态和力学量的表象
合集下载
量子力学课件：4.1 态的表象
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是
δ(x'-x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
x ( x x) x ( x x)
所以
x ( x) ( x x)
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
(x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
1 *( x, t)( x.t)dx
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/] C(p)=δ(p'-p)
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系摘要体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。
态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。
微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。
常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。
关键词态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。
ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是式中 是动量的本征函数，dxx t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ⎰=⎰=ψψψ/2/1)2(1)(ipx p ex -=πψ称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。
由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。
将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成dx t x dx t x w 2),(),(ψ=dpt p c dp t p w 2),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp pp p p/''')()()(),(),(-**⎰=ψ⎰=ψψψ/')'(t iEp e p p --=δ)()(),(x u t a t x n nn ∑=ψ上式两边乘 ，再对x 变化整个空间积分 即其物理意义是，体系处在ψ(x,t)所描述的状态时，力学量Q 具有确定值Qn 的几率为可以用一组数代替ψ(x,t)描写该状态。
量子力学中的表象
算符的表象
描写力学量的算符的表示方式随表象不同而改变。 设在x表象中，算符 作用于波函数ψ (x,t)后得到一新的波函数
( x, t ) F ( x,i
并设在Q表象中波函数ψ (x,t)和Φ （x,t）分别以{a1(t),a2(t),…,an(t),…} 和{b1(t),b2(t),…,bn(t),…}表示,un(x)为 本征函数，则可得
( x, t ) a (t )u (t )d
aλ (t)就是Q表象中的波函数，坐标表象、动量表象就属于这类表象。 从上面的叙述可以看出，同一状态可以用不同表象中的波函数来描写。表 象的概念与几何学中坐标系的概念类似。 一个特定的Q表象→一个特定的坐标系 本征函数→基矢 波函数是态矢量ψ 在各基矢方向“分量”→坐标分量
) ( x, t ) x
b (t )u ( x) a (t ) F ( x,i x ) u ( x)
n n n n n n
以
乘等式两边，再对整个空间积分，得 bm (t ) Fmn an (t ), (m 1,2, )
n
其中
Fmn um ( x) F ( x,i
w( x, t )dx ( x, t ) dx
2
由c(p,t）可知，粒子动量在p到p+dp之间的概率
w( p, t )dp c( p, t ) dp
2
如果ψ (x,t)所描写的状态是具有动量p’的自由粒子的状态，即 ψ (x,t)=ψ p’(x,t),则
iEp't / c( p, t ) p' ( x, t ) dx p ( x)dx p ' ( x) p ( x)e
周世勋《量子力学教程》(第2版)-态和力学量的表象笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
3 / 19
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
第四章-表象—态和力学量的表达方式
c1 (t ) c2 (t ) Ψ (t ) = M cn (t ) M 来自行矢量()
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象
量子力学 态和力学量表象
1 *( x, t)( x.t)dx
