数值分析作业答案复习过程

数值分析作业答案

第2章 插值法

1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange 插值基底。 （3）用Newton 基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底

设多项式为:2

210)(x a x a a x P ++=，

所以：64

211111

1111122

2

211

200

-=-==x x x x x x A 3

7

6144211111

114

24113110111)()()(22

221120022

2

2211

1200

00-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a

2

3

694

211111

114

41131101111)(1)(1)(122

22112002

2

22

112

01=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a

6

5

654

211111

114

21311011111)

(1)(1)(122

2

21120022

11

00

2=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a

所以f(x)的二次插值多项式为：26

52337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底

)21)(11()

2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l

)21)(11()

2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l

)

12)(12()

1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=

x x x x x x x x x x x l

Lagrange 插值多项式为：

3

72365)1)(1(3

1

4)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L

所以f(x)的二次插值多项式为：2

2

6

52337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：

Newton 插值多项式为：

3

72365)

1)(1(65

)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N

所以f(x)的二次插值多项式为：2

2

6

52337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

6、在44≤≤-x 上给出x

e x

f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似

值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有

),(),)()()((!

31

)(11112+-+-∈---'''=

i i i i i x x x x x x x x f x R ξξ 式中.,11h x x h x x i i +=-=+-

3

43411423

9313261))()((max 61)(11h e h e x x x x x x e x R i i i x x x i i =≤---=+-≤≤+-

令

634103

9-≤h e 得00658.0≤h

插值点个数

12178.12161

)

4(41≤=---+

N 是奇数，故实际可采用的函数值表步长

006579.01216

8

1)4(4≈=---=

N h

8、13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f 。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：

],[,!

)

(],,,[)

(10b a n f

x x x f n n ∈=

ξξ 所以有：1!

7!

7!7)(]2,,2,2[)7(7

1

===

ξf f 0!

80

!8)(]2,,2,2[)8(8

1

===ξf f

15、证明两点三次Hermite 插值余项是

),(,!4/)())(()(1212)

4(3++∈--=k k k k x x x x x x f

x R ξξ

并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。 证明：利用[x k ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件

)

()(),()()

()(),()(11331133++++'='

'='==k k k k k k k k x f x H x f x H x f x H x f x H 知)()()(33x H x f x R -=有二重零点x k 和k+1。设

2123)())(()(+--=k k x x x x x k x R

确定函数k(x):

当k x x =或x k+1时k(x)取任何有限值均可；

当1,+≠k k x x x 时，),(1+∈k k x x x ，构造关于变量t 的函数

2123)())(()()()(+----=k k x x x x x k t H t f t g

显然有

)(,0)(0

)(,0)(,0)(11='='===++k k k k x g x g x g x g x g

在[x k ,x][x,x k+1]上对g(x)使用Rolle 定理，存在),(1x x k ∈η及),(12+∈k x x η使得

0)(,0)(21='='ηηg g

在),(1ηk x ，),(21ηη，),(12+k x η上对)(x g '使用Rolle 定理，存在),(11ηηk k x ∈，

),(212ηηη∈k 和),(123+∈k k x ηη使得

0)()()(321=''=''=''k k k g g g ηηη

再依次对)(t g ''和)(t g '''使用Rolle 定理，知至少存在),(1+∈k k x x ξ使得

0)()4(=ξg

而!4)()()()4()4()4(t k t f t g -=，将ξ代入，得到

)(),(!

41)(1,)

4(+∈=

k k x x f t k ξξ