新课程小学数学教学专题系列讲座--第五讲

新课程小学数学教学专题系列讲座

主讲人黄开南

第五讲在小学数学教学中数学思想方法的渗透

《数学课程标准》中明确提出：“让学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”为了有效落实这一总体目标，我们应该系统而有步骤地向学生渗透数学思想方法，把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。

笔者在研读《数学课程标准》及小学数学教材，对教材体系进行梳理、分析与解读基础上，认为应该把握数学教学的灵魂，即数学思想方法。下面结合课堂实践，谈谈数学思想方法的渗透。

一、小学数学教学为什么要渗透数学思想方法？

1、基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义。

日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学的精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益。”

数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学科的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来。

2、渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求。

数学课程标准修订稿把“四基”：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。基本思想是数学学习目标之一，其重要性不言而喻。新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜想等直观手段解决这些问题。从而加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，提高学生数学能力和思维品质，这是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之所在。

二、新教材渗透了哪些数学思想方法？

1、教材内容与蕴含的数学思想方法

从一年级开始，各册都有一单元进行渗透，其具体内容及蕴含数学思想方法如下页表1。

表1：小学数学教材内容与蕴含的数学思想方法

通过梳理整套教材，我们可以更深入准确地把握体系中各个知识点之间的联系，从中不难发现：教材编排的特点是从注重具体形象思维逐步过渡到注重抽象思维，很多数学思想方法也是螺旋上升、逐步深入的。

首先，各个内容之间存在一定的联系，准确把握各册教材的联结点有助于解读教材。譬如，第七册的合理安排、第十册的找次品问题以及第十二册的抽屉原

理，解决问题时都要考虑“至少”的问题，都是在多种解决策略中寻找最优的策略，都要运用推理和渗透优化思想。解决“封闭方阵中的植树问题”时需要用“重叠问题”来诠释；植树问题和鸡兔同笼问题都很注重数学模型的构建，一般都得经历“问题情境——构建模型——解释应用模型”的学习过程……

其次，不少教学内容都强调数学文化的渗透。如鸡兔同笼、抽屉原理等问题都需要介绍有关数学知识背景，提高学生学习数学的兴趣。在教学过程中，需要时刻关注情感态度价值观的体现。

三、如何有效地渗透数学思想方法？

1、以数学思想方法渗透为核心，把握目标定位

教学目标是课堂教学的灵魂，它既是教学的出发点，又是教学的归宿。因此，教学目标的制定是否恰当，直接决定着教学过程中目标的达成度，也将直接决定一堂课的教学效果。《标准》指出：“重要的数学概念与数学思想宜逐步深入。”数学思想方法属于默会知识，学生在短时间内，是不可能全部掌握的。需要长期的渗透和不断的体验来感悟。所以，教师要根据学生的年龄特征与认知规律，分段加以落实，有机进行渗透，不能过高地定位教学目标。那么如何准确地进行教学目标定位呢？

首先，从教学目标的把握来看，应定位于通过数学教学活动，让学生感受基本数学思想方法，学会运用数学思想方法尝试解决问题，体验解决问题的策略、方法。因为数学课堂教学是面向全体学生的，意图是让每一个学生受到数学思维训练的同时，逐步形成探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识。

其次，从教学目标的分解上看，还要照顾到个别差异，体现教学目标的层次性。学生学习起点、个性差异的不同，要求我们在教学中处理好面向全体与关注差异的关系，确保每个学生都有所收获，真正做到“下要保底，上不封顶”。

显然，立足于数学思想方法的目标定位，必然要求教师充分地挖掘和理解教材中所体现的数学思想方法，在教学时注重让学生通过观察、比较、分析，感悟数学思想方法的魅力。

例如，六年级上册《鸡兔同笼》，为了落实渗透数学思想的教学目标，教师应注意以下几点：（1）重点渗透假设思想。沟通直观图示法、列表推算法、假设置换法、金鸡独立法、鸡翅变脚法等方法背后的假设思想。（2）渗透化繁为简的数学思想。《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题数据较大，不利于首次接触该类问题

