态和力学量的表象
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量子力学课件：4.1 态的表象
量子力学 表象
基本矢量
不同表象波函数
→
u1(x), u2(x),..., un(x), ...
a1(t), a2(t),..., an(t), ...
量子状态Ψ(x,t)
态矢量
坐标系 不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，
同样
x 在自身表象即坐标表象中对应
有确定值 x’本征函数是
δ(x'-x)。
这可由本征 值方程看出：
所以，在动量表象中， 具有确定动量p’的粒 子的波函数是以动量
p为变量的δ- 函数。
换言之，动量本征函 数在自身表象中是一 个δ函数。
x ( x x) x ( x x)
所以
x ( x) ( x x)
u1(x), u2(x), ..., un(x), ... 是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
波函数
a1 (t )
a2(t)
an(t)
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
(x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
1 *( x, t)( x.t)dx
动量表象 C(p,t)=δ(p'-p)exp[-iE't/] C(p)=δ(p'-p)
态和力学量的表象
动量表象下的薛定谔方程(一维) 动量表象下的薛定谔方程(一维)
在动量表象中， 在动量表象中，动量算符就是动量自身 是势能算符， 是势能算符，即以坐标算符 对应于势能函数) 数(对应于势能函数) 为变量的算符函
√
动量表象(2/4) 动量表象(2/4)
谐振子势
坐标表象中的薛定谔方程
动量表象中的薛定谔方程
对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 对于谐振子势，在动量表象中是二阶微分方程，求解类似于 二阶微分方程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程 在坐标表象中的求解，不能简化求解过程
√
动量表象(3/4) 动量表象(3/4)
线性势
坐标表象、 坐标表象、动量表象中的薛定谔方程
对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 对于线性势，在动量表象中的方程是简单的一阶微分方程 与第二章“一维线性势阱”的结果一致) 求解 (与第二章“一维线性势阱”的结果一致)
算符 的表示的变换 表象中： 在 F 表象中：基矢为 表象中： 在 F' 表象中：基矢为
，算符 的矩阵元为 ，算符 的矩阵元为
√
线性谐振子与占有数表象(1/2) 线性谐振子与占有数表象(1/2)
线性谐振子的能级和波函数 湮灭算符 和产生算符
Microsoft Word 文档
为单位改变， 谐振子能量以 为单位改变，将这个 看作一个粒子 即粒子数减一， 使体系由 态变到 态，即粒子数减一，称湮灭算符 即粒子数加一， 使体系由 态变到 态，即粒子数加一，称产生算符
√
动量表象(1/4) 动量表象(1/4)
坐标表象和动量表象的对比
坐标表象的优点 容易写出边界条件，例如： 容易写出边界条件，例如：区分束缚态和散射态 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、 容易表述常用的势，例如：方势、线性势、谐振子势 动量表象的优点 某些势场下的薛定谔方程比较简单， 某些势场下的薛定谔方程比较简单，容易求解
周世勋《量子力学教程》(第2版)-态和力学量的表象笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
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变换矩阵的物理意义：通过变换矩阵，可将 A 表象的基矢 n 变换为 B 表象的基矢 。
2．幺正算符
在量子力学中，状态随时间的变化可写为 (t) U (t) (0) ，U (t) eiHt/ 是幺正算符。
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第 4 章 态和力学量的表象
4.1 复习笔记
一、态的表象及量子力学中的矩阵表示 1．表象 在量子力学中，称态和力学量的具体表示方式为表象。
2．态函数在 Q 表象中的矩阵表示
选定表象后，算符和量子态可以用矩阵表示。在矩阵力学中，Q 表象是以 Q 的本征函
p ] ， a
2
[x
1 i 2
p ]
它 们 满 足 有 下 列 关 系 ： [a, a ] 1,
x 1 (a a ), 2
H
(a a
1)
(N；
2
2
| n 1 (a)n | 0 。 n!
