第四章 态和力学量的表象

第四章态和力学量的表象

[教学目的]：

本章主要介绍了表象概念、态和力学量在具体表象下的表示、量子力学中的关系式在具体表象下的表示、不同表象之间的变换、

狄拉克符号、占有数表象。

§4.1态的表象

一.矢量的表示

矢量基矢

是矢量在坐标系中的表示。

对另一坐标系,

是矢量在坐标系中的表示，同一矢量在不同坐标系中表示有什么关系?

有什么性质？

(真正交矩阵)

幺正矩阵

同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。

二.态的表象与表象变换

表象: 态和力学量的具体表示方式。量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。

, 是波函数和力学量在坐标表象中的表示，这种表示方法并不是唯一的。（一）.态的表象

1．特例

动量本征函数组成完全基

任意态

利用：

是所描写的态中测量粒子动量在范围的几

率. 与描述的是同样的态, 为在动量表象中的波函数。2推广到一般情况

在任意力学量的表象中,态的表示：

分立本征值：

本征函数：

是态中测量力学量所得结果为的几率。

为态在表象中的表示。

用矩阵表示：

同一态可以在不同表象中用波函数来描写，所取的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。

经典力学量子力学

矢量态矢量

普通三维空间希尔伯特（Hilbert）空间

特定坐标系特定表象

本征函数

（二）态的表象变换

态矢量

在力学量的完备基下,即在表象下

表象:

另一力学量的完备基下,

表象:

二表象之间的的关系：

左乘取标积,对积分

即：

矩阵表示

幺正矩阵

同一个量子态在表象中的不同表示的关系通过一幺正矩阵S相联系。

[证明]

即：。

§4.2力学量算符的矩阵表示与表象变换

一.力学量的矩阵表示

设一力学量作用于态得到另一态在坐标表象中

在任一表象下

本征值:

两边左乘对积分

利用正交归一性

是算符在表象中的表示

力学量算符为厄密算符: 即厄密算符在表象中的矩阵特点：

利用厄密算符性质

即

即: 力学量算符的矩阵表示为厄密矩阵。

算符在自身表象的矩阵：

算符在其自身表象中是一对角矩阵。

如具有连续本征值，本征函数为

在坐标表象中

例:求一维谐振子的坐标,动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。[解]线性谐振子的能级为

对应的能量本征函数，

利用公式

(1)

(2)

(3)

二．力学量的表象变换

力学量算符在表象中

: 算符的本征函数在表象中

: 算符的本征函数

§4.3量子力学中一些关系式的矩阵表示

态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来，也就是说态矢量和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。注意，这里的矩阵可能是无穷维，也可能矩阵指标是连续变化的。

一．平均值公式

在表象下

代入上式

二．本征值方程

线性齐次代数方程组：

方程组有非零解的条件：

久期方程

求久期方程可得一组值: . 将代入方程可求出相应的本征矢。三．薛定谔方程

§4.4表象变换下的不变量与不变式

一．不变量

（1）标积

（2）归一化条件

（3）平均值

平均值是唯一同实验事实直接相联系的量，不应随表象不同而变。（4）算符本征值

在表象

在表象

（5）力学量矩阵的迹

表象表象

二．不变表达式

（1）代数式

加法式：

即：

乘法：

在量子力学中，算符之间的一切代数关系式在表象变换下都是不变的。

（2）算符对态的作用

量子力学的基本公式在表象变换下是不变的，也就是说前面我们所涉及到的量子力学的基本公式是与表

象无关的。

§4.5狄拉克符号

量子力学的规律和所选用的表象无关，讨论量子力学中的态和力学量也可不用具体表象。不通过具体表象的描述号。

优点：（1）运算简捷，（2）不用在具体表象中讨论问题

一．左矢与右矢

：右矢：左矢

对一特殊态：可表示波函数描述的状态

本征态，常用本征值或相应量子数标记

，，

无表象表象

注意：，表示的是抽象的态矢量；未涉及具体表象，就像表象用

右矢，是左矢的共轭矢量，即对应的分量互为共轭复数

二．标积

与的标积：

无表象表象

力学量的本征值对应的本征态:

无表象：， x表象：

坐标的本征矢

力学量的全部本征函数组成一个完全系，本征态的或也组成一完全系，我们把这组完全系的左三．态矢量在具体表象中的表示

在表象：分立本征值；，本征函数

把代入

为一投影算符，对任一矢量运算后，把该矢量变为它的基矢方向上的分矢量。

任意的完备性的体现

对连续本征值

态矢在具体表象中如何用狄拉克符号表示：

是态在表象中的表示，

在表象下表示为，为坐标算符本征值对应的本征函数，

，

〈---〉

在表象中的表示。

四．算符在具体表象中的表示