力学的算符表示和表象

(3)
（二）再论(归一化的) r , t 和 C r , t 的物理意义
2 2
与波函数相联系的粒子，一般既不具有精确的位置，有不具有精确的动量。一般 地，对于 ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量 时，我们不能对测量结果做确定的预言，但是对于 N 个大量数目、彼此独立的等价系统 （每个系统都由同一波函数 ψ 描述） ，如果我们对它们中的每一个做位置测量，则 给

i 3
e
dp
-2-
drdr * r , t r , t i 3 r r dr * r , t i dr r , t 3 r r dr * r , t i r , t
(15) (16) (17)
ˆ y r , t dr p y * r , t p ˆ z r , t dr pz * r , t p
不难证明，对于正整数 n，有
ˆ x n r , t dr px n * r , t p
(1)
等均代表对 的运算。概括起来讲，设某种运算将函数 变为函数 u，记作
ˆ u Fv
ˆ 称作算符。若算符 F ˆ 满足 则表示这种运算的符号 F
(2)
ˆ c v c v c F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 v1 c2 Fv2
(3)
ˆ 为线性算符。动量算符， 其中 v1 和 v2 是任意函数， c1 和 c2 是常数（一般为复数） ，则称 F
2
C p, t
1
2
2
3
2
r , t e
i
Et p r
dr
(7)
给出。因此，动量 p 的平均值可以表示为
p C p, t pdp C * p, t pC p, t dp
(8)
这里已经用了 若 r , t 归一，则 C p, t 也归一的条件。
2
-1-
出的就是这个量子统计系统成员数 N 趋于无穷大极限下，N 次测量结果的分布，则 C 给 出动量测量结果的分布。 （三）在坐标和动量表象中的力学量平均值 （1）首先讨论坐标表象的情况。对以波函数 r , t 描写的状态，按照波函数的统计 2 解释， r , t dr 表示在 t 时刻在 r r dr 中找到粒子的几率，因此坐标 r 的平均值显 然是
(24)
一般地，微观粒子的任何一个力学量 F 的平均值总可以表示为
ˆ dr o *o
ˆ 由经典表达式 o r , p 中将 p 换成算符 p 而得出，即 力学量的算符 o
ˆo ˆ r , p o ˆ r , i o
(25)
ˆ 是力学量 o 相应的算符。如果该力学量 o 在经典力学中有相对的力学量，则表示该 其中 o
(9) 这样我们就找到了一个用波函数 r , t 直接计算动量平均值的公式，即只需以微分算符 i 作用在 r , t 之上，然后乘以 * r , t ，再对全空间积分就可以了。记动量算符为
ˆ -i p
(10)
则 (9)式 可表为：
ˆ r , t dr p p * r , t p
1 dr * r , t dr r , t 2 1 dr * r , t dr r , t 2
pe
3
i
p r r
dp
i p r r

*
n ˆx r , t dr r , t Cn p n
ˆ x r , t dr r , t G p r , t G r , t dr i x
-3-
(20)
上面的结果立即可以推广到三维情形：
第四章 力学的算符表示和表象
§1 力学量的平均值
在量子力学中，微观粒子的运动状态用 波函数来描述。一般认为，一旦给出了波函 数 ψ，就确定了微观粒子的运动状态。但波函数本身不是直接的可观测量，当微观粒子处 于某一状态时，粒子的力学量一般不具有确定的值，而是具有一系列的可能值，每一可能 值以一定的几率出现。 当给定描述粒子运动状态的波函数 ψ 后力学量出现的各种可能值的 相应几率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而和实验观 测值做比较。原则上，一切力学量的平均值都能由 ψ 给出，而且这些平均值就是在 ψ 所描 写的状态下相应的力学量的观测结果。在这种意义下，一般认为，波函数描写了粒子的运 动状态。
2
(6)
2 因为 r , t dr 只表示粒子在 r r dr 中的几率，而不代表在 p p dp 中找到粒子的
要计算 p ，就应该先找出在 t 时刻在 p p dp 中找到粒子的几率 C p, t dp 。而 C p, t 由公式
例如：
ˆx,B ˆ d A dx ˆ ˆ x x df xf ABf dx ˆ ˆ x d xf x df f xf f BAf dx dx
(8)
(9)
(3)算符之积 ˆ 与B ˆB ˆ ，定义为 ˆ 之积 A 算符 A
ˆ ˆ A ˆ B ˆ AB
且满足 但不满足交换律
ˆ ˆ BA ˆˆ AB
(乘法结合律) (分配率)
ˆ B ˆ AB ˆ ˆ ACs ˆˆ ˆ C A