[ am (t)um ( x)]* an(t)un( x)dx
m
n
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * (t )an (t ) um * ( x)un ( x)dx
mn
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)dpdp ( p p)
C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2d x 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在
?F
bn (t )
Fnm am (t )
m
F 在 Q 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元
n 1,2,
简写成
写成矩阵形式
b1(t) F11 F12 F1m a1m a2(t)
bn(t)
Fn1
Fn2
Fnm
２ 算符的矩阵表示
（1）力学量算符的矩阵表示 （2）Q 表象中力学量算符F的性质 （3）Q 有连续本征值的情况
（1）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
Q表象：
假设只有分立本征值，将 Φ, Ψ按{un(x)}展开：
量子力学 态和力学量的表象
果在 x x dx 范围内的几率。 在 x, t 所描写的态中测量粒子动量所得结 | c p, t |2 dp ： 果在 p p dp 范围内的几率。 可以看出：当 x, t 已知，就可完全确定 c p, t 。 反之， 当 c p, t 已知，就可完全确定 x, t 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
态的表象
2 态的表象
本章目的： 本章目的：
给出用各种方式平行描述体系状态、 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等的方 案 表象； 表象； 找出不同表象之间的相互关系和变换规则 么正 变换； 变换； 建立一套用态矢量描述量子态的方案 Dirac算符 引入产生、 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子。 湮灭算符重新讨论简谐振子。 研究表象的意义： 研究表象的意义： 根据不同问题选择不同表象， 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。 还可以进行表象变换。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 这一章我们讨论其他表象， 这一章我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克 符号。 符号。
2 ′ p E p′ = 2µ − iE p ′ t h
= ∫ψ p * ( x )ψ p′ ( x )e
p
∫
−
iE p ′t h
=e
−
iE p ′t h
∫ψ
dx
p
* ( x )ψ p′ ( x )dx
=e
− iE p ′t / h
δ ( p − p′)
α 12 − ) e 谐振子基点： 谐振子基点： ψ ( x ) = ( π
动量表象波函数 c(p, t) ψ p (x) = 动量本征函数： 动量本征函数：
|c(p, t)| 2dp : 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 所描写的状态中，测量粒子的动 量所得结果在 p → p+dp 范围内的几率。 范围内的几率。 Ψ(x, t)与 c(p, t)一 一 对应， 对应，描述同一状态。 描述同一状态。 Ψ(x, t)是该状态在坐标表象中的波函数； 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 c(p, t)|就是该状态在动量表象中的波函数 动量表象中的波函数。 就是该状态在动量表象中的波函数。
本章目的： 本章目的：
给出用各种方式平行描述体系状态、 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等的方 案 表象； 表象； 找出不同表象之间的相互关系和变换规则 么正 变换； 变换； 建立一套用态矢量描述量子态的方案 Dirac算符 引入产生、 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子。 湮灭算符重新讨论简谐振子。 研究表象的意义： 研究表象的意义： 根据不同问题选择不同表象， 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。 还可以进行表象变换。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 这一章我们讨论其他表象， 这一章我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克 符号。 符号。
2 ′ p E p′ = 2µ − iE p ′ t h