的学生探究，因此教材先从数据较小的例1入手，让学生探索出解决该类问题的一般方法后，再解决数据较大的原题，从而渗透化繁为简的思想。（3）渗透建模思想。可通过“假设——检验——提炼——应用”的过程引导学生掌握“鸡兔同笼”问题的数量关系和方程求解模型，并引导学生应用这一模型解决其他问题。（4）渗透化归思想。让学生意识到许多问题都可以化归为“鸡兔同笼”问题，拓宽对问题的认识，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的广泛应用。

2、以数学思想方法引路，整合教学资源。

作为课程资源的开发者，教师应合理取舍教学素材，整合教学资源。即结合教学内容和课程目标自觉地选择和整合课程资源，使课程内容与学生的数学教学活动结合得更加紧密，更能体现数学思想方法的渗透和熏陶。

（1）关注“教材”是否适合于你的课堂

教材不可能把所有的问题都设计得十全十美，也不可能考虑到所有学生的情况，难免有些题材脱离学生的实际。因此，教师要突破教材的束缚，创造性地使用教材，挖掘其中潜在的价值，要善于从学生的实际出发对教材内容的呈现方式、编排顺序等方面进行适当的调整和改变，变“教教材”为“用教材教”。例如，在二年级下册“找规律”主题图的处理上，笔者把教材第2幅地板图案作为主要素材来教学，分步呈现主题图，而且对主题图进行二次利用。这样安排，给了学生充分的探究空间，将原先处于同一层次上的两幅图，变为不同层次，有利于学生进一步发现规律，巩固规律。

（2）关注“人材”意识是否到位

“人材”意识主要表现在教师关注学生的知识基础、认知特点、兴趣爱好、情感态度等因素，围绕渗透数学思想方法的主线，从达成教学目标的角度去搜寻“素材”，善于观察学生，读懂学生，从学生的角度去研读教材，把握好处理教材的“度”。例如教学《重叠问题》一课，为了重组教材，从学生的生活实际和兴趣出发，可以把“你最喜欢的运动项目”“你喜欢的电视节目”等素材的调查结果作为研究材料。

（3）关注“素材”是否进行梳理提升

同样的素材，如果平均使用力量，或者缺少提炼，教学价值可能不能得到充分体现。学习材料应该体现层次性与发展性，需要有序组合，需要在巩固运用中梳理提升，提炼数学思想方法，这样才能充分发挥数学教材的教育价值。

例如：人教版三上“搭配的学问”练习设计，安排了“午餐问题”、“游园路线问题”、“破译密码”等情境。梳理教材练习，每一个问题情境均有目标重心，如：午餐问题从原来的“二三搭配”拓展为“三三搭配”，起到举一反三的作用。游园路线问题则侧重于“符号思想”的应用，让学生思考“如何可以更清楚地表达路线”。“破译密码”问题由“这密码是由三个数字7、8、9组成的一个三位数，猜一猜可能是哪个密码”入手，突出“有序思考”解决问题的意识。可见，教学中始终把培养学生有序思考的习惯、渗透符号化思想放在首位，发挥每个素材的独特功能，促进学生实现知识的完整建构与学习水平的有效提升。

3、以活动体验为基本形式，感悟数学思想

数学思想方法是一种基于数学知识又高于数学知识的隐性知识，它比数学知识更抽象。因此，需要为学生设计一些生动、有趣的数学活动，在活动中展开观察、操作、实验、猜测、推理与交流，充分感悟数学思想方法的奇妙与作用。那么，我们在设计活动时该如何关注数学思考呢？

首先，注重体验感悟，逐步抽象。

数学教材中的教学难点在于如何让学生在直观的问题解决中感悟其中抽象的数学思想方法。解决这个难点的关键就是让学生主动参与，因为没有主动参与就不可能对数学知识、数学思想方法产生体验；没有了体验，那数学思想方法的渗透只能是一句空话。因此，在教学过程中，我们应该创设学生感兴趣的各种情境，让他们以一种积极的状态，主动参与到数学教学过程中来，让学生根据自己的体验，逐步领悟数学思想方法。