p i (a a ) ， 2
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
a
* 2
(t
),...,
an*
(t))
。
说明：上述表达只针对分立谱情况。当具有连续谱时，任意波函数 (x, t) 可表示为：
(x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq ， n
其中 an (t)
(
x,
t
)u
* n
(
x)dx
，
aq
(t)
(
x,
t
)u
* q
第四章-表象—态和力学量的表达方式
c1 (t ) c2 (t ) Ψ (t ) = M cn (t ) M 来自行矢量()
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象
量子力学 态和力学量的表象
果在 x x dx 范围内的几率。 在 x, t 所描写的态中测量粒子动量所得结 | c p, t |2 dp ： 果在 p p dp 范围内的几率。 可以看出：当 x, t 已知，就可完全确定 c p, t 。 反之， 当 c p, t 已知，就可完全确定 x, t 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
ˆ x, h u ( x ) Q u ( x ) ， Q n n n i x
{un }构成正交归一的完全系，
( x, t ) an (t )un ( x),
n
an (t ) un* ( x) ( x, t )dx bn (t ) un ( x)( x, t )dx
的表示，
L a1 (t ) a (t ) F2 n L 2 M M Fmn L an (t ) M M F1n
ˆ 在 Q 表象中的矩阵元，矩阵 F 为 F ˆ 在 Q 表象中 Fmn 即为 F
F 。
第四章 态和力学量的表象 4.2、 算符的矩阵表示
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
ˆ所 由此可知 | an |2 是在 ( x ,t ) 所描写的态中测量力学量 Q
得结果为 Qn 的几率。 数列， ，就是 ( x, t ) 所描写的态在 Q 表象中的表示。可写为矩阵形式，
a1 (t ) a (t ) 2 M ， an (t ) M
第四章 态和力学量的表象 4.1、 态的表象
4.1.3、任意 表象，态的矩阵表示
的共轭矩阵是一个行矩阵，用 † 标记，
* * * † (a1 (t ), a2 (t ),L , an (t ),L ) 。
态的表象
2 态的表象
本章目的： 本章目的：
给出用各种方式平行描述体系状态、 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等的方 案 表象； 表象； 找出不同表象之间的相互关系和变换规则 么正 变换； 变换； 建立一套用态矢量描述量子态的方案 Dirac算符 引入产生、 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子。 湮灭算符重新讨论简谐振子。 研究表象的意义： 研究表象的意义： 根据不同问题选择不同表象， 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。 还可以进行表象变换。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 这一章我们讨论其他表象， 这一章我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克 符号。 符号。
2 ′ p E p′ = 2µ − iE p ′ t h
= ∫ψ p * ( x )ψ p′ ( x )e
p
∫
−
iE p ′t h
=e
−
iE p ′t h
∫ψ
dx
p
* ( x )ψ p′ ( x )dx
=e
− iE p ′t / h
δ ( p − p′)
α 12 − ) e 谐振子基点： 谐振子基点： ψ ( x ) = ( π
动量表象波函数 c(p, t) ψ p (x) = 动量本征函数： 动量本征函数：
|c(p, t)| 2dp : 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 所描写的状态中，测量粒子的动 量所得结果在 p → p+dp 范围内的几率。 范围内的几率。 Ψ(x, t)与 c(p, t)一 一 对应， 对应，描述同一状态。 描述同一状态。 Ψ(x, t)是该状态在坐标表象中的波函数； 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 c(p, t)|就是该状态在动量表象中的波函数 动量表象中的波函数。 就是该状态在动量表象中的波函数。
本章目的： 本章目的：