(10)
ˆ 和B ˆ 在一般的情况下不能交换顺序。 即两个线性算符 A
（一）统计平均值的意义
如果通过一系列的实验测定系统的一个状态参量 ξ，得到相应的值为 A1,A2……AS，在 总的试验次数 N 中，得到这些值的次数分别是 N1,N2,……NS，则 ξ 的（算数）平均值为
AN
i 1
Ai
i 1
s
Ni N
(1)
i
当总的试验次数 N 时，量 ξ 的平均值的极限便是ξ的统计平均值
积分算符等都是线性算符。量子力学碰到的算符并不都是线性算符，例如取复共轭就不是 线性算符。但是刻画可观测量的算符都是线性的，这是态迭加原理的反应。 例：
i ˆ H t
(4)
若 1 是方程的解， 2 也是方程的解，则 C1 1 C2 2 也是体系的可能解。事实上，
i ˆ C H ˆ C1 1 C2 2 C1i 1 C2i 2 C1 H 1 2 2 t t t
(18)
对于 p y ， p z 也有同样的等式。如果 G px 是 p x 的解析函数，且可展成 p x 的幂级数 G p x Cn p x n (19)
n
则有
n ˆx G px G px Cn * r , t p r , t dr n
(22)
角动量的平均值是：
L L r p * r i dr
(23)
(9)式表明：动量的平均值依赖于波函数的梯度 。按照德布罗意关系，波长越短， 动量越大。显然，若 越大，则 越短，因而动量平均值也越大。 综上所述，我们可以得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。当我们 用坐标表象波函数来计算动量平均值时，需要引进动量算符，除此之外，能量算符和角动 量算符也可依次引进：
(5)
ˆ 是线性算符时才有 仅当 H
ˆ C H ˆ ˆ C C1 H 1 2 2 H C1 1 2 2
ˆ 满足 若算符 I
ˆ v Iv
ˆ 为单位算符。显然 I ˆ 是线性算符。 其中 v 为任意函数，则称 I
(6)
（二）算符的运算法则
(1)算符的和 ˆB ˆ B ˆ 对任意函数 的运算结果与 A ˆ 相同。显然，算符之和 ˆ 与B ˆ 之和 A 算符 A
ˆ i p ˆ H
2
2m
2 V r
ˆ r i L ˆ yp zp i y z L x z y y z ˆ zp xp i z x L y x z z x ˆ xp yp i x y L z y x x y
G p * r , t G p r , t dr * r , t G r , t dr i
(21)
例如，动能的平均值是
T T
2 p2 * 2 dr 2m 2m
lim Ai
n i 1
s
s s Ni N Ai lim i Ai Pi N i 1 n N i 1
(2)
式中 Pi 为量 ξ 出现值 Ai 的几率。如果变量 ξ 是连续分布的，则上述统计平均值可以表示 成
A x dx
式中 x 为量 ξ 处于单位间隔内的几率，或称几率密度，或称量 ξ 的统计分布函数


-5-
满足
ˆB ˆ ˆB ˆA A
（加法交换律）
ˆ B ˆ A ˆB ˆ ˆ C ˆ C A
而且线性算符之和仍为线性算符。



（加法结合律）
(2)算符相等 ˆ 和B ˆ 对体系的任何波函数 的运算所得结果都相同 设算符 A
ˆ B ˆ A
则称两个算符相等，记作
ˆB ˆ A

(5)
其物理意义和我们对 r , t 所做的解释一样：它是 N 个大量数目的、等价的、彼此独
2
立的且由同一波函数 表示的体系做 F r 测量结果的平均值。 （2）现在讨论动量算符的平均值。显然， p 的平均值 p 不能简单的写成