例如三年级“穿衣服问题”的教学片段：

（1）尝试猜想。（课件出示主题图）师：现在我们挑选了7位小小志愿者，为他们准备了2种颜色的上衣和3种颜色的裤子。要使每人穿得不一样，能做到吗？请你猜一猜。

（2）思考讨论。用上衣和裤子搭配，到底可以有多少种不同的搭配方法？请大家用简便的方法把各种穿法快速记录下来。学生独立思考，小组交流。

（3）展示汇报。师：你们怎么想的？用什么方法记录的？学生展示汇报……

（4）观察比较。经过刚才的讨论我们发现了哪几种记录的方法？（媒体演示两种思考过程和不同的记录方法）小结：你认为哪一种记录方法能既快速又方便地表示出来？学生说出自己的选择，大部分认为连线或编号较好。

（5）拓展延伸。要使每人穿得不同，请你增加一种颜色的上衣或裤子，想一想有几种不同的搭配方法？用最简便的方法把各种穿法快速记录下来。

本案例通过“尝试猜想——思考讨论——展示汇报——观察比较——拓展延伸”等环节，给学生提供自主体验、感悟的时空，让学生充分经历“有序思考”的过程，激励和尊重学生多样化的思维方式，体现出解决问题策略的多样化和个性化。

因此，在教学过程中我们要避免只有直观、没有抽象或者在直观和抽象之间没有阶梯、没有过渡，缺少递进的过程。而应引导学生主动参与，通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动来体验感悟，从直观的问题解决达到渗透抽象的数学思想方法之目的。

其次，利用数形结合，发展思维。

著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少自觉，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难”。数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。由此可见，教师在教学过程中要经常利用实物、教具、图表、生活经验、幽默语言等直观教学手段来帮助学生理解数学思想方法，提高学习效率。

例如：第十册“找次品”，利用列表、画图等方式帮助学生形象地分析如何找次品等。如果用语言描述和绘制简单天平示意图的方式表示找次品过程，当遇到使用天平次数较多时，表述起来十分麻烦。“繁”则思变，笔者引导学生采用以下树形图来表示（图1）。用小括号代替了“把物品分成几份，每份分别是几”的叙述；同时还吸收了箭头示意图的优点，用两个分支表示称得的不同结果；在两个数字下以划线的方式代表“将这两堆物品分别放在天平两边”，这样既减少了文字，又方便最后统计次数。每种情况，最后只需数一数共划了多少条横线即可，既准确、形象，又使图示更具有数学味，也更简洁。

图1：“找次品”分析树形图

4、以解决问题为基本模式，培养应用意识

从数学思想方法的特点和形成过程来说，对学生数学思想方法的渗透不是立竿见影的，而是需要有一个不断渗透、循序渐进、由浅入深的过程。而这需要教师做这一“过程”的引领者，不断用数学思想锤炼学生的思维、让学生在一次次的锤炼过程中，不断地反思、不断地积累、不断地感悟，直到最后能主动应用。因此在数学教学中，不断在课堂还是课外都应该关注问题解决的一般过程，培养学生应用数学思想方法解决问题的策略，更应该在问题解决之后进行“反思”，在此过程中体会数学思想方法和应用价值。

例如：四年级下册“植树问题”等一课时的回顾反思环节。

（1）刚才我们用发现的规律解决了较复杂的植树问题，请大家一起回忆一下刚才的学习过程，边演示边提问：我们用了哪些方法来研究？

生1：画线段图；生2：列出了表格；生3：找植树棵数与间隔数之间的规律。师：是的，通过画图、列表找到植树棵数和间隔数之间的规律后，最后用规律来解决这样一个比较复杂的问题。

（2）师：想一想当遇到比较复杂的问题时，我们可以怎么办？生4：可以先想简单的问题；生5：可以画图找规律。课件出示：简化

（3）师：看来当遇到比较复杂的问题时，可以先从简单的问题入手，画出示意图，找到其中的规律，然后应用规律解决问题。这是学习数学、思考问题时一种重要的方法。……

为让学生体验到“复杂问题简单化”的思想方法，光靠体验感悟，学生恐怕还是印象不深，为此，在尝试解决问题基础上，笔者组织了回顾反思学习过程，设计策略性的问题，将“明确问题——探究规律——建立模型——解决问题”的思维过程以图文结合的方法清晰地展现出来，并且将研究植树问题中蕴涵的数学方法和策略直观呈现，以利于强化学生的认知，拓展解决问题的策略和方法，形成策略意识。