给出用各种方式平行描述体系状态、 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量等的方 案 表象； 表象； 找出不同表象之间的相互关系和变换规则 么正 变换； 变换； 建立一套用态矢量描述量子态的方案 Dirac算符 引入产生、 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子。 湮灭算符重新讨论简谐振子。 研究表象的意义： 研究表象的意义： 根据不同问题选择不同表象， 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。 还可以进行表象变换。 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。 表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 以前所采用的表象是坐标表象。 这一章我们讨论其他表象， 这一章我们讨论其他表象，并介绍文献中常用的狄喇克 符号。 符号。
2 ′ p E p′ = 2µ − iE p ′ t h
= ∫ψ p * ( x )ψ p′ ( x )e
p
∫
−
iE p ′t h
=e
−
iE p ′t h
∫ψ
dx
p
* ( x )ψ p′ ( x )dx
=e
− iE p ′t / h
δ ( p − p′)
α 12 − ) e 谐振子基点： 谐振子基点： ψ ( x ) = ( π
动量表象波函数 c(p, t) ψ p (x) = 动量本征函数： 动量本征函数：
|c(p, t)| 2dp : 是在Ψ(x,t)所描写的状态中， 所描写的状态中，测量粒子的动 量所得结果在 p → p+dp 范围内的几率。 范围内的几率。 Ψ(x, t)与 c(p, t)一 一 对应， 对应，描述同一状态。 描述同一状态。 Ψ(x, t)是该状态在坐标表象中的波函数； 是该状态在坐标表象中的波函数； 而 c(p, t)|就是该状态在动量表象中的波函数 动量表象中的波函数。 就是该状态在动量表象中的波函数。
第四章 表象理论1
(4.2-6)
因此算符 在Q表象中是一个矩阵, （4.2-6）式也可简写为:
称为矩阵元。
(4.2-7)
说明: 力学量算符 于表象基矢
在 表象中的矩阵元 依赖
2. 厄密矩阵 对其取复共轭得到 根据厄密算符的定义
故有:
(4.2-8)
(4.2-8)式表示算符在Q表象中的表示是一个厄密矩阵 。
补充： 1、转置矩阵：矩阵A的行列互换，所得的新矩阵称 为矩阵A的转置矩阵，用符号 表示。 即：如果,则由(43) 得到(4.1-5)
在动量表象中, 粒子具有确定动量p’ 的波函数是以动 量p为变量的函数: 同理可得: 在坐标表象中, 粒子具有确定坐标x’ 的波函数是以坐标x 为变量的函数: 坐标算符的本征值方程为:
(4.1-6)
2. 一般情况 在任意力学量Q 的表象中, 假设具有分立的本征值, 对应的本征函数是 :
体系的归一化条件 写成矩阵形式： 对表象的理解: (1) 状态ψ : 态矢量
(4.1-13)
(2) Q表象: 坐标系 (无限维希耳伯特空间)。
(3) 本征函数: (4) 基矢量的分量。
坐标系的基矢量。 是态矢量ψ 在表象中沿各
态矢 在 表象基矢上的分量
构成了 在 表象中的
表示 ，由于
构成的空间维数可以是无穷的，甚至是不
故有：
内容小节
1、表象：量子力学中状态和力学量的具体表示方式 2、ψ(x,t) 态在动量表象中的表示：
其中： 3、ψ(x,t) 态在Q表象中的波函数是：
4、力学量F在Q表象中的表示 力学量F在Q表象中的表示是一个矩阵：
其中矩阵元： 算符在自身表象中是一个对角矩阵。
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习
![量子力学[第四章态和力学量的表象] 山东大学期末考试知识点复习](https://img.taocdn.com/s3/m/42eaca7d8e9951e79b8927a1.png)
第四章态和力学量的表象第三章中介绍了量子力学中的力学量用厄米算符表示，力学量的测量值为算符的本征值，力学量取唯一确定值的状态为算符的本征函数，力学量本征函数的集合具有正交性和完备性，微观粒子的任何态函数可以用力学量算符的本征函数进行展开，展开系数为在该状态中取值的概率幅。
前面所用的波函数ψ(x，t)本身可以看成微观状态用坐标算符的本征函数展开的概率幅，由此可以求出它用任意力学量(或者力学量完全集)的本征函数展开的概率幅。
反之，如果知道了概率幅，也可以还原出波函数。
从这个意义上说，粒子微观状态可以用任意力学量的概率幅来完全描述，波函数只是一个特例。
我们把概率幅称为状态在相应力学量中的表象，量子力学中常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
相应地，量子力学中的算符也可以有不同的表示形式，力学量算符的表象为厄米矩阵。
不同表象之间可以通过线性变换来相互联系，由于本征函数具有正交归一性，因此表象变换矩阵为幺正矩阵。
我们也可以脱离具体的表象来进行量子力学研究，这时状态用抽象的态矢量来表示，力学量用作用在态矢量空间上的抽象厄米算符来表示。
