牛顿插值法的分析与应用

牛顿插值法的分析与应用

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一．定义

)(x f 关于i x 的零阶差商

)(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i

j i j j i x x x f x f x x f --=

][][],[

依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i

k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --=

+-+++++]

,,[],,[],,,[111

二. 牛顿插值多项式

设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件

)()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 =

的n 次多项式

)()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N

为Newton 插值多项式，称

],[,)(],,,[)()()(0

10b a x x x x x x f x N x f x E n

j j n n ∈-=-=∏=

为插值余项。

三.算法

步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ； 步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差

f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 （2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。 步骤4：若i

四.流程

i+1→i

YES

NO

开始 输出ξ，xx ，n 及（x j ，y j ） f 0→g 0，f i →q 0 k= 1，2，……，i

（q k-1－g k-1）（x i －x i-k ）→q k

k

|g i-1-q i-1|<ξ

q i (x i -x i-1)T →R 输出p ，r ，i STOP 1 (x i -x i-1)T →T p+q i *T →p

k = 1，2，……，i

YES i+1→ i NO

五.程序清单#include"stdio.h"

#define n 4//牛顿插值的次数

void main() {

float a[n+1][n+2]={0},s=0,t=1,x; int i,j;

printf("请输入xi 及yi 的值//要求先输入xi 再输入yi 然后输入下一组\n"); for(i=0;i

scanf("%f",&a[i][j]);

for(j=1;j

a[i][j+1]=(a[i][j]-a[i-1][j])/(a[i][0]-a[i-j][0]); printf("输出xi ，yi 及各阶均差\n"); for(i=0;i

for(j=0;j

q k →g k

k

k

q i (xx-x n-1)*T →R 输出P ，R ，n

STOP 2

printf("%6.5f ",a[i][j]);

printf("\n");

}

printf("输出牛顿插值表达式\n");

printf("N%d(x)=",n);

for(i=0;i

{

printf("%6.5f",a[i][i+1]);

for(j=0;j

printf("(x-%3.2f)",a[j][0]);

if(i==n)

break;

printf("+");

}

printf("\n");

printf("输入插值点x=");

scanf("%f",&x);

for(i=0;i

for(j=0;j

t*=(x-a[j][0]);s+=a[i][i+1]*t;

}printf("N%d(%4.3f)=%6.5f\n",n,x,s);} 六.程序实现

参考文献:

Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Numerical Analysis

(Seventh Edition), Brooks Pub. Co.,2001.

2. 蔡大用，白峰杉. 高等数值分析. 清华大学出版社，北京，1998.

3. 邓建中，刘之行. 计算方法（第二版）.西安交通大学出版社，2001.

4. 韩旭里. 数值分析. 中南大学出版社，2003.