= ∫ψ p * ( x )ψ p′ ( x )e
p
∫
−
iE p ′t h
=e
−
iE p ′t h
∫ψ
dx
p
* ( x )ψ p′ ( x )dx
=e
− iE p ′t / h
δ ( p − p′)
α 12 − ) e 谐振子基点： 谐振子基点： ψ ( x ) = ( π
动量表象波函数 c(p, t) ψ p (x) = 动量本征函数： 动量本征函数：
|c(p, t)| 2dp : 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 所描写的状态中，测量粒子的动 量所得结果在 p → p+dp 范围内的几率。 范围内的几率。 Ψ(x, t)与 c(p, t)一 一 对应， 对应，描述同一状态。 描述同一状态。 Ψ(x, t)是该状态在坐标表象中的波函数； 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 c(p, t)|就是该状态在动量表象中的波函数 动量表象中的波函数。 就是该状态在动量表象中的波函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中， 在动量表象中，动量算符就是动量自身 是势能算符， 是势能算符，即以坐标算符 对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
√
动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 二阶微分方程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程
√
动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、 坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符 的表示的变换 表象中： 在 F 表象中：基矢为 表象中： 在 F' 表象中：基矢为
，算符 的矩阵元为 ，算符 的矩阵元为
√
线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数 湮灭算符 和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变， 谐振子能量以 为单位改变，将这个 看作一个粒子 即粒子数减一， 使体系由 态变到 态，即粒子数减一，称湮灭算符 即粒子数加一， 使体系由 态变到 态，即粒子数加一，称产生算符
√
动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点 容易写出边界条件，例如： 容易写出边界条件，例如：区分束缚态和散射态 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、谐振子势 动量表象的优点 某些势场下的薛定谔方程比较简单， 某些势场下的薛定谔方程比较简单，容易求解
表象( 算符在 Q 表象( Qn, un )的矩阵的特点 厄密算符在 Q 表象中的表示是矩阵 厄密矩阵： 厄密矩阵：m 列 n 行的矩阵元 = n 列 m 行的复共轭
在自身的表象中是对角矩阵—— ——求解薛定谔方程 算符 Q 在自身的表象中是对角矩阵——求解薛定谔方程
√
算符的矩阵表示(3/3) 算符的矩阵表示(3/3)
本征值方程
的结果， 利用前面 Φ = F Ψ 的结果，并令 Φ = λ Ψ
上面方程称为久期方程。 ,...， 上面方程称为久期方程。解得一组 λ1,..., λn,...，就是 的本 征值。将 λi 代回方程，就得到相应的本征矢 (ai1,..., ain,...) 征值。 代回方程，
√
量子力学公式的矩阵表述(3/3) 量子力学公式的矩阵表述(3/3)
√
态的表象(2/5) 态的表象(2/5)
例3：续例2 续例2 当 所描写的状态是具有动量 作展开 的自由粒子
用动量的本征函数
在动量表象中，粒子具有确定动量 p' 的波函数是以 在动量表象中，粒子具有确定动量 的波函数是以 p 为变量的 δ 函数 为变量的 动量表象中的坐标算符
在坐标表象中的波函数， 例4： 在坐标表象中的波函数，由方程 在坐标表象中，粒子具有确定坐标 的波函数是以 在坐标表象中，粒子具有确定坐标 x' 的波函数是以 x 为变量的 δ 函数 变量的
么正变换的性质
不改变算符的本征值 表象中的本征值方程 中的本征值方程： 在 A 表象中的本征值方程： F c = λ c 表象中 在 B 表象中，已知 F' = S-1FS, c' = S-1c ，那么 , 如果 F' 是对角阵，即 B 表象是 自身的表象，那么 F' 是对角阵， 自身的表象， 的对角元就是 的本征值 求解定态薛定谔方程的问题就变成对角化哈密顿算符 的问题 不改变矩阵F的迹 不改变矩阵 的迹 表象中 那么矩阵的迹( 在 B 表象中，已知 F' = S-1FS ，那么矩阵的迹(矩阵对 角元素的和)为 角元素的和)
量子力学公式的矩阵表述(1/3) 量子力学公式的矩阵表述(1/3)
期望值公式
表象( Ψ(x, ) 在 Q 表象(基矢是 un )中 Ψ( t) 及其共轭表示式 算符 的期望值公式
