学、医学、经济学、化学等领域,如:传染病模型[5]、两生物种群生态模型[6]、人口模型[6]等.与此同时,国内一些定性理论工作者在80年代迅速转向生物学,开展生物微分方程的研究,做出了有意义的成果[6],一些稳定性理论工作者在70年代末期开展了泛函微分方程的研究,李森林等著的《泛函微分方程》总结了他们近期的工作.同时还有不少人从事研究离散动力系统的稳定性、随机微分方程的稳定性、大型控制系统等.微分方程是一门十分有用又十分有魅力的学科,自1693年微分方程概念的提出到动力系统地长足发展,常微分方程经历漫长而又迅速地发展,极大丰富了数学家园的内容.物理、化学、航空航天、经济、天文、自动控制和经济领域中的许多原理和规律都可以用微分方程来描述,如万有引力定律、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反过程稳定性的研究、人口发展规律、疾病传染、股票的涨跌趋势、市场均衡价格的变化等,对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究.因此,常微分方程的理论研究和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多地应用于社会科学的各个领域.随着社会技术的发展和需求,常微分方程会有更大的发展,比如偏微分方程的迅速发展.可以预测:随着依赖数学为基础的其他学科的发展,常微分方程还会继续扩展.几类常微分方程的一般解法微分方程及其解的定义在初等数学里已经学过方程，形如,,等都是方程，其中是未知量，它们的解是某个特定的值．也见过另一类方程，例如，，等，这里若为自变量，则和就是未知函数，它们的解是的函数，这种方程称为函数方程．本文研究的是另一类方程，是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程，这种方程称为微分方程．其中必须含有未知函数的导数．例如，2-1，2-2，2-3，2-4， 2-5，2-6，2-7等等都是微分方程[7]．定义 2.1[8]在微分方程中，自变量个数只有一个的方程为常微分方程． ordinary differential equation,ODE ．定义 2.2[8]在微分方程中，自变量个数为两个或两个以上的微分方程为偏微分方程． partial differential equation,PDE ．所以，在以上的微分方程中， 2-1 ～ 2-5 式是常微分方程，自变量只有一个， 2-1 式、 2-1 式、 2-5 式的自变量为,是未知函数；2-3 式的自变量为，是未知函数； 2-4 式的自变量为，为未知函数2-6 式、 2-7 式是偏微分方程,自变量有两个及两个以上，在 2-6 中自变量是，在 2-7 中自变量是,未知函数均为．定义 2.3[8]微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数．例如方程 2-1 、 2-2 、 2-3 都是一阶方程, 2-4 、2-6 、 2-7 都是二阶方程， 2-5 是阶方程．定义2.4设函数连续，且有一直到阶的各阶导数，使得2-8则称函数为方程2-9的解[8]．定义把含有个独立的任意常数的解称为阶方程 2-9 的通解．为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解锁必须的条件,这就是所谓的定解条件．常见的定解条件是初值条件和边值条件．所谓阶微分方程 2-9 的初值条件是指如下个条件：当时，,,, 2-10这里是给定的个常数．初值条件 2-10 有时可以写为. 2-11满足初值条件的解称为微分方程的特解[8]．变量分离法形如……………………………………… 2-12的方程，称为变量可分离方程，其特点是右端为仅含有的函数和仅含有的函数的乘积[9]．例如方程，，都是变量分离方程．设，分别是，的连续函数，我们分两种情况进行讨论．若，先分离变量，方程两边同除以，乘以，把方程 2-12 化为． 2-13然后，两边分别对和积分，得． 2-14令，，则式 2-14 可写成， 2-15这里是任意常数．等式 2-15 是方程 2-12 的通解通积分．2 若有实数，使得，则把函数常值函数代入方程 2-12 直接验证，可知也是方程 2-12 的解．上述讨论说明，为了求解方程 2-12 ，关键在于使变量和分离出来，使得的系数仅是的函数，的系数仅是的函数，从而就可以通过各自积分求得其通积分，这种方法就是变量分离法[9]．这里需要指出的是：当时，方程 2-12 与隐函数方程 2-15 是等价的，即方程 2-12 和 2-15 的解集相同．