微分中值定理有关证明

☆例1 设)(x f 在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f .

试证：必存在)3,0(∈ξ，使()0f ξ'=

证：∵ )(x f 在[0，3]上连续，∴ )(x f 在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是

M f m ≤≤)0(；M f m ≤≤)1(；M f m ≤≤)2(，故M f f f m ≤++≤)]2()1()0([3

1. 由

连续函数介值定理可知，至少存在一点[0,2]c ∈使得1)]2()1()0([3

1

)(=++=

f f f c f ，因此)3()(f c f =，且)(x f 在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在

)3,0()3,(⊂∈c ξ使得()0f ξ'=。

☆例2 设)(x f 在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且⎰=1

3

2)0()(3f dx x f

求证：存在)1,0(∈ξ使0)('

=ξf

证：由积分中值定理可知，存在2

[,1]3

c ∈，使得

⎰

-=13

2)3

2

1)(()(c f dx x f

得到 ⎰

==13

2)0()(3

)(f dx x f c f

对)(x f 在[0，c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在)1,0(),0(⊂∈c ξ，使()0f ξ'=

☆例3 设)(x f 在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意1>k ，有⎰-=k x dx x f xe k f 1

1)()1(，

求证存在)1,0(∈ξ使1

()(1)()f f ξξξ-'=-

证：由积分中值定理可知存在1[0,]c k

∈使得)01)(()(11

01-=--⎰k c f ce dx x f xe c

k x

令)()(1x f xe

x F x

-=，可知)1()1(f F =

这样1110

(1)(1)()()()x c k F f k

xe f x dx ce f c F c --====⎰

，对)(x F 在]1,[c 上用罗尔定理

（三个条件都满足）存在)1,0()1,(⊂∈c ξ，使()0F ξ'= 而111()()()()x

x x F x e

f x xe f x xe f x ---''=-+

∴ 11

()[()(1)()]0F e

f f ξ

ξξξξξ

-''=--=

又01≠-ξ

ξe

，则1

()(1)()f f ξξξ

'=-

在例3的条件和结论中可以看出不可能对)(x f 用罗尔定理，否则结论只是()0f ξ'=，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数)(x F ，它与)(x f 有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从()0F ξ'=就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(x F 是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。

模型Ⅰ：设)(x f 在],[b a 上连续，（b a ,）内可导，0)()(==b f a f 则下列各结论皆成立。

（1）存在),(1b a ∈ξ使11()()0f lf ξξ'+=（为实常数）

（2）存在),(2b a ∈ξ使1

222()()0k f k f ξξξ-'+=（为非零常数）

（3）存在),(3b a ∈ξ使333()()()0f g f ξξξ'+=（)(x g 为连续函数） 证：（1）令)()(x f e x F lx

=，在],[b a 上用罗尔定理 ∵ ()()()lx lx

F x le f x e f x ''=+ ∴ 存在),(1b a ∈ξ使()()()011111

='+='ξξξξξf e f le F l l

消去因子，即证.

（2）令()()k

x F x e f x =，在],[b a 上用罗尔定理 1()()()k

k

k x x F x kx e f x e f x -''=+

存在),(2b a ∈ξ使2212222()()()0k

k

k F k e f e f ξ

ξξξξξ-''=+=

消去因子，即证。

（3）令)()()

(x f e

x F x G =，其中()()G x g x '=

()

()()()()()G x G x F x g x e f x e f x ''=+ 由3()0F ξ'=

清去因子)

(3ξG e

，即证。

例4 设)(x f 在]1,0[上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==f f ，1)2

1(=f ，试证：

（1）存在)1,2

1(∈η，使ηη=)(f 。

（2）对任意实数，存在),0(ηξ∈，使得()[()]1f f ξλξξ'--=

证明：（1）令x x f x -=Φ)()(，显然它在[0, 1]上连续，又

02

1

)21(,01)1(>=Φ<-=Φ，根据介值定理，存在)1,21(∈η使0)(=Φη即ηη=)(f

（2）令])([)()(x x f e x e

x F x x

-=Φ=--λλ，它在],0[η上满足罗尔定理的条件，故存

在),0(ηξ∈，使()0F ξ'=，即

(){()[]}01=---'-ξξλξλξf f e

从而 ()[()]1f f ξλξξ'--=

（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取为，)(x f 取为

x x f x -=Φ)()(）

模型Ⅱ：设)(x f ，)(x g 在],[b a 上皆连续，（b a ,）内皆可导，且0)(=a f ，0)(=b g ，则存在),(b a ∈ξ，使

()()()()0f g f g ξξξξ''+=

证：令)()()(x g x f x F =，则0)()(==b F a F ，显然)(x F 在[b a ,]上满足罗尔定理的条

件，则存在),(b a ∈ξ，使()0F ξ'=，即证.

例5 设)(x f 在[0, 1]上连续，（0, 1）内可导，0)0(=f ，为正整数。 求证：存在)1,0(∈ξ使得()()()f kf f ξξξξ''+=