利用狄拉克方法，可以脱离具体表象来直接计算力学量的本征值和状态的演化规律，非常简洁。
本章的主要知识点有1．微观状态的表象(1)离散谱情况设力学量Q的本征方程为 (x)=qn un(x)，n∈Z，任意波函数ψ(x，t)取值qn 的概率幅为cn(t)=∫un*(x)ψ((x，t)dx，概率幅的全体可以用一个列向量ψ=(…，c(t)，c1(t)，c2(t)，…)T，简写为ψ=({cn(t)}) (4-1)来表示，称为状态ψ((x，t)在Q表象下的形式，简称状态ψ((x，t)的Q表象。
在离散谱的Q表象中，状态的归一化条件为(3)典型表象典型的离散表象有束缚态能量表象和角动量表象。
(3)混合谱情况有时候，力学量Q的本征值既有离散谱，又有连续谱。
这时Q表象下的波函数为归一化条件为力学量为具有分块矩阵形式．力学量对状态的作用为3．量子力学的抽象理论采用具体表象后，量子力学状态、力学量和物理公式都表现为矩阵的形式，历史上称之为矩阵力学。
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[ C( p, t) p ( x)dp]*[ C( p, t) p( x)dp]dx C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx C( p, t)*C( p, t)dpdp ( p p)
C( p, t)*C( p, t)dp
C(p,t) 物理意义
1 具有分立本征值的情况 2 含有连续本征值情况
1 具有分立本征值的情况
设 算符 Q 的本征值为： Q1, Q2, ... , Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x),
u2(x), ... , un(x),
...。
若Ψ , un 都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
将Ψ(x, t ) 按 Q 的
Dirac算符 引入产生、湮灭算符重新讨论简谐振子
(r,t)
Fˆ Fˆ (r,i)
F * (r,t)Fˆ (r,t)d
Fˆn (r) Fnn (r)
坐标表象
到目前为止，体系的状态都用坐标( x , y , z )的函数表示，也就 是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数 的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正 如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球 坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。
a1(t)* a2(t)*
an(t)*
归一化可写为
a1 (t) * a2 (t) *
an (t) * an (t) 1
n
an (t) *
a1 (t)
a2 (t)
an (t)
2 含有连续本征值情况
例如氢原子能量就是这样一种力学量，
即有分立也有连续本征值。
第四章 态和力学量的表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 么正变换 §5 Dirac 符号 §6 线性谐振子与占有数表象
本章目的
给出用各种方式平行描述体系状态、力
学量等方案→表象
找出不同表象之间的相互关系和变换规
则 → 么正变换
→ 建立一套用态矢量描述量子态的方案
分立谱
un * ( x)，um ( x)
an (t )，bm (t )
n
连续谱
uq * (x)，uq (x) aq (t), bq (t)
dq
只是该矩 阵的行列 不是可数 的，而是 用连续下 标表示
算符 F 在 Q 表象仍是 一个矩阵，矩阵元由 右式确定：
Fqq
uq
*
(
x
)Fˆ
(
x,i
x
)uq
(
动量本征函数：
p (x)
1 eipx /
2
组成完备系，任一 状态Ψ可按其展开
假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数，
命题
则 C(p,t) 也是归一。
证 1 *( x, t)( x, t)dx
展开系数
( x, t) C( p, t) p ( x)dp
C( p, t) p *( x)( x, t)dx
bn (t) Fn1 Fn2 Fnm am (t)
F11 F12 F1m
F21 F22 F2m
F
Fn1 Fn2 Fnm
Φ=FΨ
三 Q表象中力学量算符 F 的性质
1 力学量算符用厄密矩阵表示
Fn m u*n (x)Fˆum (x)dx Fn*m [ u*n (x)Fˆum (x)dx] *
a1 (t)
a2 (t)
an (t)
是态矢量Ψ 在 Q 表象中沿各基矢 方向上的“分量”。Q表象的基矢 有无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空间， 称为Hilbert空间。
§２ 算符的矩阵表示
已知: 坐标表象的波函数 Fˆ Fˆ (r,i) 求 Fˆ 在其他表象中的形式?