由此,我们可以看出，变量分离方程的求解思路主要分为三步： 1分离变量， 2 对方程两边同时积分并整理得通解， 3 由初始条件求方程的特解[10]．求解方程. 2-16解由题可知原方程时变量可分离方程．1 当时，变量分离可得等式两边积分，有．整理得，2-17其中是任意非零常数．2 另外，经检查，也是方程 2-16 的解．而只要我们允许上式中的可取零值，则就可被包含在上式 2-17 中它对应的解，因此，方程 2-16 的通解为，为任意常数．求解方程．解由题可知原方程是变量可分离方程．将方程变形为．变量分离可得．等式两边积分，有．整理得．即，这里是任意常数．变量代换法一些方程，常常可以通过引入适当变量代换，化为变量已分离型方程或是其他已知解法的方程．我们通过两种方程来介绍变量代换法：我们称形如2-18的方程为齐次方程，其中为的连续函数．显然作为的函数是零次齐次的，例如方程，，都是齐次方程．求解齐次方程的关键是对未知函数进行变量替换，亦即用一个新的未知函数代替原来的未知函数，将方程 2-18 化成变量分离方程．利用变量替换来换来解微分方程是一种常用的技巧．对于方程2-18 ，我们做如下的变量替换，2-19亦即，这里是用新未知函数来代替原来的未知函数，故也是的函数，于是．2-20将 2-19 ， 2-20 代入方程 2-18 即得；由此推出．2-21这是一个变量分离方程，其通解为．2-22再利用变换 2-19 可得原方程 2-18 的通解．这时若存在使得，则也是 2-18 的解[11]．求解方程．解此方程是齐次方程．令，代入原方程，得．即．2-23当时，分离变量得．等式两边积分，得到．整理得．2-24另外，由，即，知方程 2-23 还有解，．若在式 2-24 中允许，则这些解包含在式 2-24 之中．再用换回原变量，就得到原方程的通积分为，是任意常数．求解方程．解方程可以改写为，故它是齐次方程．令，则，代入原方程，得．整理得． 2-25若，分离变量，得．等式两边积分，得到．2-26由，知方程 2-25 还有解，．但是，若在式 2-26 中允许，则解包含在式 2-26 之中．再用代入式 2-26 ，得到原方程的通积分为，为任意常数．另外，由可得解．2-27的方程也可经过变量替换化为变量分离方程，这里均为常数．对于这种方程，我们分三种情形来讨论：①①常数情形．这时方程化为，有通解为， c为任意常数．②情形．即，令，这时有，这是一个变量分离方程，我们可以用变量分离法求得它的解．③情形．即，若不全为0，这时可做变换从而所求方程变为，这也是一个变量分离方程，可通过变量分离法求解．若，则可取变换，再用变量分离法求得[8]．求解方程2-28解容易看出，方程 2-28 是属于上面的情形③，因此先求出方程组，的解为．令，代入方程 2-28 ，则有，2-29再令，即，则 2-29 化为，等式两边积分，得，因此，记，并代回原变量，得，．此外，容易验证，即也是方程 2-29 的解，因此方程 2-28 的通解为，其中为任意常数．求解方程．2-30解解方程组，得．令，代入方程 2-30 ，则有．2-31再令，即，则方程 2-31 化为．解此方程，得．将换成，得故原方程的通积分为，为任意常数．常数变易法一阶线性微分方程，2-32其中，在考虑的区间内是的连续函数．若 0，则 2-32 式变为，2-33为一阶齐次线性微分方程．若，则 2-32 为一阶非齐次线性微分方程．1 首先对齐次线性微分方程 2-33 式进行求解，其中是连续函数．将 2-33 式变量分离，得到，两边积分，得．为任意常数由对数定义，即有，即，令，得到．2-342 再讨论非齐次线性微分方程 2-32 式通解的求法．不难看出， 2-33 是 2-32 的特殊情形，可以设想：在 2-34 中,将常数变易为的待定函数．令，2-35对其求导，得． 2-36 以 2-35 ， 2-36 代入 2-32 ，得到，即，积分后得到，为任意常数将上式代入 2-35 ，得到方程 2-32 的通解． 2-37 这种将常数变易为待定函数的方法,我们通常称为常数变易法[8]．求解方程，这里是常数．解将方程改写为．2-38先求解齐次线性微分方程的通解，从得到齐次线性微分方程的通解．2 应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解．为此，在上式中把看成为的待定函数，即，2-39微分之，得到． 2-40 以 2-39 及 2-40 代入 2-38 ，得到，积分之,求得．因此，以所求的代入 2-39 ，即得原方程的通解，这里是任意常数．求解方程．解将方程改写为．2-41先求齐次线性微分方程的通解．分离变量并积分之，得．令是方程 2-41 的解，将它代入方程 2-41 ，得到．