在让学生感受了植树问题的解决策略后，设计由植树问题变式的问题，如装路灯问题、上楼梯问题、锯木头问题、排队问题等，让学生进一步运用“化归思想”迁移解决类似植树问题，在这样的类似问题的解决中应用和感悟植树问题的思想方法。

问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂。不管是数学概念的建立、数学规律的发现，还是数学问题的解决，乃至整个“数学大厦”的构建，核心问题在于数学思想方法的渗透和建立。

“数学思想方法是自然而平和的，我们不能把活生生的数学思考变成一堆符号让学生去死记，以至让美丽的数学淹没在形式化的海洋里。”（张奠宙）要真正发挥数学教材渗透数学思想方法的作用，需要数学教师进一步更新观念，加强学习，促进自身数学素养的不断提升；深入研读教材，提高思想方法渗透的自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反复性，让学生的数学思维能力得到切实、有效的发展，进而提高学生的数学文化素养。

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主讲人黄开南

第六讲数学教学要正确处理几个问题

课程改革从启动到现在，经历了激情——困惑——务实三个阶级，课堂教学也逐渐从表面的热闹形式回归到课堂教学的实效性上来。我们认为，当前小学数学课堂教学要正确处理好如下几个问题。

问题一：算法多样化和最优化能促进“学困生”的发展吗？

“算法多样”是数学课程改革的理念之一，可以使教师不搞填平补缺一刀切，能够尊重学生的个性化，是在计算教学中促进每个学生在各自基础上得到发展的一种途径。但在教学中，很多时候会遇到这样的情况，一道计算题，可以出现三、四种算法，甚至更多。这时，不少学生弄得眼花缭乱、无所适从。接着老师组织大家讨论，哪种方法最优？经过一段时间的讨论终于得出了一个最好、最简单的方法。比如长方形周长的求法，最优化的是“（长+宽）×2”的方法。学生做作业时你会发现，还有一些“学困生”所选择的是把四条边的长度加起来的这种最复杂却是他们最容易理解的方法。这时候老师是否还一味强调最优化的算法？算法多样化和最优化如何促进“学困生”的发展？显然我们应从实际出发，不搞“一刀切”。

问题二：教计算法则不符合新课标吗？

新课程的计算教学，一些老师不教计算法则。首先，教材在计算课教学内容中没有出现计算法则，这是教师不教计算法则的主要原因。其次，计算课教学内容多，练习量大，既要进行估算，又要进行算理及算法多样化的教学，没有时间教计算法则。第三，部分青年教师不熟悉相关的计算法则。

新课程对计算教学的内容、方法和目标做了一些调整，主要是增加了算法多样化，并适当降低难度及对计算速度的要求，但基本要求没有变。因此，教师不要被当前某些理念或教学形式扰乱思想，以至放弃传统有效、实用的教学方法。如计算法则的教学，对学生掌握列竖式计算的方法是很有帮助的。当然，我们不要求学生像以前那样去背计算法则，重要的是让他们理解计算法则。其实只要抓住每节课的教学重点，一课一得，不必面面俱到，可以把算法多样化、算理与计算法则的教学有机结合，计算法则的教学问题也就得到较好的解决。

对于部分青年教师不熟悉相关的计算法则，可以建议：第一，虚心向身边的教师请教，尤其是老教师；第二，阅读老教材，研究其他版本教材对计算教学内容的编排，新、老教材都有各自的优点。

计算教学历来是小学数学教学中的一个重要内容，如何在课改背景下，扎实有效地开展计算教学，既继承我国在计算教学中的优良传统，又能在新形势下不断开拓创新，是值得我们认真思考的。

问题三：新教材的应用题教学需要完整的体系吗？

1、新教材上没有应用题章节，减少了教材的内容，也没有了旧教材原来偏难、繁杂的题目，这样应该是减轻了教学负担。可新的问题又产生了，学生解决问题的能力水平也有所下降，教材仍然强调培养学生分析和解决实际问题的能力，这样的教学要求应以哪些内容作为依托呢？如果说有的话，就是教材练习中出现的几道与实际联系紧密，但教材基本知识点都不包含的应用题。如生活中读里程表、水表、电表，列车行驶时间、速度等问题，这些题通常要花大量时间来教学，对大多数学生来说就更难了。