归一化则变为：
an * (t )an (t ) aq * (t )aq (t )dq 1
n
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；
在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示：
a1 (t )
a2 (t )
an (t )
aq (t )
bm (t) un * um ( x)dx
[
un
*
Fˆ
(
x,i
x
)um
(
x)dx]am
(t
)
m
m
bm (t ) nm Fnm am (t )
m
m
bn (t ) Fnm am (t )
m
Fnm
un
*
(
x
)Fˆ
(
x,
i
x
)um
(
x
)dx
Q 表象所描写状态 在 Q 表象中的表示。
am * (t )an (t ) mn
mn
an * (t )an (t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ(x,t)所描述的状态 中测量Q 得 Qn 的几率。
写成 矩阵形式
a1 (t)
a2 (t)
an (t)
共轭矩阵
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为：
Q1, Q2, ..., Qn, ... , q u1(x), u2(x), ..., un(x), ... , uq(x)
an (t ) un * ( x )( x, t )dx
aq (t ) uq * ( x )( x, t )dx
则 (x,t) an (t)un (x) aq (t)uq (x)dq n
C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。
若Ψ(x,t) 描写的态是具有确 定动量 p 的自由粒子态.即：
则相应动量表象中的波函数：
( x, t ) p ( x)e iE pt /
p 2
E p 2
C( p, t) p * ( x)( x, t )dx p * ( x) p ( x)eiE pt /dx
,
px )
xˆ x0 (x) x0 x0 (x) x (x x0 ) x0 (x x0 )
2
x x (x,t) dx
pˆ x ( px px0 ) px0 ( px px0 )
2
px px C( px ,t) dpx
pˆ x px pˆ p
*(x,t)xˆ (x,t)dx
|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。
a1(t)* a2(t)* an(t)* aq(t)*
归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
三 讨论
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
( x, t) Fˆ ( x, pˆ )( x, t) 代入
Fˆ
(
x,i
x
)(
x,
t
)
( x, t )
m
am (t )um ( x)
( x, t)
bm (t )um ( x)
m
bm
(t
)um
(
x)
Fˆ
(
x,i
x
)
am (t)um ( x)
m
m
两边左乘 u *n(x) 并对 x 积分
un (x)(Fˆum (x))* dx
(Fˆum (x))* un (x)dx um * (x)Fˆun (x)dx
Fmn
F F
所以厄密算符的矩阵 表示是一厄密矩阵。
2 力学量算符在自身表象中的形式
Qˆ un (x) Qnun (x)
Q 的矩阵形式
Q1 0
0 Q2
Q
一 动量表象中的算符表示 二 Q 表象中力学量算符的矩阵表示 三 Q 表象中力学量算符F的性质 四 Q 有连续本征值的情况
一 动量表象中力学量的算符表示
坐标表象：
动量表象：
(x,t)
Fˆ
Fˆ (xˆ,
pˆ x )
Fˆ
(
x,i
x
)
C( px,t) Fˆ Fˆ (xˆ, pˆ x ) ?
Fˆ (i p x
xˆ i p x
1
(2)1/ 2
* i px
C( p, t) e dx x (x, t)dp
1
(2)1/ 2
*
C( p, t) (i
i px
)e
(x, t)dxdp
p
C
(
p,
t
)*
(i
p
)C
(
p,
t
)dp
二 Q 表象中力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
Q 表象：
假设只有分立本征值，将 Φ, Ψ 按{ un(x)}展开：
动量本 征函数
不含时 动量本 征函数
本征 方程
坐标表象
p (x,t) 1 (2)1 2 expi( px Et) / p (x) 1 (2)1 2 expipx /
pˆ p (x) p p (x)
动量表象
C( p,t) ( p p) expiEt / C( p) ( p p)
p ( p p) p ( p p)
这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A 在直角坐标 系由三分量Ax Ay Az 描述；在球坐标系用三分量 Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量 A 。
量子力学 表象
基本矢量
坐标系
不同表象波函数
→
不同坐标系的一组分量