即，积分之，得．因此，原方程的通解为,是任意常数．几类常微分方程的特殊解法凑全微分法我们可以将一阶方程写成微分的形式，或把平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程，3-1这里假设在某矩形域内是的连续函数，且具有连续的一阶偏导数．这样的形式有时便于探求方程的通解．如果方程 3-1 的左端恰好是某个二元函数的全微分，即，3-2则称 3-1 为恰当微分方程全微分方程．容易验证， 3-1 的通解就是，这里是任意常数．方程 3-1 是恰当方程的充要条件是，3-3且方程 3-1 的通解就是[6].．对一些恰当微分方程，为了求出相应的全微分方程的原函数，可以采用分组凑微分法来求解．即把方程左端的各项重新进行适当的组合，使得每组的原函数容易由观察求得，从而求得，这种方法更为简便．“凑全微分”这一步骤，要求我们非常熟悉一些常用的全微分公式，例如：，，，，，，，，，．试用凑微分法求解方程．解因为,，所以此方程是恰当微分方程．将方程重新“分项组合”，得到即，于是，即．所以，方程的通解为．这里是任意常数．试用凑微分法求解方程．解因为，所以此方程是恰当微分方程．将方程重新“分项组合”，得到，即，即，所以，方程的通解为这里是任意常数．积分因子法我们已经知道了全微分方程的解法，某些例如的方程虽然不是全微分方程，但是可以设法将它们化为全微分方程．例如，方程不是全微分方程，但用函数乘该方程后，它变为了全微分方程，其左端的原函数为．一般来说，若方程 3-1 不是全微分方程，但是存在连续可微函数，用它乘以方程 3-1 后，能使方程， 3-4成为全微分方程，则称为方程 3-1 的一个积分因子．这时，是 3-4 的通解，因而也是 3-1 的通解．需要注意的是，一个方程的积分因子不是唯一的．根据3.1，函数为 3-1 的积分因子的充要条件是，即， 3-5 这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程．要想通过解方程3-5 来求积分因子，从而得到方程 3-1 的解，在一般情况下，将比求解方程 3-1 本身更难．但是，在特殊情形中，求方程 3-5 的一个特解还是很容易的．例如，对于方程 3-1 ，如果存在只与有关的积分因子，则，这时方程 3-5 变成，即．3-6由此可知，方程 3-1 有只与有关的积分因子的充要条件是，3-7这里仅为的函数．假如条件 3-7 成立，则根据方程 3-6 ，可以求得方程 3-1 的一个积分因子．3-8同样， 3-1 有只与有关的积分因子的充要条件是，这里仅为的函数．从而求得方程 3-1 的积分因子[8]．试用积分因子法求解方程．解因为,，两者不等，它不是恰当方程．注意到，它只与有关，所以方程只有积分因子．以乘原方程，整理得，这显然是一个恰当方程，通积分是．试用积分因子法求解方程．解因为，，两者不等，它不是恰当方程．注意到它只与有关，所以方程只有积分因子．以乘以原方程，整理得，这显然是一个恰当方程，通积分是．几类解法在伯努利方程中的应用伯努利方程的由来17世纪由牛顿、莱布尼兹创立的微积分，为数学的研究提供了强有力的工具．此后的大部分数学家的注意力，都被这有着无限发展前途的学科所吸引．尽管微积分兴起的初期还存在着一些逻辑上的缺陷，但大部分数学家则暂时搁下逻辑基础不顾，勇往直前地去开辟新的园地，如伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、魏尔斯特拉斯等人．自从微积分被创立,很多数学家就用微积分这一工具去解决问题．但是，他们发现有些问题不能通过简单的积分解决，而是需要其他的技术，所以，微分方程也就诞生了．对于微分方程的产生于发展，伯努利家族做出了巨大的贡献．在引言中提到的“等时问题”，雅各布??伯努利将其归结为求一个微分方程的解，他认为这个微分等式两端的积分必须相等，并给出解答，这是一条摆线．在给出这个问题解答的同一篇论文中，雅各布??伯努利提出了一个新的问题：一根柔软而不能伸长的弦自由悬挂于两固定点，求这个弦所形成的曲线．莱布尼兹称此曲线为悬链线．问题提出一年后，莱布尼兹、惠根斯和约翰??伯努利分别给出了解答．对此，约翰感到莫大的骄傲，他认为这是胜过哥哥的一个重要标志，因为他的哥哥尽管提出这个问题，但不能解决．在这两兄弟的互相竞赛中，在1691年到1692年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性软绳以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所形成的问题．在解决这些问题的过程中，他们总结出了解微分方程的变量分离法[12]．。