写成矩阵形式(运算次序：从右到左) 写成矩阵形式(运算次序：从右到左)
√
量子力学公式的矩阵表述(2/3) 量子力学公式的矩阵表述(2/3)
定义：由一个表象到另一个表象的变换称为么正变换 定义： 类比： 类比：由直角坐标系到球坐标系的变换
√
么正变换(2/4) 么正变换(2/4)
变换矩阵(么正矩阵) 变换矩阵(么正矩阵) S 用 A 表象的 φ1,φ2,... ,φn 展开 和
利用
和
的正交归一性
利用 那么
和
的正交归一性
变换矩阵的逆矩阵就是共轭矩阵，变换矩阵不是厄密矩阵 变换矩阵的逆矩阵就是共轭矩阵，
√
线性谐振子与占有数表象(2/2) 线性谐振子与占有数表象(2/2)
占有数表象
: 的本征值是 n ：在态 为粒子数算符。 称 为粒子数算符。以 在占有数表象中， 在占有数表象中，
√
态的表象(4/5) 态的表象(4/5)
具有分立的本征值 力学量 Q 具有分立的本征值 Qn ，本征函数是 un(x) ；以 ) 及连续的本征值 Qq ，本征函数是 uq(x) 。如氢原子的能量 ) 系数 归一化性质 ：在 描写的态中测量 Q 的结果为 Qn 的概率 ：在 q 到 q + dq 之间的概率 及其共轭仍然可以写为矩阵形式
薛定谔方程
表象( 在 Q 表象(基矢是 un )中，薛定谔方程
写成矩阵形式 ， Ψ 和 H 都是矩阵
问题：量子力学的态、算符、公式在不同的矩阵表示之间， 问题：量子力学的态、算符、公式在不同的矩阵表示之间， 是如何转换的？ 是如何转换的？
√
么正变换(1/4) 么正变换(1/4)
么正变换
例：有算符 ，波函数 和 ，以及
力学量 Q 只具有连续的本征值 q ，本征函数是 uq(x) )
与分立本征值的类似 分立的指标换为连续的指标，求和换为积分 分立的指标换为连续的指标， 在 Q 表象中 例： 在坐标表象中的矩阵元
在动量表象中的矩阵元
问题：有了态、算符的矩阵表示， 问题：有了态、算符的矩阵表示，量子力学其它公式的矩阵 表示是什么？ 表示是什么？ √
√
狄拉克符号(1/6) 狄拉克符号(1/6)
问题：态和力学量的性质不依赖具体的表象， 问题：态和力学量的性质不依赖具体的表象， 那么能不能定义一套与表象无关的符号？ 狄拉克符号 那么能不能定义一套与表象无关的符号？ 例1：矢量 的表示 ：大小和方向与所选的坐标系无关 以 (0, 0) 为原点： , ) 原点： 以 (a, b) 为原点： , ) 原点： Ψ(x, ) 例2：态矢量 Ψ( , t) 的表示 ：体系状态与所选坐标系无关 A 表象( un(x) )： 表象( ) B 表象( vn(x) )： 表象( ) 定义：在量子力学中，当描写态和力学量的时候， 定义：在量子力学中，当描写态和力学量的时候，不用具 体的表象， 体的表象，而用狄拉克引用的一套符号 优点 运算简捷： 运算简捷：大大地简化理论表述和运算 可以不考虑具体的表象
√
狄拉克符号(3/6) 狄拉克符号(3/6)
标积 定义矢量 与 的标积
态中， 占的概率(振幅) 在 ϕ 态中，φ 占的概率(振幅) 正交归一 分立谱： 分立谱： 连续谱： 连续谱：
√
狄拉克符号(4/6) 狄拉克符号(4/6)
态矢量 分立谱：任一态矢量 分立谱： 例：态矢量的标积 连续谱： 连续谱：任一态矢量 例：态矢量的标积 和 在 x 表象中的表示分别是 和 用基矢 展开 用基矢 展开
√
么正变换(3/4) 么正变换(3/4)
力学量 的表示的变换 表象中的矩阵元： 算符在 A 表象中的矩阵元： 表象中的矩阵元： 算符在 B 表象中的矩阵元： 态矢量 Ψ( , t) 表示的变换 Ψ(x, ) 表象中： 态矢量在 A 表象中： 表象中： 态矢量在 B 表象中：
√
么正变换(4/4) 么正变换(4/4)
算符的矩阵表示(1/3) 算符的矩阵表示(1/3)
力学量 Q 只具有分立的本征值 Qn，本征函数是 un(x) )
在坐标表象中 在 Q 表象中
问题： 最适当的表示方式？有规律吗？ 问题：这么复杂的东西 = 最适当的表示方式？有规律吗？ 可以用矩阵形式表示
√
算符的矩阵表示(2/3) 算符的矩阵表示(2/3)
√
态的表象(5/5) 态的表象(5/5)
基矢、 基矢、态矢量和希耳伯特空间
基矢 函数展开： 函数展开： 类似于直角坐标系中， 类似于直角坐标系中， 三个方向上的基本单位 称力学量Q的本征函数 矢量 。称力学量 的本征函数 为基矢 在动量表象中， 例：在动量表象中，基矢是动量的本征函数 态矢量 选定特定的Q表象 相当于选取一组特定的基矢。Ψ(x, ) 表象， 选定特定的 表象，相当于选取一组特定的基矢。Ψ( ,t) 在各个基矢上有各自的分量，类似于直角坐标系的矢量。 在各个基矢上有各自的分量，类似于直角坐标系的矢量。 称态 Ψ 为态矢量 动量表象中， 例：动量表象中，Ψ 在各基矢上分量是 希耳伯特空间 形成三维空间。 类似基本单位矢量 形成三维空间。Q 表象下的一组 基矢(一般是无限个)形成无限维空间， 基矢(一般是无限个)形成无限维空间，称为希耳伯特空间 在动量表象中， 例：在动量表象中，动量的本征函数所张开的动量空间
√
狄拉克符号(5/6) 狄拉克符号(5/6)
算符在具体表象中 算符 将态矢量 变成 在具体的 k 表象中 ，即
例：薛定谔方程
例：力学量期望值公式
√
狄拉克符号(6/6) 狄拉克符号(6/6)