2、新教材没有应用题的编排体系，不便于学生整理复习，更不利于学生形成解决问题的策略。原来旧教材就应用题分类、按年级编排，每一种典型应用题都有解决问题的方法或规律，就是复合应用题即一般应用题，也有解决的步骤和方法。新教材却删掉了这部分教学内容，如何培养学生解决问题的能力给教师提出了更高的要求。

3、实践活动课应是学生应用所学知识解决实际问题，或用课堂内知识解决课堂外问题，重在实践活动，并不是在其他数学知识领域之外增加新知识。可新教材的“搭配中的学问”，“体育中的数学”都是排列组合问题，将这些问题引入课本，是否增大了教学难度？值得深思。

显然，解答应用题的规律我们不仅要让学生掌握，而且需要加强这些方面知识的训练，有些新增的“应用数学”我们认为编者纯熟为了“结合实际”而“应付”吧了。我们要尊重学生的认识规律，绝不“超龄”教学。

问题四：数学教学需要怎样的情境？

教学中也有一些教师对“情境”过分强调和追求，好像离开了情境就不是新课改中的数学课了。因而千方百计地设计各种情境，却把“为什么要创设这个情

境”这个重要的问题忽视了。这样的教学案例在教学中随处可见。前不久在某杂志上看到了一篇关于情境创设的一个案例，教学内容是“三步计算题”。首先是故事导入：唐僧师徒四人，一路西行。一天走到黑风山口时，一位妖怪站在大道中间，大声说道：“要过此地，需解此题。”妖怪举起一妖牌，上面写一道计算题：74+100÷5×3。然后老师问：“这道题中含有几种算法？”学生答后，教师继续问：“计算这道题要几步呢？”接着是合作探究：分小组讨论怎么计算？老师最后继续讲故事：师徒四人继续四行，路的中间有一大门，门上写有一道算式：（440-280）×（300-260），写上正确答案此门自然打开……案例中的情境创设，确实对小学生起到了吸引注意力的作用。但是，创设情境的目的不应该仅此而己，更应该在于创设的情境是否能为学习数学服务；是否能让学生在数学上有所思考，有所回味，有所启发。如果让那些非数学的因素干扰了数学学习，我们有可能又回到形式化的教学上去，而忽视了数学的本质。我们认为课堂教学的情境创设应当遵循三条基本原则：（1）以激发数学问题意识为导向，（2）以促进数学教学目标的有效达成为目的，（3）以情境素材的合理选取为前提。同时我们认为，并不是每节课都一定要从情境引入，不是每节课都要创设情境，要防止认识上的“唯情境论”。

问题五：离开了“合作交流”就不是好课了？

合作学习是课改提倡的学习方式之一，一些教师把合作学习看成是课堂教学中不可缺少的一个环节，认为课堂上有了小组合作就有了课改意识，就是开放的、充满活力的课堂。于是，不论是什么样的问题，都让学生“小组讨论讨论”。

还是以上面的“三步计算题”的教学为案例。计算74+100÷5×3之前，学生就已经有了混合运算的基础了，他们难道连几步计算都不清楚了？会因为“两步”还是“三步”发生争执吗？看看“合作”探究部分的设计，在这里安排一个“小组讨论”，能讨论出什么有价值的东西呢？如果连这样的问题都要学生来“讨论、交流”完成的话，那还有什么问题需要学生“独立思考？”

我们认为小学数学课堂教学中的合作学习，应该遵循这样一个最基本的原则：当个体在解决问题确实有困难，必须要有同伴的帮助；或者是小组的讨论交流能更有力地激发学生的创新，更能帮助学生对知识的理解，这时才适用小组的合作学习。必须的则用，可有可无的则坚决不用。否则，淡化了数学的本质不说，还不利于培养学生的独立思考、独立解决问题的能力。

课程改革是一个不断发展、永不停歇的过程，有收获、有困惑、有思考……

提高课堂教学的实效性，不管是在过去、现在还是将来，都应该是我们每位教师的不懈追求。愿今天课堂上少一些做作，多一分实在，让我们的学生得到真正的提升！